Introducción
La teoría de los nudos comenzó como un intento de comprender la composición fundamental del universo. En 1867, cuando los científicos estaban ansiosos por descubrir qué podría explicar los diferentes tipos de materia, el matemático y físico escocés Peter Guthrie Tait le mostró a su amigo y compatriota Sir William Thomson su dispositivo para generar anillos de humo. Thomson, que más tarde se convertiría en Lord Kelvin (homónimo de la escala de temperatura), quedó cautivado por las seductoras formas de los anillos, su estabilidad y sus interacciones. Su inspiración lo llevó en una dirección sorprendente: tal vez, pensó, así como los anillos de humo eran vórtices en el aire, los átomos eran anillos de vórtice anudados en el éter luminífero, un medio invisible a través del cual, creían los físicos, la luz se propagaba.
Aunque esta idea de la era victoriana ahora puede sonar ridícula, no fue una investigación frívola. Esta teoría del vórtice tenía mucho que recomendar: la gran diversidad de nudos, cada uno ligeramente diferente, parecía reflejar las diferentes propiedades de los muchos elementos químicos. La estabilidad de los anillos de vórtice también podría proporcionar la permanencia que requerían los átomos.
La teoría del vórtice ganó terreno en la comunidad científica e inspiró a Tait a comenzar a tabular todos los nudos, creando lo que esperaba que fuera equivalente a una tabla de elementos. Por supuesto, los átomos no son nudos y no hay éter. A fines de la década de 1880, Thomson fue abandonando gradualmente su teoría del vórtice, pero para entonces Tait estaba cautivado por la elegancia matemática de sus nudos y continuó con su proyecto de tabulación. En el proceso, estableció el campo matemático de la teoría de nudos.
Todos estamos familiarizados con los nudos: mantienen los zapatos en nuestros pies, los botes amarrados a los muelles y los alpinistas fuera de las rocas de abajo. Pero esos nudos no son exactamente lo que los matemáticos (incluido Tait) llamarían un nudo. Aunque un cable de extensión enredado puede parecer anudado, siempre es posible desenredarlo. Para obtener un nudo matemático, debe unir los extremos libres de la cuerda para formar un bucle cerrado.
Debido a que las hebras de un nudo son flexibles como una cuerda, los matemáticos ven la teoría de nudos como un subcampo de topología, el estudio de las formas maleables. A veces es posible desenredar un nudo para que se convierta en un simple círculo, al que llamamos “desnudo”. Pero más a menudo, desenredar un nudo es imposible.
Los nudos también se pueden combinar para formar nuevos nudos. Por ejemplo, la combinación de un nudo simple conocido como trébol con su imagen especular produce un nudo cuadrado. (Y si unes dos nudos de trébol idénticos, haces un nudo de abuela).
Usando terminología del mundo de los números, los matemáticos dicen que el trébol es un nudo primo, el nudo cuadrado es compuesto y, como el número 1, el nudo no es ninguno de los dos. Esta analogía fue respaldada aún más en 1949 cuando Horst Schubert demostró que cada nudo es primo o puede descomponerse únicamente en nudos primos.
Otra forma de crear nuevos nudos es entrelazar dos o más nudos, formando un vínculo. Los anillos borromeos, llamados así porque aparecen en el escudo de armas de la Casa italiana de Borromeo, son un ejemplo sencillo.
Thomson y Tate no fueron los primeros en ver los nudos de forma matemática. Ya en 1794, Carl Friedrich Gauss escribió y dibujó ejemplos de nudos en su cuaderno personal. Y el alumno de Gauss, Johann Listing, escribió sobre los nudos en su monografía de 1847. Vorstudien zur Topologie ("Estudios preliminares de topología"), que también es el origen del término topología.
Pero Tait fue el primer erudito en trabajar en lo que se convirtió en el problema fundamental de la teoría de nudos: la clasificación y tabulación de todos los nudos posibles. A través de años de arduo trabajo utilizando únicamente su intuición geométrica, encontró y clasificó todos los nudos primos que, cuando se proyectan en un plano, tienen como máximo siete cruces.
A fines del siglo XIX, Tait se enteró de que otras dos personas, el reverendo Thomas Kirkman y el matemático estadounidense Charles Little, también estaban estudiando este problema. Con sus esfuerzos combinados, clasificaron todos los nudos principales con hasta 19 cruces y muchos de ellos con 10 cruces. Sorprendentemente, sus tablas hasta el 11 estaban completas: no se perdieron ningún nudo.
Es notable que Tait, Kirkman y Little lograran tanto sin los teoremas y técnicas que se descubrirían en los años venideros. Pero una cosa que funcionó a su favor fue el hecho de que la mayoría de los nudos pequeños son "alternos", lo que significa que tienen una proyección en la que los cruces exhiben un patrón consistente de arriba-abajo-abajo.
Los nudos alternos tienen propiedades que los hacen más fáciles de clasificar que los nudos no alternos. Por ejemplo, es difícil encontrar el número mínimo de cruces para cualquier proyección de un nudo. Pero Tait, quien durante años asumió erróneamente que todos los nudos se alternaban, conjeturó una forma de saber si había encontrado ese número mínimo: si una proyección alterna no tiene cruces que puedan eliminarse volteando parte del nudo, entonces debe ser la proyección con el mínimo número de cruces.
Esta y otras dos conjeturas de Tait sobre la alternancia de nudos terminaron siendo ciertas. Sin embargo, estas famosas conjeturas no se demostraron hasta finales de la década de 1980 y principios de la de 90 utilizando una herramienta matemática desarrollada en 1984 por Vaughan Jones, quien ganó la Medalla Fields por su trabajo en teoría de nudos.
Desafortunadamente, los nudos alternos solo te llevan hasta cierto punto. Una vez que llegamos a los nudos con ocho o más cruces, el número de nudos no alternos crece rápidamente, lo que hace que las técnicas de Tait sean menos útiles.
La tabla original de todos los 10 nudos cruzados estaba completa, pero Tait, Kirkman y Little contaron dos veces. No fue hasta la década de 1970 que Kenneth Perko, un abogado que había estudiado teoría de nudos en Princeton, notó que dos de los nudos son imágenes especulares entre sí. Ahora se les conoce como la pareja Perko en su honor.
Durante el último siglo, los matemáticos han encontrado muchas formas ingeniosas de determinar si los nudos son realmente diferentes. Esencialmente, la idea es identificar un invariante — una propiedad, cantidad o entidad algebraica que está asociada con el nudo y que a menudo se puede calcular de forma sencilla. (Estas propiedades tienen nombres como capacidad de color, número de puente o retorcimiento). Armados con estas etiquetas, los matemáticos ahora pueden comparar fácilmente dos nudos: si difieren en algún atributo dado, entonces no son el mismo nudo. Sin embargo, ninguna de estas propiedades es lo que los matemáticos llaman un invariante completo, lo que significa que dos nudos diferentes pueden tener la misma propiedad.
Debido a toda esta complejidad, puede que no sorprenda que la tabulación de los nudos todavía esté en curso. Más recientemente, en 2020, Benjamin Burton clasificados todos los nudos primos hasta 19 cruces (de los cuales hay casi 300 millones).
La teoría del nudo tradicional tiene sentido solo en tres dimensiones: en dos dimensiones solo es posible el desanudado, y en cuatro dimensiones el espacio adicional permite que los nudos se desaten solos, por lo que cada nudo es lo mismo que el desanudado.
Sin embargo, en el espacio de cuatro dimensiones podemos anudar esferas. Para tener una idea de lo que esto significa, imagine cortar una esfera común a intervalos regulares. Hacerlo produce círculos, como líneas de latitud. Sin embargo, si tuviéramos una dimensión adicional, podríamos anudar la esfera para que los cortes, ahora tridimensionales en lugar de dos, pudieran ser nudos.
Esta idea estaba detrás de uno de los mayores resultados recientes en la teoría de nudos. En 2018, la entonces estudiante de posgrado Lisa Piccirillo resolvió una pregunta de 50 años sobre un nudo de 11 cruces descubierto por primera vez por John Conway. La pregunta tenía que ver con una propiedad llamada división. Como hemos visto, cuando cortamos una esfera anudada en cuatro dimensiones, obtenemos un nudo o eslabón en tres dimensiones. A veces podemos obtener un nudo determinado a partir de una bonita esfera suavemente anudada, pero para otros nudos, la esfera tiene que anudarse y arrugarse como un trozo de papel usado. Piccirillo probó, en esencia, que el nudo de Conway era del último tipo. En la jerga técnica, demostró que no es un "rebanado suave".
La teoría de nudos ha atravesado el panorama matemático a lo largo de los siglos. Comenzó como un área aplicada de las matemáticas, con Thomson intentando usar nudos para comprender la composición de la materia. A medida que esa idea se desvanecía, se convirtió en un área de matemáticas puras, una rama del intrigante y aún poco práctico dominio de la topología. Pero en los últimos años, la teoría de nudos se ha vuelto a convertir en un área aplicada de las matemáticas, ya que los científicos usan ideas de la teoría de nudos para investigar dinámica de fluidos, electrodinámica, moléculas anudadas como el ADN y así. Afortunadamente, mientras los científicos estaban ocupados estudiando otras cosas, los matemáticos construían catálogos de nudos y las herramientas para desenredar sus secretos.
