Unos minutos después de una charla de 2018 en la Universidad de Michigan, Ian Tabasco recogió un gran trozo de papel y lo arrugó en una bola de caos aparentemente desordenada. Lo levantó para que la audiencia lo viera, lo apretó en buena medida y luego lo volvió a extender.
“Obtengo una masa salvaje de pliegues que emergen, y ese es el rompecabezas”, dijo. “¿Qué es lo que distingue a este patrón de otro patrón más ordenado?”
Luego levantó una segunda hoja grande de papel, esta predoblada en un famoso patrón de origami de paralelogramos conocido como Miura-ori, y la presionó. La fuerza que usó en cada hoja de papel fue casi la misma, dijo, pero los resultados no podrían haber sido más diferentes. El Miura-ori se dividió claramente en regiones geométricas; la pelota arrugada era un revoltijo de líneas irregulares.
“Tienes la sensación de que esto”, dijo, señalando la disposición dispersa de pliegues en la hoja arrugada, “es solo una versión desordenada al azar de esto”. Indicó al pulcro y ordenado Miura-ori. “Pero no hemos señalado si eso es cierto o no”.
Hacer esa conexión requeriría nada menos que establecer reglas matemáticas universales de patrones elásticos. Tobasco ha estado trabajando en esto durante años, estudiando ecuaciones que describen materiales elásticos delgados, cosas que responden a una deformación tratando de volver a su forma original. Empuje un globo lo suficientemente fuerte y se formará un patrón de arrugas radiales en forma de estrella; quita el dedo y se suavizarán de nuevo. Aprieta una bola de papel arrugada y se expandirá cuando la sueltes (aunque no se deshará por completo). Los ingenieros y los físicos han estudiado cómo surgen estos patrones en determinadas circunstancias, pero para un matemático esos resultados prácticos sugieren una pregunta más fundamental: ¿es posible comprender, en general, qué selecciona un patrón en lugar de otro?
En enero de 2021, Tabasco publicó un papel que respondió afirmativamente a esa pregunta, al menos en el caso de una sábana elástica lisa, curvada y plana (una situación que ofrece una forma clara de explorar la pregunta). Sus ecuaciones predicen cómo las arrugas aparentemente aleatorias contienen dominios "ordenados", que tienen un patrón repetitivo e identificable. Y coescribió un artículo, publicado el mes pasado, que muestra una nueva teoría física, basada en matemáticas rigurosas, que podría predecir patrones en escenarios realistas.
En particular, el trabajo de Tobasco sugiere que las arrugas, en sus múltiples formas, pueden verse como la solución a un problema geométrico. “Es una hermosa pieza de análisis matemático”, dijo Stefan Müller del Centro Hausdorff de Matemáticas de la Universidad de Bonn en Alemania.
Presenta elegantemente, por primera vez, las reglas matemáticas, y una nueva comprensión, detrás de este fenómeno común. “El papel de las matemáticas aquí no era probar una conjetura que los físicos ya habían hecho”, dijo Roberto Kohn, matemático del Instituto Courant de la Universidad de Nueva York y asesor de la escuela de posgrado de Tobasco, “sino más bien proporcionar una teoría donde antes no había una comprensión sistemática”.
Estirándose
El objetivo de desarrollar una teoría de las arrugas y los patrones elásticos es antiguo. En 1894, en una reseña en Naturaleza, el matemático George Greenhill señaló la diferencia entre los teóricos ("¿Qué debemos pensar?") y las aplicaciones útiles que podrían descubrir ("¿Qué debemos hacer?").
En los siglos XIX y XX, los científicos avanzaron en gran medida en este último, estudiando problemas relacionados con las arrugas en objetos específicos que se están deformando. Los primeros ejemplos incluyen el problema de forjar placas de metal curvas y lisas para barcos de navegación y tratar de conectar la formación de montañas con el calentamiento de la corteza terrestre.
Más recientemente, los matemáticos y los físicos han ampliado el esfuerzo para conectar la teoría y la observación a una amplia gama de situaciones de arrugas, geometrías y materiales. “Esto ha estado ocurriendo durante los últimos 10 años, donde primero estamos haciendo experimentos y luego tratando de encontrar la teoría para entenderlos”, dijo el matemático. Domingo Vella de la Universidad de Oxford. “Solo recientemente comenzamos a tener una comprensión adecuada”.
Ha habido hitos emocionantes. En 2015, Pedro Reis, ingeniero mecánico del Instituto Tecnológico de Massachusetts, describió las leyes físicas por los patrones geométricos que se forman en las bolas de silicona desinfladas. Su trabajo conectó esas arrugas con el grosor de las capas internas y externas del material elástico. Reis también señaló que las arrugas, en lugar de considerarse defectos, podrían ofrecer oportunidades para diseñar nuevos comportamientos mecánicos. Luego, en 2017, Vella dirigió el análisis de las inestabilidades de arrugamiento de una fina película elástica bajo presión, caracterizando cómo cambiaba el número de arrugas según la profundidad del pinchazo inicial y otros detalles específicos.
Pero estos desarrollos solo resolvieron partes del problema. Para una comprensión matemática más general de cómo se forman las arrugas, era necesario un enfoque diferente. Tabasco sería el indicado para sacarlo adelante.
siguiendo la curiosidad
Cuando era más joven, Tobasco pensó en dedicarse a la ingeniería aeroespacial. Se graduó de la Universidad de Michigan en 2011 con una licenciatura en el campo, pero en ese momento ya había pensado profundamente en el razonamiento matemático y los sistemas físicos. Obtuvo un doctorado en matemáticas, pero culpa a Joey Paulsen, un físico que ahora trabaja en la Universidad de Syracuse, por ponerlo en el camino específico de las arrugas.
Anteriormente en la carrera de Paulsen, cuando estudiaba las propiedades de materiales inusuales, aprendió a fabricar y analizar películas de polímeros ultradelgadas usando una técnica llamada recubrimiento por rotación. Primero, crearía un material líquido especial que contiene pequeñas cantidades de polímero disuelto; luego colocaba el material en una placa giratoria. La mayor parte del líquido se evaporaría, mientras que el polímero se extendería hasta alcanzar un espesor uniforme antes de solidificarse. Una vez que tuvo su propio laboratorio en Syracuse, Paulsen aprendió a adaptar el recubrimiento por rotación para crear películas curvas, como caparazones de tortuga ultrafinos.
Un día, colocó algunas de estas películas curvas sobre agua tranquila y fotografió cómo se asentaban en la superficie. “Fue puramente impulsado por la curiosidad”, dijo. Las imágenes llamaron la atención de Tobasco en una reunión informal con Paulsen en 2017.
“Demostraron que se podían obtener estos patrones aleatorios de arrugas desordenadas; cuando se hacía el experimento dos veces, se obtenían dos patrones diferentes”, dijo Tobasco, quien ahora es profesor asistente en la Universidad de Illinois, Chicago. “Quería ver si podía encontrar alguna forma derivable [para predecir esos patrones] a partir de la elasticidad, que incorporara la forma del caparazón. Y que el modelo no cambiaría de caparazón a caparazón”.
Los patrones de arrugas son configuraciones con la menor energía posible. Es decir, a medida que la película delgada se asienta sobre una superficie plana, se transforma hasta que encuentra la disposición de las arrugas, desordenadas o no, que requiere la menor cantidad de energía para mantener. “Puedes organizar patrones por la cantidad de energía que se almacena cuando [el patrón] se manifiesta”, dijo Tobasco.
Guiado por ese principio rector, aisló algunas características de la película que resultaron ser las que seleccionan su patrón, incluida una medida de su forma llamada curvatura gaussiana. Una superficie con curvatura gaussiana positiva se dobla alejándose de sí misma, como el exterior de una pelota. Las superficies con curvas negativas, por el contrario, tienen forma de silla de montar, como un chip Pringles: si vas en una dirección, viajas hacia arriba, pero si vas en una dirección diferente, bajas.
Tobasco descubrió que las áreas de curvatura gaussiana positiva producen un tipo de arreglo de dominios ordenados y desordenados, y las áreas con curvatura negativa producen otros tipos. “La geometría detallada no es tan importante”, dijo Vella. "Realmente solo depende del signo de la curvatura gaussiana".
Habían sospechado que la curvatura gaussiana era importante para las arrugas, pero Vella dijo que era una sorpresa que los dominios dependieran tanto del signo. Además, la teoría de Tobasco también se aplica a un amplio espectro de materiales elásticos, no solo a las formas de Paulsen. “Es una bonita construcción geométrica que muestra dónde aparecerán las arrugas”, dijo Vella. “Pero entender de dónde viene eso es realmente profundo y es un poco sorprendente”.
Paulsen estuvo de acuerdo. “Lo que hace muy bien la teoría de Ian es darte el patrón completo, todo a la vez”.
Arrugas de la vida real
A principios de 2018, Tobasco tenía su teoría casi resuelta, pero aunque funcionaba en el papel, no podía estar seguro de que sería precisa en el mundo real. Tobasco contactó a Paulsen y le preguntó si estaría interesado en colaborar. “Algo funcionó de inmediato”, dijo Paulsen. "Con algunas de las predicciones de Ian, superpuestas a imágenes experimentales, pudimos ver de inmediato que se alinearon".
En la Conferencia de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas de ese año sobre aspectos matemáticos de la ciencia de los materiales, Tobasco fue presentado a Eleni Katifori, un físico de la Universidad de Pensilvania que exploraba el problema de los patrones de arrugas en caparazones confinados y creaba una base de datos de resultados. Fue un momento de serendipia. “Pudimos ver los dominios [en las simulaciones] que explicaba el trabajo de Ian”, dijo. El partido fue extraño. Incluso durante sus primeras discusiones, quedó claro que la teoría de Tobasco, las imágenes experimentales de Paulsen y las simulaciones de Katifori describían todos los mismos fenómenos. “Incluso en las primeras etapas, cuando no teníamos nada concreto, pudimos ver la conexión”.
Esa emoción inicial rápidamente dio lugar al escepticismo. Parecía casi demasiado bueno para ser verdad. “Es un matemático y hace que todas estas cosas sean adimensionales”, dijo Paulsen, refiriéndose a cómo las ideas de Tobasco sobre la curvatura podrían extenderse mucho más allá de los materiales planos bidimensionales. “¿Estamos realmente ante el mismo sistema? Está de acuerdo, pero ¿debería haber estado de acuerdo?
Durante los siguientes dos años, los tres investigadores analizaron los detalles, mostrando que la teoría de Tobasco realmente predijo, exactamente, la disposición de las arrugas que Paulsen vio en sus experimentos y Katifori encontró en sus modelos de computadora. El 25 de agosto, publicaron un artículo en Física de la naturaleza demostración cómo los tres enfoques convergen en la misma disposición geométrica directa de las arrugas. En particular, encontraron que los patrones caen en familias ordenadas de triángulos isósceles que delimitan dominios de orden y desorden. Además, los resultados no se limitan a abstracciones matemáticas de materiales increíblemente delgados, sino que abordan múltiples órdenes de magnitud de espesor.
Su trabajo también sugiere oportunidades para expandir la teoría y sus aplicaciones. Katifori dijo que, como física, está interesada en aprovechar las predicciones para diseñar nuevos materiales. "Quiero entender cómo puedes diseñar superficies para que realmente organicen los patrones de arrugas en algo que quieras".
Otra pregunta abierta es cómo, en general, se puede aplicar la teoría a diferentes tipos de superficies curvas. “Está muy centrado en situaciones en las que [la curvatura gaussiana] es positiva o negativa, pero hay muchas situaciones con algunas regiones que son positivas y otras negativas”, dijo Vella.
Paulsen estuvo de acuerdo en que esta es una posibilidad emocionante, y Tobasco dijo que está trabajando activamente en esta área y considerando otras formas de conchas, como las que tienen agujeros.
Pero Paulsen dijo que la teoría, incluso en su forma actual, es hermosa y sorprendente. “Si les doy una forma de caparazón y un límite y este conjunto simple de reglas que predijo la teoría de Ian, entonces pueden tomar un compás y una regla y básicamente dibujar las arrugas”, dijo. “No habría tenido que suceder de esa manera. Podría haber sido totalmente horrendo”.
