Una vista en primer plano revela el punto de “fusión” de un gráfico infinito | Revista Quanta

En 2008, el matemático Oded Schramm murió en un accidente de senderismo en las montañas Cascade, a unas 50 millas al este de Seattle. Aunque sólo tenía 46 años, había construido áreas de las matemáticas completamente nuevas.

"Era un matemático fantástico", dijo Itai benjamini, matemático del Instituto Weizmann de Ciencias y amigo y colaborador de Schramm. “Extremadamente creativo, extremadamente elegante, extremadamente original”.

Las preguntas que formuló todavía traspasan las fronteras de la teoría de la probabilidad y la física estadística. Muchas de estas preguntas se refieren a estructuras matemáticas que tienen una transición de fase: un cambio macroscópico repentino, como el hielo que se derrite hasta convertirse en agua. Así como diferentes materiales tienen diferentes puntos de fusión, las transiciones de fase de las estructuras matemáticas también varían.

Schramm conjeturó que la transición de fase en un proceso llamado percolación puede estimarse utilizando sólo una vista cercana del sistema (llamada perspectiva local) para muchas estructuras matemáticas importantes. Alejar completamente y mirar todo no cambiará significativamente el cálculo. En los últimos 15 años, los matemáticos han desmenuzado pequeños fragmentos de la conjetura, pero hasta ahora no han podido resolverla por completo.

En un preimpresión publicada en octubre, Tom Hutchcroft del Instituto de Tecnología de California y su estudiante de doctorado Felipe Easo demostró la conjetura de localidad de Schramm. Su prueba se basa en ideas importantes de la teoría de la probabilidad y otras áreas de las matemáticas, que combinaron de manera inteligente.

“Es un artículo extraordinario. Es una acumulación de mucho trabajo”, dijo Benjamini.

Clústeres infinitos

La palabra "percolación" originalmente se refería al movimiento de un fluido a través de un medio poroso, como el agua que fluye a través de los posos del café o el aceite que se filtra a través de las grietas de una roca.

En 1957, los matemáticos Simon Ralph Broadbent y John Michael Hammersley desarrollaron un modelo matemático de este proceso físico. En las décadas posteriores, este modelo se ha convertido en un objeto de estudio por derecho propio. Los matemáticos estudian la percolación porque logra un equilibrio importante: la configuración es simple, pero presenta características complejas y desconcertantes.

"Es una especie de modelo canónico para los matemáticos", dijo Hutchcroft. “Puedes pensar en las cosas visualmente. Eso hace que sea realmente agradable trabajar con él”.

La percolación comienza con un gráfico, que es una colección de vértices (puntos) que pueden conectarse mediante aristas (líneas). Uno de los ejemplos más simples es una cuadrícula cuadrada, con vértices alineados para formar las esquinas de los cuadrados y aristas que conectan algunos de ellos.

Poco antes de su muerte, Schramm conjeturó que el teorema de Grimmett y Marstrand podía generalizarse. Pensó que el umbral de percolación está determinado enteramente por la perspectiva de primer plano o “microscópica” de una gran clase de gráficos conocidos como gráficos transitivos.

En 2009, Benjamini, Asaf Nachmias y yuval peres demostrado La conjetura de localidad de Schramm, como se la conoce ahora, para un tipo específico de gráfico transitivo que se asemeja a un árbol. Schramm, sin embargo, había postulado que sería válido para todos los gráficos transitivos (con excepción de los gráficos unidimensionales).

En un gráfico transitivo, todos los vértices parecen similares. Una cuadrícula bidimensional es un ejemplo. Si eliges dos vértices cualesquiera, siempre podrás encontrar una simetría que mueva un vértice al otro.

Esta relación es válida para cualquier gráfico transitivo. Debido a estas simetrías, si hace zoom y observa dos parches de igual tamaño de un gráfico transitivo, se verán iguales. Por esta razón, Schramm creía que la perspectiva cercana era suficiente para permitir a los matemáticos calcular el umbral de percolación para todos los gráficos transitivos.

Los gráficos transitivos pueden adoptar muchas formas y formas. Pueden ser una cuadrícula simple, formada por cuadrados, triángulos, hexágonos o alguna otra forma. O pueden formar un objeto más complejo, como un “árbol de 3 regulares”, donde un punto central se conecta a tres vértices, y cada vértice luego se ramifica para crear dos nuevos hasta el infinito, cuyos primeros pasos se ven aquí:

La variedad de gráficos transitivos contribuyó a la dificultad de demostrar la conjetura de localidad de Schramm. En los 15 años transcurridos entre la conjetura de Schramm y la demostración de Easo y Hutchcroft, varios grupos de matemáticos demostraron la conjetura para tipos específicos de gráficas, pero sus ideas nunca se extendieron al caso general.

"El espacio de todas las geometrías posibles es muy vasto y siempre hay cosas extrañas al acecho", dijo Hutchcroft.

Ampliación de la lente

Inicialmente, Easo y Hutchcroft no buscaban una solución a la conjetura de localidad de Schramm, que se aplica a gráficos infinitos. En cambio, estaban estudiando la percolación en gráficos finitos. Pero tuvieron una idea que de repente desvió su atención hacia la conjetura.

"Se nos ocurrió esta nueva herramienta y pensamos, oh, esto parece el tipo de cosa que podría ser útil para atacar la localidad", dijo Easo.

Para probar la conjetura, necesitaban demostrar que la perspectiva microscópica proporciona una instantánea precisa del umbral de percolación. Cuando ves solo una parte de un gráfico y observas un gran grupo conectado, puedes suponer que el gráfico tiene un grupo infinito y, por lo tanto, está por encima del umbral de percolación. Easo y Hutchcroft se propusieron demostrarlo.

Se basaron en una técnica que se puede considerar como "ampliar la lente". Comience en un solo vértice. Luego aleje el zoom para ver todos los vértices que están a solo un borde de distancia en el gráfico original. En la cuadrícula, ahora podrá ver cinco vértices en total. Amplíe la lente nuevamente para ver todos los vértices dentro de una distancia de dos aristas, y luego una distancia de tres aristas, cuatro aristas, etc.

Easo y Hutchcroft configuraron el dial que determina cuántos enlaces hay cerca de donde vieron un gran grupo. Luego ampliaron la lente y observaron que cada vez se juntaban más bordes en su gran grupo. Al hacerlo, tuvieron que aumentar la probabilidad de que estuvieran presentes enlaces, lo que facilita mostrar que el gráfico tiene un componente conectado grande. Se trata de un delicado acto de equilibrio. Necesitaban ampliar el campo de visión lo suficientemente rápido y agregar enlaces lo suficientemente lento como para revelar el gráfico infinito completo sin cambiar drásticamente la posición del dial.

Pudieron demostrar que los grupos grandes crecen más rápido que los más pequeños, de modo que, como dijo Easo, "tu grupo crece cada vez más rápido a medida que se hace cada vez más grande, como cuando estás haciendo rodar una bola de nieve".

Para la cuadrícula, el número de vértices crece relativamente lentamente. Es aproximadamente el ancho de tu lente al cuadrado. Después de 10 pasos, encontrarás alrededor de 100 vértices. Pero un árbol de 3 regulares crece exponencialmente más rápido: aproximadamente 2 elevado a la potencia del ancho de su lente. Después de 10 pasos, verá aproximadamente 1,024 vértices. La siguiente ilustración muestra cómo el árbol de 3 regulares es mucho más grande después de sólo siete pasos, aunque la cuadrícula cuadrada tiene más vértices al principio. En general, los gráficos pueden tener diferentes tasas de crecimiento en diferentes escalas; pueden comenzar rápido y luego disminuir.

En 2018, Hutchcroft usé una idea similar para probar la conjetura de la localidad para gráficos de rápido crecimiento como el árbol de 3 regulares. Pero no funcionó para gráficos de crecimiento lento como la cuadrícula, o para gráficos que crecen a velocidad intermedia, sin cumplir ni los criterios matemáticos de crecimiento rápido ni los de crecimiento lento.

"Aquí es donde las cosas se vuelven realmente frustrantes durante unos tres años", dijo Hutchcroft.

Estructura versus expansión

Para gráficos que combinen tasas de crecimiento en diferentes escalas, es necesario utilizar una variedad de técnicas.

Un hecho muy útil es que, como explicó Easo, “si un gráfico parece de crecimiento lento en alguna escala, entonces se estanca”. Continuará creciendo lentamente a escalas mayores. Debido a que los gráficos de crecimiento lento tienen una estructura adicional determinada por una rama de las matemáticas llamada teoría de grupos, también se sabía que si se alejaba lo suficiente, los gráficos de crecimiento lento mostraban una geometría matemáticamente mansa.

En 2021, Sébastien Martineau de la Universidad de la Sorbona en París, en colaboración con Daniel Contreras y vicente tassion de ETH Zurich, pudo utilizar esta propiedad para probar la conjetura de localidad de Schramm para gráficos que eventualmente crecen lentamente.

En este punto, los dos grupos de matemáticos habían abordado con éxito la conjetura desde diferentes direcciones: crecimiento rápido y crecimiento lento. Pero esto dejó lagunas considerables. Por un lado, hay una categoría de crecimiento intermedio que no estaba cubierta por la técnica de Easo y Hutchcroft ni por la prueba de Contreras, Martineau y Tassion. Otro problema fue que los argumentos todavía no se aplicaban a los gráficos con tasas de crecimiento cambiantes, sólo a los que se mantenían rápidos o lentos. Para que el argumento de Contreras, Martineau y Tassion se pudiera aplicar a gráficos arbitrarios, no era suficiente que la geometría finalmente pareciera mansa cuando se alejaba el zoom, explicó Easo: "Necesitamos que parezca mansa ahora, cerca de la escala actual".

El medio de la nada

Las gráficas transitivas de crecimiento intermedio son muy misteriosas. Los matemáticos nunca han encontrado un ejemplo de gráfico transitivo cuyo crecimiento caiga en este rango. Es posible que ni siquiera existan. Pero los matemáticos no han demostrado que no existen, por lo que cualquier prueba completa de la conjetura de localidad de Schramm debe abordarlos. Para aumentar el desafío, Easo y Hutchcroft necesitaban abordar gráficos que podrían tener solo brevemente un crecimiento intermedio en una escala de longitud particular, incluso si crecen más rápido o más lento cuando se acerca o se aleja.

Easo y Hutchcroft pasaron gran parte del año pasado trabajando para ampliar sus resultados y aplicarlos a gráficos que no estaban cubiertos por ninguno de los métodos anteriores.

Primero, modificaron la técnica de 2018 que Hutchcroft había aplicado a gráficos de rápido crecimiento para trabajar en gráficos que cambian los niveles de crecimiento en diferentes escalas. Luego abordaron el caso del crecimiento lento, en un papel de 27 páginas compartieron en agosto que ampliaron el trabajo sobre Contreras, Martineau y Tassion. Finalmente, en su preimpresión de octubre, idearon otro argumento utilizando la teoría de los paseos aleatorios (líneas que se mueven aleatoriamente a través del espacio) para abordar el caso del crecimiento intermedio. Una vez completada la tricotomía, habían demostrado la conjetura de localidad de Schramm.

"Tuvimos que aplicar todo lo que sabíamos al problema", dijo Hutchcroft.

La solución brinda a los matemáticos una mejor idea de lo que sucede por encima del umbral de percolación, donde la probabilidad de que se forme un grupo infinito es del 100%, y por debajo de él, donde la probabilidad es del 0%. Pero los matemáticos todavía están desconcertados por lo que sucede exactamente en el umbral de la mayoría de los gráficos, incluida la cuadrícula tridimensional. "Esa es probablemente la pregunta abierta más famosa y básica de la teoría de la percolación", dijo russell lyons de la Universidad de Indiana.

La cuadrícula bidimensional es uno de los pocos casos en los que los matemáticos han demostrado lo que sucede exactamente en el umbral: no se forman grupos infinitos. Y después de que Grimmett y Marstrand demostraron una versión de la conjetura de la localidad para losas grandes, Grimmett y sus colaboradores demostraron que si se corta una cuadrícula 3D por la mitad horizontalmente, creando un piso, y se ajusta el dial exactamente al umbral de percolación, no aparecen grupos infinitos. Su resultado sugiere que la red tridimensional completa, al igual que su contraparte bidimensional, podría no tener un grupo infinito en el umbral de percolación.

En 1996, Benjamini y Schramm conjeturado que la posibilidad de encontrar un grupo infinito justo en el umbral es cero para todos los gráficos transitivos, tal como lo es para la cuadrícula 2D o para la cuadrícula 3D cortada por la mitad. Ahora que se ha resuelto la conjetura de la localidad, la comprensión de lo que sucede justo en el punto de transición podría estar un poco más cerca.

Corrección: 18 de diciembre de 2023
El número de nodos dentro de n enlaces de un nodo inicial en un gráfico de 3 regulares crece aproximadamente 2ⁿno 3ⁿ como decía originalmente este artículo. El artículo ha sido corregido.

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