Un siglo después, las nuevas matemáticas suavizan la relatividad general | Revista Quanta

La teoría general de la relatividad de Albert Einstein ha tenido un gran éxito al describir cómo funciona la gravedad y cómo da forma a la estructura a gran escala del universo. Está resumido en un dicho del físico John Wheeler: “El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse”. Sin embargo, las matemáticas de la relatividad general también son profundamente contraintuitivas.

Debido a que sus ecuaciones básicas son tan complicadas, incluso las afirmaciones que parezcan más simples son difíciles de probar. Por ejemplo, no fue hasta alrededor de 1980 que los matemáticos demostraron, como parte de un teorema principal de la relatividad general, que un sistema físico aislado, o espacio, sin masa alguna en él debe ser plano.

Esto dejó sin resolver la cuestión de cómo se ve un espacio si es casi un vacío y tiene sólo una pequeña cantidad de masa. ¿Es necesariamente casi plano?

Si bien puede parecer obvio que una masa más pequeña conduciría a una curvatura más pequeña, las cosas no son tan sencillas cuando se trata de la relatividad general. Según la teoría, las concentraciones densas de materia pueden "deformar" una porción del espacio, volviéndola muy curvada. En algunos casos, esta curvatura puede ser extrema, lo que posiblemente conduzca a la formación de agujeros negros. Esto podría ocurrir incluso en un espacio con pequeñas cantidades de materia, si está lo suficientemente concentrada.

En un reciente , Dong Conghan, estudiante de posgrado en la Universidad Stony Brook, y Antonio Canción, profesor asistente en el Instituto de Tecnología de California, demostró que una secuencia de espacios curvos con cantidades cada vez más pequeñas de masa eventualmente convergerá en un espacio plano con curvatura cero.

Este resultado es un avance notable en la exploración matemática de la relatividad general, una búsqueda que continúa dando dividendos más de un siglo después de que Einstein ideara su teoría. Dan Lee, un matemático del Queens College que estudia las matemáticas de la relatividad general pero que no participó en esta investigación, dijo que la prueba de Dong y Song refleja una profunda comprensión de cómo interactúan la curvatura y la masa.

Lo que demostraron

La demostración de Dong y Song se refiere a espacios tridimensionales, pero consideremos primero un ejemplo bidimensional a modo de ilustración. Imagine un espacio plano sin masa como una hoja de papel normal y lisa. Un espacio con masa pequeña, en este caso, podría verse similar desde la distancia, es decir, mayoritariamente plano. Sin embargo, una inspección más cercana podría revelar algunos picos agudos o burbujas que aparecen aquí y allá, consecuencias de la acumulación de materia. Estos afloramientos aleatorios harían que el papel pareciera un césped bien cuidado con algún hongo o tallo ocasional sobresaliendo de la superficie.

Dong y Song demostraron ser conjetura que fue formulado en 2001 por los matemáticos Gerhard Huisken y Tom Ilmanen. La conjetura establece que a medida que la masa de un espacio se acerca a cero, también debe hacerlo su curvatura. Huisken e Ilmanen reconocieron, sin embargo, que este escenario se complica por la presencia de burbujas y picos (que son matemáticamente distintos entre sí). Plantearon la hipótesis de que las burbujas y las púas podrían cortarse de tal manera que el área límite dejada en la superficie del espacio por cada escisión fuera pequeña. Sugirieron, pero no pudieron probar, que el espacio que quedaba después de que se eliminaran estos problemáticos apéndices sería casi plano. Tampoco estaban seguros de cómo deberían realizarse esos recortes.

"Estas preguntas eran difíciles y no esperaba ver una solución a la conjetura de Huisken-Ilmanen", dijo Lee.

En el centro de la conjetura está la medición de la curvatura. El espacio puede curvarse de diferentes maneras, diferentes cantidades y diferentes direcciones, como una silla de montar (en dos dimensiones) que se curva hacia arriba hacia adelante y hacia atrás, pero hacia abajo hacia la izquierda y la derecha. Dong y Song ignoran esos detalles. Utilizan un concepto llamado curvatura escalar, que representa la curvatura como un número único que resume la curvatura completa en todas las direcciones.

El nuevo trabajo de Dong y Song, dijo. Daniel Stern de la Universidad de Cornell, es "uno de los resultados más sólidos que tenemos hasta ahora que nos muestra cómo la curvatura escalar controla [la] geometría" del espacio en su conjunto. Su artículo ilustra que "si tenemos una curvatura escalar no negativa y una masa pequeña, entendemos muy bien la estructura del espacio".

La Prueba

La conjetura de Huisken-Ilmanen se refiere a la geometría de espacios con masa cada vez menor. Prescribe un método específico para decir qué tan cerca está un espacio con masa pequeña del espacio plano. Esa medida se llama distancia de Gromov-Hausdorff, en honor a los matemáticos Mijael Gromov y Félix Hausdorff. Calcular la distancia de Gromov-Hausdorff es un proceso de dos pasos.

El primer paso es encontrar la distancia de Hausdorff. Supongamos que tienes dos círculos, A y B. Comienza con cualquier punto de A y calcula qué tan lejos está del punto más cercano de B.

Repita esto para cada punto de A. La distancia más grande que encuentre es la distancia de Hausdorff entre los círculos.

Una vez que tenga la distancia de Hausdorff, puede calcular la distancia de Gromov-Hausdorff. Para ello, coloque sus objetos en un espacio más grande para minimizar la distancia de Hausdorff entre ellos. En el caso de dos círculos idénticos, como puedes ponerlos literalmente uno encima del otro, la distancia de Gromov-Hausdorff entre ellos es cero. Los objetos geométricamente idénticos como estos se denominan "isométricos".

Por supuesto, medir la distancia es más difícil cuando los objetos o espacios que se comparan son similares pero no iguales. La distancia de Gromov-Hausdorff proporciona una medida precisa de las similitudes (o diferencias) entre las formas de dos objetos que inicialmente se encuentran en espacios diferentes. "La distancia de Gromov-Hausdorff es una de las mejores maneras que tenemos de decir que dos espacios son casi isométricos, y le da un número a ese 'casi'", dijo Stern.

Antes de que Dong y Song pudieran hacer comparaciones entre un espacio con una masa pequeña y un espacio que es perfectamente plano, tuvieron que cortar las molestas protuberancias: los picos estrechos donde la materia está apretada y las burbujas aún más densas que pueden albergar pequeños agujeros negros. "Los cortamos de modo que el área límite [donde se hizo el corte] sea pequeña", dijo Song, "y demostramos que el área se hace más pequeña a medida que la masa desciende".

Aunque esa táctica puede parecer una trampa, Stern dijo que para probar la conjetura está permitido realizar una especie de preprocesamiento cortando burbujas y picos cuya área se reduce a cero a medida que disminuye la masa.

Como sustituto de un espacio con masa pequeña, sugirió, podríamos imaginar una hoja de papel arrugada que, después de ser alisada nuevamente, todavía tiene pliegues y pliegues pronunciados. Puedes utilizar una perforadora para eliminar las irregularidades más prominentes, dejando un trozo de papel ligeramente irregular con algunos agujeros. A medida que el tamaño de esos agujeros se reduce, también lo hará la irregularidad del terreno del papel. En el límite, se podría decir, los agujeros se reducirían a cero, los montículos y las crestas desaparecerían y lo que quedaría sería una hoja de papel uniformemente lisa, un auténtico sustituto del espacio plano.

Eso es lo que Dong y Song intentaron demostrar. El siguiente paso fue ver cómo estos espacios desnudos, despojados de sus características toscas, se comparaban con el estándar de total planitud. La estrategia que siguieron hizo uso de un tipo especial de mapa, que es una forma de comparar dos espacios asociando puntos en un espacio con puntos en otro. El mapa que utilizaron fue desarrollado en un escrito por Stern y tres colegas: Hubert Bray, Demetre Kazaras y Marcus Khuri. Este procedimiento puede explicar exactamente qué tan cerca están dos espacios.

Para simplificar su tarea, Dong y Song adoptaron otro truco matemático de Stern y sus coautores, que demostró que un espacio tridimensional se puede dividir en infinitas porciones bidimensionales llamadas conjuntos de niveles, de forma muy similar a como se puede dividir un huevo duro. segmentarse en láminas estrechas mediante los alambres tensos de una cortadora de huevos.

Los conjuntos de niveles heredan la curvatura del espacio tridimensional que comprenden. Al centrar su atención en conjuntos de niveles en lugar de en el espacio tridimensional más grande, Dong y Song pudieron reducir la dimensionalidad del problema de tres a dos. Esto es muy beneficioso, dijo Song, porque "sabemos mucho sobre objetos bidimensionales... y tenemos muchas herramientas para estudiarlos".

Si pudieran demostrar con éxito que cada conjunto de niveles es "algo así como plano", dijo Song, esto les permitiría alcanzar su objetivo general de mostrar que un espacio tridimensional con poca masa es casi plano. Afortunadamente, esta estrategia dio resultado.

Siguientes Pasos

De cara al futuro, Song dijo que uno de los próximos desafíos del campo es hacer que la prueba sea más explícita estableciendo un procedimiento preciso para deshacerse de burbujas y picos y describir mejor las regiones que han sido cortadas. Pero por ahora, admitió, “no tenemos una estrategia clara para lograrlo”.

 Otra vía prometedora, afirmó Song, sería explorar una conjetura separada que fue formulado en 2011 por Lee y Cristina Sormani, matemático de la City University de Nueva York. La conjetura de Lee-Sormani plantea una pregunta similar a la planteada por Huisken e Ilmanen, pero se basa en una forma diferente de medir la diferencia entre formas. En lugar de considerar la distancia máxima entre dos formas, como lo hace la distancia de Gromov-Hausdorff, el enfoque de Lee-Sormani pregunta sobre la volumen del espacio entre ellos. Cuanto menor sea ese volumen, más cerca estarán.

Mientras tanto, Song espera investigar cuestiones básicas sobre la curvatura escalar que no están motivadas por la física. "En la relatividad general", dijo, "tratamos con espacios muy especiales que son casi planos en el infinito, pero en geometría nos preocupamos por todo tipo de espacios".

"Existe la esperanza de que estas técnicas puedan ser valiosas en otros entornos" no relacionados con la relatividad general, dijo Stern. "Existe una gran familia de problemas relacionados", dijo, que están esperando ser explorados.

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