Introducción
Gina, la estudiante de geometría, se quedó hasta muy tarde anoche haciendo su tarea mientras miraba The Great British Bake Off, así que cuando finalmente se fue a la cama, su mente dormida todavía estaba llena de pastelitos y brújulas. Esto llevó a un sueño muy inusual.
Gina se convirtió en jueza del Great Brownie Bake Off en Imaginary University, una escuela donde los estudiantes aprenden mucha geometría pero muy poca aritmética. Los equipos de estudiantes de Imaginary U tenían la tarea de hacer el brownie más grande que pudieran, y dependía de Gina determinar el ganador.
El equipo Alpha fue el primero en terminar y presentaron con orgullo su brownie rectangular para ser evaluados. Gina sacó una regla y midió el brownie: medía 16 pulgadas de largo y 9 pulgadas de ancho. El equipo Beta siguió rápidamente con su brownie cuadrado, que medía 12 pulgadas de cada lado. Fue entonces cuando comenzó el problema.
“Nuestro brownie es mucho más largo que el tuyo”, dijo el capitán del Equipo Alpha. "El nuestro es claramente más grande, ¡así que somos los ganadores!"
“Pero el lado corto de su rectángulo es mucho más corto que el lado de nuestro cuadrado”, dijo un representante del Equipo Beta. “Nuestra plaza es claramente más grande. ¡Hemos ganado!”
Gina encontró extraño estar discutiendo sobre esto. “El área del brownie rectangular es 9 por 16, que son 144 pulgadas cuadradas”, dijo. “El área del brownie cuadrado es 12 por 12, que también es 144 pulgadas cuadradas. Los brownies son del mismo tamaño: es un empate”.
Ambos equipos se miraron desconcertados. “No entiendo lo que quiere decir con 'veces'”, dijo un estudiante, a quien nunca le habían enseñado la multiplicación. “Yo tampoco”, dijo otro. Un tercero dijo: "Escuché que los estudiantes de Complex College miden el área usando números una vez, pero ¿qué significa eso?" La Universidad Imaginaria era un lugar realmente extraño, incluso en los sueños.
¿Qué iba a hacer Gina? ¿Cómo podría convencer a los equipos de que sus brownies eran del mismo tamaño si no entendían cómo medir áreas y multiplicar números? Afortunadamente, Gina tuvo una idea genial. “Dame un cuchillo”, dijo.
Gina midió 12 pulgadas por el lado largo del brownie rectangular e hizo un corte paralelo al lado corto. Esto convirtió el rectángulo grande en dos más pequeños: uno de 9 por 12 y el otro de 9 por 4. Con tres cortes rápidos, convirtió la pieza de 9 por 4 en tres piezas más pequeñas de 3 por 4. Un poco de reorganización resultó en gritos audibles de la multitud: Gina había convertido el rectángulo en una réplica exacta del cuadrado.
Ambos equipos ahora tenían que acordar que sus brownies eran del mismo tamaño. Al diseccionar uno y reorganizarlo para formar el otro, Gina demostró que los dos brownies ocupaban la misma área total. Disecciones como esta se han usado en geometría durante miles de años para mostrar que las figuras tienen el mismo tamaño, y hay muchos resultados notables sobre disecciones y equivalencia. Incluso hoy en día, los matemáticos todavía usan la disección y la reorganización para comprender completamente cuándo ciertas formas son equivalentes, lo que lleva a algunos resultados recientes sorprendentes.
Probablemente hayas visto disecciones geométricas en la clase de matemáticas al desarrollar las fórmulas de área para formas básicas. Por ejemplo, quizás recuerdes que el área de un paralelogramo es igual a la longitud de su base por su altura: esto se debe a que un paralelogramo se puede dividir y reorganizar en un rectángulo.
Esta disección muestra que el área del paralelogramo es igual al área de un rectángulo con la misma base y altura, que, como sabe cualquiera que no asistió a la Universidad Imaginaria, es el producto de esos dos números.
Hablando de Imaginary U, el Great Brownie Bake Off se estaba calentando. El equipo Gamma se acercó con un gran brownie triangular. “Aquí está el ganador”, anunciaron audazmente. "Ambos lados son mucho más largos que los otros".
Gina midió los lados. "¡Esto también tiene la misma área!" Ella exclamo. “Este es un triángulo rectángulo, y los catetos miden 18 y 16, por lo que el área es…” Gina hizo una pausa por un momento, notando las miradas desconcertadas en los rostros de todos. "Oh no importa. Sólo dame el cuchillo.
Gina cortó hábilmente desde el punto medio de la hipotenusa hasta el punto medio del cateto más largo, luego giró el triángulo recién formado para que formara un rectángulo perfecto cuando se colocara en la pieza más grande.
"¡Ese es exactamente nuestro brownie!" gritó el Equipo Alfa. Efectivamente, el rectángulo resultante era de 9 por 16: exactamente del mismo tamaño que el de ellos.
El equipo Beta tenía sus dudas. “Pero, ¿cómo se compara este triángulo con nuestro cuadrado?” preguntó el líder de su equipo.
Gina estaba lista para eso. “Ya sabemos que el rectángulo y el cuadrado tienen el mismo tamaño, así que por transitividad, el triángulo y el cuadrado tienen el mismo tamaño”. La transitividad es una de las propiedades más importantes de la igualdad: dice que si a = b y b = c, entonces a = c. Gina continuó: “Si el área del primer brownie es igual al área del segundo, y el área del segundo brownie es igual al área del tercero, el primero y el tercer brownie también deben tener áreas iguales”.
Pero Gina se estaba divirtiendo demasiado con las disecciones como para detenerse allí. “O podríamos hacer algunos cortes más”.
Primero Gina giró el rectángulo que antes era un triángulo. Luego lo cortó usando exactamente el mismo patrón que había usado en el rectángulo del Equipo Alfa.
Luego mostró cómo esta nueva disección del triángulo del Equipo Gamma podría convertirse en el cuadrado del Equipo Beta, exactamente como lo había hecho con el rectángulo del Equipo Alfa.
En esta situación decimos que el triángulo y el cuadrado son “tijeras congruentes”: puedes imaginarte usando tijeras para cortar una figura en un número finito de piezas que luego se pueden reorganizar para formar la otra. En el caso del triángulo y el cuadrado, los brownies muestran exactamente cómo funciona esta congruencia de tijera.
Observe que el patrón funciona en cualquier dirección: podría usarse para convertir el triángulo en un cuadrado o el cuadrado en un triángulo. En otras palabras, la congruencia de las tijeras es simétrica: si la forma A es una tijera congruente con la forma B, entonces la forma B también es una tijera congruente con la forma A.
De hecho, el argumento anterior que involucra al triángulo, el rectángulo y el cuadrado muestra que la congruencia de las tijeras también es transitiva. Como el triángulo es una tijera congruente con el rectángulo y el rectángulo es una tijera congruente con el cuadrado, el triángulo es una tijera congruente con el cuadrado. La prueba está en los patrones: simplemente superpóngalos en la forma intermedia, como se hizo con el rectángulo de arriba.
Si cortas el triángulo en piezas que forman el rectángulo, luego cortas el rectángulo en piezas que forman el cuadrado, las piezas resultantes se pueden usar para formar cualquiera de las tres formas.
El hecho de que la congruencia de tijera sea transitiva es la base de un resultado sorprendente: si dos polígonos tienen la misma área, entonces son congruentes de tijera. Esto significa que, dados dos polígonos con la misma área, siempre puedes cortar uno en un número finito de piezas y reorganizarlas para formar el otro.
La demostración de este notable teorema también es notablemente sencilla. Primero, corta cada polígono en triángulos.
En segundo lugar, convierta cada triángulo en un rectángulo, de forma similar a como Gina reorganizó el bizcocho de chocolate triangular.
Ahora viene la parte técnica complicada: convertir cada rectángulo en un nuevo rectángulo de una unidad de ancho.
Para hacer esto, comience a cortar piezas del rectángulo que tengan una unidad de ancho.
Si puede cortar el rectángulo en un número entero de piezas de ancho 1, ya está: simplemente apílelas una encima de la otra. De lo contrario, deja de picar cuando la última pieza tenga entre 1 y 2 unidades de ancho y apila el resto una encima de la otra.
No se preocupe si el rectángulo en sí tiene menos de 1 unidad de ancho: simplemente córtelo por la mitad y use las dos piezas para hacer un nuevo rectángulo que sea el doble de largo y la mitad de grueso. Repita según sea necesario hasta que tenga un rectángulo de entre 1 y 2 unidades de ancho.
Ahora imagina que este rectángulo final tiene una altura h y ancho w, con 1 w < 2. Vamos a cortar ese rectángulo y reorganizarlo en un rectángulo con ancho 1 y alto h × w. Para ello, superponga la h × w rectángulo con el deseado hw × 1 rectángulo como este.
Luego corte de esquina a esquina a lo largo de la línea punteada y corte el pequeño triángulo en la parte inferior derecha siguiendo el borde derecho de la hw × 1 rectángulo.
Esto corta el h × w rectángulo en tres piezas que se pueden reorganizar en un hw × 1 rectángulo. (Justificar esta disección final requiere algunos argumentos inteligentes que involucren triángulos similares. Consulte los ejercicios a continuación para conocer los detalles).
Finalmente, coloque este último rectángulo en la parte superior de la pila y habrá convertido con éxito este polígono, en realidad, cualquier polígono, en un rectángulo de ancho 1.
Ahora bien, si el área del polígono original era A, entonces la altura de este rectángulo debe ser A, por lo que todo polígono con área A son las tijeras congruentes con un rectángulo de ancho 1 y alto A. Eso significa que si dos polígonos tienen área A, entonces ambas son tijeras congruentes con el mismo rectángulo, por lo que por transitividad son tijeras congruentes entre sí. Esto muestra que todo polígono con área A es una tijera congruente con cualquier otro polígono con área A.
Pero incluso este poderoso resultado no fue suficiente para completar con éxito la evaluación del Brownie Bake Off de Imaginary University. Todavía quedaba una entrada, y nadie se sorprendió con lo que apareció el Equipo Pi.
En el momento en que Gina vio venir ese círculo, se despertó de su sueño con un sudor frío. Sabía que era imposible cortar un círculo en un número finito de piezas y reorganizarlas para formar un cuadrado, un rectángulo o cualquier polígono. En 1964 los matemáticos Lester Dubins, Morris Hirsch y Jack Karush demostraron que un círculo no es una tijera congruente con ningún polígono. El sueño de Gina se había convertido en una pesadilla geométrica.
Pero como siempre parece hacer, los matemáticos convirtieron este obstáculo en nuevas matemáticas. En 1990, Miklós Laczkovich demostró que es posible cortar un círculo y reorganizarlo en un cuadrado, siempre y cuando puedas usar piezas infinitamente pequeñas, infinitamente desconectadas e infinitamente dentadas que posiblemente no podrían producirse con un par de tijeras.
Tan sorprendente y emocionante como fue el resultado de Laczkovich, solo demostró que tal descomposición es teóricamente posible. No explicaba cómo construir las piezas, solo que podían existir. Ahí es donde entraron Andras Máthé, Oleg Pikhurko y Jonathan Noel: a principios de 2022 publicó un papel en el que igualaron la realización de Laczkovich, pero con piezas que es posible visualizar.
Desafortunadamente, no podrá usar su resultado para resolver ningún horneado de brownie. Las tijeras solas no pueden producir el 10200 piezas necesarias en su descomposición. Pero es otro paso adelante en la respuesta a una larga lista de preguntas que comenzaron cuando Arquímedes inventó o descubrió por primera vez $latex pi$. Y nos mantiene avanzando hacia la invención o el descubrimiento de nuevas matemáticas con las que las generaciones anteriores no podían soñar.
Ejercicios
1. Explica cómo sabemos que en la derivación de la fórmula del área de un paralelogramo, el triángulo que cortamos encaja perfectamente en el espacio del otro lado del paralelogramo.
2. Explica por qué cualquier triángulo puede dividirse en un rectángulo.
Para los ejercicios 3 y 4, considere el diagrama usado para mostrar que un h × w rectángulo es una tijera congruente con un hw × 1 rectángulo, con puntos etiquetados.
3. Explica por qué $triángulo de látex$ XYQ es similar a $latextrangle$ ABX. ¿Qué significa esto para la longitud de QY?
4. Explica por qué $triángulo de látex$ PCX es congruente con $triángulo de látex$ AZQ.
Haga clic para la respuesta 1:
Hay muchas maneras de demostrar que los dos triángulos son congruentes. Una forma es notar que la distancia entre líneas paralelas es constante, por lo que los dos triángulos rectángulos tienen un par de catetos congruentes.
Y en un paralelogramo, los lados opuestos son congruentes, lo que hace que los dos triángulos sean congruentes por el teorema de congruencia del triángulo hipotenusa-cateto. También puedes argumentar usando el teorema de congruencia del triángulo ángulo-lado-ángulo.
Haga clic para la respuesta 2:
Uno de los grandes resultados elementales en geometría de triángulos es el teorema del segmento medio del triángulo: si conectas los puntos medios de dos lados de un triángulo, el segmento de línea resultante es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.
Como el segmento es paralelo al tercer lado, los ángulos 1 y 3 son ángulos correspondientes congruentes. Y los ángulos 1 y 2 son ángulos interiores del mismo lado, por lo que son suplementarios, lo que significa que sus medidas suman 180 grados. Dado que $latexangle$ 1 es congruente con $latexangle$ 3, eso significa que los ángulos 3 y 2 también son suplementarios.
Por lo tanto, cuando volteas el triángulo superior hacia la derecha, los lados congruentes coincidirán perfectamente y los ángulos 2 y 3 formarán una línea recta.
Esto convierte al triángulo en un paralelogramo que, como ya sabemos, se puede convertir en un rectángulo.
Haga clic para la respuesta 3:
Como BXYZ es un rectángulo, ambos $latexangle$ ZBC y $ángulo de látex$ ZYX son ángulos rectos. Y dado que los lados opuestos de un rectángulo son paralelos, esto hace que $latexangle$ YQX congruente con $latexangle$ AXB, ya que son ángulos alternos interiores. Así $latexttriangle$ XYQ es similar a $latextrangle$ ABX por semejanza ángulo-ángulo. En triángulos semejantes los lados están en proporción, entonces $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Por lo tanto, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, y así QY = 1. Observe que, dado que $latexangle$ ADC es un ángulo recto y un $ángulo de látex$ SALTO y $ángulo de látex$ YQX son ángulos correspondientes congruentes, esto hace que el $triángulo de látex$ SALTO congruente con $latexttriangle$ YQX. Esto prueba que puedes deslizar $latexttriangle$ YQX en el lugar que actualmente ocupa el $triángulo de látex$ SALTO, como se necesita en el argumento de congruencia de tijeras.
Haga clic para la respuesta 4:
Observe que $ángulo de látex$ AZQ y $ángulo de látex$ PCX Ambos son ángulos rectos y, por lo tanto, congruentes. Usando las propiedades de las líneas paralelas como en el ejercicio 3, también podemos ver que $ángulo de látex$ AQZ y $ángulo de látex$ PXC son ángulos correspondientes congruentes. También en el ejercicio 3 mostramos que QY = 1. Esto hace QZ = w − 1, que es exactamente lo que CX es igual a. Así, $triángulo de látex$ PCX es congruente con $triángulo de látex$ AZQ por la congruencia del triángulo ángulo-lado-ángulo. Esto justifica la otra parte del argumento de que un h × w rectángulo es una tijera congruente con un hw × 1 rectángulo.
