1Investigación aplicada de tecnología global, JPMorgan Chase, Nueva York, NY 10017
2Departamento de Matemáticas, Universidad de California, Berkeley, CA 94720
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Resumen
El algoritmo de optimización aproximada cuántica (QAOA) es un algoritmo candidato líder para resolver problemas de optimización combinatoria en computadoras cuánticas. Sin embargo, en muchos casos QAOA requiere una optimización de parámetros computacionalmente intensiva. El desafío de la optimización de parámetros es particularmente grave en el caso de problemas ponderados, para los cuales los valores propios del operador de fase no son enteros y el panorama energético QAOA no es periódico. En este trabajo, desarrollamos heurísticas de configuración de parámetros para QAOA aplicadas a una clase general de problemas ponderados. Primero, derivamos parámetros óptimos para QAOA con profundidad $p=1$ aplicados al problema MaxCut ponderado bajo diferentes supuestos sobre los pesos. En particular, demostramos rigurosamente la sabiduría convencional de que, en el caso promedio, el primer óptimo local cercano a cero proporciona parámetros QAOA globalmente óptimos. En segundo lugar, para $pgeq 1$ demostramos que el panorama energético QAOA para MaxCut ponderado se acerca al del caso no ponderado con un simple cambio de escala de parámetros. Por lo tanto, podemos utilizar parámetros obtenidos previamente para MaxCut no ponderado para problemas ponderados. Finalmente, demostramos que para $p=1$ el objetivo QAOA se concentra marcadamente en torno a su expectativa, lo que significa que nuestras reglas de establecimiento de parámetros se cumplen con alta probabilidad para una instancia ponderada aleatoria. Validamos numéricamente este enfoque en gráficos ponderados generales y mostramos que, en promedio, la energía QAOA con los parámetros fijos propuestos está a solo $ 1.1 $ puntos porcentuales de distancia de la energía QAOA con los parámetros optimizados. En tercer lugar, proponemos un esquema de reescalamiento heurístico general inspirado en los resultados analíticos de MaxCut ponderado y demostramos su eficacia utilizando QAOA con el mezclador de preservación de peso XY Hamming aplicado al problema de optimización de la cartera. Nuestra heurística mejora la convergencia de los optimizadores locales, reduciendo el número de iteraciones en un promedio de 7.4 veces.
Imagen de portada: Procedimiento para transferir parámetros QAOA óptimos del modelo Sherrington-Kirkpatrick (SK) a un problema MaxCut ponderado en un gráfico regular del mismo tamaño. Los parámetros $gamma^{text{inf}}$ se escalan según el método propuesto, mientras que los $beta^{text{inf}}$ son fijos. El gráfico muestra que QAOA con la nueva técnica de escala logra una relación de aproximación más alta que las técnicas anteriores y comparable a los parámetros optimizados.
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