Mosaicos de Einstein: ¡la increíble forma de "sombrero" que nunca se repite!

Las matemáticas son un campo complejo y esotérico que sustenta la ciencia y la ingeniería, incluidas especialmente las disciplinas de criptografía y ciberseguridad.

(Allí… hemos añadido una mención a la ciberseguridad, justificando así el resto de este artículo).

El tema de las matemáticas se ha estudiado extensa y fervientemente desde al menos la antigua época babilónica, y los nombres de muchos matemáticos famosos han entrado en nuestro vocabulario cotidiano, en frases como pitagórico triángulos (aquellos que tienen un ángulo recto en ellos), cartesiano geometría (trabajar con formas en superficies planas), computadora algoritmos (secuencias de instrucciones que funcionan de forma iterativa o repetitiva para calcular un resultado), y Penrose embaldosados

Los mosaicos de Penrose, si alguna vez los ha conocido, fueron descubiertos por Sir Roger Penrose en la década de 1970 y trataban formas fascinantes e inusuales de cubrir superficies en combinaciones de formas.

En caso de que te estés preguntando por qué la palabra algoritmo no tiene una letra mayúscula como las demás, eso es porque no es una traducción precisa de un nombre original, sino una palabra derivada de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, un influyente matemático, geógrafo y astrónomo que vivió hace unos 1200 años en un área al este del Mar Caspio y al sur del Mar de Aral, una región ahora dividida entre Uzbekistán y Turkmenistán.

Mosaico hecho funky

Las superficies alicatadas, por supuesto, son comunes, por ejemplo, en baños, cocinas y pasillos.

Y en los techos, por supuesto, pero ignoraremos las tejas en este artículo porque están diseñadas para superponerse, por lo que evitan que entre la lluvia sin necesidad de sellarse individualmente entre sí.

Incluso las áreas alfombradas a menudo se embaldosan, especialmente en las oficinas, de modo que las partes del piso se pueden volver a embaldosar sin romper y reemplazar la alfombra ligeramente usada alrededor de las partes desgastadas.

Si alguna vez visitó la sede central de Sophos en el Reino Unido, por ejemplo, sabrá que es un área en gran parte de planta abierta que está cubierta con moquetas cuadradas en varios tonos suaves de azul y verde claro:

Como puede ver, los mosaicos cuadrados forman lo que se conoce como un patrón periódico, lo que significa que el patrón se repite cada cierto tiempo.

En el ejemplo anterior, la cuadrícula precisa utilizada en el diseño garantiza que el patrón se repita en ambas dimensiones después de mover solo un cuadrado hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha.

Se pueden hacer patrones más complejos y visualmente atractivos, que sin embargo son mosaicos periódicos porque se repiten, con combinaciones regulares de formas simples, como el hepta-pentágono:

O el rombo-tri-hexágono:

mosaicos de penrose

Eso nos lleva a las teselaciones de Penrose.

Aunque Sir Roger Penrose es probablemente más famoso como el ganador del Premio Nobel de Física en 2020, también es conocido por su trabajo en una clase especial de patrones de mosaico conocidos como mosaicos aperiódicos.

A diferencia de las teselaciones periódicas, que se repiten cada cierto tiempo, las teselaciones aperiódicas nunca se repiten, sin importar cuán cuidadosamente elijas la siguiente pieza para colocar y dónde colocarla...

…a pesar de que los mosaicos se basan en un número finito de formas y cubren una superficie infinita sin espacios ni superposiciones.

Las teselaciones periódicas son un poco como los números racionales (fracciones basadas en un número entero dividido por otro), en el sentido de que eventualmente se repiten sin importar lo que hagas.

Si divides 22 entre 7, por ejemplo, obtienes alrededor de 3.142..., muy cerca del valor de Pi, que es alrededor de 3.14159...

Pero 22/7 en realidad sale como 3.142857142857142857... y ese patrón 142857 sigue repitiéndose para siempre, porque el número es la razón (por lo tanto, la descripción número racional) de dos números enteros.

Por el contrario, el verdadero valor de Pi es irracional: no se puede reducir a una razón, y su valor en decimal nunca cae en un patrón repetitivo.

¿Qué pasa con un tipo similar de secuencia que nunca se repite basada no en valores numéricos sino en formas?

¿Necesitaría un número infinito de formas diferentes para garantizar un patrón que nunca se repitiera, o podría hacer su trabajo de mosaico (ciertamente interminable) con un conjunto finito de mosaicos?

Penrose obtuvo la cantidad de formas diferentes necesarias para garantizar mosaicos que no se repiten a solo dos, pero la pregunta ha persistido desde entonces: ¿Puedes encontrar una sola forma, un solo mosaico, que se pueda colocar repetidamente para cubrir una superficie infinita sin repetirse nunca?

En lo que pasa como un juego de palabras matemático, este Santo Grial de mosaicos se conoce como un Einstein, que significa "una forma" en alemán, pero también hace eco del nombre Albert Einstein, de E=mc² fama.

Presentamos... el sombrero

Bueno, un cuarteto de matemáticos encabezado por un buscador de formas británico llamado David Smith afirma que los einsteins existen y ha revelado un triskaidecágono (que es una figura de 13 lados) al que llamaron el Sombrero.

Afirman que han demostrado que el Sombrero genera el resultado largamente buscado de un patrón aperiódico, por sí solo:

En pocas palabras, si coloca baldosas en su piso, en su porche, en su camino de entrada o incluso en el campo de fútbol local con un suministro de baldosas para sombreros...

… eventualmente cubrirá toda la superficie con un patrón que en realidad nunca se repite.

A pesar de que muestra varios "subdiseños" y aparentes similitudes a medida que construye su obra de arte basada en Hat, este es el Pi de las baldosas: intente por mucho que lo intente, nunca obtendrá un patrón regular y periódico de él.

¿Qué hacer?

Ni siquiera vamos a intentar una descripción del prueba aquí, con toda honestidad, aún no hemos logrado digerirlo nosotros mismos, por lo que simplemente le sugerimos que estudialo en tu propio tiempo. (¿Quizás reservar un fin de semana largo para la tarea?

Pero si quieres jugar con el concepto de teselaciones aperiódicas, ¿por qué no te horneas unas galletas Hat, o galletas si eres de Norteamérica?

Si tienes una impresora 3D, ¡puedes descargar un diseño para hacer tu propio cortador de masa con forma de sombrero!

*Ponerse el sombrero del CSO de GinderBread Instruments*.

GinderBread Instruments se enorgullece de presentar un cortador de galletas de mosaico aperiódico impreso en 3D. Basado en el monotile aperiódico de Smith, Myers, Kaplan y Goodman-Strauss.https://t.co/hEdtNCXX1d pic.twitter.com/FoyedYcDM9

— Nikolái Tumanov (@ntumanov_Xray) Marzo 28, 2023

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• Fuente: https://nakedsecurity.sophos.com/2023/04/04/einstein-tilings-the-amazing-hat-shape-that-never-repeats/