nueva prueba enhebra la aguja en un problema de geometría pegajosa | Revista Cuanta

En 1917, el matemático japonés Sōichi Kakeya planteó lo que al principio parecía nada más que un divertido ejercicio de geometría. Coloque una aguja infinitamente delgada de una pulgada de largo sobre una superficie plana, luego gírela para que apunte en todas las direcciones a su vez. ¿Cuál es el área más pequeña que puede barrer la aguja?

Si simplemente lo giras alrededor de su centro, obtendrás un círculo. Pero es posible mover la aguja de manera inventiva, de modo que se obtenga una cantidad de espacio mucho menor. Desde entonces, los matemáticos han planteado una versión relacionada de esta pregunta, llamada la conjetura de Kakeya. En sus intentos por resolverlo, han descubierto sorprendentes conexiones con el análisis armónico, la teoría de números e incluso la física.

"De alguna manera, esta geometría de líneas que apuntan en muchas direcciones diferentes es omnipresente en una gran parte de las matemáticas", dijo. jonathan hickman de la Universidad de Edimburgo.

Pero también es algo que los matemáticos todavía no entienden del todo. En los últimos años, han probado variaciones de la conjetura de Kakeya en entornos más fáciles, pero la pregunta permanece sin resolver en el espacio tridimensional normal. Durante algún tiempo, pareció como si todo el progreso se hubiera estancado en esa versión de la conjetura, a pesar de que tiene numerosas consecuencias matemáticas.

Ahora, dos matemáticos han movido la aguja, por así decirlo. Su nueva prueba derriba un gran obstáculo eso se ha mantenido durante décadas, reavivando la esperanza de que finalmente se vislumbre una solución.

¿Qué es la pequeña oferta?

Kakeya estaba interesado en conjuntos en el plano que contienen un segmento de línea de longitud 1 en cada dirección. Hay muchos ejemplos de tales conjuntos, el más simple es un disco con un diámetro de 1. Kakeya quería saber cómo sería el conjunto más pequeño.

Propuso un triángulo con lados ligeramente hundidos, llamado deltoides, que tiene la mitad del área del disco. Resultó, sin embargo, que es posible hacerlo mucho, mucho mejor.

En 1919, solo un par de años después de que Kakeya planteara su problema, el matemático ruso Abram Besicovitch demostró que si colocas las agujas de una manera muy particular, puedes construir un conjunto de apariencia espinosa que tiene un área arbitrariamente pequeña. (Debido a la Primera Guerra Mundial y la Revolución Rusa, su resultado no llegaría al resto del mundo matemático durante varios años).

Para ver cómo podría funcionar esto, tome un triángulo y divídalo a lo largo de su base en piezas triangulares más delgadas. Luego deslice esas piezas para que se superpongan tanto como sea posible pero sobresalgan en direcciones ligeramente diferentes. Al repetir el proceso una y otra vez, subdividiendo su triángulo en fragmentos cada vez más delgados y reorganizándolos cuidadosamente en el espacio, puede hacer que su conjunto sea tan pequeño como desee. En el límite infinito, puede obtener un conjunto que matemáticamente no tiene área pero que, paradójicamente, aún puede acomodar una aguja que apunta en cualquier dirección.

“Eso es un poco sorprendente y contrario a la intuición”, dijo Ruixiang Zhang de la Universidad de California, Berkeley. “Es un conjunto que es muy patológico”.

Este resultado se puede generalizar a dimensiones más altas: es posible construir un conjunto con un volumen arbitrariamente pequeño que contiene un segmento de línea unitario que apunta en todas las direcciones en n-dimensional espacio.

Besicovitch parecía haber resuelto por completo la pregunta de Kakeya. Pero décadas más tarde, los matemáticos comenzaron a trabajar en otra versión del problema en la que reemplazaron el área (o el volumen, en el caso de dimensiones superiores) con una noción diferente de tamaño.

Para comprender esta reformulación de la pregunta, primero tome cada segmento de línea en un conjunto de Kakeya y agréguelo un poco, como si estuviera usando una aguja real, en lugar de una idealizada. En el plano, tu conjunto consistirá en rectángulos extremadamente delgados; en el espacio tridimensional, tendrás una colección de tubos extremadamente delgados.

Estos conjuntos engordados siempre tienen algo de área (o volumen, pero por ahora nos ceñiremos al caso bidimensional). A medida que cambie el ancho de la aguja, esta área cambiará. En la década de 1970, el matemático Roy Davies (quien murió el mes pasado) demostró que si el área total cambia un poco, el ancho de cada aguja debe cambiar drásticamente. Por ejemplo, si desea que una versión engordada del conjunto de Besicovitch tenga un área de 1/10 de pulgada cuadrada, cada aguja debe tener un grosor de alrededor de 0.000045 pulgadas: e^-10 de una pulgada, para ser precisos. Pero si quisieras que el área total fuera 1/100 de pulgada cuadrada, 10 veces más pequeña, la aguja tendría que ser e^-100 de una pulgada de espesor. (Cuarenta y tres ceros siguen al punto decimal antes de llegar a los otros dígitos).

“Si me dice qué tan pequeña quiere que sea el área, entonces tengo que exigir una aguja que sea increíblemente delgada”, dijo. Carlos Fefferman de la Universidad de Princeton.

Los matemáticos miden el "tamaño" del conjunto de Kakeya usando una cantidad llamada dimensión de Minkowski, que está relacionada pero no es exactamente igual a una dimensión ordinaria (definida como el número de direcciones independientes que necesitas para describir un espacio).

Aquí hay una forma de pensar en la dimensión de Minkowski: tome su conjunto y cúbralo con pequeñas bolas que tengan cada una un diámetro de una millonésima parte de su unidad preferida. Si su conjunto es un segmento de línea de longitud 1, necesitará al menos 1 millón de bolas para cubrirlo. Si tu conjunto es un cuadrado de área 1, necesitarás muchos, muchos más: un millón al cuadrado o un billón. Para una esfera de volumen 1, es aproximadamente 1 millón al cubo (un quintillón), y así sucesivamente. La dimensión de Minkowski es el valor de este exponente. Mide la velocidad a la que crece el número de bolas que necesitas para cubrir tu juego a medida que el diámetro de cada bola se hace más pequeño. Un segmento de recta tiene dimensión 1, un cuadrado tiene dimensión 2 y un cubo tiene dimensión 3.

Estas dimensiones son familiares. Pero usando la definición de Minkowski, es posible construir un conjunto que tenga una dimensión de, digamos, 2.7. Aunque tal conjunto no llena el espacio tridimensional, en cierto sentido es "más grande" que una superficie bidimensional.

Cuando cubres un juego con bolas de un diámetro determinado, te estás aproximando al volumen de la versión engordada del juego. Cuanto más lentamente disminuya el volumen del conjunto con el tamaño de su aguja, más bolas necesitará para cubrirlo. Por lo tanto, puede reescribir el resultado de Davies, que establece que el área de un conjunto de Kakeya en el plano disminuye lentamente, para mostrar que el conjunto debe tener una dimensión de Minkowski de 2. La conjetura de Kakeya generaliza esta afirmación a dimensiones más altas: un conjunto de Kakeya debe siempre tendrá la misma dimensión que el espacio que habita.

Esa simple declaración ha sido sorprendentemente difícil de probar.

Una torre de conjeturas

Hasta que Fefferman hizo un descubrimiento sorprendente en 1971, la conjetura fue vista como una curiosidad.

Estaba trabajando en un problema completamente diferente en ese momento. Quería entender la transformada de Fourier, una poderosa herramienta que permite a los matemáticos estudiar funciones escribiéndolas como sumas de ondas sinusoidales. Piense en una nota musical, que se compone de muchas frecuencias superpuestas. (Es por eso que un do central en un piano suena diferente a un do central en un violín). La transformada de Fourier permite a los matemáticos calcular las frecuencias constituyentes de una nota en particular. El mismo principio funciona para sonidos tan complicados como el habla humana.

Los matemáticos también quieren saber si pueden reconstruir la función original si se les dan solo algunas de sus infinitas frecuencias constituyentes. Tienen una buena comprensión de cómo hacer esto en una dimensión. Pero en dimensiones superiores, pueden tomar diferentes decisiones sobre qué frecuencias usar y cuáles ignorar. Fefferman demostró, para sorpresa de sus colegas, que es posible que no se reconstruya la función si se confía en una forma particularmente conocida de elegir frecuencias.

Su prueba dependía de construir una función modificando el conjunto Kakeya de Besicovitch. Esto más tarde inspiró a los matemáticos a desarrollar una jerarquía de conjeturas sobre el comportamiento de dimensiones superiores de la transformada de Fourier. Hoy en día, la jerarquía incluso incluye conjeturas sobre el comportamiento de importantes ecuaciones diferenciales parciales en física, como la ecuación de Schrödinger. Cada conjetura en la jerarquía automáticamente implica la que está debajo de ella.

La conjetura de Kakeya se encuentra en la base misma de esta torre. Si es falso, entonces también lo son las declaraciones más altas en la jerarquía. Por otro lado, demostrar que es cierto no implicaría de inmediato la verdad de las conjeturas ubicadas sobre él, pero podría proporcionar herramientas e ideas para atacarlas.

“Lo sorprendente de la conjetura de Kakeya es que no es solo un problema divertido; es un verdadero cuello de botella teórico”, dijo Hickman. "No entendemos muchos de estos fenómenos en ecuaciones diferenciales parciales y análisis de Fourier porque no entendemos estos conjuntos de Kakeya".

tramando un plan

La prueba de Fefferman, junto con las conexiones descubiertas posteriormente con la teoría de números, la combinatoria y otras áreas, reavivó el interés en el problema de Kakeya entre los mejores matemáticos.

En 1995, Thomas Wolff demostró que la dimensión de Minkowski de un conjunto Kakeya en el espacio 3D debe ser de al menos 2.5. Ese límite inferior resultó ser difícil de aumentar. Luego, en 1999, los matemáticos Redes Katz, izabella laba y terence tao logró vencerlo. Su nuevo límite: 2.500000001. A pesar de lo pequeña que fue la mejora, superó una enorme barrera teórica. Su papel era publicado en el Anales de Matemáticas, la revista más prestigiosa del campo.

Más tarde, Katz y Tao esperaban aplicar algunas de las ideas de ese trabajo para atacar la conjetura 3D Kakeya de una manera diferente. Hicieron la hipótesis de que cualquier contraejemplo debe tener tres propiedades particulares y que la coexistencia de esas propiedades debe conducir a una contradicción. Si pudieran probar esto, significaría que la conjetura de Kakeya era cierta en tres dimensiones.

No pudieron llegar hasta el final, pero hicieron algunos progresos. En particular, ellos (junto con otros matemáticos) demostraron que cualquier contraejemplo debe tener dos de las tres propiedades. Debe ser "plano", lo que significa que cada vez que los segmentos de línea se cruzan en un punto, esos segmentos también se encuentran casi en el mismo plano. También debe ser "granuloso", lo que requiere que los planos de los puntos de intersección cercanos estén orientados de manera similar.

Eso dejó la tercera propiedad. En un conjunto "pegajoso", los segmentos de línea que apuntan casi en la misma dirección también deben ubicarse cerca uno del otro en el espacio. Katz y Tao no pudieron demostrar que todos los contraejemplos deben ser pegajosos. Pero intuitivamente, un conjunto pegajoso parece ser la mejor manera de forzar una gran superposición entre los segmentos de línea, lo que hace que el conjunto sea lo más pequeño posible, precisamente lo que necesita para crear un contraejemplo. Si alguien pudiera demostrar que un conjunto pegajoso de Kakeya tiene una dimensión de Minkowski de menos de 3, refutaría la conjetura 3D de Kakeya. "Parece que 'pegajoso' sería el caso más preocupante", dijo Larry Guth del Instituto de Tecnología de Massachusetts.

Ya no es una preocupación.

El punto de fricción

En 2014, más de una década después de que Katz y Tao intentaran demostrar la conjetura de Kakeya, Tao publicó un resumen de su enfoque en su blog, dando a otros matemáticos la oportunidad de probarlo por sí mismos.

En 2021, hong wang, matemático de la Universidad de Nueva York, y Josué Zahl de la Universidad de Columbia Británica decidió continuar donde lo habían dejado Tao y Katz.

Comenzaron asumiendo la existencia de un contraejemplo pegajoso con una dimensión de Minkowski de menos de 3. Sabían por trabajos anteriores que tal contraejemplo tenía que ser plano y granulado. “Así que estábamos en el tipo de mundo en el que estaban pensando Terry Tao y Nets Katz”, dijo Zahl. Ahora necesitaban demostrar que las propiedades planas, granulosas y pegajosas se relacionaban entre sí y generaban una contradicción, lo que significaría que este contraejemplo en realidad no podría existir.

Sin embargo, para obtener esa contradicción, Wang y Zahl dirigieron su atención en una dirección que Katz y Tao no habían anticipado: hacia un área conocida como teoría de proyección.

Comenzaron analizando la estructura de su pegajoso contraejemplo con más detalle. Si considera la versión idealizada del conjunto, tiene un número infinito de segmentos de línea que apuntan en todas las direcciones. Pero en este problema, recuerda que estás tratando con versiones engordadas de esos segmentos de línea: un montón de agujas. Cada una de esas agujas puede contener muchos de los segmentos de línea idealizados, lo que significa que puede codificar todo el conjunto infinito con un número finito de agujas. Dependiendo del grosor de las agujas, su conjunto engordado puede verse muy diferente.

Si el conjunto es pegajoso, se verá más o menos igual sin importar el grosor de las agujas.

Wang y Zahl usaron esta propiedad para demostrar que a medida que las agujas se vuelven más delgadas, el conjunto se vuelve más y más plano. A través de este proceso, pudieron "extraer un objeto aún más patológico", dijo Zahl, algo que parecía tener cualidades imposibles.

Eso es lo que mostraron a continuación. Demostraron que este objeto patológico tenía que verse de dos maneras, las cuales conducían a contradicciones. O podrías proyectarlo hacia abajo en el espacio 2D de una manera que lo hiciera mucho más pequeño en muchas direcciones, algo que Wang y sus colegas acababan de hacer. demostrado ser imposible. O, en el segundo caso, las agujas del juego estarían organizadas de acuerdo con un tipo de función muy específico, que Zahl y sus colaboradores habían demostrado recientemente. no podría existir, porque llevaría a otro tipo de proyecciones que no tenían sentido.

Wang y Zahl ahora tenían su contradicción, lo que significa que no hay contraejemplos complicados para la conjetura de Kakeya. (Mostraron esto no solo para la dimensión de Minkowski, sino también para una cantidad relacionada llamada dimensión de Hausdorff). "El resultado descarta toda esta clase de contraejemplos", dijo Zahl, el tipo exacto de conjunto que los matemáticos habían considerado más probable para refutar la conjetura

El nuevo trabajo "es un fuerte apoyo para que la conjetura de Kakeya sea cierta", dijo pablo shmerkin de la Universidad de Columbia Británica. Si bien solo se aplica al caso tridimensional, algunas de sus técnicas pueden ser útiles en dimensiones superiores. Después de pasar años progresando en la conjetura de otros sistemas numéricos, los matemáticos están entusiasmados con este regreso al dominio original del problema de los números reales.

“Es notable que hayan resuelto este caso por completo”, dijo Zhang. “En el escenario real, eso es extremadamente raro”. Y si alguien puede probar que un contraejemplo debe ser pegajoso, el nuevo resultado implicará la conjetura completa en tres dimensiones. La jerarquía de conjeturas construida sobre ella permanecerá entonces segura, su base estable.

“De alguna manera, estos dos problemas diferentes en la teoría de la proyección, que aparentemente no tienen mucho que ver entre sí, encajan bastante bien para dar exactamente lo que Kakeya necesitaba”, dijo Zahl.