Colorear por números revela patrones aritméticos en fracciones

Un año después de que comenzara su Ph.D. en matemáticas en la Universidad McGill, Matt Bowen tenía un problema. “Tomé mis exámenes de calificación y me fue absolutamente horrible en ellos”, dijo. Bowen estaba seguro de que sus puntajes no reflejaban sus habilidades matemáticas y decidió demostrarlo. El otoño pasado lo hizo, cuando él y su asesor, marcin sabok, publicó un gran avance en el campo conocido como Teoría de Ramsey.

Durante casi un siglo, los teóricos de Ramsey han estado reuniendo evidencia de que la estructura matemática persiste en circunstancias hostiles. Pueden separar grandes conjuntos de números como los enteros o las fracciones, o cortar las conexiones entre los puntos de una red. Luego encuentran formas de demostrar que ciertas estructuras son inevitables, incluso si intentas evitar crearlas rompiéndolas o rebanándolas de una manera inteligente.

Cuando los teóricos de Ramsey hablan de dividir un conjunto de números, a menudo usan el lenguaje de colorear. Elige varios colores: rojo, azul y amarillo, por ejemplo. Ahora asigne un color a cada número en una colección. Incluso si hace esto de forma aleatoria o caótica, inevitablemente surgirán ciertos patrones siempre que use solo un número finito de colores diferentes, incluso si ese número es muy grande. Los teóricos de Ramsey intentan encontrar estos patrones, buscando conjuntos estructurados de números que sean "monocromáticos", lo que significa que a todos sus elementos se les ha asignado el mismo color.

Los primeros resultados de coloración se remontan a finales del siglo XIX. En 19, Issai Schur había demostrado que sin importar cómo colorees los números enteros positivos (también conocidos como números naturales), siempre habrá un par de números. x y y tal que x, y, y su suma x+y son todos del mismo color. A lo largo del siglo XX, los matemáticos continuaron trabajando en problemas de coloración. En 20, neil hindman resultado de Schur extendido para incluir un subconjunto infinito de los enteros. Al igual que el teorema de Schur, el de Hindman se aplica sin importar cómo se coloreen los números naturales (con un número finito de crayones). Estos enteros en el conjunto de Hindman no solo son todos del mismo color, sino que si sumas cualquier conjunto de ellos, el resultado también será de ese color. Estos conjuntos se asemejan a los números pares en que, al igual que cualquier suma de números pares es siempre par, también la suma de cualquier número en uno de los conjuntos de Hindman estaría contenida en ese conjunto.

“El teorema de Hindman es una asombrosa pieza matemática”, dijo Sabok. “Es una historia de la que podemos hacer una película”.

Pero Hindman pensó que era posible hacer más. Él creía que se podía encontrar un conjunto monocromático arbitrariamente grande (pero finito) que contenía no solo las sumas de sus miembros, sino también los productos. “He sostenido durante décadas que eso es un hecho”, dijo, y agregó: “No mantengo que puedo probarlo”.

Conjetura de Hindman

Si renuncia a la suma y solo quiere asegurarse de que los productos sean del mismo color, es sencillo adaptar el teorema de Hindman mediante el uso de la exponenciación para transformar las sumas en productos (como lo hace una regla de cálculo).

Sin embargo, luchar con sumas y productos simultáneamente es mucho más difícil. "Es muy difícil hacer que esos dos hablen entre ellos", dijo joel moreira, matemático de la Universidad de Warwick. “Comprender cómo se relacionan la suma y la multiplicación es, en cierto modo, la base de toda la teoría de números, casi”.

Incluso una versión más simple que Hindman sugirió por primera vez en la década de 1970 resultó desafiante. Conjeturó que cualquier coloración de los números naturales debe contener un conjunto monocromático de la forma {x, y, xy, x+y} — dos números x y y, así como su suma y producto. “La gente realmente no hizo ningún progreso en este problema durante décadas”, dijo Bowen. “Y luego, de repente, alrededor de 2010, la gente comenzó a probar más y más cosas al respecto”.

Bowen aprendió sobre el {x, y, xy, x+y} problema en 2016, su segundo semestre de universidad, cuando uno de sus profesores en la Universidad Carnegie Mellon describió el problema en clase. Bowen quedó impresionado por su simplicidad. “Es una de esas cosas geniales donde es como, bueno, no sé mucho de matemáticas, pero puedo entender esto”, dijo.

En 2017, Moreira demostrado esa Usted podemos hacerlo encuentre un conjunto monocromático que contenga tres de los cuatro elementos deseados: x, xyy x + y. Mientras tanto, Bowen comenzó a jugar casualmente con la pregunta durante su último año. “En realidad no pude resolver el problema”, dijo. “Pero volvía a hacerlo cada seis meses más o menos”. Después de su mala actuación en su Ph.D. exámenes de calificación en 2020, redobló sus esfuerzos. Unos días más tarde, había demostrado el {x, y, xy, x+y} conjetura para el caso de dos colores, resultado que Ron Graham ya había demostrado allá por los años 1970 con la ayuda de un ordenador.

Con ese éxito, Bowen trabajó con Sabok para extender el resultado a cualquier número de colores. Pero rápidamente se enredaron en detalles técnicos. “La complejidad del problema crece completamente fuera de control cuando la cantidad de colores es grande”, dijo Sabok. Durante 18 meses, intentaron escapar, con poca suerte. “Durante este año y medio, tuvimos alrededor de un millón de pruebas incorrectas”, dijo Sabok.

Una dificultad en particular impidió que los dos matemáticos progresaran. Si elige dos enteros al azar, probablemente no podrá dividirlos. La división solo funciona en el raro caso de que el primer número sea múltiplo del segundo. Esto resultó ser extremadamente limitante. Al darse cuenta de eso, Bowen y Sabok giraron para probar el {x, y, xy, x+y} conjetura en los números racionales (como los matemáticos llaman fracciones) en su lugar. Allí, los números se pueden dividir con abandono.

La prueba de Bowen y Sabok es más elegante cuando todos los colores involucrados aparecen con frecuencia en los números racionales. Los colores pueden aparecer “frecuentemente” de varias maneras diferentes. Cada uno de ellos podría cubrir grandes porciones de la recta numérica. O podría significar que no puedes viajar demasiado lejos a lo largo de la recta numérica sin ver todos los colores. Por lo general, sin embargo, los colores no se ajustan a tales reglas. En esos casos, puede concentrarse en regiones pequeñas dentro de los números racionales donde los colores aparecen con mayor frecuencia, explicó Sabok. “Aquí es donde vino la mayor parte del trabajo”, dijo.

En octubre de 2022, Bowen y Sabok publicaron una prueba de que si coloreas los números racionales con una cantidad finita de colores, habrá un conjunto de la forma {x, y, xy, x+y} cuyos elementos tienen todos el mismo color. “Es una prueba increíblemente inteligente”, dijo Imre líder de la Universidad de Cambridge. “Utiliza resultados conocidos. Pero los combina de una manera absolutamente brillante, muy original, muy innovadora”.

Quedan muchas preguntas. ¿Puede un tercer número z añadirse a la colección, junto con las sumas y productos resultantes? Satisfacer las predicciones más audaces de Hindman significaría agregar un cuarto, un quinto y eventualmente arbitrariamente muchos números nuevos a la secuencia. También requeriría pasar de los números racionales a los números naturales y encontrar una forma de sortear el enigma de la división que obstaculizó los esfuerzos de Bowen y Sabok.

Leader cree que con Moreira, Bowen y Sabok trabajando en el problema, la prueba puede no estar muy lejos. “Esos muchachos parecen particularmente brillantes para encontrar nuevas formas de hacer las cosas”, dijo. “Así que soy un poco optimista de que ellos o algunos de sus colegas puedan encontrarlo”.

Sabok es más cauteloso en sus predicciones. Pero no descarta nada. “Uno de los encantos de las matemáticas es que antes de obtener una prueba, todo es posible”, dijo.