Flow Proof ayuda a los matemáticos a encontrar estabilidad en el caos | Revista Cuanta

Como ocurre con tantas cosas en matemáticas, la prueba comenzó con el café. En septiembre de 2019, kathryn mann de la Universidad de Cornell visitó Kingston, Ontario, para dar una conferencia como invitado en la Universidad de Queen. Después, se sentó con su anfitrión, Tomas Barthelme, por lo que se suponía que era una taza de café rápida. Quería obtener su opinión sobre un problema en el que estaba trabajando que involucraba modelos matemáticos llamados sistemas dinámicos, que describen cómo fenómenos tan simples como el movimiento de un péndulo de un lado a otro o tan complejos como el clima evolucionan con el tiempo.

Antes de que se dieran cuenta, habían pasado horas. “Estábamos sentados en esta cafetería, haciendo dibujos, cada uno de nosotros tratando de averiguar lo que el otro estaba tratando de decir”, dijo Mann. “Al principio, pensé, este tipo no tiene sentido”. Pero a medida que aprendieron a hablar los lenguajes matemáticos del otro, ambos se volvieron más optimistas sobre sus posibilidades de encontrar una solución.

A Mann no siempre le gustaron las matemáticas (cuando era niña, no era buena en aritmética), pero fue precisamente este tipo de conversación lo que finalmente la llevó a estudiarlo. Aunque inicialmente estaba interesada en seguir una carrera en filosofía, se dio cuenta de que no era la opción adecuada. Para los filósofos, “una discusión productiva significa poner a prueba su posición frente a la de otra persona”, dijo. “Las matemáticas son todo lo contrario. Hablas con alguien y ambos están en el mismo equipo desde el principio. Si alguien dice: 'Eso no funciona de esa manera', tú dices: 'Oh, cuéntame más'. Encontré ese modo de discurso mucho mejor”.

Barthelmé estaba interesado en sistemas dinámicos particulares llamados flujos de Anosov, que surgen naturalmente en muchas áreas de las matemáticas y actúan como importantes modelos de juguete. Estos sistemas exhiben propiedades aparentemente paradójicas en un solo lugar: caos y estabilidad; rigidez y flexibilidad; la presencia de una estructura geométrica intrínseca en medio de un desierto topológico subyacente.

Cada una de esas propiedades surge en sistemas dinámicos que los matemáticos han querido comprender durante siglos, desde el movimiento de los planetas alrededor del sol hasta la propagación de enfermedades en una población. Pero en tales sistemas, desentrañar estas diferentes características se vuelve irremediablemente complicado. Los flujos de Anosov se definieron como objetos de estudio por derecho propio en la década de 1960 porque exhiben estos comportamientos importantes en un grado extremo, lo que los hace más fáciles de analizar. “Uno espera que una vez que tenga una imagen perfecta de este caso, pueda volver al desordenado mundo real y abordarlo con nuevos ojos”, dijo Mann.

“Al comienzo de la teoría de los sistemas dinámicos, los flujos de Anosov eran como faros que te indicaban la dirección a la que debías ir”, dijo. Étienne Ghys de la École Normale Supérieure de Lyon, Francia.

Sin embargo, han sido increíblemente difíciles de entender. Aunque los matemáticos han progresado mucho en los últimos 60 años, todavía están lejos de lograr la imagen perfecta de la que habló Mann: una clasificación de todos los diferentes tipos de flujos de Anosov.

Ahora, en un serie de documentos recientes, Barthelmé y Mann, junto con steven frankel de la Universidad de Washington en St. Louis, han dado un paso sorprendente hacia esa meta difícil de alcanzar. Al traducir preguntas sobre el movimiento y la forma al lenguaje del álgebra, demostraron que se necesitan relativamente pocos datos para determinar de manera completa y única un flujo de Anosov determinado. (Su resultado también es válido para sistemas dinámicos relacionados pero más generales llamados flujos de pseudo-Anosov). Ocultos en todo ese caos, encontraron una estructura.

Los matemáticos ya han aplicado su resultado para abordar preguntas clave sobre los flujos de Anosov, es decir, cómo construirlos y cuántos de ellos podría haber. “A veces los resultados son importantes porque realmente brindan un nuevo punto de vista sobre el tema”, dijo Rafael Potrie, matemático de la Universidad de la República en Uruguay. “Eso es lo que sucede aquí”.

Una perspectiva geométrica

Desde finales del siglo XIX, cuando el trabajo de Henri Poincaré sobre mecánica celeste impulsó la teoría moderna de los sistemas dinámicos, los matemáticos han pensado en la dinámica a través de la lente de la geometría.

Considere un péndulo. Solo, cuelga verticalmente, inmóvil. Pero si lo levantas y lo sueltas, se moverá de un lado a otro. En un momento dado, el estado del péndulo puede ser capturado por dos piezas de información: su ángulo desde la posición de suspensión vertical y su velocidad. Como resultado, puede representar todos los estados posibles del péndulo como puntos en un plano, lo que se conoce como espacio de estado.

Si comienza en cualquiera de esos puntos, una ecuación diferencial (basada en las leyes de movimiento de Newton) le dice cómo cambiarán el ángulo y la velocidad del péndulo con el tiempo. Este movimiento es capturado por una curva, o "trayectoria", que serpentea a través del espacio de estado. Si cambia el ángulo inicial y la velocidad del péndulo, obtendrá una trayectoria diferente a través del espacio de estado.

Desea estudiar todas esas trayectorias como un único objeto matemático. Esta forma geométrica de codificar su sistema dinámico se llama "flujo". En lugar de pensar en el péndulo creando arcos en el aire, puede estudiar su comportamiento analizando el flujo. En este caso, el flujo consta de elipses anidadas (cada elipse representa una forma en que el péndulo puede oscilar hacia adelante y hacia atrás), así como curvas por encima y por debajo de esas elipses (que representan escenarios en los que el péndulo gira rápidamente como un molinete).

Pero los flujos pueden volverse mucho más complicados, involucrando espacios de estado intrincados y de mayor dimensión. Toma 100 partículas moviéndose e interactuando en el espacio. El flujo que captura su comportamiento es una colección de trayectorias infinitas a través de un espacio de estado de 600 dimensiones. (Para describir solo el estado de una partícula, necesita seis piezas de información: tres números para su posición y tres para la velocidad. Por lo tanto, una descripción de las 100 partículas a la vez requiere 600 números).

Para desarrollar herramientas para estudiar estos sistemas más complicados, los matemáticos necesitaban los campos de prueba adecuados: sistemas lo suficientemente simples para que tuvieran sentido, pero lo suficientemente complicados para reflejar las propiedades que realmente les interesaban.

Ahí es donde entraron en juego los flujos de Anosov.

Estabilidad global, caos local

Incluso antes de que el trabajo de Poincaré del siglo XIX cambiara la forma en que se estudiaban los sistemas dinámicos, los matemáticos estaban interesados ​​en sistemas en los que una partícula toma el camino más corto disponible: la llamada geodésica. En un plano, las partículas siguen un montón de líneas rectas; en la superficie de una esfera, viajan a lo largo de círculos máximos. La topología, o forma global, de la superficie afecta el aspecto de estas rutas.

Un flujo geodésico describe todas las formas posibles en que una partícula puede moverse cuando no está sujeta a ninguna fuerza externa. El espacio de estado, en general, es de cuatro dimensiones: dos de estas dimensiones corresponden a la posición física de la partícula, mientras que las otras dos corresponden a la velocidad con la que se mueve. Pero si está dispuesto a descartar cierta información (si, por ejemplo, no le importa qué tan rápido se mueve la partícula, sino solo en qué dirección está mirando en cualquier momento), podría describir su movimiento usando una figura tridimensional. espacio de Estados. Dos dimensiones describen su posición y la tercera dimensión representa la dirección a la que mira. Así es como los matemáticos suelen pensar en los flujos geodésicos: como una colección de trayectorias a través de un espacio de estado tridimensional.

Estos flujos despertaron el interés de los matemáticos por varias razones. Desde finales del siglo XIX, han permitido a los geómetras y topólogos comprender mejor la estructura de superficies muy complicadas, superficies que son demasiado difíciles de estudiar directamente, pero que se vuelven más tratables cuando observas cómo se mueven las partículas sobre ellas. Y son igualmente cruciales para los dinamicistas, porque muchos sistemas mecánicos en física pueden representarse como flujos geodésicos.

A principios del siglo XX, el matemático francés Jacques Hadamard había comenzado a investigar los flujos geodésicos en superficies "curvadas negativamente", es decir, superficies que parecen una silla de montar en cualquier punto. (Esto es quizás imposible de visualizar, pero matemáticamente útil). Descubrió que este tipo de flujos geodésicos siempre son caóticos: si modificas la posición inicial de una partícula en una pequeña cantidad, terminará en una trayectoria muy diferente, lo que significa que no puede predecir el comportamiento a largo plazo del sistema. (El flujo geodésico en la superficie de una esfera, por otro lado, no tiene esta propiedad).

"De alguna manera, estos sistemas... son máximamente caóticos", dijo andy hammerlindl de la Universidad de Monash en Australia.

En la década de 1960, basándose en el trabajo de Hadamard, el matemático ruso Dmitri Anosov observó que si ajustas ligeramente la ecuación que define el flujo geodésico, todas las trayectorias cambian un poco: puedes mover tu flujo original al nuevo sin cambiar su flujo general. estructura. En circunstancias típicas, dicha estabilidad estructural no está garantizada de ninguna manera, pero lo está para este tipo de flujos geodésicos. “El lema es 'estabilidad global, caos local'”, dijo Mann. “En dinámica, estás realmente interesado en esta confluencia de estabilidad y caos”. Los dos coexisten en muchos sistemas dinámicos, logrando un equilibrio sutil y crucial que los matemáticos han estado tratando de desentrañar desde el trabajo de Poincaré sobre nuestro sistema solar.

Anosov descubrió que tanto el caos como la estabilidad surgen automáticamente en un flujo geodésico porque sus trayectorias convergen y divergen como las líneas dibujadas en un trozo de caramelo cuando se aprieta y se estira.

Anosov generalizó el concepto de un flujo geodésico en una superficie curvada negativamente al escribir condiciones matemáticas particulares para un comportamiento similar al de un caramelo. Estos flujos generalizados ahora llevan su nombre. Cualquier flujo geodésico en una superficie curvada negativamente es uno. Pero Anosov pensó que podría haber toda una letanía de sistemas dinámicos que actúan de esta manera.

Aunque esta definición puede parecer extrañamente específica, tal estiramiento y compresión se pueden encontrar en muchos sistemas dinámicos. Pero no es tan obvio o omnipresente en esos contextos. En un flujo de Anosov, el comportamiento similar a un caramelo aparece en todas partes, lo que lo convierte en un caso extremo y, por lo tanto, en un sistema modelo particularmente bueno para el desarrollo de nuevas herramientas y conocimientos.

Así como los científicos podrían tratar de aprender sobre la expresión génica en una mosca de la fruta antes de pasar a los humanos, los matemáticos han probado resultados sobre propiedades topológicas, estadísticas y de otro tipo en los flujos de Anosov y luego han extendido ese trabajo a otros sistemas dinámicos. Por ejemplo, en la década de 1970, los matemáticos utilizaron lo que sabían sobre los flujos de Anosov (y los sistemas relacionados) para formular una conjetura sobre qué tipos de flujos pueden exhibir estabilidad estructural. En la década de 1990, Shuhei Hayashi de la Universidad de Tokio demostró que era cierto.

Acceso directo a la identificación

Anosov solo pudo encontrar otra familia de sistemas que se ajuste a sus criterios. Pero desde entonces, los matemáticos han descubierto un extenso zoológico de ejemplos. (La mayoría de estos son flujos en un espacio de estado tridimensional. Los flujos de Anosov de dimensiones superiores siguen siendo poco conocidos).

Los matemáticos quieren comprender completamente los flujos de Anosov: encontrar todos los ejemplos de ellos, analizar su estructura, evaluar qué espacios pueden soportarlos y cuáles no, y determinar cuántos flujos diferentes pueden vivir en un espacio determinado.

Pero para hacer algo de eso, primero deben aprender los conceptos básicos, lo que incluye encontrar una buena manera de caracterizar un flujo de Anosov determinado.

Eso es lo que ahora han hecho Barthelmé, Frankel y Mann.

Imagine un flujo de Anosov como una maraña complicada de trayectorias infinitas, que juntas llenan un espacio de estado tridimensional como un hilo. Este espacio de estado es lo que se conoce como variedad. Si hace zoom en cualquier parte de él, se verá como un espacio tridimensional regular, pero globalmente, puede tener una estructura muy complicada, llena de agujeros y otras características extrañas.

Algunas de las trayectorias en la variedad vuelven sobre sí mismas, lo que representa cómo una partícula podría eventualmente regresar a su estado inicial (ocupando la misma posición en una superficie y apuntando en la misma dirección). La mayoría de las trayectorias, sin embargo, nunca regresan al mismo punto: en lugar de formar una trayectoria cerrada, serpentean indefinidamente, un hilo que se desenrolla para siempre.

Los tres matemáticos demostraron que para la mayoría de los flujos de Anosov (así como los flujos de pseudo-Anosov), conocer solo las trayectorias cerradas o "periódicas" le permite determinar completamente todo el sistema. “No estás perdiendo mucho yendo a esta cosa más simple”, dijo Frankel. "En realidad está capturando toda la información". Hay algunas excepciones, pero en esos casos, el trío demostró que solo necesita una información adicional para caracterizar el flujo.

El trabajo proporciona una forma de saber si dos flujos diferentes son equivalentes, es decir, si existe una forma matemática particular de transformar cada trayectoria en un flujo en una trayectoria en el otro. No puedes verificar esto manualmente, trayectoria por trayectoria; necesita un atajo, una forma de identificar el flujo con menos información.

Para obtener este atajo, Barthelmé, Frankel y Mann recurrieron a una herramienta clave del álgebra que los topólogos suelen utilizar: el grupo fundamental.

Una traducción al álgebra

El grupo fundamental es efectivamente una lista de bucles en la variedad (y todas sus combinaciones) que codifican información sobre la forma de la variedad. Considere la superficie de una rosquilla o toro, una variedad bidimensional. Puede construir un bucle comenzando en un punto del toroide, pasando por el agujero y volviendo al punto de partida. Si en lugar de pasar por el agujero, lo rodeas, has formado un segundo bucle. El grupo fundamental del toro es el conjunto de estos dos bucles y todas sus combinaciones (por ejemplo, puedes imaginarte dando dos vueltas al agujero, o pasando por el agujero una vez y luego rodeándolo, y así sucesivamente). El grupo fundamental de una variedad 3D se vuelve más complicado.

Cada trayectoria periódica en un flujo de Anosov dado corresponde a una clase de bucles representados en el grupo fundamental. Según Barthelmé, Frankel y Mann, para la mayoría de los flujos de Anosov (y pseudo-Anosov), conocer este subconjunto es suficiente para permitirle reconstruir todo el flujo. Ni siquiera necesita saber si ciertas trayectorias se entrelazan o cuántas copias de una trayectoria periódica dada hay. Solo a partir de los datos periódicos, puede construir su flujo, primero para obtener objetos de una y dos dimensiones que codifiquen varios aspectos del flujo y, finalmente, para obtener el flujo tridimensional en sí.

“Esto fue una sorpresa para mí”, dijo Barthelmé. “Creo que la gente habría adivinado que no debería ser cierto, porque es información bastante débil”.

Eso es lo que hace que el trabajo sea tan intrigante. “Si eliges una trayectoria al azar, llenará densamente el espacio. Y las trayectorias periódicas no hacen eso. Regresan al punto de partida y no ven la mayor parte del espacio”, dijo Amie Wilkinson de la Universidad de Chicago. Y, sin embargo, si toma esas trayectorias periódicas juntas, puede comprender la estructura completa del flujo. “Esa es la belleza del resultado”.

Todavía hay infinitas trayectorias periódicas en un flujo de Anosov. Pero ese número infinito es "contable", un infinito más pequeño que el número total "incontable" de trayectorias. Es similar a cómo hay infinitas fracciones entre los números 1 y 2, pero muchos más números irracionales como $latex sqrt{2}$ en ese intervalo. Como resultado, reducir un flujo a solo sus trayectorias periódicas puede ser útil para evaluar si dos sistemas son equivalentes.

Barthelmé, Frankel y Mann también encontraron excepciones a su regla: en algunos casos, es posible que dos flujos sean diferentes aunque tengan las mismas trayectorias periódicas. Pero estas excepciones resultaron tener una estructura muy particular, y los matemáticos pudieron determinar que solo se necesitaba un dato más para caracterizarlas.

Desde que terminaron su prueba a fines del año pasado, Barthelmé y Mann se han asociado con sergio fenley, un matemático de la Universidad Estatal de Florida que ha investigado mucho sobre los flujos de Anosov, para caracterizar completamente estas excepciones. En un nuevo documento que aún no han publicado en línea, catalogaron las situaciones que dan lugar a estos flujos más complicados. Al hacerlo, no solo se basaron en el resultado anterior, sino que también terminaron construyendo nuevos flujos que comparten esta propiedad intrigante: que no pueden caracterizarse completamente por sus datos periódicos. “Esto es increíble”, dijo Potrie. “Es como con la astronomía: a veces estás estudiando las órbitas de los planetas y, al comprenderlas mejor, detectas que debería haber algún planeta allí que no conocías. Y eso te dice que apuntes tu telescopio para que lo veas. Creo que eso sucedió en este trabajo”.

“De hecho, brinda una manera muy clara de cerrar este tema”, dijo Fenley. "Hay una especie de objeto malo que puede suceder, pero resulta que el objeto malo no es tan malo".

Conteos y Clasificaciones

Varios matemáticos, incluidos Potrie y Fenley, ya han utilizado el resultado de Barthelmé, Frankel y Mann para completar otras demostraciones sobre sistemas dinámicos relacionados.

Barthelmé y Mann también utilizaron su trabajo para avanzar en una de las preguntas abiertas más importantes sobre los flujos de Anosov: ¿es posible que una variedad 3D determinada admita una cantidad infinita de flujos de Anosov diferentes?

Así como los contornos de la orilla de un río afectan las posibles formas en que puede fluir el agua en un río, la estructura de una variedad afecta qué tipos de flujos dinámicos son posibles. (Los rápidos de aguas bravas no aparecen en planos amplios y planos).

Ya se sabía que muchas variedades 3D no pueden servir como un espacio de estado para ningún flujo de Anosov. Y hace unos años, Mann y Jonathan Bowden, un matemático de la Universidad de Ratisbona en Alemania, demostró que para cualquier número finito de su elección (15,000 15 flujos diferentes, o 15 millones o XNUMX mil millones) usted puede encontrar una variedad 3D que tiene al menos esa cantidad de flujos diferentes. (Otro grupo mostró esto de forma independiente.)

Pero aún no se sabe si puede encontrar una variedad con infinitos flujos de Anosov diferentes. Barthelmé y Mann demostraron ser un caso especial al combinar su nuevo trabajo con otros resultados recientes en un área llamada geometría de contacto. "Definitivamente hay cosas que se están gestando en esta interfaz", dijo Boris Hasselblatt de la Universidad Tufts. “Es nuevo y emocionante”.

Con suerte, todo esto ayudará con el objetivo a largo plazo de clasificar los flujos de Anosov (incluidos los de dimensiones superiores). Pero también proporciona nuevas direcciones para la investigación y brinda a los matemáticos una mejor comprensión de la relación entre la topología y la dinámica. Según Potrie, será intrigante estudiar estos datos periódicos, con su correspondiente estructura de grupo, por derecho propio. “Hay muchas preguntas que se abren, solo porque definieron este objeto, esta extracción”, dijo. “Ahora tenemos que entenderlo”.