La probabilidad y la teoría de los números colisionan: en un momento

Sus ambiciones siempre fueron altas. Cuando Will Sawin y Melanie Matchett Wood comenzaron a trabajar juntos en el verano de 2020, se propusieron repensar los componentes clave de algunas de las conjeturas más tentadoras de la teoría de números. Los temas de su atención, los grupos de clase, están íntimamente relacionados con cuestiones básicas sobre cómo funciona la aritmética cuando los números se extienden más allá de los números enteros. Savin, en la Universidad de Columbia, y Madera, en Harvard, quería hacer predicciones sobre estructuras que son aún más generales y matemáticamente intimidantes que el grupo de la clase.

Incluso antes de que terminaran de formular sus predicciones, en octubre demostraron ser nuevo resultado que permite a los matemáticos aplicar una de las herramientas más útiles de la teoría de la probabilidad no solo a grupos de clases, sino también a colecciones de números, redes y muchos otros objetos matemáticos.

“Este va a ser el documento fundamental al que todos recurrirán cuando comiencen a pensar en estos problemas”, dijo David Zureick Brown, matemático de la Universidad de Emory. “Ya no parece que tengas que inventar cosas desde cero”.

Un acto de clase

Un grupo de clase es un ejemplo de un conjunto matemático estructurado llamado grupo. Los grupos incluyen muchos conjuntos familiares, como los números enteros. Lo que hace que los números enteros sean un grupo, en lugar de solo un conjunto de números, es que puedes sumar sus elementos y obtener otro número entero. En general, un conjunto es un grupo si viene con alguna operación que, como la suma, combine dos elementos en un tercer elemento de manera que satisfaga algunos requisitos básicos. Por ejemplo, debería haber una versión de cero, un elemento que no cambia ninguno de los otros.

Los números enteros, que los matemáticos suelen llamar $latex mathbb{Z}$, son infinitos. Pero muchos grupos tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, para hacer un grupo que tenga cuatro elementos, considere el conjunto {0, 1, 2, 3}. En lugar de realizar sumas regulares, divide la suma de dos números entre 4 y saca el resto. (Según estas reglas, 2 + 2 = 0 y 2 + 3 = 1). Este grupo se llama $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

En general, si quiere hacer un grupo con elementos $latex n$, puede tomar los números del cero al n – 1 y considera el resto al dividir por n. El grupo resultante se llama $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, aunque no siempre es el único grupo con n elementos.

El grupo de clase aparece cuando los teóricos de los números investigan la estructura de los números más allá de los números enteros. Para hacer esto, agregan nuevos números a los enteros, como i (la raíz cuadrada de −1), $latex sqrt{5}$, o incluso $latex sqrt{–5}$.

“Las cosas a las que estamos acostumbrados sobre los números ya no son ciertas en este contexto. O al menos, no son necesariamente ciertas”, dijo Jordan Ellenberg, matemático de la Universidad de Wisconsin, Madison.

Específicamente, la factorización funciona de manera diferente en las extensiones de los números enteros. Si te limitas a los números enteros, los números se pueden convertir en números primos (números que solo se pueden dividir entre sí mismos y 1) de una sola manera. Por ejemplo, 6 es 2 × 3 y no se puede factorizar en otros números primos. Esta propiedad se llama factorización única.

Pero si agrega $latex sqrt{–5}$ a su sistema numérico, ya no tiene factorización única. Puedes factorizar 6 en números primos de dos maneras diferentes. Sigue siendo 2 × 3, pero también es $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Los grupos de clase se crean a partir de dichas extensiones a los números enteros. “Los grupos de clase son increíblemente importantes”, dijo Wood. “Y entonces es natural preguntarse: ¿Cómo son normalmente?”

El tamaño del grupo de clase asociado con cualquier extensión de los enteros es un barómetro de cuánto se descompone la factorización única. Aunque los matemáticos han demostrado que los grupos de clases son siempre finitos, es complicado determinar su estructura y tamaño. Por eso, en 1984, Henri Cohen y Hendrik Lenstra aventuró algunas conjeturas. Sus conjeturas, ahora llamadas heurísticas de Cohen-Lenstra, se referían a todos los grupos de clases que aparecen cuando sumas nuevas raíces cuadradas a los números enteros. Si todos esos grupos de clase se reunieran, Cohen y Lenstra sugirieron respuestas a preguntas como: ¿Qué proporción de ellos contiene el grupo $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? ¿O $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? ¿O algún otro tipo conocido de grupo finito?

Cohen y Lenstra empujaron a los teóricos de los números a considerar no solo ejemplos aislados de grupos de clases, sino estadísticas que subyacen a los grupos de clases en su conjunto. Sus predicciones aprovecharon una visión de las matemáticas como un universo con patrones por descubrir en todos los niveles.

Casi 40 años después, se cree ampliamente que las heurísticas de Cohen-Lenstra son ciertas, aunque nadie se ha acercado a probarlas. Su impacto en las matemáticas ha sido palpable, dijo Nigel Boston, profesor emérito de la Universidad de Wisconsin, Madison. “Lo que se ha descubierto es esta increíble red”, dijo. “Existe esta enorme infraestructura de la forma en que pensamos que el mundo está organizado”.

El único juego en la ciudad

Incapaces de abordar la heurística directamente, los matemáticos propusieron problemas más manejables que esperaban iluminarían la situación. A partir de ese trabajo, surgió un conjunto útil de cantidades que los matemáticos comenzaron a llamar momentos, después de un término utilizado en la teoría de la probabilidad.

En probabilidad, los momentos pueden ayudarte a calcular las distribuciones detrás de los números aleatorios. Por ejemplo, considere la distribución de la temperatura máxima diaria el 1 de enero en la ciudad de Nueva York: las posibilidades de que el 1 de enero del próximo año sea de 10 grados Fahrenheit, 40 grados, 70 o 120. Todo lo que tiene que trabajar con datos pasados: un historial del máximo diario el 1 de enero de cada año desde el comienzo del historial registrado.

Si calculas la media de estas temperaturas, aprenderás un poco, pero no todo. Una temperatura alta promedio de 40 grados no indica las posibilidades de que la temperatura esté por encima de los 50 grados o por debajo de los 20.

Pero esto cambia si te dan más información. Específicamente, puede aprender el promedio del cuadrado de la temperatura, una cantidad conocida como el segundo momento de la distribución. (El promedio es el primer momento). O puede aprender el promedio de los cubos, que se conoce como el tercer momento, o el promedio de las cuartas potencias, el cuarto momento.

En la década de 1920, los matemáticos habían descubierto que si los momentos de esta serie crecen lo suficientemente lento, conocer todos los momentos te permite deducir que solo una distribución posible tiene esos momentos. (Aunque esto no necesariamente le permite calcular directamente esa distribución).

“Eso es realmente poco intuitivo”, dijo Wood. “Si piensas en una distribución continua, tiene alguna forma. Da la sensación de que tiene más de lo que se puede capturar en una secuencia de números”.

Los matemáticos interesados ​​en la heurística de Cohen-Lenstra descubrieron que, al igual que los momentos en la teoría de la probabilidad se pueden usar para obtener una distribución de probabilidad, los momentos definidos de una manera particular para los grupos de clase pueden ser una lente a través de la cual podemos ver su tamaño y estructura. . Jacob Tsimerman, matemático de la Universidad de Toronto, dijo que no puede imaginar cómo se podría calcular directamente la distribución del tamaño de los grupos de clase. Usar momentos, dijo, es “más que fácil. Es el único juego en la ciudad”.

This Magic Moment

Si bien cada momento de la probabilidad está asociado con un número entero (la tercera potencia, la cuarta potencia, etc.), las nuevas cantidades introducidas por los teóricos de los números corresponden cada una a un grupo. Estos nuevos momentos dependen del hecho de que a menudo puedes reducir un grupo a un grupo más pequeño al unir diferentes elementos.

Para calcular el momento asociado a un grupo G, tome todos los grupos de clase posibles, uno para cada nueva raíz cuadrada que agregue a los números enteros. Para cada grupo de clase, cuente el número de formas diferentes en las que puede colapsarlo G. Luego, toma el promedio de esos números. Este proceso puede parecer complicado, pero es mucho más fácil trabajar con él que con la distribución real detrás de las predicciones de Cohen y Lenstra. Aunque las propias heurísticas de Cohen-Lenstra son complicadas de establecer, los momentos de la distribución que predicen son todos 1.

“Eso te hace pensar, wow, tal vez los momentos son la forma natural de abordarlo”, dijo Ellenberg. "Parece más creíble poder demostrar que algo es igual a 1 que demostrar que es igual a un producto infinito loco".

Cuando los matemáticos estudian distribuciones sobre grupos (grupos de clase o de otro tipo) terminan con una ecuación para cada grupo. G, con las probabilidades que ahora representan, digamos, la proporción de grupos de clase que se parecen a $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Con infinitas ecuaciones e infinitos grupos de clases posibles, es complicado resolver las probabilidades. No es obvio que incluso tenga sentido hacerlo.

“Cuando tienes sumas infinitas, las cosas pueden salir mal”, dijo Wood.

Sin embargo, los matemáticos, aún incapaces de encontrar otros caminos para estudiar las distribuciones, siguieron volviendo al problema del momento. En trabajo publicado en el Anales de Matemáticas en 2016, Ellenberg, junto con Akshay Venkatesh y Craig Westerland, momentos usados para estudiar las estadísticas de los grupos de clase en un entorno ligeramente diferente al que habían considerado Cohen y Lenstra. esta idea fue Reutilizado Varios veces. Pero cada vez que los investigadores usaban los momentos, se apoyaban en las peculiaridades de su problema particular para demostrar que el conjunto infinito de ecuaciones tenía una solución. Eso significaba que sus técnicas no eran transferibles. El próximo matemático que necesitara usar momentos tendría que resolver el problema de los momentos nuevamente.

Al comienzo de su colaboración, Sawin y Wood también planearon seguir este camino. Usarían momentos para hacer predicciones sobre cómo se distribuirían las versiones más complicadas de los grupos de clase. Pero aproximadamente un año después de su proyecto, se enfocaron en el problema del momento en sí.

Desviarse del camino

Los colegas describen a Sawin y Wood como inusualmente apasionados por su trabajo. Ambos son muy inteligentes. Pero hay mucha gente inteligente”, dijo Zureick-Brown. “Simplemente tienen esta actitud positiva hacia las matemáticas”.

Inicialmente, Sawin y Wood querían usar momentos para ampliar las predicciones de Cohen-Lenstra a nuevos escenarios. Pero pronto se sintieron insatisfechos con su argumento del problema del momento. “Tuvimos la necesidad de escribir argumentos similares repetidamente”, recordó Sawin. Además, agregó, el lenguaje matemático que estaban usando "no parecía estar llegando al corazón de lo que estaba haciendo el argumento... Las ideas estaban ahí, pero simplemente no habíamos encontrado la manera correcta de expresarlas".

Sawin y Wood profundizaron en su prueba, tratando de descubrir qué había realmente debajo de todo. Terminaron con una prueba que resolvió el problema de los momentos no solo para su aplicación específica, sino también para cualquier distribución de grupos, y para todo tipo de otras estructuras matemáticas.

Dividieron el problema en pasos pequeños y manejables. En lugar de intentar resolver la distribución de probabilidad completa de una sola vez, se centraron solo en una pequeña parte de los momentos.

Por ejemplo, para resolver el problema de momentos para una distribución de probabilidad sobre grupos, cada momento estaría asociado con un grupo G. Al principio, Sawin y Wood buscarían un sistema de ecuaciones que incluyera solo los momentos para una lista restringida de grupos. Luego agregarían lentamente grupos a la lista, observando más y más momentos cada vez. Al hacer el problema cada vez más complejo, convirtieron cada paso en un problema solucionable. Poco a poco, llegaron a una solución completa del problema del momento.

“Esa lista fija es como las gafas que te pones, y cuantos más grupos estés dispuesto a considerar, mejores serán tus gafas”, explicó Wood.

Cuando finalmente desempolvaron el último de los detalles extraños, se encontraron con un argumento cuyos zarcillos se extendían a través de las matemáticas. Su resultado funcionó para grupos de clase, para grupos asociados con formas geométricas, para redes de puntos y líneas, así como para otros conjuntos con mayor complejidad matemática. En todas estas situaciones, Sawin y Wood encontraron una fórmula que toma un conjunto de momentos y escupe la distribución que tiene esos momentos (siempre y cuando los momentos no crezcan demasiado rápido, entre otros requisitos).

“Es muy del estilo de Melanie”, dijo Ellenberg. "Ser como, 'Probemos un teorema muy general que maneja muchos casos diferentes de manera uniforme y elegante'".

Sawin y Wood ahora están regresando a su objetivo original. A principios de enero, compartieron un nuevo documento que corrige predicciones erróneas de Cohen-Lenstra realizado a fines de la década de 1980 por Cohen y su colega Jacques Martinet. Más allá de eso, tienen aún más resultados en su cola, con planes para expandir la heurística a situaciones aún más nuevas. “No sé si este proyecto terminará alguna vez”, dijo Sawin.

El problema del momento que resolvieron Sawin y Wood ha sido "una especie de espina clavada en la nuca para muchas preguntas diferentes", dijo Tsimerman. “Creo que muchos matemáticos van a respirar aliviados”.