Introducción
Hace más de 2,000 años, el matemático griego Eratóstenes ideó un método para encontrar números primos que continúa resonando en las matemáticas de hoy. Su idea era identificar todos los números primos hasta un punto determinado "tamizando" gradualmente los números que no son primos. Su tamiz comienza tachando todos los múltiplos de 2 (excepto el 2 mismo), luego los múltiplos de 3 (excepto el 3 mismo). El siguiente número, 4, ya está tachado, por lo que el siguiente paso es tachar los múltiplos de 5, y así sucesivamente. Los únicos números que sobreviven son los números primos, números cuyos únicos divisores son 1 y ellos mismos.
Eratóstenes se centró en el conjunto completo de números primos, pero puedes usar variaciones de su tamiz para buscar números primos con todo tipo de características especiales. ¿Quieres encontrar “primos gemelos”, que están separados por sólo 2, como 11 y 13 o 599 y 601? Hay un colador para eso. ¿Quieres encontrar números primos que sean 1 más grandes que un cuadrado perfecto, como 17 o 257? También hay un colador para eso.
Los tamices modernos han impulsado muchos de los mayores avances en la teoría de números en problemas que van desde el último teorema de Fermat hasta la conjetura aún no demostrada de los primos gemelos, que dice que hay infinitos pares de primos gemelos. Los métodos de tamiz, escribió el matemático húngaro Paul Erdős en 1965, son “quizás nuestra herramienta elemental más poderosa en la teoría de números”.
Sin embargo, este poder está limitado por la limitada comprensión de los matemáticos sobre cómo se distribuyen los números primos a lo largo de la recta numérica. Es sencillo realizar una criba hasta un número pequeño, como 100. Pero los matemáticos quieren entender el comportamiento de las cribas cuando los números aumentan. No pueden esperar enumerar todos los números que sobreviven al tamiz hasta llegar a un punto de parada extremadamente grande. En lugar de eso, intentan estimar cuántos números hay en esa lista.
Introducción
Para el tamiz de Eratóstenes, esta estimación depende de la frecuencia con la que los números enteros son divisibles por 2, 3, 5, etc., información comparativamente fácil de obtener. Pero para tamices más complicados, como los de primos gemelos, la información crucial a menudo se refiere a los restos que dejan los primos cuando se dividen por números diferentes. Por ejemplo, ¿con qué frecuencia los números primos dejan un resto de 1 cuando se dividen por 3? ¿O un resto de 8 dividido por 15?
A medida que avanza a lo largo de la recta numérica, estos restos se asientan en patrones estadísticamente predecibles. En 1896, el matemático belga Charles-Jean de la Vallée Poussin demostró que los restos se igualan gradualmente; por ejemplo, si se colocan números primos en uno de dos cubos dependiendo de si su resto es 1 o 2 cuando se dividen entre 3, el Al final, dos cubos contendrán aproximadamente el mismo número de números primos. Pero para extraer todo el potencial de los métodos de tamiz, los matemáticos necesitan saber no sólo que los cubos eventualmente se igualan, sino también cuándo lo hacen.
Esto ha resultado un desafío. Después de un estallido de progreso en los años 1960 y otro en los años 1980, los nuevos desarrollos en su mayoría se extinguieron. Una excepción notable ocurrió en 2013, cuando Yitang Zhang publicó un prueba de hito que hay infinitos pares de números primos más cercanos entre sí que algún límite finito. Pero el principal trabajo desarrollado en los años 80 prácticamente no vio ningún progreso durante más de tres décadas.
Ahora el tema está disfrutando de un renacimiento, provocado por una serie of Tres papeles escrito por el matemático de Oxford james maynard en 2020 (dos años antes de ser recibió la medalla Fields, el máximo honor de las matemáticas). Maynard analizó un número llamado "nivel de distribución" que captura la rapidez con la que los restos primarios se distribuyen uniformemente en cubos (a veces con referencia a tipos particulares de tamices). Para muchos tamices de uso común, demostró que el nivel de distribución es de al menos 0.6, superando el récord anterior de 0.57 de los años 1980.
El trabajo de Maynard y los estudios posteriores que ha impulsado "están dando nueva vida a la teoría analítica de números", dijo Juan Friedlander de la Universidad de Toronto, que desempeñó un papel importante en los acontecimientos de la década de 1980. "Es un verdadero renacimiento".
Introducción
En los últimos meses, tres de los estudiantes graduados de Maynard tienen escrito papeles ampliar los resultados de Maynard y Zhang; uno de estos artículos, por Jared Duker-Lichtman (ahora becario postdoctoral en la Universidad de Stanford), elevó el nivel de distribución de Maynard hasta aproximadamente 0.617. Luego, Lichtman utilizó ese aumento para calcular límites superiores mejorados en el número de primos gemelos hasta un punto de parada determinado, y el número de "representaciones de Goldbach": representaciones de números pares como la suma de dos primos.
"Estas personas más jóvenes están siguiendo lo que realmente es el tema candente ahora", dijo andres granville de la Universidad de Montreal.
Un aumento de 0.6 a 0.617 podría parecer de poca importancia para las personas ajenas a la teoría de números. Pero en la teoría del tamiz, dijo Granville, “a veces esas pequeñas victorias pueden tener consecuencias devastadoras”.
Incluyendo y excluyendo
Estimar cuántos números elimina un tamiz hasta cierto punto de parada N, los matemáticos utilizan un enfoque basado en algo llamado inclusión/exclusión. Para ver cómo funciona esto, consideremos el tamiz de Eratóstenes. Este tamiz comienza eliminando todos los múltiplos de 2, es decir, aproximadamente la mitad de los números hasta N. A continuación, el tamiz elimina todos los múltiplos de 3 (aproximadamente 1/3 de los números hasta N. Entonces podrías pensar que hasta ahora has eliminado aproximadamente 1/2 + 1/3 de los números hasta N.
Pero esto es un conteo excesivo, porque has contado dos veces números que son múltiplos de 2 y 3 (múltiplos de 6). Estos son aproximadamente 1/6 de todos los números hasta N, entonces, para corregir el conteo dos veces, debes restar 1/6, lo que eleva el total acumulado de lo que estás eliminando a 1/2 + 1/3 − 1/6.
A continuación, puede pasar a múltiplos de 5; eso sumará 1/5 a la cuenta, pero debe restar 1/10 y 1/15 para corregir el conteo excesivo de números que son divisibles por 2 y 5, o por 3. y 5. Aún así, aún no has terminado: accidentalmente corrigiste dos veces los números que son divisibles por 2, 3 y 5, por lo que para corregirlo debes sumar 1/30 a tu conteo, lo que da como resultado el total acumulado. a 1/2 + 1/3 − 1/6 + 1/5 − 1/10 − 1/15 + 1/30.
A medida que este proceso continúa, la suma gana cada vez más términos, involucrando fracciones con denominadores cada vez mayores. Para evitar que se acumulen demasiados errores pequeños en aproximaciones como “aproximadamente 1/2” y “aproximadamente 1/3”, los teóricos de números suelen detener el proceso de suma y resta antes de haber pasado por todo el tamiz y se contentan con límites superior e inferior en lugar de una respuesta exacta.
En teoría, un proceso similar debería funcionar para conjuntos de números primos más sofisticados, como los primos gemelos. Pero cuando se trata de algo como primos gemelos, la inclusión/exclusión no funcionará a menos que sepas cuán uniformemente se distribuyen los restos primos en los grupos.
Introducción
Para ver esto, piense en cómo podría funcionar un tamiz doble. Puedes empezar usando el tamiz de Eratóstenes para encontrar todos los números primos hasta N. Luego, haga una segunda ronda de tamizado que elimine todos los primos que no formen parte de un par de primos gemelos. Una forma de hacerlo es filtrar un número primo si el número que está dos puntos a su izquierda no es primo (o puedes buscar dos puntos a la derecha; cualquiera de los tamices funcionará). Usando el tamiz hacia la izquierda, mantendrás los números primos como 13, ya que 11 también es primo, pero tacharás los números primos como 23, ya que 21 no es primo.
Puedes pensar en este tamiz como si primero se desplazara el conjunto de números primos dos puntos hacia la izquierda en la recta numérica y luego se tacharan los números del conjunto desplazado que no son primos (como 21). En el conjunto desplazado, tacharás los múltiplos de 3, luego los múltiplos de 5, y así sucesivamente. (No tienes que preocuparte por los múltiplos de 2, ya que todos los números en el conjunto desplazado son impares, excepto el primero).
Luego viene la inclusión/exclusión, para estimar cuántos números has tachado. En el tamiz de Eratóstenes, al tachar los múltiplos de 3 se elimina aproximadamente 1/3 de todos los números. Pero en el conjunto más pequeño de números primos desplazados, es más difícil predecir cuántos caerán cuando tachamos múltiplos de 3.
Cualquier número k en el conjunto desplazado es 2 menos que algún primo. Así que si k es múltiplo de 3, entonces su correspondiente primo, k + 2, tiene un resto de 2 cuando se divide por 3. Los números primos tienen un resto de 1 o 2 cuando se dividen por 3 (excepto el propio 3), por lo que puedes adivinar que la mitad de los primos hasta N tienen un resto de 1 y la mitad tienen un resto de 2. Eso significaría que en este paso del tamiz estás tachando aproximadamente la mitad de los números en el conjunto desplazado (en lugar de 1/3 como en el tamiz de Eratóstenes). Entonces escribiría un término de 1/2 en su suma de inclusión/exclusión.
Gracias a de la Vallée Poussin, sabemos que eventualmente la mitad de todos los números primos tienen un resto de 1 y la otra mitad tiene un resto de 2 cuando se divide por 3. Pero para hacer inclusión/exclusión, no es suficiente saber que los cubos restantes se equilibran. eventualmente se equilibran; es necesario saber que se equilibran N. De lo contrario, no podrá confiar en la “1/2” de la suma de inclusión/exclusión. Tal vez, los matemáticos han estado preocupados durante más de un siglo, la distribución de los números primos tiene peculiaridades extrañas que socavan algunos de los recuentos necesarios para nuestra suma de inclusión/exclusión.
"Si no tienes teoremas de distribución, no puedes entender qué sucede cuando terminas tu tamiz", dijo terence tao de la Universidad de California, Los Ángeles.
Un punto de referencia fundamental
Los teóricos de los números disponían de una predicción sobre la rapidez con la que los cubos empiezan a nivelarse en forma del problema sin resolver más célebre de la teoría de números: la hipótesis generalizada de Riemann. Esta hipótesis, de ser cierta, implicaría que si miramos todos los números primos hasta un número muy grande N, luego los restos primos se distribuyen uniformemente en cubos para cualquier divisor hasta aproximadamente la raíz cuadrada de N. Entonces, por ejemplo, si observa los números primos menores a 1 billón, esperaría que se distribuyan uniformemente en grupos de restos cuando los divide por 120, 7,352 o 945,328 (cualquier divisor menor que aproximadamente 1 millón). la raíz cuadrada de 1 billón). Los matemáticos dicen que la hipótesis generalizada de Riemann predice que el nivel de distribución de los primos es al menos 1/2, ya que otra forma de escribir la raíz cuadrada de N es como N1/2.
Introducción
Si esta hipótesis es correcta, eso significaría que cuando estás cribando hasta 1 billón, puedes tachar múltiplos de 2, luego 3, luego 5, y continuar hasta que la suma de inclusión/exclusión comience a incluir divisores sobre aproximadamente 1. millones; más allá de ese punto, no podrá calcular los términos de su suma. A mediados del siglo XX, los teóricos de números demostraron muchos teoremas de tamiz de la forma: "Si la hipótesis generalizada de Riemann es correcta, entonces..."
Pero muchos de estos resultados en realidad no necesitaban toda la fuerza de la hipótesis generalizada de Riemann; sería suficiente saber que los números primos estaban bien distribuidos en grupos para casi todos los divisores, en lugar de para cada divisor individual. A mediados de los años 1960, Enrico Bombieri y Askold Vinogradov por separado gestionado para demostrar precisamente eso: los números primos tienen un nivel de distribución de al menos 1/2, si nos contentamos con saber que los cubos se igualan para casi todos los divisores.
El teorema de Bombieri-Vinogradov, que todavía se utiliza ampliamente, demostró instantáneamente muchos de los resultados que anteriormente se habían basado en la hipótesis generalizada de Riemann, no demostrada. "Es una especie de estándar de oro de los teoremas de distribución", dijo Tao.
Pero los matemáticos llevan mucho tiempo sospechando (y la evidencia numérica lo ha sugerido) que el verdadero nivel de distribución de los números primos es mucho mayor. A finales de los años 1960, Peter Elliott y Heini Halberstam conjeturado que el nivel de distribución de los números primos está apenas un poco por debajo de 1; en otras palabras, si estás mirando números primos hasta un número enorme, deben distribuirse uniformemente en grupos incluso para divisores muy cercanos en tamaño al número enorme. . Y estos divisores grandes son importantes cuando se realizan inclusiones/exclusiones, ya que aparecen cuando se corrigen los conteos excesivos. Por lo tanto, cuanto más se acerquen los matemáticos al nivel de distribución que predijeron Elliott y Halberstam, más términos podrán calcular en la suma de inclusión/exclusión. La prueba de la conjetura de Elliott-Halberstam, dijo Tao, es "el sueño".
Sin embargo, hasta el día de hoy nadie ha podido superar el nivel 1/2 de distribución en todo el grado de generalidad que logra el teorema de Bombieri-Vinogradov. Los matemáticos han empezado a llamar a este obstáculo la “barrera de la raíz cuadrada” para los números primos. Esta barrera, dijo Lichtman, es "un tipo de punto de referencia fundamental en nuestra comprensión de los números primos".
Nuevos récords mundiales
Sin embargo, en muchos problemas de tamiz se puede avanzar incluso con información incompleta sobre cómo se dividen los números primos en cubos. Tomemos como ejemplo el problema de los primos gemelos: examinar un número primo si el número dos situado a su izquierda es divisible por 3, 5 o 7 es lo mismo que preguntar si el primo en sí tiene un resto de 2 cuando se divide por 3, 5 o 7. En otras palabras, si el número primo cae en el grupo “2” para cualquiera de estos divisores. Por lo tanto, no es necesario saber si los números primos están distribuidos uniformemente en todos los grupos de estos divisores; solo necesita saber si cada grupo “2” contiene el número de números primos que esperamos.
En la década de 1980, los matemáticos comenzaron a descubrir cómo demostrar teoremas de distribución que se centran en un segmento en particular. Este trabajo culminó con un papel 1986 por Bombieri, Friedlander y henryk iwaniec eso elevó el nivel de distribución hasta 4/7 (aproximadamente 0.57) para cubos individuales, no para todos los tamices sino para una amplia clase de ellos.
Al igual que con el teorema de Bombieri-Vinogradov, el conjunto de ideas desarrollado en la década de 1980 encontró multitud de aplicaciones. En particular, permitió una enorme saltar en la comprensión de los matemáticos del último teorema de Fermat, que dice que la ecuación an + bn = cn no tiene soluciones en números naturales para ningún exponente n mayor que 2. (Esto se demostró más tarde en 1994 utilizando técnicas que no se basaban en teoremas de distribución). Sin embargo, después del entusiasmo de la década de 1980, hubo pocos avances en el nivel de distribución de los números primos durante varias décadas.
Luego, en 2013, Zhang descubrió cómo superar la barrera de la raíz cuadrada en una dirección diferente a la de Bombieri, Friedlander e Iwaniec. Excavó en métodos antiguos y pasados de moda de principios de la década de 1980 para lograr las más pequeñas mejoras en el nivel 1/2 de distribución de Bombieri y Vinogradov en un contexto en el que sólo se analizan números "suaves", aquellos que no tienen factores primos grandes. . Esta pequeña mejora le permitió a Zhang probar la conjetura de larga data que a medida que avanzas por la recta numérica, seguirás encontrando pares de números primos que están más cerca entre sí que algún límite fijo. (Posteriormente, Maynard y Tao cada uno se le ocurrió por separado otra prueba de este teorema, usando un tamiz mejorado en lugar de un nivel de distribución mejorado).
El resultado de Zhang se basó en una versión de la hipótesis de Riemann que vive en el mundo de la geometría algebraica. Mientras tanto, el trabajo de Bombieri, Friedlander e Iwaniec se basó en lo que Maynard llama una “conexión algo mágica” con objetos llamados formas automórficas, que tienen su propia versión de la hipótesis de Riemann. Las formas automórficas son objetos altamente simétricos que, según Tao, pertenecen al “extremo poderoso de la teoría de números”.
Hace unos años, Maynard se convenció de que debería ser posible sacar más jugo a estos dos métodos combinando sus conocimientos. En su serie de tres artículos de 2020, que Granville calificó de “tour de force”, Maynard logró llevar el nivel de distribución hasta 3/5, o 0.6, en un contexto ligeramente más estrecho que el que estudiaron Bombieri, Friedlander e Iwaniec. .
Ahora, los estudiantes de Maynard están impulsando estas técnicas aún más. Lichtman recientemente descubierto cómo extender el nivel de distribución de Maynard a aproximadamente 0.617. Luego aprovechó este aumento para obtener nuevos límites superiores en el recuento de primos gemelos y en las representaciones de Goldbach de números pares como la suma de dos primos. Para este último, es la primera vez que alguien ha podido utilizar un nivel de distribución superior al 1/2 del clásico teorema de Bombieri-Vinogradov.
Otro de los estudiantes de Maynard, Alexandru Pascadiel gobierno federal estadounidense ha coincidió con la cifra de 0.617 para el nivel de distribución no de números primos sino de números suaves. Al igual que los números primos, los números suaves aparecen en toda la teoría de números, y los resultados sobre su nivel de distribución y el de los números primos suelen ir de la mano.
Mientras tanto, un tercer estudiante, Julia Stadlmannel gobierno federal estadounidense ha impulsó el nivel de distribución de primos en el escenario que estudió Zhang, en el que los divisores (en lugar de los números que se dividen) son números suaves. Zhang superó por poco la barrera de la raíz cuadrada en este contexto, alcanzando un nivel de distribución de 0.5017, y luego una colaboración en línea llamada proyecto Polymath elevó ese número a 0.5233; Stadlmann lo ha elevado ahora a 0.525.
Otros matemáticos se burlan de los teóricos analíticos de números, dijo Tao, por su obsesión con los pequeños avances numéricos. Pero estas pequeñas mejoras tienen un significado que va más allá de las cifras en cuestión. "Es como la carrera de 100 metros o algo así, [donde] se reducen entre 3.96 y 3.95 segundos", dijo. Cada nuevo récord mundial es "un punto de referencia de cuánto han progresado sus métodos".
En general, "las técnicas son cada vez más claras y unificadas", afirmó. "Cada vez está más claro, una vez que se tiene un avance en un problema, cómo adaptarlo a otro problema".
Aún no existe una aplicación explosiva para estos nuevos desarrollos, pero el nuevo trabajo "definitivamente cambia la forma en que pensamos", dijo Granville. "No se trata simplemente de clavar un clavo con más fuerza; en realidad, se trata de conseguir un martillo más mejorado".
¿Cuánto está realizando una serie de encuestas para servir mejor a nuestra audiencia. Toma nuestro encuesta de lectores de matemáticas y entrarás para ganar gratis ¿Cuánto merchandising
- Distribución de relaciones públicas y contenido potenciado por SEO. Consiga amplificado hoy.
- PlatoData.Network Vertical Generativo Ai. Empodérate. Accede Aquí.
- PlatoAiStream. Inteligencia Web3. Conocimiento amplificado. Accede Aquí.
- PlatoESG. Carbón, tecnología limpia, Energía, Ambiente, Solar, Gestión de residuos. Accede Aquí.
- PlatoSalud. Inteligencia en Biotecnología y Ensayos Clínicos. Accede Aquí.
- Fuente: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
- :posee
- :es
- :no
- :dónde
- ][pag
- $ UP
- 000
- 1
- 100
- 11
- 13
- 15%
- 17
- 1994
- 2013
- 2020
- 23
- 7
- 8
- a
- Poder
- Nuestra Empresa
- AC
- Mi Cuenta
- Logra
- a través de
- adaptar
- add
- adición
- avanzar
- avances
- Después
- .
- Todos
- casi
- a lo largo de
- ya haya utilizado
- también
- an
- Analítico
- analizo
- y
- Angeles
- Otra
- https://www.youtube.com/watch?v=xB-eutXNUMXJtA&feature=youtu.be
- cualquier
- nadie
- aparte
- Aplicación
- aplicaciones
- enfoque
- aproximadamente
- somos
- AS
- pidiendo
- At
- las ventas
- Hoy Disponibles
- Balance
- barrera
- las barreras
- basado
- BE
- golpear
- se convirtió en
- porque
- a las que has recomendado
- cada vez
- esto
- antes
- comportamiento
- detrás de
- "Ser"
- a continuación
- mejores
- Más allá de
- Big
- más grande
- Mayor
- Bloquear
- cuerpo
- ambas
- Bound
- límites
- respiración
- Trayendo
- pero
- by
- calcular
- California
- , que son
- llamar
- Calls
- llegó
- PUEDEN
- Puede conseguir
- capturas
- llevar
- celebrado
- Siglo
- desafiante
- Cambios
- clase
- clásico
- limpiar
- Cerrar
- más cerca
- colaboración
- Colorado
- combinar
- cómo
- proviene
- comúnmente
- relativamente
- Complicado
- Inquietudes
- conductible
- confianza
- conjetura
- Consecuencias
- Considerar
- contenido
- contexto
- continúa
- convencido
- correcta
- corregido
- Correspondiente
- podría
- contando
- Cruz
- Cruzado
- cruce
- crucial
- Dash
- día
- décadas
- Grado
- Dependiente
- depende
- devastador
- desarrollado
- desarrollos
- una experiencia diferente
- dirección
- distribuidos
- dividir
- dividido
- do
- "Hacer"
- hecho
- No
- sueño
- Soltar
- cada una
- Temprano en la
- de forma sencilla
- ya sea
- Elliott
- facilita
- encuentro
- final
- suficientes
- entrado
- Errores
- esencialmente
- estimación
- Incluso
- igualmente
- finalmente
- Cada
- evidencia sólida
- ejemplo
- Excepto
- excepción
- Emoción
- esperar
- ampliar
- extensión
- extraerlos
- extremadamente
- factores importantes
- Otoño
- Caídas
- muchos
- RÁPIDO
- Caracteristicas
- Compañero
- pocos
- Terrenos
- calculado
- Encuentre
- la búsqueda de
- acabado
- Nombre
- primer vez
- Fijar
- fijas
- Focus
- centrado
- siguiendo
- FORCE
- formulario
- Formularios
- encontrado
- Desde
- alimentado
- ser completados
- fundamental
- promover
- Ganancias
- generación de AHSS
- obtener
- conseguir
- dado
- Go
- va
- Gold
- Gold Standard
- pasado
- gradualmente
- graduados
- griego
- tenido
- A Mitad
- martillo
- mano
- que sucede
- más fuerte
- Tienen
- he
- más alto
- más alto
- altamente
- su
- mantener
- mantiene
- esperanza
- fortaleza
- HOT
- Cómo
- Como Hacer
- Sin embargo
- HTTPS
- enorme
- Húngaro
- Caza
- idea
- ideas
- Identifique
- if
- mejorado
- es la mejora continua
- mejoras
- in
- En otra
- aumente
- información
- Insights
- ejemplo
- instantáneamente
- dentro
- involucrar
- que implica
- IT
- SUS
- sí mismo
- solo
- Guardar
- Tipo
- Saber
- Conocer
- large
- Apellido
- Tarde
- luego
- menos
- Abandonar
- izquierda
- menos
- Nivel
- Vida
- como
- Limitada
- línea
- Lista
- pequeño
- Vidas
- Largo
- de larga data
- Mira
- mirando
- los
- Los Ángeles
- Lote
- inferior
- revista
- Inicio
- para lograr
- gestionado
- muchos
- las matemáticas
- matemáticas
- Materia
- personalizado
- Mientras tanto
- Método
- métodos
- podría
- millones
- meses
- más,
- MEJOR DE TU
- cuales son las que reflejan
- movimiento
- mucho más
- múltiples
- ¿ Necesita ayuda
- Nuevo
- Next
- no
- notable
- notablemente
- ahora
- número
- números
- objetos
- obtener
- se produjo
- of
- off
- a menudo
- Viejo
- on
- una vez
- ONE
- las
- en línea
- , solamente
- or
- Otro
- de otra manera
- nuestros
- salir
- afuera
- Más de
- EL DESARROLLADOR
- Oxford
- par
- pares
- papeles
- parte
- particular
- pasado
- .
- Paul
- Personas
- perfecto
- quizás
- Platón
- Inteligencia de datos de Platón
- PlatónDatos
- jugado
- punto
- posible
- posible
- industria
- poderoso
- predecir
- Previsible
- previsto
- predicción
- Predice
- evitar
- anterior
- previamente
- Prime
- Problema
- problemas
- Progreso
- progresado
- proyecto
- prueba
- Demostrar.
- demostrado
- prueba
- publicado
- Push
- empujó
- empuja
- Emprendedor
- Revista Quanta
- pregunta
- con rapidez
- exactamente
- elevado
- que van
- más bien
- alcanzando
- Testimoniales
- real
- realmente
- grabar
- referencia
- confiar
- recordatorio
- Remoto
- la eliminación de
- Renacimiento
- resultado
- Resultados
- Derecho
- Función
- raíz
- aproximadamente
- redondo
- correr
- Said
- mismo
- Sierra
- dices
- dice
- Segundo
- segundos
- ver
- parecer
- Serie
- ayudar
- set
- Sets
- pólipo
- resolver
- Varios
- desplazado
- CAMBIANDO
- tienes
- mostró
- significado
- similares
- sencillos
- desde
- soltero
- Tamaño
- chica
- menores
- sencillo.
- So
- hasta aquí
- Soluciones
- algo
- algo
- a veces
- pronto
- provocado
- especial
- puntos
- cuadrado
- Squeeze
- estándar
- stanford
- Universidad de Stanford
- comienzo
- fundó
- comienza
- paso
- Sin embargo
- Detener
- parada
- fuerza
- Estudiante
- Estudiantes
- estudiado
- estudios
- tropezando
- sujeto
- Después
- tal
- sobrevivir
- ¡Prepárate!
- toma
- técnicas
- término
- términos
- que
- esa
- La
- el mundo
- su
- Les
- sí mismos
- luego
- teoría
- Ahí.
- Estas
- ellos
- pensar
- Código
- así
- aquellos
- ¿aunque?
- Tres
- A través de esta formación, el personal docente y administrativo de escuelas y universidades estará preparado para manejar los recursos disponibles que derivan de la diversidad cultural de sus estudiantes. Además, un mejor y mayor entendimiento sobre estas diferencias y similitudes culturales permitirá alcanzar los objetivos de inclusión previstos.
- equipo
- a
- hoy
- juntos
- demasiado
- del IRS
- tema
- Toronto
- Total
- Trillones
- verdadero
- try
- Twice
- gemelo
- dos
- tipos
- UCLA
- Socavar
- entender
- comprensión
- unificado
- universidad
- equipo de Manejo Integrado de Plagas de la Universidad de California
- no probado
- hasta
- actualizado
- utilizan el
- usado
- usando
- generalmente
- versión
- muy
- quieres
- fue
- Camino..
- we
- webp
- WELL
- tuvieron
- ¿
- cuando
- sean
- que
- QUIENES
- todo
- cuyo
- amplio
- extensamente
- seguirá
- ganar
- TRIUNFOS
- palabras
- Actividades:
- funciona
- mundo
- preocupado
- preocuparse
- se
- escribir
- escrito
- escribí
- años
- aún
- Usted
- Younger
- tú
- zephyrnet