Keerulise matemaatilise plaatimise lühiajalugu | Ajakiri Quanta

Iga päev näeme näiteid motiivide kordumisest. See sümmeetria ja korrapärasus võib tunduda igapäevane ja peaaegu nähtamatu, nagu näiteks müüritise puhul hoone seintel või kuusnurkse mustriga kärjes. Või kui meil on õnn kohtuda Hispaania Alhambra elegantsete plaatidega või MC Escheri loominguliste joonistega, võivad mustrid meid inspireerida ja hämmastada.

Matemaatikud on sajandeid mänginud nende korduvate kujunditega, ammutades neist põnevaid teadmisi ja uudseid võimalusi. Matemaatika ilu konkureerib disainilahenduste enda iluga.

Lihtsamad plaadid on valmistatud identsetest hulknurkadest, mille küljed on võrdse pikkusega ja võrdse suurusega nurgad, mis on ühendatud täisserva täisservaga. Kuid kuigi neid “korrapäraseid” hulknurki on lõpmatult palju – üks iga külje arvu kohta –, on seal ainult kolm korrapärast plaati, mis on moodustatud kolme, nelja või kuue küljega kujunditest – see tähendab kolmnurkadest, ruutudest ja kuusnurkadest.

Teised kujundid pole lihtsalt selle jaoks loodud. Tavalise viisnurga (viie küljega) sisenurk on 108 kraadi. See ei jagune ühtlaselt 360 kraadiks, nii et iga katse tavalisi viisnurki plaadiks kokku panna tekitab kindlasti tühimikuid, mida ei saa täita; me ütleme, et tavaline viisnurk ei saa tasapinda plaatida. Ja tavalistel rohkem kui kuue küljega hulknurkadel on sisenurgad liiga suured, et kolm saaks ühes punktis kokku puutuda, ja seega ei saa ka need.

Veel üks ülevaade tavaliste hulknurkadega plaatimisest pärineb Johannes Keplerilt, kes on täna tuntud oma avastuste poolest planeetide liikumise kohta. Aastal 1619 näitas ta, et isegi kui kasutate rohkem kui ühte tavalist hulknurka, saate luua ainult kaheksa uut plaatimismustrit, kus iga tipu ümber on konfiguratsioon identne. (Kui meil lubatakse sellest piirangust kõrvale kalduda, on rohkem võimalusi.)

Kui lubame ebakorrapäraseid hulknurki, muutuvad asjad huvitavamaks. Üllataval kombel suudab tasapinda plaatida iga kolmnurk ja veelgi üllatavam on see, et iga nelinurk.

Teisest küljest on võimatu tasapinda plaatida ühegi kumera hulknurgaga, millel on rohkem kui kuus külge; sisenurkade summa on lihtsalt liiga suur. Nii et ülejäänud võimalusteks jäävad ainult viisnurgad ja kuusnurgad.

Oma 1918. aasta doktoritöös tõestas Karl Reinhardt, et tasapinda on võimalik plaatida lõpmatult paljude kumerate kuusnurkadega – ilma süvenditeta –, mille ta rühmitas kolme perekonda.

Kumeraid viisnurki, mis lennukit plaadistavad, oli keerulisem klassifitseerida. Reinhardt avastas viis selliste viisnurkade perekonda; 50 aastat hiljem leidis Richard Kershner veel kolm. 1975. aastal kirjutas Martin Gardner probleemist Scientific American, tuues sellele nii professionaalsete kui ka amatöörmatemaatikute tähelepanu. Üks selline amatöör, arvutiprogrammeerija nimega Richard James III, saatis Gardnerile näite üheksandast perekonnast, küsides: "Kas olete nõus, et Kershner jättis selle vahele?" Tal oli.

Ka koduperenaine Marjorie Rice luges Gardneri kolumni ja hakkas oma köögilaual probleemist aru saama. Ta nokitses üle kahe aasta ja avastas veel neli perekonda viisnurkade plaatimisest.

Teadlased leidsid 14. aastal 1985. plaaditud viisnurkade perekonna ja kolm aastakümmet hiljem leidis teine ​​meeskond arvutiotsingu abil 15. perekonna. Keegi ei teadnud, kas see avastus täiendas nimekirja või on peidus veel perekondi. Sellele küsimusele vastati 2017. aastal, kui Michaël Rao tõestatud et kõik kumerad plaatide viisnurgad – ja koos nendega ka kõik kumerad plaatide hulknurgad – on leitud.

Kõik need plaadid korduvad. See tähendab, et neil on perioodiline sümmeetria, mis tähendab põhimõtteliselt seda, et kui me jälgiksime plaatimist paberitükil ja libistaksime seda paberit teatud suundades, oleks see uuesti täpselt plaadiga joondatud.

Võimalikud on ka muud tüüpi sümmeetriad. Näiteks peeglisümmeetria tähendab, et meie mustrid joonduvad, kui pöörame jälituspaberi fikseeritud joone ümber tagurpidi. Pöörlemissümmeetria tähendab, et kui me oma paberit pöörame, on need kohakuti. Ja me saame kombineerida toiminguid, et saavutada libisemispeegelduse sümmeetria, mis on nagu paberi libistamine ja seejärel ümber pööramine.

1891. aastal tõestas vene kristallograaf Evgraf Fedorov, et nende sümmeetriate ühendamiseks on ainult 17 võimalust. Kuna see piirang kehtib kõigi lennuki perioodiliste kaunistuste kohta, nimetatakse neid laialdaselt 17 "tapeedirühmaks".

Kui inimene on selle sümmeetriamustrite klassifikatsiooniga tuttav, on peaaegu võimatu näha perioodilist kujundust, olgu see ükskõik kui keerukas, ja mitte pidada seda dekodeerimiseks mõeldud mõistatuseks: kus ja kuidas see täpselt kordub? Kus need sümmeetriad on?

Muidugi ei ole iga plaatide kujundus perioodiline. Plaate on võimalik ja sageli lihtne paigutada tasapinnale nii, et saadud kujundus ei korduks kunagi. Meie näites kuusnurkade, ruutude ja kolmnurkadega saate seda teha, lihtsalt pöörates ühte kuusnurka ja seda ümbritsevaid hulknurki 30 kraadi võrra. Saadud plaatimisel ei ole enam translatsioonisümmeetriat.

1961. aastal oletas loogik Hao Wang, et kui kujundite kogum plaadistab tasapinna, peavad kujundid saama tasapinda perioodiliselt plaadistada. Vaid paar aastat hiljem tõestas tema kraadiõppur Robert Berger, et ta eksis, avastades massilise enam kui 20,000 XNUMX plaadist koosneva komplekti, mis plaativad lennukit, kuid mitte perioodiliselt. Selliseid plaatide komplekte nimetatakse perioodiliseks.

Kuigi Berger ja teised suutsid nende perioodiliste komplektide suurust märkimisväärselt vähendada, köitis Roger Penrose 1970. aastate keskel maailma tähelepanu, avastades väga väikesed komplektid omaenda perioodilistest plaatidest. Väikseimate komplektide jaoks on vaja ainult kahte plaati.

Need kujundid ja mustrid vaimustasid matemaatikuid, teadlasi ja avalikkust. Kuid nad tõstatasid ilmse järgmise küsimuse: kas on olemas üks aperioodiline plaat? Plaatimise teooria ülim eesmärk oli nüüd leida selline "einsteini" plaat – see ei saanud nime füüsiku järgi, vaid saksakeelse fraasi "üks kivi" järgi.

2010. aastal jõudsid Joshua Socolar ja Joan Taylor einsteini avastamisele väga lähedale. Nende lähenemise probleem seisnes selles nende plaat tuli lahti ühendada; see oleks nagu tasapinna plaatimine selliste kujunditega nagu Hawai'i osariik, üksus, mis koosneb eraldi piirkondadest, mitte ühendatud kujunditega nagu California. Üha enam kahtlustasid matemaatikud, et kui einstein eksisteeriks, peaks see olema midagi geomeetriliselt väga keerulist.

2023. aasta märtsis šokeeris amatöör taas maailma. Pensionil trükitehnik ja matemaatikahuviline David Smith oli avastanud mitte ainult ühe aperioodilise monotiili, vaid lõputu perekond neist tabamatutest einsteinidest. Ta lõi Craig Kaplani, Chaim Goodman-Straussi ja Joseph Samuel Myersi – arvutiteaduse, matemaatika ja plaatide teooria eksperdid – ning koos esitlesid nad geomeetriliselt lihtsat einsteini, mida nimetatakse kübaraplaadiks (mis Interneti arvates nägi välja nagu T-särk. ).

Reaktsioon oli kiire ja positiivne. Avastajad esinesid konverentsidel ja esinesid veebis. Matemaatikud kasutasid võimalust leida loomingulisi viise Escheri-laadsete kujunduste loomiseks nende uute geomeetriliselt huvitavate plaatide põhjal. Kübaraplaat esines isegi ühe hilisõhtuse telesaate monoloogis.

Siiski oli veel arenguruumi. Lennuki plaadistamiseks mütsiga tuleb umbes seitsmendik plaatidest tagurpidi pöörata. Majaomanik, kes soovib oma vannituba kübaraplaadiga plaatida, peaks ostma kahte tüüpi plaate: tavalise plaadi ja selle peegelpildi. Kas see oli tõesti vajalik?

Veel enne, kui kübaraplaadi põnevus oli vaibunud, tegi meeskond uue teate. Smith oli leidnud sellest aperioodiliste monotiilide lõpmatust perekonnast ühe, mida ta nimetas "tontseks", mis suudab tasapinna plaatida, ilma et oleks vaja peegeldunud koopiaid. Tõeline einstein oli lõpuks ilmunud.

Oleme praegu keset plaatide ja tessellatsioonide matemaatilise uurimise taaselustamist. See on tuginenud amatööride olulisele panusele, inspireerinud matemaatikakunstnike loovust ja rakendanud arvutite jõudu teadmiste piiride edasilükkamiseks. Ja selle põhjal oleme saavutanud uusi teadmisi sümmeetria, geomeetria ja disaini olemuse kohta.

Parandus: Oktoober 30, 2023
Selle artikli algses versioonis väideti, et tasapinda on võimatu plaatida ühegi enam kui kuue küljega hulknurgaga. See kehtib ainult siis, kui hulknurk on kumer.

Quanta viib läbi mitmeid küsitlusi, et meie vaatajaskonda paremini teenindada. Võtke meie matemaatika lugejaküsitlus ja teid osaletakse tasuta võitmiseks Quanta kaup.