Cómo las matemáticas simples mueven la aguja | Revista Quanta

Imagínese que está conduciendo por la calle en un automóvil sin conductor cuando ve un problema por delante. Un conductor de entrega de Amazon hizo que su camioneta pasara a mitad de camino de un camión de UPS estacionado en doble fila antes de darse cuenta de que no podía pasar. Ahora están estancados. Y tu también.

La calle es demasiado estrecha para hacer un U-ey, por lo que su automóvil mejorado con IA inicia un giro de tres puntos. Primero, el automóvil toma una trayectoria curva hacia una acera. Una vez allí, gira en sentido contrario y retrocede hasta la acera opuesta. Luego gira el volante hacia atrás en la dirección de la primera trayectoria curva, avanzando y alejándose de la obstrucción.

Este sencillo algoritmo geométrico para realizar giros intermedios puede ayudarte a moverte en situaciones difíciles. (Si alguna vez ha estacionado en paralelo, sabe lo que este movimiento de ida y vuelta puede hacer por usted).

Aquí hay un divertido problema matemático sobre cuánto espacio necesitas para girar tu auto, y los matemáticos han estado trabajando en una versión idealizada del mismo durante más de 100 años. Todo comenzó en 1917, cuando el matemático japonés Sōichi Kakeya planteó un problema que se parece un poco a nuestro atasco de tráfico. Supongamos que tienes una aguja infinitamente delgada de longitud 1. ¿Cuál es el área de la región más pequeña en la que puedes girar la aguja 180 grados y devolverla a su posición original? Esto se conoce como el problema de la aguja de Kakeya, y los matemáticos todavía están estudiando variaciones del mismo. Echemos un vistazo a la geometría simple que hace que el problema de la aguja de Kakeya sea tan interesante y sorprendente.

Como muchos problemas matemáticos, éste implica algunos supuestos simplificadores que lo hacen menos realista pero más manejable. Por ejemplo, el largo y el ancho de un automóvil son importantes cuando conduces, pero asumiremos que nuestra aguja tiene un largo de 1 y un ancho de cero. (Esto significa que la aguja en sí tiene un área cero, lo que juega un papel importante al permitirnos resolver el problema). Además, supondremos que la aguja, a diferencia de un automóvil, puede girar alrededor de su extremo delantero, su extremo trasero y su extremo trasero. , o cualquier punto intermedio.

El objetivo es encontrar la región más pequeña que permita que la aguja gire 180 grados. Encontrar lo más pequeño que satisfaga un determinado conjunto de condiciones puede ser un desafío, pero una buena manera de comenzar es buscar cualquier cosa que satisfaga esas condiciones y ver qué se puede aprender a lo largo del camino. Por ejemplo, una respuesta fácil es simplemente girar la aguja 180 grados alrededor de su punto final y luego deslizarla hacia arriba. Esto devuelve la aguja a su posición original, pero ahora apunta en la dirección opuesta, como lo requiere el problema de la aguja de Kakeya.

La región requerida para el giro es un semicírculo con radio 1, que tiene un área de $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Así que hemos encontrado una región que funciona.

Podemos hacerlo mejor aprovechando la capacidad de nuestra mágica aguja matemática para girar sobre cualquier punto. En lugar de rotarlo alrededor de su punto final, rotémoslo alrededor de su punto medio.

Podrías llamar a esto la brújula de Kakeya: nuestra aguja comienza apuntando al norte, pero después de la rotación está en el mismo lugar pero apuntando al sur. Esta región es un círculo de radio $latex frac{1}{2}$, por lo que su área es $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Esta es la mitad del área de nuestra primera región, por lo que estamos progresando.

¿Adónde vamos ahora? Podríamos inspirarnos en nuestro dilema del coche sin conductor y considerar utilizar algo así como un giro de tres puntos para la aguja. En realidad, esto funciona bastante bien.

La región barrida por la aguja usando esta técnica se llama deltoides y también satisface los requisitos de Kakeya. Calcular su área requiere más que la geometría elemental que estamos discutiendo aquí (el conocimiento de las curvas paramétricas ayuda), pero resulta que el área de este deltoides en particular, el barrido por un segmento de recta de longitud 1, es exactamente $latex. frac{pi}{8}$. Ahora tenemos una región aún más pequeña en la que podemos darle la vuelta a la aguja de Kakeya, y se te podría perdonar que pienses que esto es lo mejor que podemos hacer. El propio Kakeya pensó que podría serlo.

Pero este problema de las agujas dio un gran giro cuando el matemático ruso Abram Besicovitch descubrió que se puede hacerlo infinitamente mejor. Se le ocurrió un procedimiento para eliminar partes innecesarias de la región hasta que fuera tan pequeña como quería.

El proceso es técnico y complicado, pero una estrategia basada en la idea de Besicovitch se basa en dos ideas simples. Primero, considere el siguiente triángulo rectángulo, con una altura de 1 y una base de 2.

Por el momento vamos a olvidarnos de girar la aguja completamente y solo nos centraremos en un hecho simple: si colocamos una aguja de longitud 1 en el vértice superior, el triángulo es lo suficientemente grande como para permitir que la aguja gire los 90 grados completos. grados de un lado al otro.

Dado que el área del triángulo es $latex A=frac{1}{2}bh$, este triángulo tiene un área $latex A=frac{1}{2} multiplicado por 2 multiplicado por 1 = 1$.

Ahora, aquí está la primera idea importante: podemos reducir el área de la región preservando al mismo tiempo la rotación de 90 grados. La estrategia es simple: cortamos el triángulo por la mitad y luego juntamos las dos mitades.

El área de esta nueva figura debe ser menor que la original porque ahora partes del triángulo se superponen. De hecho, es fácil calcular el área de la figura: es solo tres cuartos del cuadrado del lado 1, por lo que el área es $látex A = frac{3}{4}$, que es menor que el área de la figura. triángulo con el que empezamos.

Y todavía podemos apuntar la aguja en las mismas direcciones que antes. Sólo hay un problema: el ángulo original se ha dividido en dos partes, por lo que esas direcciones ahora están divididas en dos regiones separadas.

Si la aguja está en el lado izquierdo de la nueva región, podemos rotarla 45 grados entre sur y sureste, y si está en la derecha podemos rotarla 45 grados entre sur y suroeste, pero como las dos partes están separadas , no parece que podamos girarlo 90 grados como podíamos antes.

Aquí es donde entra en juego la segunda idea importante. Existe una manera furtiva de pasar la aguja de un lado al otro que no requiere mucha área. En el ajedrez quizás sepas que el caballo se mueve en forma de L. Bueno, nuestra aguja se va a mover en forma de N.

Así es como se hace. Primero, la aguja se desliza hacia arriba por un lado de la N. Luego gira para apuntar a lo largo de la diagonal y se desliza hacia abajo. Luego gira nuevamente y termina su recorrido deslizándose hacia arriba por el otro lado de la N.

Al principio este movimiento en forma de N puede no parecer gran cosa, pero hace algo muy útil. Permite que la aguja “salte” de una línea paralela a otra, lo que nos ayudará a llevar nuestra aguja de una región a otra. Más importante aún, lo hace sin requerir mucho espacio. De hecho, puedes hacer que requiera tan poco espacio como quieras. Este es el por qué.

Recordemos que nuestra aguja tiene ancho cero. Entonces, cualquier línea a lo largo de la cual se mueva la aguja, hacia adelante o hacia atrás, tendrá un área cero. Esto significa que la región requerida para mover la aguja hacia arriba, hacia abajo o en diagonal a lo largo de la forma de N estará formada por piezas con área cero.

Eso simplemente deja las rotaciones en las esquinas de la forma N.

Estos movimientos requieren espacio. Puedes ver un pequeño sector de un círculo en cada esquina. Pero aquí está la parte engañosa: puedes hacer que estas regiones sean más pequeñas alargando la N.

La fórmula para el área de un sector de un círculo es $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, donde $latex theta$ es la medida del ángulo del sector en grados. No importa qué tan alta sea la N, el radio del sector siempre será 1: esa es la longitud de la aguja. Pero a medida que la N se hace más alta, el ángulo se reduce, lo que reducirá el área del sector. Por lo tanto, puedes hacer que el área adicional sea tan pequeña como quieras estirando la N tanto como necesites.

Recuerda que pudimos reducir el área de nuestra región triangular dividiéndola en dos y superponiendo las piezas. El problema fue que esto dividió el ángulo de 90 grados en dos partes separadas, lo que nos impidió girar la aguja los 90 grados completos. Ahora podemos resolver ese problema añadiendo una forma de N adecuada para asegurar que la aguja tenga un recorrido de un lado al otro.

En esta región actualizada, la aguja aún puede girar 90 grados como antes, pero ahora ocurre en dos etapas. Primero, la aguja gira 45 grados y se alinea con el borde vertical de la izquierda. Luego, se mueve a lo largo de la forma de N para llegar al otro lado. Una vez allí, puede girar los otros 45 grados.

Esto mueve la aguja 90 grados y, para mantenerla girando, simplemente agrega copias rotadas de la región.

Con la adición de las formas N apropiadas, la aguja puede saltar de una península triangular a la siguiente, girando poco a poco hasta dar la vuelta completa, como un automóvil que ejecuta un giro de tres puntos.

Hay más matemáticas diabólicas en los detalles, pero estas dos ideas (que podemos reducir continuamente el área de la región original cortándola y cambiándola mientras nos aseguramos de que podemos ir de una pieza a otra usando las N formas arbitrariamente pequeñas) nos ayudan. mueva la aguja en una región cada vez más pequeña que, en última instancia, puede ser tan pequeña como desee.

Un enfoque más estándar para construir este tipo de región comienza con triángulos equiláteros y utiliza "árboles de Perron", que son formas inteligentes de cortar triángulos, estirar y deslizar las piezas para volver a unirlas. El resultado es bastante sorprendente.

Recientemente, los matemáticos han progresos realizados sobre nuevas variaciones de este viejo problema, ambientadas en dimensiones superiores y con diferentes nociones de tamaño. Probablemente nunca veremos un automóvil impulsado por IA trazando un giro de punta de aguja Kakeya, pero aún podemos apreciar la belleza y la simplicidad de su casi nada.

Ejercicios

1. ¿Cuál es el área del triángulo equilátero más pequeño que funciona como un juego de agujas Kakeya?

2. Puedes hacerlo un poco mejor que el triángulo equilátero del ejercicio 1 usando un “triángulo de Reuleaux”, una región formada por tres sectores circulares superpuestos. ¿Cuál es el área del triángulo de Reuleaux más pequeño que funciona?