Graduado de primer año encuentra conjunto de números paradójicos | Revista Cuanta

Los matemáticos se regocijan cuando demuestran que existen cosas aparentemente imposibles. Tal es el caso de un nueva prueba publicado en línea en marzo por Cédric Pilatte, un estudiante graduado de primer año en la Universidad de Oxford.

Pilatte demostró que es posible crear un conjunto —una colección de números— que satisfaga dos propiedades aparentemente incompatibles. La primera es que no hay dos pares de números en el conjunto que sumen el mismo total. Por ejemplo, sume dos números cualesquiera en {1, 3, 5, 11} y siempre obtendrá un número único. Es fácil construir pequeños conjuntos de "Sidón" como este, pero a medida que aumenta el número de elementos, también aumenta la probabilidad de que las sumas coincidan, lo que destruye el carácter de Sidón del conjunto.

El segundo requisito es que el conjunto debe ser muy grande. Debe ser infinito, y debería poder generar cualquier número lo suficientemente grande sumando como máximo tres números en el conjunto. Esta propiedad, que convierte al conjunto en una “base asintótica de orden 3”, requiere un conjunto grande y denso de números. “Están tirando en direcciones opuestas”, dijo Pilatte. “Los conjuntos de Sidón están restringidos a ser pequeños, y una base asintótica está restringida a ser grande. No era obvio que pudiera funcionar”.

La cuestión de si existe tal conjunto ha persistido durante décadas, desde que se fue planteado por el prolífico matemático húngaro Paul Erdős y dos colaboradores en 1993. La fascinación de Erdős por los conjuntos de Sidon se remonta a una conversación que tuvo en 1932 con su inventor Simon Sidon, quien en ese momento estaba interesado en comprender la tasa de crecimiento de estos conjuntos. (Erdős describiría más tarde a Sidon como "más loco que el matemático promedio", lo que casi con seguridad quiso decir como un cumplido).

Los conjuntos de Sidón surgen en una variedad de contextos matemáticos que incluyen la teoría de números, la combinatoria, el análisis armónico y la criptografía, pero la simple pregunta de cuán grandes pueden llegar a ser ha sido un misterio perdurable que Erdős reflexionó durante gran parte de su carrera. Erdős se dio cuenta pronto de que los decorados de Sidón son extremadamente difíciles de escalar. En 1941, él y otro matemático demostrado que el conjunto de Sidón más grande posible cuyos miembros son todos menores que algún número entero N tiene que ser menor que la raiz cuadrada de N más un término que crece en proporción a la raíz cuarta de N. (Para 1969, Bernt Lindström demostraría que es más pequeño que $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$, y en 2021 otro grupo de matemáticos apretó el límite a $latex sqrt{N}+0.998 veces sqrt[4]{N}$.) Los conjuntos de Sidón, en otras palabras, tienen que ser escasos.

Desde hace tiempo se sabe que un conjunto de Sidón no puede ser una base asintótica de orden 2, donde cualquier número entero se puede expresar como la suma de dos números como máximo. (Los números impares, por ejemplo, forman una base de orden 2). Como explicó Pilatte, esto es tan simple de demostrar que los matemáticos no se molestaron en escribirlo: "El orden 2 es imposible probablemente se sabía mucho antes de que se escribiera explícitamente en la literatura". Explicó que esto se debe a que “las secuencias de Sidón no pueden superar una cierta densidad, mientras que las bases asintóticas de orden 2 siempre son más densas que ese umbral, por lo que las dos propiedades no pueden mantenerse a la vez”.

En general, se creía que se podía construir una base asintótica de orden 3 a partir de un conjunto de Sidón, pero probar esto era otro asunto. “La gente creía que esto debería ser cierto”, dijo el asesor de Pilatte. james maynard. “Pero había una dificultad con las técnicas que estábamos usando”.

Se habían hecho algunos progresos antes de que Pilatte aceptara el desafío. En 2010, el matemático húngaro Sándor Kiss mostró que un conjunto de Sidón puede ser una base asintótica de orden 5 —lo que significa que cualquier número suficientemente grande puede escribirse como la suma de cinco elementos del conjunto como máximo— y en 2013 Kiss y dos de sus colegas demostrado la conjetura para una base asintótica de orden 4. Dos años más tarde, el matemático español Javier Cilleruelo tomó estos resultados un paso más allá demostrando que es posible construir un conjunto de Sidón que sea una base asintótica de orden 3 + e, lo que significa que cualquier número suficientemente grande N puede escribirse como la suma de cuatro miembros del conjunto de Sidón, uno de ellos menor que N^e para positivo arbitrariamente pequeño e.

Estos hallazgos se obtuvieron utilizando variaciones de un método probabilístico iniciado por Erdős que implica generar un conjunto aleatorio de números enteros y modificarlo ligeramente para crear un conjunto que satisfaga ambas propiedades.

Pilatte se dio cuenta de que el método probabilístico había llegado hasta donde podía llegar. “Puedes obtener una base de orden 4 usando métodos probabilísticos, pero no puedes obtener una base de orden 3”, dijo. “Simplemente falla”.

Así que Pilatte tomó un rumbo diferente, recurriendo en cambio a un procedimiento que utiliza los logaritmos de los números primos como bloques de construcción de los conjuntos de Sidón. Desarrollado por el teórico de números húngaro imre ruzsa y Cilleruelo, este enfoque produce conjuntos de Sidón más grandes y densos que el método probabilístico, que Pilatte necesitaba para crear una base de bajo orden que también obedeciera a la propiedad de Sidón. Pero el método requería una facilidad con los números primos de la que carecían incluso los expertos más destacados del mundo. “Necesitaría una comprensión de los números primos que va más allá de lo que tenemos”, dijo Pilatte. “Así que eso no estuvo bien”.

La búsqueda de una solución llevó a Pilatte en una dirección inesperada, lejos de la teoría de números aditivos y hacia el mundo de la geometría algebraica, una rama de las matemáticas que estudia la relación entre formas geométricas, como curvas y superficies, y las ecuaciones que las definen. Empleando una idea de Cilleruelo, Pilatte comenzó reemplazando números con polinomios, lo que inmediatamente hizo que el problema fuera más manejable.

Un polinomio es una expresión algebraica formada por una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto de un coeficiente constante y una o más variables elevadas a potencias enteras no negativas. Los términos se pueden combinar usando sumas, restas y multiplicaciones. Por ejemplo, 3x² + 22x + 35 es un polinomio con tres términos. Factorizar un polinomio significa dividirlo en un producto de otros polinomios más simples. En este ejemplo, 3x² + 22x + 35 = (x + 5) (3x + 7). Un polinomio irreducible, uno que no se puede factorizar, es el análogo de un número primo.

Cambiar números enteros por variables y coeficientes puede sonar extraño, pero tienen más en común de lo que piensas. "Resulta que los polinomios se comportan de manera muy similar a los números enteros", dijo el colega de Pilatte en Oxford. flor de thomas. “Puedo sumarlos, restarlos, multiplicarlos, dividirlos”. Y en algunos aspectos, los matemáticos entienden los polinomios mucho mejor que los números. “Todas estas cosas que, con los números primos, nos suenan a ciencia ficción son conocidas en el mundo de los polinomios”, dijo Maynard.

El uso del resultado reciente por el matemático de la Universidad de Columbia Will Sawin sobre la distribución de polinomios irreducibles en progresiones aritméticas, Pilatte pudo construir un conjunto que poseía la cantidad justa de aleatoriedad y la densidad justa de números para satisfacer las restricciones de Erdős.

“Estaba extremadamente feliz”, dijo Pilatte. “Me estoy uniendo al grupo de personas aquí que han resuelto un problema de Erdős, y es divertido”.

Pero lo que más lo deleita es la forma sorprendente en que llegó a la solución. “Es genial que estas técnicas tan profundas de la geometría algebraica también se puedan usar para esta pregunta simple y concreta sobre conjuntos de números”, dijo.

Los problemas de Erdő tienen una extraña habilidad para descubrir conexiones entre ramas de las matemáticas supuestamente no relacionadas, y los descubrimientos que hacen los matemáticos al tratar de responderlos a menudo son más significativos que las respuestas mismas. “Son engañosos por su profundidad, y la solución de Cédric es un gran ejemplo de esto”, dijo Bloom. "Estoy seguro de que Erdős habría estado encantado".

Corrección: Sábado, Junio 5, 2023
Este artículo originalmente dio un ejemplo de un conjunto de Sidón que en realidad no es un conjunto de Sidón. Ese ejemplo ha sido eliminado.