Isaac Newton no era conocido por su generosidad de espíritu, y su desdén por sus rivales era legendario. Pero en una carta a su competidor Gottfried Leibniz, ahora conocido como el Epístola Posterior, Newton se muestra nostálgico y casi amigable. En él, cuenta una historia de su época de estudiante, cuando recién comenzaba a aprender matemáticas. Cuenta cómo hizo un gran descubrimiento al equiparar áreas bajo curvas con sumas infinitas mediante un proceso de adivinanzas y comprobaciones. Su razonamiento en la carta es tan encantador y accesible que me recuerda a los juegos de adivinar patrones que les gustan a los niños pequeños.
Todo comenzó cuando el joven Newton leyó el libro de John Wallis. aritmética infinita, una obra fundamental de las matemáticas del siglo XVII. Wallis incluyó un método novedoso e inductivo para determinar el valor de pi, y Newton quería idear algo similar. Empezó con el problema de encontrar el área de un “segmento circular” de ancho ajustable $látex x$. Esta es la región debajo del círculo unitario, definida por $latex y=sqrt{1-x^2}$, que se encuentra sobre la parte del eje horizontal de 0 a $látex x$. aquí $látex x$ podría ser cualquier número del 0 al 1, y 1 es el radio del círculo. El área de un círculo unitario es pi, como bien sabía Newton, por lo que cuando $látex x=1$, el área bajo la curva es un cuarto del círculo unitario, $latexfrac{π}{4}$. Pero para otros valores de $látex x$, no se sabía nada.
Si Newton pudiera encontrar una manera de determinar el área bajo la curva para cada valor posible de $látex x$, podría proporcionarle un medio sin precedentes para aproximar pi. Ese era originalmente su gran plan. Pero en el camino encontró algo aún mejor: un método para reemplazar curvas complicadas con sumas infinitas de bloques de construcción más simples hechos de potencias de $látex x$.
El primer paso de Newton fue razonar por analogía. En lugar de apuntar directamente al área del segmento circular, investigó las áreas de segmentos análogos delimitados por las siguientes curvas:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton sabía que las áreas bajo las curvas en la lista con potencias de números enteros (como $latex frac{0}{2}=0$ y $latex frac{2}{2} = 1$) serían fáciles de calcular, porque se simplifican algebraicamente. Por ejemplo,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
De manera similar, los
Pero tal simplificación no está disponible para la ecuación del círculo — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— o las otras curvas con las potencias medias. En ese momento, nadie sabía cómo encontrar el área debajo de ninguno de ellos.
Afortunadamente, las áreas bajo las curvas con potencias de números enteros eran claras. Toma la curva $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Una regla bien conocida en ese momento para tales funciones permitía a Newton (y a cualquier otra persona) encontrar el área rápidamente: para cualquier potencia de número entero $latex nge 0$, el área bajo la curva $latex y=x^n$ sobre el intervalo de $látex 0$ a $látex x$ viene dada por $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis había adivinado esta regla con su método inductivo, y Pierre de Fermat la demostró de manera concluyente). Armado con esta regla, Newton sabía que el área bajo la curva $latex y_4$ era $latex x- frac{2x^3}{3 } + fracción{x^5}{5}$.
La misma regla le permitió encontrar el área bajo las otras curvas con potencias de números enteros en la lista anterior. Escribamos $latex A_n$ para el área bajo la curva $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, donde $latex n= 0, 1, 2, …$ . Aplicando la regla se obtiene
$látex A_0=x$
$látex A_1 = hspace{.295em}?$
$látex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$látex A_3 = hspace{.295em}?$
$látex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + fracción{1}{5}x^5$
$látex A_5 =hespacio{.295em}? ps
$látex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + fracción{3}{5}x^5 – fracción{1}{7}x^7$
y así. La astuta idea de Newton fue llenar los espacios en blanco, con la esperanza de adivinar $latexA_1$ (la serie del área desconocida del segmento circular) basándose en lo que pudo ver en la otra serie. Una cosa quedó clara de inmediato: cada $latexA_n$ comenzaba simplemente con $latex x$ . Eso sugirió modificar las fórmulas así:
$látex A_0=x$
$látex A_1 = xhespacio{.247em}-hespacio{.247em}?$
$látex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$látex A_3 = xhespacio{.247em}-hespacio{.247em}?$
$látex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + fracción{1}{5}x^5$
$látex A_5 = xhespacio{.247em}-hespacio{.247em}?$
$látex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + fracción{3}{5}x^5 – fracción{1}{7}x^7$.
Luego, para reemplazar el siguiente lote de signos de interrogación, Newton miró los términos $latex x^3$. Con un poco de licencia, podemos ver que incluso $latexA_0$ tenía uno de estos términos cúbicos, ya que podemos reescribirlo como $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Como le explicó Newton a Leibniz, observó “que los segundos términos $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ etc., estaban en progresión aritmética” (se refería al 0, 1, 2, 3 en los numeradores). Sospechando que esta progresión aritmética podría extenderse también a los huecos, Newton supuso que toda la secuencia de numeradores, conocidos y desconocidos, deberían ser números separados por $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “y de ahí que los dos primeros términos de la serie” le interesaran — el todavía desconocido $latex A_1$ , $latex A_3$ y $latex A_5$ — “debería ser $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, etc.”
Por lo tanto, en esta etapa los patrones sugirieron a Newton que $latex A_1$ debería comenzar como
$látex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Este fue un buen comienzo, pero necesitaba más. Mientras buscaba otros patrones, Newton notó que los denominadores en las ecuaciones siempre contenían números impares en orden creciente. Por ejemplo, mira $latex A_6$, que tiene 1, 3, 5 y 7 en sus denominadores. Ese mismo patrón funcionó para $latex A_4$ y $latex A_2$. Suficientemente simple. Ese patrón aparentemente persistió en todos los denominadores de todas las ecuaciones.
Lo que quedaba era encontrar un patrón en los numeradores. Newton examinó $latex A_2$, $latex A_4$ y $latex A_6$ nuevamente y vio algo. En $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ vio un 1 multiplicando el $latex x$ y otro 1 en el término $latexfrac {1}{3}x^3$ (ignoró su signo negativo por el momento). En $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, vio numeradores de 1, 2, 1. Y en $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , vio los numeradores 1, 3, 3, 1. Estos números deberían ser familiares para cualquiera. ¿Quién ha estudiado alguna vez el triángulo de Pascal, una disposición triangular de números que, en su forma más simple, se crea sumando los números de arriba, comenzando con 1 en la parte superior?
En lugar de invocar a Pascal, Newton se refirió a estos numeradores como "potencias del número 11". Por ejemplo, 112 = 121, que es la segunda fila del triángulo, y 113 = 1331, que es el tercero. Hoy en día estos números también se llaman coeficientes binomiales. Surgen cuando expandes las potencias de un binomio como ($latex a +b$), como en $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Con este patrón en la mano, Newton ahora tenía una manera fácil de escribir $latex A_2, A_4, A_6$ y todos los demás números pares. AS
Luego, para extrapolar sus resultados a medias potencias y subíndices impares (y finalmente llegar a la serie que quería, $latex A_1$), Newton necesitaba extender el triángulo de Pascal a un nuevo régimen fantástico: a medio camino entre las filas. Para realizar la extrapolación, derivó una fórmula general para los coeficientes binomiales en cualquier fila dada del triángulo de Pascal (fila $latex m$) y luego introdujo audazmente $latex m= frac{1}{2}$. Y sorprendentemente, funcionó. Eso le dio los numeradores en la serie que buscaba para un círculo unitario, $latexA_1$.
Aquí, en las propias palabras de Newton, está su resumen para Leibniz de los patrones que notó inductivamente hasta esta etapa del argumento:
Empecé a reflexionar que los denominadores 1, 3, 5, 7, etc. estaban en progresión aritmética, de modo que los coeficientes numéricos de los numeradores solo necesitaban investigación. Pero en las áreas dadas alternativamente, estas eran las figuras de potencias del número 11… es decir, primero '1'; luego '1, 1'; tercero, '1, 2, 1'; en cuarto lugar '1, 3, 3, 1'; en quinto lugar, '1, 4, 6, 4, 1', etc. y así comencé a preguntar cómo las cifras restantes de la serie podrían derivarse de las dos primeras cifras dadas, y descubrí que al poner $latex m$ para la segunda figura, el resto se produciría por multiplicación continua de los términos de esta serie,
$látex frac{m-0}{1} veces frac{m-1}{2} veces frac {m-2}{3} veces frac{m-3}{4} veces frac {m-4}{5 }$, etc
… En consecuencia, apliqué esta regla para interponer series entre series, y como, para el círculo, el segundo término era $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, puse $latex m=frac{1}{2}$, y los términos que surgieron fueron
$latex frac {1}{2} veces frac{frac{1}{2}-1}{2}$ o $latex -frac{1}{8}$,
$látex -frac{1}{8} veces frac{frac{1}{2}-2}{3}$ o $látex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} veces frac{frac{1}{2}-3}{4}$ o $latex – frac {5}{128}$,así hasta el infinito. De donde llegué a comprender que el área del segmento circular que quería era
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Finalmente, reemplazando $latex x=1$, Newton podría obtener una suma infinita para $latexfrac{π}{4}$. Fue un hallazgo importante, pero resulta que hay mejores formas de aproximar pi por medio de una suma infinita, como descubrió el propio Newton poco después de esta incursión inicial en este tipo de sumas infinitas, ahora llamadas series de potencias. Eventualmente calculó los primeros 15 dígitos de pi.
Volviendo al problema del segmento circular, Newton se dio cuenta de que la ecuación del círculo en sí (no solo el área debajo de él) también podía representarse mediante una serie de potencias. Todo lo que necesitaba hacer era omitir los denominadores y reducir las potencias de $latex x$ en 1 en la serie de potencias que se muestra arriba. Por lo tanto, fue llevado a suponer que
Para probar si este resultado tenía sentido, Newton lo multiplicó por sí mismo: "Se convirtió en $latex 1-x^2$, y los términos restantes se desvanecieron por la continuación de la serie hasta el infinito".
Retrocediendo un poco de los detalles, vemos aquí varias lecciones sobre la resolución de problemas. Si un problema es demasiado difícil, cámbielo. Si te parece demasiado específico, generalízalo. Newton hizo ambas cosas y obtuvo resultados más importantes y poderosos que los que originalmente buscaba.
Newton no se fijó obstinadamente en un cuarto de círculo. Observó una forma mucho más general, cualquier segmento circular de ancho $latex x$. En lugar de apegarse a $latex x=1$, permitió que $latex x$ corriera libremente de 0 a 1. Eso reveló el carácter binomial de los coeficientes en su serie, la aparición inesperada de números en el triángulo de Pascal y sus generalizaciones, que dejar que Newton viera patrones que Wallis y otros habían pasado por alto. Ver esos patrones le dio a Newton los conocimientos que necesitaba para desarrollar la teoría de las series de potencias de manera mucho más amplia y general.
En su trabajo posterior, la serie de potencias de Newton le proporcionó una navaja suiza para el cálculo. Con ellos, pudo hacer integrales, encontrar raíces de ecuaciones algebraicas y calcular los valores de senos, cosenos y logaritmos. Como él mismo dijo: “Con su ayuda, el análisis llega, casi podría decir, a todos los problemas”.
Moraleja: cambiar un problema no es hacer trampa. es creativo Y puede ser la clave para algo más grande.
