Cuando se trata de comprender la forma de los cúmulos de burbujas, los matemáticos han estado tratando de ponerse al día con nuestras intuiciones físicas durante milenios. Los grupos de pompas de jabón en la naturaleza a menudo parecen entrar inmediatamente en el estado de energía más bajo, el que minimiza el área de superficie total de sus paredes (incluidas las paredes entre las burbujas). Pero verificar si las pompas de jabón están haciendo bien esta tarea, o simplemente predecir cómo deberían verse los grandes grupos de burbujas, es uno de los problemas más difíciles en geometría. Los matemáticos tardaron hasta finales del siglo XIX en demostrar que la esfera es la mejor burbuja individual, a pesar de que el matemático griego Zenodoro lo había afirmado más de 19 años antes.
El problema de la burbuja es lo suficientemente simple como para plantearlo: comienza con una lista de números para los volúmenes y luego pregunta cómo encerrar por separado esos volúmenes de aire usando la menor área de superficie. Pero para resolver este problema, los matemáticos deben considerar una amplia gama de diferentes formas posibles para las paredes de las burbujas. Y si la tarea es encerrar, digamos, cinco volúmenes, ni siquiera podemos darnos el lujo de limitar nuestra atención a grupos de cinco burbujas; quizás la mejor manera de minimizar el área de superficie consiste en dividir uno de los volúmenes en varias burbujas.
Incluso en la configuración más simple del plano bidimensional (donde intenta encerrar una colección de áreas mientras minimiza el perímetro), nadie sabe cuál es la mejor manera de encerrar, digamos, nueve o 10 áreas. A medida que crece el número de burbujas, "rápidamente, ni siquiera se puede obtener ninguna conjetura plausible", dijo Emanuel Milman del Technion en Haifa, Israel.
Pero hace más de un cuarto de siglo, John Sullivan, ahora de la Universidad Técnica de Berlín, se dio cuenta de que en ciertos casos, hay un conjetura guía ser tenido Los problemas de burbujas tienen sentido en cualquier dimensión, y Sullivan descubrió que siempre que la cantidad de volúmenes que intenta encerrar sea como máximo uno mayor que la dimensión, hay una forma particular de encerrar los volúmenes que es, en cierto sentido, más hermoso que cualquier otro: una especie de sombra de un cúmulo de burbujas perfectamente simétrico en una esfera. Este grupo de sombras, conjeturó, debería ser el que minimice el área de superficie.
Durante la década siguiente, los matemáticos escribieron una serie de artículos innovadores que prueban la conjetura de Sullivan cuando intentas encerrar solo dos volúmenes. Aquí, la solución es la familiar burbuja doble que quizás hayas soplado en el parque en un día soleado, hecha de dos piezas esféricas con una pared plana o esférica entre ellas (dependiendo de si las dos burbujas tienen volúmenes iguales o diferentes).
Pero demostrando la conjetura de Sullivan para tres volúmenes, el matemático Frank Morgan de la universidad de Williams Especulado en 2007, “bien podría tomar otros cien años”.
Ahora, los matemáticos se han ahorrado esa larga espera y han obtenido mucho más que una simple solución al problema de la triple burbuja. en un publicado en línea en mayo, Milman y joe neeman, de la Universidad de Texas, Austin, han demostrado la conjetura de Sullivan para burbujas triples en dimensiones tres y más y burbujas cuádruples en dimensiones cuatro y más, con un artículo de seguimiento sobre burbujas quíntuples en dimensiones cinco y más en los trabajos.
Y cuando se trata de seis o más burbujas, Milman y Neeman han demostrado que el mejor grupo debe tener muchos de los atributos clave del candidato de Sullivan, lo que podría iniciar a los matemáticos en el camino para demostrar la conjetura también en estos casos. “Mi impresión es que han captado la estructura esencial detrás de la conjetura de Sullivan”, dijo francesco magui de la Universidad de Texas, Austin.
El teorema central de Milman y Neeman es "monumental", escribió Morgan en un correo electrónico. “Es un logro brillante con muchas ideas nuevas”.
Burbujas de sombra
Nuestras experiencias con pompas de jabón reales ofrecen intuiciones tentadoras sobre cómo deberían ser los grupos de burbujas óptimos, al menos cuando se trata de grupos pequeños. Las burbujas triples o cuádruples que soplamos a través de varitas jabonosas parecen tener paredes esféricas (y ocasionalmente planas) y tienden a formar grumos apretados en lugar de, digamos, una larga cadena de burbujas.
Pero no es tan fácil demostrar que estas son realmente las características de los cúmulos de burbujas óptimos. Por ejemplo, los matemáticos no saben si las paredes de un grupo de burbujas minimizadoras son siempre esféricas o planas; solo saben que las paredes tienen una "curvatura media constante", lo que significa que la curvatura promedio permanece igual de un punto a otro. Las esferas y las superficies planas tienen esta propiedad, pero también muchas otras superficies, como los cilindros y las formas onduladas llamadas onduloides. Las superficies con curvatura media constante son "un zoológico completo", dijo Milman.
Pero en la década de 1990, Sullivan reconoció que cuando la cantidad de volúmenes que desea encerrar es como máximo uno mayor que la dimensión, hay un grupo candidato que parece eclipsar al resto: un grupo (y solo uno) que tiene las características que tendemos para ver en pequeños grupos de pompas de jabón reales.
Para tener una idea de cómo se construye dicho candidato, usemos el enfoque de Sullivan para crear un grupo de tres burbujas en el plano (así que nuestras "burbujas" serán regiones en el plano en lugar de objetos tridimensionales). Comenzamos eligiendo cuatro puntos en una esfera que estén todos a la misma distancia entre sí. Ahora imagine que cada uno de estos cuatro puntos es el centro de una burbuja diminuta, que vive solo en la superficie de la esfera (de modo que cada burbuja es un disco pequeño). Infle las cuatro burbujas en la esfera hasta que comiencen a chocar entre sí y luego siga inflando hasta que llenen colectivamente toda la superficie. Terminamos con un grupo simétrico de cuatro burbujas que hace que la esfera parezca un tetraedro inflado.
A continuación, colocamos esta esfera encima de un plano infinito, como si la esfera fuera una bola que descansa sobre un suelo sin fin. Imagina que la pelota es transparente y hay una linterna en el polo norte. Las paredes de las cuatro burbujas proyectarán sombras en el suelo, formando allí las paredes de un grupo de burbujas. De las cuatro burbujas de la esfera, tres se proyectarán hacia abajo para formar burbujas de sombra en el suelo; la cuarta burbuja (la que contiene el polo norte) se proyectará hasta la extensión infinita del suelo fuera del grupo de tres burbujas de sombra.
El grupo particular de tres burbujas que obtenemos depende de cómo colocamos la esfera cuando la colocamos en el suelo. Si giramos la esfera para que un punto diferente se mueva hacia la linterna en el polo norte, normalmente obtendremos una sombra diferente y las tres burbujas en el piso tendrán áreas diferentes. Los matemáticos tienen demostrado que para cualquiera de los tres números que elija para las áreas, hay esencialmente una sola forma de colocar la esfera para que las tres burbujas de sombra tengan precisamente esas áreas.
Somos libres de llevar a cabo este proceso en cualquier dimensión (aunque las sombras de dimensiones superiores son más difíciles de visualizar). Pero hay un límite en la cantidad de burbujas que podemos tener en nuestro cúmulo de sombras. En el ejemplo anterior, no podríamos haber hecho un grupo de cuatro burbujas en el avión. Eso habría requerido comenzar con cinco puntos en la esfera que están a la misma distancia entre sí, pero es imposible colocar tantos puntos equidistantes en una esfera (aunque puede hacerlo con esferas de dimensiones superiores). El procedimiento de Sullivan solo funciona para crear grupos de hasta tres burbujas en un espacio bidimensional, cuatro burbujas en un espacio tridimensional, cinco burbujas en un espacio tetradimensional, etc. Fuera de esos rangos de parámetros, los grupos de burbujas al estilo de Sullivan simplemente no existen.
Pero dentro de esos parámetros, el procedimiento de Sullivan nos brinda grupos de burbujas en entornos mucho más allá de lo que nuestra intuición física puede comprender. “Es imposible visualizar lo que es una burbuja de 15 en [un espacio de 23 dimensiones]”, dijo Maggi. "¿Cómo sueñas siquiera con describir un objeto así?"
Sin embargo, los candidatos a burbujas de Sullivan heredan de sus progenitores esféricos una colección única de propiedades que recuerdan a las burbujas que vemos en la naturaleza. Sus paredes son todas esféricas o planas, y dondequiera que tres paredes se encuentran, forman ángulos de 120 grados, como en una forma de Y simétrica. Cada uno de los volúmenes que intenta encerrar se encuentra en una sola región, en lugar de dividirse en varias regiones. Y cada burbuja se toca entre sí (y el exterior), formando un racimo apretado. Los matemáticos han demostrado que las burbujas de Sullivan son los únicos cúmulos que satisfacen todas estas propiedades.
Cuando Sullivan planteó la hipótesis de que estos deberían ser los grupos que minimizan el área de la superficie, esencialmente estaba diciendo: "Supongamos belleza", dijo Maggi.
Pero los investigadores de burbujas tienen buenas razones para desconfiar de asumir que solo porque una solución propuesta es hermosa, es correcta. “Hay problemas muy famosos… en los que se esperaría simetría para los minimizadores, y la simetría falla espectacularmente”, dijo Maggi.
Por ejemplo, existe el problema estrechamente relacionado de llenar un espacio infinito con burbujas de igual volumen de manera que se minimice el área de la superficie. En 1887, el matemático y físico británico Lord Kelvin sugirió que la solución podría ser una elegante estructura en forma de panal. Durante más de un siglo, muchos matemáticos creyeron que esta era la respuesta probable, hasta 1993, cuando un par de físicos identificó una mejor, aunque menos simétrica, opción. “Las matemáticas están llenas… de ejemplos en los que suceden este tipo de cosas extrañas”, dijo Maggi.
un arte oscuro
Cuando Sullivan anunció su conjetura en 1995, la porción de la doble burbuja ya había estado flotando durante un siglo. Los matemáticos habían resuelto el Problema de doble burbuja 2D dos años antes, y en la década siguiente, lo resolvieron en espacio tridimensional y luego en más alto dimensiones. Pero cuando se trataba del siguiente caso de la conjetura de Sullivan, las burbujas triples, podían probar la conjetura solo en el plano bidimensional, donde las interfaces entre las burbujas son particularmente simples.
Luego, en 2018, Milman y Neeman demostraron una versión análoga de la conjetura de Sullivan en un entorno conocido como el problema de la burbuja gaussiana. En este escenario, puedes pensar que cada punto en el espacio tiene un valor monetario: el origen es el lugar más caro, y cuanto más te alejas del origen, más barata se vuelve la tierra, formando una curva de campana. El objetivo es crear recintos con precios preseleccionados (en lugar de volúmenes preseleccionados), de forma que se minimice el coste de los linderos de los cerramientos (en lugar de la superficie de los linderos). Este problema de la burbuja gaussiana tiene aplicaciones en informática para esquemas de redondeo y cuestiones de sensibilidad al ruido.
Milman y Neeman presentaron sus prueba En el correo electrónico “Su Cuenta de Usuario en su Nuevo Sistema XNUMXCX”. Anales de Matemáticas, posiblemente la revista más prestigiosa de matemáticas (donde más tarde fue aceptada). Pero la pareja no tenía intención de llamarlo un día. Sus métodos también parecían prometedores para el clásico problema de la burbuja.
Lanzaron ideas de un lado a otro durante varios años. “Teníamos un documento de notas de 200 páginas”, dijo Milman. Al principio, se sentía como si estuvieran haciendo progresos. “Pero luego rápidamente se convirtió en: 'Probamos en esta dirección, no. Probamos [esa] dirección, no'”. Para cubrir sus apuestas, ambos matemáticos también buscaron otros proyectos.
Luego, el otoño pasado, Milman se tomó un año sabático y decidió visitar a Neeman para que la pareja pudiera concentrarse en el problema de la burbuja. “Durante el año sabático es un buen momento para probar cosas de alto riesgo y alta ganancia”, dijo Milman.
Durante los primeros meses, no llegaron a ninguna parte. Finalmente, decidieron darse a sí mismos una tarea un poco más fácil que la conjetura completa de Sullivan. Si le das a tus burbujas una dimensión adicional de espacio para respirar, obtienes una ventaja: el mejor grupo de burbujas tendrá simetría de espejo en un plano central.
La conjetura de Sullivan trata sobre burbujas triples en dimensiones dos y superiores, burbujas cuádruples en dimensiones tres y superiores, y así sucesivamente. Para obtener la simetría adicional, Milman y Neeman restringieron su atención a las burbujas triples en las dimensiones tres y superiores, las burbujas cuádruples en las dimensiones cuatro y superiores, y así sucesivamente. “Realmente, solo cuando nos dimos por vencidos en obtenerlo para la gama completa de parámetros, realmente progresamos”, dijo Neeman.
Con esta simetría de espejo a su disposición, Milman y Neeman propusieron un argumento de perturbación que consiste en inflar ligeramente la mitad del cúmulo de burbujas que se encuentra sobre el espejo y desinflar la mitad que se encuentra debajo. Esta perturbación no cambiará el volumen de las burbujas, pero podría cambiar su área de superficie. Milman y Neeman demostraron que si el cúmulo de burbujas óptimo tiene paredes que no son esféricas ni planas, habrá una manera de elegir esta perturbación para que reduzca el área de superficie del cúmulo, una contradicción, ya que el cúmulo óptimo ya tiene la menor superficie. área posible.
El uso de perturbaciones para estudiar burbujas está lejos de ser una idea nueva, pero averiguar qué perturbaciones detectarán las características importantes de un cúmulo de burbujas es "un poco como un arte oscuro", dijo Neeman.
En retrospectiva, "una vez que ves [las perturbaciones de Milman y Neeman], se ven bastante naturales", dijo joel hass de la Universidad de California, Davis.
Pero reconocer las perturbaciones como naturales es mucho más fácil que pensar en ellas en primer lugar, dijo Maggi. “De lejos, no es algo que puedas decir: 'Eventualmente, la gente lo habría encontrado'”, dijo. "Es realmente genial a un nivel muy notable".
Milman y Neeman pudieron usar sus perturbaciones para demostrar que el cúmulo de burbujas óptimo debe satisfacer todos los rasgos centrales de los cúmulos de Sullivan, excepto quizás uno: la estipulación de que cada burbuja debe tocarse entre sí. Este último requisito obligó a Milman y Neeman a lidiar con todas las formas en que las burbujas podrían conectarse en un grupo. Cuando se trata de solo tres o cuatro burbujas, no hay tantas posibilidades a considerar. Pero a medida que aumenta la cantidad de burbujas, la cantidad de diferentes patrones de conectividad posibles crece, incluso más rápido que exponencialmente.
Milman y Neeman esperaban al principio encontrar un principio general que cubriera todos estos casos. Pero después de pasar unos meses “rompiéndonos la cabeza”, dijo Milman, decidieron contentarse por ahora con un enfoque más ad hoc que les permitiera manejar burbujas triples y cuádruples. También han anunciado una prueba no publicada de que la burbuja quíntuple de Sullivan es óptima, aunque aún no han establecido que sea el único grupo óptimo.
El trabajo de Milman y Neeman es "un enfoque completamente nuevo en lugar de una extensión de los métodos anteriores", escribió Morgan en un correo electrónico. Es probable, predijo Maggi, que este enfoque pueda llevarse aún más lejos, tal vez a grupos de más de cinco burbujas, o a los casos de la conjetura de Sullivan que no tienen la simetría del espejo.
Nadie espera que se produzcan más progresos fácilmente; pero eso nunca ha disuadido a Milman y Neeman. “Desde mi experiencia”, dijo Milman, “todas las cosas importantes que tuve la suerte de poder hacer requerían simplemente no rendirme”.
