Introducción
Durante siglos, los matemáticos han buscado comprender y modelar el movimiento de los fluidos. Las ecuaciones que describen cómo las ondas arrugan la superficie de un estanque también han ayudado a los investigadores a predecir el clima, diseñar mejores aviones y caracterizar cómo fluye la sangre a través del sistema circulatorio. Estas ecuaciones son engañosamente simples cuando están escritas en el lenguaje matemático correcto. Sin embargo, sus soluciones son tan complejas que dar sentido incluso a preguntas básicas sobre ellas puede ser prohibitivamente difícil.
Quizás la más antigua y destacada de estas ecuaciones, formulada por Leonhard Euler hace más de 250 años, describe el flujo de un fluido ideal e incompresible: un fluido sin viscosidad ni fricción interna, que no puede forzarse en un volumen más pequeño. "Casi todas las ecuaciones de fluidos no lineales se derivan de las ecuaciones de Euler", dijo Tarek Elgindi, un matemático de la Universidad de Duke. “Son los primeros, se podría decir”.
Sin embargo, aún se desconoce mucho sobre las ecuaciones de Euler, incluido si siempre son un modelo preciso del flujo de fluido ideal. Uno de los problemas centrales en la dinámica de fluidos es averiguar si las ecuaciones alguna vez fallan, generando valores sin sentido que las hacen incapaces de predecir los estados futuros de un fluido.
Los matemáticos han sospechado durante mucho tiempo que existen condiciones iniciales que hacen que las ecuaciones se rompan. Pero no han podido demostrarlo.
In una preimpresión publicado en línea el mes pasado, un par de matemáticos ha demostrado que una versión particular de las ecuaciones de Euler a veces falla. La prueba marca un gran avance y, aunque no resuelve por completo el problema de la versión más general de las ecuaciones, ofrece la esperanza de que tal solución finalmente esté al alcance de la mano. “Es un resultado increíble”, dijo Tristán Buckmaster, un matemático de la Universidad de Maryland que no participó en el trabajo. “No hay resultados de este tipo en la literatura”.
Solo hay una trampa.
La prueba de 177 páginas, el resultado de un programa de investigación de una década, hace un uso significativo de las computadoras. Podría decirse que esto dificulta que otros matemáticos lo verifiquen. (De hecho, todavía están en el proceso de hacerlo, aunque muchos expertos creen que el nuevo trabajo resultará ser correcto). También los obliga a tener en cuenta cuestiones filosóficas sobre qué es una "prueba" y qué significará. decir si la única forma viable de resolver cuestiones tan importantes en el futuro es con la ayuda de las computadoras.
Avistando a la Bestia
En principio, si conoce la ubicación y la velocidad de cada partícula en un fluido, las ecuaciones de Euler deberían poder predecir cómo evolucionará el fluido en todo momento. Pero los matemáticos quieren saber si ese es realmente el caso. Quizás en algunas situaciones, las ecuaciones procederán como se esperaba, produciendo valores precisos para el estado del fluido en un momento dado, solo para que uno de esos valores se dispare repentinamente hasta el infinito. En ese punto, se dice que las ecuaciones de Euler dan lugar a una "singularidad" o, más dramáticamente, a "explotar".
Una vez que lleguen a esa singularidad, las ecuaciones ya no podrán calcular el flujo del fluido. Pero "hace unos años, lo que la gente podía hacer estaba muy, muy lejos de [probar la explosión]", dijo charlie fefferman, matemático de la Universidad de Princeton.
Se vuelve aún más complicado si está tratando de modelar un fluido que tiene viscosidad (como lo hacen casi todos los fluidos del mundo real). Un Millenium Prize de un millón de dólares del Clay Mathematics Institute espera a cualquiera que pueda demostrar si ocurren fallas similares en las ecuaciones de Navier-Stokes, una generalización de las ecuaciones de Euler que explica la viscosidad.
En 2013, Tomas Hou, matemático del Instituto de Tecnología de California, y guo luo, ahora en la Universidad Hang Seng de Hong Kong, propuso un escenario en el que las ecuaciones de Euler conducirían a una singularidad. Desarrollaron una simulación por computadora de un fluido en un cilindro cuya mitad superior giraba en el sentido de las agujas del reloj mientras que su mitad inferior giraba en el sentido contrario a las agujas del reloj. Mientras ejecutaban la simulación, corrientes más complicadas comenzaron a moverse hacia arriba y hacia abajo. Eso, a su vez, condujo a un comportamiento extraño a lo largo del límite del cilindro donde se encontraban flujos opuestos. La vorticidad del fluido, una medida de la rotación, creció tan rápido que parecía a punto de estallar.
El trabajo de Hou y Luo fue sugerente, pero no una verdadera prueba. Eso es porque es imposible que una computadora calcule valores infinitos. Puede estar muy cerca de ver una singularidad, pero en realidad no puede alcanzarla, lo que significa que la solución puede ser muy precisa, pero sigue siendo una aproximación. Sin el respaldo de una prueba matemática, el valor de la vorticidad solo parecería aumentar hasta el infinito debido a algún artefacto de la simulación. En cambio, las soluciones podrían crecer a un número enorme antes de volver a hundirse.
Tales reversiones habían ocurrido antes: una simulación indicaría que un valor en las ecuaciones explotó, solo para que métodos computacionales más sofisticados mostraran lo contrario. “Estos problemas son tan delicados que el camino está lleno de restos de simulaciones anteriores”, dijo Fefferman. De hecho, así es como Hou comenzó en esta área: varios de sus primeros resultados refutan la formación de singularidades hipotéticas.
Aún así, cuando él y Luo publicaron su solución, la mayoría de los matemáticos pensaron que era muy probable que fuera una verdadera singularidad. “Fue muy meticuloso, muy preciso”, dijo vladimir sverak, matemático de la Universidad de Minnesota. “Realmente hicieron todo lo posible para establecer que este es un escenario real”. Trabajo posterior de Elgindi, Sverak y otros sólo fortaleció esa convicción.
Pero una prueba era esquiva. “Has visto a la bestia”, dijo Fefferman. "Entonces tratas de capturarlo". Eso significó mostrar que la solución aproximada que Hou y Luo simularon tan cuidadosamente es, en un sentido matemático específico, muy, muy cerca de una solución exacta de las ecuaciones.
Ahora, nueve años después de ese primer avistamiento, Hou y su antiguo estudiante de posgrado Jiajie Chen finalmente han logrado probar la existencia de esa singularidad cercana.
La mudanza a una tierra autosimilar
Hou, al que más tarde se unió Chen, aprovechó el hecho de que, tras un análisis más detallado, la solución aproximada de 2013 parecía tener una estructura especial. A medida que las ecuaciones evolucionaron a lo largo del tiempo, la solución mostró lo que se llama un patrón autosimilar: su forma posterior se parecía mucho a su forma anterior, solo que se reescaló de una manera específica.
Como resultado, los matemáticos no necesitaban tratar de observar la singularidad en sí. En cambio, podrían estudiarlo indirectamente centrándose en un punto anterior en el tiempo. Al hacer zoom en esa parte de la solución a la velocidad correcta, determinada en función de la estructura autosimilar de la solución, podrían modelar lo que sucedería más adelante, incluso en la singularidad misma.
Les tomó algunos años encontrar un análogo similar al escenario de explosión de 2013. (A principios de este año, otro equipo de matemáticos, que incluía a Buckmaster, usó diferentes métodos para encontrar una solución aproximada similar. Actualmente están usando esa solución para desarrollar una prueba independiente de formación de singularidades).
Con una solución autosimilar aproximada en la mano, Hou y Chen necesitaban demostrar que existe una solución exacta cercana. Matemáticamente, esto es equivalente a demostrar que su solución autosimilar aproximada es estable, que incluso si la perturbaras ligeramente y luego desarrollaras las ecuaciones a partir de esos valores perturbados, no habría forma de escapar de una pequeña vecindad alrededor de la solución aproximada. “Es como un agujero negro”, dijo Hou. “Si comienzas con un perfil cercano, serás absorbido”.
Pero tener una estrategia general era solo un paso hacia la solución. “Los detalles quisquillosos importan”, dijo Fefferman. A medida que Hou y Chen pasaron los siguientes años trabajando en esos detalles, descubrieron que tenían que confiar en las computadoras una vez más, pero esta vez de una manera completamente nueva.
Un enfoque híbrido
Entre sus primeros desafíos estaba averiguar la declaración exacta que tenían que probar. Querían demostrar que si tomaban cualquier conjunto de valores cercanos a su solución aproximada y lo conectaban a las ecuaciones, el resultado no podría desviarse mucho. Pero, ¿qué significa que una entrada esté "cerca" de la solución aproximada? Tuvieron que especificar esto en una declaración matemática, pero hay muchas maneras de definir la noción de distancia en este contexto. Para que su prueba funcionara, necesitaban elegir la correcta.
“Tiene que medir diferentes efectos físicos”, dijo rafael de la llave, matemático del Instituto de Tecnología de Georgia. “Por lo tanto, debe elegirse utilizando una comprensión profunda del problema”.
Una vez que supieron la forma correcta de describir la "cercanía", Hou y Chen tuvieron que probar la afirmación, que se redujo a una desigualdad complicada que involucraba términos tanto de las ecuaciones reescaladas como de la solución aproximada. Los matemáticos tenían que asegurarse de que los valores de todos esos términos se equilibraran en algo muy pequeño: si un valor terminaba siendo grande, otros valores tenían que ser negativos o mantenerse bajo control.
“Si haces algo demasiado grande o demasiado pequeño, todo se desmorona”, dijo. Javier Gómez Serrano, un matemático de la Universidad de Brown. “Así que es un trabajo muy, muy cuidadoso y delicado”.
“Es una pelea realmente feroz”, agregó Elgindi.
Para obtener los límites estrictos que necesitaban en todos estos términos diferentes, Hou y Chen dividieron la desigualdad en dos partes principales. La primera parte la pudieron hacer a mano, con técnicas que incluyen una que data del siglo XVIII, cuando el matemático francés Gaspard Monge buscó una forma óptima de transportar suelo para construir fortificaciones para el ejército de Napoleón. “Cosas como esta se han hecho antes, pero me pareció sorprendente que [Hou y Chen] lo usaran para esto”, dijo Fefferman.
Eso dejó la segunda parte de la desigualdad. Abordarlo requeriría asistencia informática. Para empezar, había que hacer tantos cálculos y tanta precisión que “la cantidad de trabajo que tendrías que hacer con lápiz y papel sería asombrosa”, dijo de la Llave. Para equilibrar varios términos, los matemáticos tuvieron que realizar una serie de problemas de optimización que son relativamente fáciles para las computadoras pero que consumen mucho tiempo para los humanos. Algunos de los valores también dependían de cantidades de la solución aproximada; dado que eso se calculó usando una computadora, fue más sencillo usar también una computadora para realizar estos cálculos adicionales.
“Si trata de hacer manualmente algunas de estas estimaciones, probablemente sobreestimará en algún momento y luego perderá”, dijo Gómez-Serrano. "Los números son tan pequeños y ajustados... y el margen es increíblemente pequeño".
Pero debido a que las computadoras no pueden manipular una cantidad infinita de dígitos, inevitablemente ocurren pequeños errores. Hou y Chen tuvieron que rastrear cuidadosamente esos errores para asegurarse de que no interfirieran con el resto del acto de equilibrio.
Finalmente, pudieron encontrar límites para todos los términos, completando la prueba: las ecuaciones de hecho habían producido una singularidad.
Prueba por computadora
Queda abierto si ecuaciones más complicadas (las ecuaciones de Euler sin la presencia de un límite cilíndrico y las ecuaciones de Navier-Stokes) pueden desarrollar una singularidad. “Pero [este trabajo] al menos me da esperanza”, dijo Hou. “Veo un camino a seguir, una manera de quizás incluso resolver el problema del Milenio por completo”.
Mientras tanto, Buckmaster y Gómez-Serrano están trabajando en su propia prueba asistida por computadora, una que esperan que sea más general y, por lo tanto, capaz de abordar no solo el problema que resolvieron Hou y Chen, sino también muchos otros.
Estos esfuerzos marcan una tendencia creciente en el campo de la dinámica de fluidos: el uso de computadoras para resolver problemas importantes.
“En varias áreas diferentes de las matemáticas, está ocurriendo cada vez con más frecuencia”, dijo Susana Friedlander, matemático de la Universidad del Sur de California.
Pero en mecánica de fluidos, las pruebas asistidas por computadora son todavía una técnica relativamente nueva. De hecho, cuando se trata de afirmaciones sobre la formación de singularidades, la prueba de Hou y Chen es la primera de su tipo: las pruebas asistidas por computadora anteriores solo podían abordar los problemas de los juguetes en el área.
Tales pruebas no son tan controvertidas como "una cuestión de gusto", dijo Pedro Constantino de la Universidad de Princeton. Los matemáticos generalmente están de acuerdo en que una prueba tiene que convencer a otros matemáticos de que alguna línea de razonamiento es correcta. Pero, muchos argumentan, también debería mejorar su comprensión de por qué una declaración en particular es verdadera, en lugar de simplemente proporcionar una validación de que es correcta. “¿Aprendemos algo fundamentalmente nuevo, o simplemente sabemos la respuesta a la pregunta?” dijo Elgindi. “Si ves las matemáticas como un arte, entonces esto no es tan agradable estéticamente”.
“Una computadora puede ayudar. Es maravilloso. Me da una idea. Pero no me da una comprensión completa”, agregó Constantin. “La comprensión viene de nosotros”.
Por su parte, Elgindi todavía espera elaborar una prueba alternativa de explosión completamente a mano. “En general, estoy feliz de que esto exista”, dijo sobre el trabajo de Hou y Chen. “Pero lo tomo más como una motivación para tratar de hacerlo de una manera menos dependiente de la computadora”.
Otros matemáticos ven a las computadoras como una nueva herramienta vital que hará posible atacar problemas que antes eran intratables. “Ahora el trabajo ya no es solo papel y lápiz”, dijo Chen. “Tienes la opción de usar algo más poderoso”.
Según él y otros (incluido Elgindi, a pesar de su preferencia personal por escribir las pruebas a mano), existe una buena posibilidad de que la única forma de resolver grandes problemas en dinámica de fluidos, es decir, problemas que implican ecuaciones cada vez más complicadas, sea confiar en en gran medida en la asistencia informática. “Me parece que tratar de hacer esto sin hacer un uso intensivo de pruebas asistidas por computadora es como atar una o posiblemente dos manos a la espalda”, dijo Fefferman.
Si ese termina siendo el caso y "no tienes otra opción", dijo Elgindi, "entonces las personas... como yo, que dirían que esto es subóptimo, deberían callarse". Eso también significaría que más matemáticos tendrían que comenzar a aprender las habilidades necesarias para escribir pruebas asistidas por computadora, algo que, con suerte, inspirará el trabajo de Hou y Chen. “Creo que había mucha gente que simplemente esperaba que alguien resolviera ese problema antes de invertir su propio tiempo en este enfoque”, dijo Buckmaster.
Dicho esto, cuando se trata de debates sobre hasta qué punto los matemáticos deberían confiar en las computadoras, “no es que debas elegir un bando”, dijo Gómez-Serrano. “La prueba [de Hou y Chen] no funcionaría sin el análisis, y la prueba no funcionaría sin la ayuda de la computadora. … Creo que el valor es que las personas pueden hablar los dos idiomas”.
Con eso, de la Llave dijo, “hay un nuevo juego en la ciudad”.
