Sissejuhatus
Lõpmatuse idee on tõenäoliselt umbes sama vana kui numbrid ise, ulatudes tagasi alati, kui inimesed esimest korda mõistsid, et nad võivad igavesti lugeda. Kuid kuigi meil on lõpmatuse märk ja võime sellele kontseptsioonile viidata juhuslikus vestluses, jääb lõpmatus isegi matemaatikute jaoks sügavalt salapäraseks. Selles episoodis vestleb Steven Strogatz oma kaasmatemaatikuga Justin Moore Cornelli ülikoolist, kuidas üks lõpmatus võib olla teisest suurem (ja kas võime olla kindlad, et nende vahel ei ole vahepealset lõpmatust). Samuti arutletakse selle üle, kuidas füüsikud ja matemaatikud kasutavad lõpmatust erinevalt ning kui oluline on lõpmatus matemaatika aluspõhja jaoks.
Kuulake edasi Apple Podcastid, Spotify, Google Podcastid, Stitcher, Häälestama või oma lemmik taskuhäälingusaadete rakenduse või saate seda teha voogesitage seda Quanta.
Ümberkirjutus
Steven Strogatz (00:03): Mina olen Steve Strogatz ja see on Rõõm miks, taskuhäälingusaade Quanta Magazine mis viib teid praeguste suurimate vastamata küsimusteni matemaatikas ja loodusteadustes.
(00:13) Selles osas arutleme lõpmatuse üle. Keegi ei tea tegelikult, kust lõpmatuse idee pärineb, kuid see peab olema väga iidne – sama vana kui inimeste lootused ja hirmud asjade ees, mis võiksid kesta igavesti. Mõned neist on hirmutavad, nagu põhjatud lohud, ja mõned neist on meeliülendavad, nagu lõputu armastus. Matemaatikas on lõpmatuse idee tõenäoliselt umbes sama vana kui arvud ise. Kui inimesed mõistsid, et nad võivad lihtsalt igavesti lugeda - 1, 2, 3 ja nii edasi. Kuid kuigi lõpmatus on väga vana idee, jääb see sügavalt salapäraseks. Inimesed on juba tuhandeid aastaid kukalt kratsinud lõpmatuse pärast, vähemalt Zenoni ja Aristotelese ajast Vana-Kreekas.
(00:57) Kuidas aga mõistavad matemaatikud lõpmatust tänapäeval? Kas lõpmatus on erineva suurusega? Kas lõpmatus on matemaatikutele kasulik? Ja kui jah, siis kuidas täpselt? Ja mis on sellel kõigel pistmist matemaatika enda alustega?
(01:14) Täna liitub minuga, et arutada lõpmatust, on Cornelli matemaatikaprofessor Justin Moore. Tema uurimisvaldkonnad hõlmavad hulgateooriat, matemaatilist loogikat ja lõpmatut kombinatoorikat ning nende rakendusi teistes matemaatika valdkondades, nagu topoloogia, funktsionaalanalüüs ja algebra. Tere tulemast, Justin.
Justin Moore (01:33): Tere, Steve. Aitäh, et mul on.
Strogatz (01:35): Jah, mul on väga hea meel teiega rääkida. Peaksin ütlema, et võib-olla täieliku avalikustamise huvides on Justin minu sõber ja kolleeg Cornelli matemaatikaosakonnas. Olgu, siis hakkame mõtlema lõpmatusest, nagu matemaatikud sellest mõtlevad. Tegelikult võib-olla enne matemaatika osasse sukeldumist räägime hetkeks reaalsest maailmast, sest me ei ole seal kauaks. Kas mul on õigus, et olete kunagi füüsikamaailmas koolitatud?
Moore (02:02): Jah, see oli füüsika topelteriala koos matemaatikaga, kui ma olin bakalaureuseõppes. Ma põlesin füüsikaga läbi. Hakkasin eelistama füüsikat ja tundsin huvi ka matemaatika vastu rohkem meelelahutuslikus mõttes. Ja siis millegipärast tekkis mul selle käigus suurem huvi matemaatika ja füüsika vastu.
Strogatz (02:18): OK. Kuidas on lood lõpmatuse füüsikaga? Kas sellel on üldse mõtet? Kas reaalses maailmas on lõpmatuid asju, millest me teame?
Moore (02:26): Tead küll seda videot, 10 volitused, mille lõid Charles ja Ray Eames? Kui põhimõtteliselt iga - ma arvan, et see on iga 10 sekundi järel, olete 10 sekundi võrra väiksem. Alguses ma arvan, et võimsus on 10 korda suurem. Suumid välja. Ja siis olete iga 10 sekundi järel 10 võrra väiksem ja liigute universumi suurimast skaalast subatomaarsete osakeste väikseima skaalaga. Tead, see tehti tagasi, ma tahan öelda, 70ndate lõpus või 80ndate alguses. Ja ma arvan, et meie arusaam mõnest asjast on sellest ajast saadik veidi arenenud, kuid mitte tohutult. Aga ma mõtlen, et asi on selles, et 40-st on umbes 10 astet, mis eraldavad väikseimat pikkuseskaalat suurimast pikkuseskaalast, ja võib-olla võite olla helde ja lisada mitu 10-st lisavõimsust. Kuid on aus öelda, et füüsikas ei ole võimalik mõõta midagi, mis oleks suurem kui 10100 või 10200 või midagi sellist.
(03:22) Ja võib-olla meie arusaam asjadest on pidev – pidev liikumine või mis iganes – võib-olla on see kõik lihtsalt illusioon. Võib-olla on kõik tõesti teraline ja piiratud. Kuid tõsi on see, et kindlasti on füüsikud avastanud palju maailma kohta, milles me elame, kujutledes, et asjad on sujuvad ja pidevad ning et see lõpmatus on mõttekas. Kui minna füüsika nendesse osadesse, kus nad pole asju veel päriselt vormistanud, on paljud probleemid, mis matemaatikutel selle füüsikutele taanduvad, lõpmatuse käsitlemine mitmel erineval viisil ja lõpmatuste lahutamine lõpmatustest. , ja võib-olla ei vastuta selle eest nii, nagu matemaatik sooviks. Ma ei arva, et see on tõesti vastuoluline väide. Ma arvan, et füüsik teeks seda – enamik füüsikuid ilmselt – ma mõtlen, OK, võib-olla te teaksite paremini. Kuid ma usun, et enamik füüsikuid ütleks, et see on üsna õige väide.
Strogatz (04:20): Niisiis, mis puudutab teie isiklikku lugu – ma luban, et ma ei lähe liiga sügavale, et teid selles häbistada –, aga mis tõmbas teid lõpmatusse? Kas füüsika tundus teile kuidagi liiga väike? Või meeldib sulle lihtsalt matemaatika rangus või…?
Moore (04:33): Ma arvan, et ma arvan, et hakkasin huvitama matemaatikat tervikuna ja eemaldusin füüsikast enne, kui hakkasin konkreetselt huvi tundma hulgateooria vastu. Iroonilisel kombel oli põhjus selles, et ma – kui sa lähed füüsikatundi, siis ühel hetkel oled sa matemaatikaga üsna kiire ja lõdvalt. Ja sa oled sellega rahul või mitte. Olin üks neist, kellele see ei sobinud.
Strogatz (04:56): Oeh. Ja ma olin üks, kes oli korras, ja teen seda siiani. Teate, ma mõtlen, et need asjad ei ole mulle liiga palju muret teinud, kuigi ma austan hoolitsust, mis – intellektuaalne terviklikkus, mis puhaste matemaatikutel on, teate – nende asjade pärast muretseb.
(05:11): Okei, oletame, et ma olin lihtsalt, ma ei tea, nagu uudishimulik teismeline ja ma isegi ei tea, mis on lõpmatus. Mis sa ütleksid, et see on? Kas ma peaksin seda pidama väga suureks numbriks? Kas see on mingi sümbol? Kas see on kinnisvara? Kuidas on hea mõelda, mis on lõpmatus?
Moore (05:26): Jah, ma arvan, et see võib olla idealiseeritud punkt rea lõpus, eks? See võib olla formaalne sümbol. Teate, te võite seda mõelda nii... formaalne sümbol samas tähenduses, nagu näiteks, me võtame kasutusele -1, eks? Ja ma mäletan, kui olin väike laps, et õpetajad ei tahtnud selgeks teha, kas negatiivsetest numbritest on ohutu rääkida. Ja eks, see kõlab tagantjärele tobedalt, aga mingil tasemel, eks, kas -1 on reaalses maailmas olemas? Kuid te saate sellega formaalselt manipuleerida ja mingil tasemel saate formaalselt manipuleerida lõpmatusega, kuid peate võib-olla pisut rohkem hoolitsust üles näitama. Võite kasutada ka lõpmatust, et mõõta, kui palju midagi on. Ja see avab seal rohkem uksi, sest võite rääkida lõpmatutest komplektidest, millest mõned on suuremad kui teised.
Strogatz (06:15): OK. Hästi. Nii et olete maininud seda sõna "komplektid" ja me räägime täna kindlasti palju komplektidest. Ma ütlesin, et teie huvide hulka kuulub ka hulgateooria. Kas soovite rohkem rääkida selle kohta, mida komplekti all mõtlete?
Moore (06:26): Ma arvan, et... Vastus on nii jah kui ka ei. Nii et ma arvan, et on OK lennata oma pükste istme kõrval ja vaadata seda lihtsalt määratlemata mõistena ja kasutada seda omamoodi intuitiivselt. Kuid seda kasutati ka omamoodi mehhanismina matemaatika aluse loomiseks, kui inimesed mõistsid, et meil on vaja mõndagi, teha matemaatikale hoolikas alus.
Strogatz (06:49): Ahjaa. See on huvitav. Kuna mulle – nii nagu väikeste lastena, õpime me näppudel lugema või hakkavad meie vanemad arvatavasti sõnu ütlema ja siis võivad nad osutada asjadele ja öelda: "1, 2, 3..." Ja me õppisime helisid – lapsed. niimoodi, kui nad on väga väikesed, ma tean, eks? Pean silmas seda, kui teil endal on väikesed lapsed või sugulased. Nii et asjal on see külg. Ja ma arvan, et enamik inimesi kujutaks ette, et numbrid on matemaatika alus. Aga sa ütled ja ma arvan, et enamik matemaatikuid nõustub, et on midagi veelgi sügavamat kui numbrid, mis on see hulga mõiste, eks?
Moore (07:22): Ma arvan, et mõiste "komplekt" tekkis aluskontseptsioonina, kuna see on nii elementaarne ja nii primitiivne. Ja kui soovite, et teil oleks midagi, mida matemaatika kangana kasutada, siis soovite alustada millestki, mille põhiomadused tunduvad väga primitiivsed, ja siis alustada sealt. Ja siis on mõte selles, et kasutate komplekte, et kodeerida selliseid asju nagu loendusarvud, ratsionaalarvud ja reaalarvud jne. Ja siis sealt edasi igasugused muud keerulisemad matemaatilised konstruktsioonid, nagu kollektorid või, või mis iganes.
Strogatz (07:57): Nii et ma mäletan, a Sesame tänav osa, mida ma oma lastega vaatasin. See oli filmis; Ma arvan, et oli. Et seal on tegelane, kes tellis kala tuppa, mis oli täis näljaseid pingviine. Ja ta palus pingviinidel hüüda ja nad ütlevad: "Kala, kala, kala, kala, kala, kala." Ja siis hüüab kelner kööki: "Kala, kala, kala, kala, kala." Ja siis keegi teine ütleb: "Ei, sa said valesti aru." Ja keegi teine ütleb: "Miks sa ei öelnud, et nad tellisid kuus kala?" Kuid see näitab, et see arvu idee pärineb pärast seda kalaobjektide kogumit. Ja siis on teine tegelane üllatunud ja ütleb: „Kas see töötab süüteküünalde puhul? Ja kaneelisaiad?”
Moore (08:42): Tähendab, ma arvan ka, et kui olete huvitatud mõistmisest, kas saate seda tõestada? Või saate seda tõestada? Ja proovite kehtestada reeglid, kuidas asju tõestada või mida iganes, soovite, et põhiprintsiibid oleksid võimalikult lihtsad. Selle asemel, et proovida aritmeetika toimimise reegleid üles kirjutada, alustage lihtsamate asjade jaoks lihtsamate reeglite kirjutamisest ja seejärel koostate aritmeetika nendest elementaarsematest ehitusplokkidest.
Strogatz (09:08): OK. Nii siis ja see meenutab mulle ka "Uut matemaatikat", kui me 60ndatel lapsepõlves õppisime ristmikke ja Venni diagramme ja liitusid, eks? See oli hulgateooria algus. Nad õpetasid seda meile — ma ei mäleta — teises või kolmandas klassis; mu vanemad ei teadnud miks. Kuid ma arvan, et teie tüüpi matemaatikud või teised arvasid, et lapsed peaksid komplekte õppima, kas enne aritmeetika õppimist või samal ajal.
Moore (09:33): Jah, enamik sellest, mida inimesed hulgateoorias uurivad, on tänapäeval tõesti see, kuidas lõpmatud hulgad töötavad. Sest meie intuitsioon lõpmatute hulkade kohta ei ole nii hea kui meie intuitsioon lõplike hulkade kohta. Ja ma arvan, et see on paljuski põhjus, miks vundamentide poole püüeldakse. See oli osaliselt tingitud sellest, et me sooviksime üles kirjutada: OK, mis me oleme üsna kindlad, et need peaksid olema lõpmatute hulkade ja üldiste hulkade omadused, ja seejärel püüda sealt edasi arendada, mis on õige lõpmatute hulkade kohta?
Strogatz (10:03): Okei, miks siis pole meil paar näidet? Kas saate mulle öelda mõned näited asjadest, mis on lõpmatu hulk?
Moore (10:08): Noh, nagu naturaalarvud. Nagu te ütlesite – nagu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja nii edasi –, aga ka selliseid asju nagu ratsionaalsed numbrid. Teate, murrud nagu kaks naturaalarvu üksteise kohal või võib-olla negatiivne murd. Kuid siis on ka selliseid asju nagu reaalarvud, kus - teate, kõike, mida saate kümnendkohaga väljendada, sealhulgas selliseid asju nagu pi ja e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Seega võib neil pärast koma olla lõpmatult palju numbreid.
Moore (10:32): Jah, jah, lõputult palju numbreid. Nad ei pea kordama.
Strogatz (10:35): Ahjaa. Ja kuidas on lood selliste asjadega nagu kujundid või punktid või geomeetrilised asjad, mitte ainult numbrilised asjad?
Moore (10:41): Jah, võite rääkida ka geomeetriliste kujundite kogudest.
Strogatz (10:45): Okei, see on hulga tore omadus: et saame hulkade abil ühtlustada või vähemalt omada ühist keelt aritmeetikast, geomeetriast jne rääkimiseks.
Moore (10:54): Õige.
Strogatz (10:55): Ma arvan, et me võiksime rääkida funktsioonide komplektist, kui võtaksime eelarvutuse kursuse. Tead, nagu pidevate funktsioonide hulk, kui oleksime arvutuskursusel.
Moore (11:04): Muidugi. Jah.
Strogatz (11:05): Või mis iganes. Nii et jah, see annab meile ühise keele kõigi matemaatika osade jaoks.
Moore (11:09): Õige.
Strogatz (11:10): Ja — aga see on matemaatika üldise ajaloo seisukohalt suhteliselt uus idee matemaatika alusena, kas te ei ütleks?
Moore (11:16): Jah, ma mõtlen, ma… Noh, tänapäevane matemaatika, nagu me seda teame, on umbes 100–150 aastat vana. Kuid tavaliselt seostan seda sellega – eelmise sajandi esimene pool oli siis, kui me hakkasime nägema, et kõik matemaatika peamised osad, nagu me neid praegu tunneme, hakkavad arenema ja muutuma omaette teemadeks. Ja see oli ka umbes samal ajal, kui [Bertrand]Russell avastas oma paradoksi, mis tekitas vajaduse matemaatika teatud rangete aluste järele.
Strogatz (11:49): Ahjaa. Peaksime mainima - jah. Nii et Bertrand Russell, kellest me praegu räägime, on sageli rohkem tuntud kui filosoof või patsifist, kuid ometi oli ta üsna tugev matemaatik ja loogik, keegi, keda huvitas loogika kui matemaatika osa.
Moore: Ja ja.
Strogatz (12:04): Nagu te ütlete, oli ta üks neist inimestest, kes aitas komplektiteooriat tõeliselt käima lükata. Ja isegi enne teda oli see härrasmees, Georg Cantor, kellest me üsna palju räägime, Saksamaal 1800. aastate lõpus.
(12:17): Olgu, kuidas kasutavad matemaatikud matemaatikas lõpmatust? Mainisite, kui kasulik see võib olla. Kus seda kasutatakse?
Moore (12:27): Jah, arvutusklassis on see kasulik sümbol teatud arvutuste tegemiseks. Rääkides sellest, kuidas funktsioon käitub, kui sisend muutub väga suureks. Võite rääkida lõpmatuse piirist või suuruste suhetest, kui arv läheb nulli või lõpmatusse või midagi sellist. See on lõpmatuse mõiste, mis on omamoodi esimeses tähenduses, mida mainisin, kus te vaatate lõpmatust kui idealiseeritud punkti rea lõpus.
(12:53) Aga sellest võib rääkida ka nii, et — teate küll, võite rääkida mõne kogu või komplekti elementide arvu loendamisest ja jälgimisest, kui palju elemente sellel on või võib-olla, kui sellel on lõpmatult palju elemente, püüdes vahet teha erineva suurusega lõpmatuse vahel. Ma mõtlen, et kõik mõistavad – või teesklevad, et mõistavad – piiritlemise ja lõpmatu olemise vahet. Ja ma arvan Cantori tähelepanuväärne avastus oli see, et saate lõpmatu hulga puhul teha täiendavaid eristusi. Saate eristada seda, mida nimetatakse loendatavaks, ja siis sellel, mida nimetatakse loendamatuks. Või isegi üldiselt, kõrgemad loendamatud kardinalid kui erisused erinevate loendamatute kardinalide vahel.
Strogatz (13:34): Olgu, lähme sinna. Sest see on nii, see viib meid tõesti meie teema keskmesse. Ma arvan, et keskmine inimene, kes kuuleb sõna "loendatav" esimest korda, võib arvata, et see tähendab sõna otseses mõttes loendatavat, nagu midagi, millel on 10. Teate, kui laual on 10 süüteküünalt, võiksin need kokku lugeda – 1, 2, 3 , kuni 10. Kuid teie ja teised matemaatikud kasutate loendatavat, et tähendada midagi sellest veidi erinevat.
Moore (13:56): See tähendab lihtsalt seda, et saate määrata igale hulga elemendile naturaalarvu, nii et ühtegi naturaalarvu ei kasutataks kaks korda.
Strogatz (13:56): Nii et miski võib olla loendatav ja lõpmatu.
Moore (13:57): Ja lõpmatu. Seega on naturaalarvud ilmselgelt loendatavad, sest nad loevad ise. Kuid võib-olla on veidi vähem ilmne, et täisarvud, sealhulgas naturaalarvude negatiivsed, on loendatavad.
Strogatz (14:18): Nii et räägime sellest korraks. Nii et kui inimene pole sellele varem mõelnud, on see huvitav. Sest nagu sa ütlesid, et võtate arvesse kõiki numbreid, kõiki positiivseid täisarve, kõiki negatiivseid täisarve ja nulli.
Moore (14:29): Jah.
Strogatz (14:30): Ja sa võid seda valesti teha. Kui alustaksite nullist ja hakkaksite lugema paremale ning läheksite 0, 1, 2, 3 juurde, ei jõuaks te kunagi tagasi negatiivsete arvude juurde. Ja nii poleks sa suutnud kõiki täisarve kokku lugeda.
Moore (14:41): Jah.
Strogatz: Aga mida peaksite selle asemel tegema?
Moore: Mida saate teha, on see, et saate lugeda, teate, 0, 1, -1 ja siis 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Ja kui te loetlete need sel viisil, loetlete lõpuks kõik.
Strogatz (14:55): Ilus. Nii et see siksakiline argument, kus hüppate edasi-tagasi positiivsete ja negatiivsete vahel, on kena, organiseeritud ja süstemaatiline viis näidata, et kui mõelda mõnele täisarvule, on see lõpuks loendis.
Moore: Jah. Jah.
Strogatz(15:07): Nii et see on suurepärane. Nii et OK, nii et täisarvud on loendatavad. Cantor avastas ka mõned muud loendatavad asjad – ma ei tea, kas ta oli üllatunud, kuid paljud meist on üllatunud, kui me sellest esimest korda teada saame. Nagu, nagu mida?
Moore (15:21): Jah, ma arvan, et kaks head näidet, mis on üllatavad, on – esiteks ratsionaalsused. Seega on kahe täisarvu kõigi murdude kogum loendatav. Seda on tegelikult üsna lihtne näha, kui järele mõelda, sest saate lihtsalt loetleda kõik murded, mille nimetaja on 1 – või lugeja ja nimetaja absoluutväärtus maksimaalselt 1. Ja siis kõige rohkem 2, kõige rohkem 3, kõige rohkem 4 Ja igal etapil on ainult lõputult palju murde, mille lugeja ja nimetaja on vähemalt suurusjärgus maksimaalselt n. Ja siis saate sel viisil ammendada kõik ratsionaalsused.
Strogatz (15:55): Kui ma valiksin arvu n väärtuseks 3, siis sa ütled, et mul võiks olla näiteks 1/2 või 2/1 või 0/3, kuna lugeja ja nimetaja liidetakse 3-le?
Moore (16:06): Jah. Veel üks, mis on jällegi omamoodi üllatav, on see, kui võtate ladina tähestikus või mis tahes tähestikus üles kirjutada sõnu, mida soovite. Sellest tähestikust pärinevaid lõplikke sõnu või piiratud sümbolite jadasid on maksimaalselt loendamatult palju. Kui mõelda kõigile sõnadele või kõikidele lausetele, kogu kirjandusele, kui soovite -
Strogatz: Oeh.
Moore (16:30): — kõik, mis mitte ainult ei eksisteeri praegu, vaid võib potentsiaalselt eksisteerida ka kunagi tulevikus. Teate, paned need lõputult paljud ahvid kirjutusmasina juurde ja vaatad, millised on väljundid, mida nad suudavad piiratud aja jooksul genereerida. See kõik on lihtsalt loendatav komplekt.
Strogatz (16:44): Vau. Nii et kõik võimalikud raamatud kõigis, oletame, et ladina keeles, kõigis võimalikes keeltes, mida me teame?
Moore (16:50): Kõikides võimalikes keeltes. Jah. Ma mõtlen, et kui teile isegi meeldib, võite soovi korral kasutada loendatavat tähestikku. See ei muuda midagi suuremaks.
Strogatz (16:56): Nii loendatav tunduks väga suur lõpmatus. Ja veel —
Moore (16:59): Jah. Esimene üllatav asi on see, et need hulgad, mis näivad olevat suuremad kui naturaalarvud, on tegelikult sama suured kui naturaalarvud. Need on loendatavad. Kuid siis on veel üks üllatus, milleks on see, et reaalarvud, kümnendarvude hulk, on loendamatud.
Strogatz (17:13): Nii et siin on märkimisväärne punkt, et olete maininud, et võib olla komplekte, mis pole loendatavad. Ja ma arvan, et kõige lihtsam näide oleks: mõelge joonele, mis kulgeb lõpmatuseni mõlemas suunas. Nii nagu lõpmata pikk sirgjoon. Tõeline liin, nagu me seda nimetaksime. See on loendamatu.
Moore (17:32): Õige. Kui annate mulle nimekirja, väidetava loendi kõigist sellel real olevatest elementidest, on protseduur, mida nimetatakse diagonaalargumendiks, mis võimaldab teil luua uue punkti, mis on joonel, kuid mitte teie loendis. See oli Cantori kuulus avastus.
Strogatz (17:49): Nii et see oli tol ajal tõesti täiesti hämmastav avastus, eks? Et nüüd võiks äkki rääkida kahest lõpmatust hulgast ja neid võrrelda.
Moore (17:58): Jah, jah. Ja loendatava ja loendamatu eristamine on matemaatikas tõesti kasulik. Põhimõtteliselt, loendatavatest komplektidest, saate ikkagi rääkida summadest, mis on loendatavalt lõpmatu pikkusega. See on midagi, mida õpetatakse standardse - teise semestri arvutuskursuse lõpus. Arvestades, et loendamatute kogumite summad on vähem tähenduslikud või vähemalt peate need delikaatsemalt määratlema. See tähendab, et midagi enamat integraali või midagi taolist.
Strogatz (18:30): Olgu, nüüd, kui meil on see loendatavate, nagu täisarvude – 1, 2, 3, 4, 5 – ja loendamatute vahe, nagu joone punktid. On veel üks küsimus, mis minu arvates oleks hea, kui saaksime sellele veidi aega kulutada. Nimetatakse kontiinumi hüpoteesiks. Kas sa võiksid meile öelda, mis see on?
Moore (18:50): Jah. Nii mõtles Cantor: kas seal on, kas seal on midagi vahepealset? Saate — teate, naturaalarvud asuvad reaalarvude sees ja naturaalarvud on loendatavad. Reaalarvud on loendamatud ja suuremad kui naturaalarvud. Kas on olemas reaalarvude kogum, mis on naturaalarvudest suurem, kuid väiksem kui —
Strogatz (19:10): Selles loendamise mõttes väiksem.
Moore (19:12): — joonest väiksem? Kas sellel sirgel, arvteljel on punktide hulk, mis on suurem naturaalarvudest, suurem kui ratsionaalarvud, kuid väiksem kui terve sirge ise? Väidet, et sellist vahehulka pole olemas, nimetatakse kontiinumi hüpoteesiks. Ja see oli Hilberti esimene probleem, kas kontiinumi hüpotees on tõene või vale väide.
Strogatz (19:35): Ahjaa, nii et Hilbert oli selles osas suurepärane matemaatik – võib-olla veidi hilisem põlvkond, aga mitte palju hiljem. Ja aastal – mis see oli, ma arvan, 1900 või nii – teatas ta või andis nimekirja tema arvates tuleviku suurimatest probleemidest, 20. sajandi matemaatikutest, mille kallal töötada. Ja ma arvan, et see oli tema nimekirja esimene küsimus?
Moore (19:58): Jah, see oli küsimus number üks.
Strogatz (20:00): Vau. Nii et sellele oli suur mõte mõelda. Cantor, ütlete, nimetas seda hüpoteesiks. Ta arvas, et see osutub tõeks.
Moore: Jah.
Strogatz (20:07): Et nende kahe vahele ei jääks lõpmatust, millest ta juba teadis
Moore (20:11): Jah. Ja asi on selles, et see elab vastunäidete otsimise proovile üle. Pean silmas seda, et kui hakkate vaatama kõiki reaalarvude komplekte, rea alamhulki, mille kirjelduse saate üles kirjutada või mille saate mõnel viisil konstrueerida. Ta proovis seda. Ja ta tõestas, ma mõtlen, noh, ta näitas, et vastunäiteid pole. Varakult on isegi teoreeme, mis ütlevad, et seda või teist tüüpi hulgad ei saa olla vastunäited.
Strogatz (20:40): See on hämmastav. Las ma veendun, et ma selle kätte saan. Ma pole kunagi kuulnud seda väidet: ainuüksi asjaolu, et mõned neist on kirjeldatavad, muudab need teatud mõttes ebapiisavaks.
Moore (20:49): Näiteks suletud hulgal on kõik piirpunktid. Cantor tõestas, et see ei saa olla vastunäide. See on kas loendatav või sama suur kui päris.
Strogatz (21:00): Nii et kui on vastunäide, siis peab see olema kirjeldamatu.
Moore (21:04): Jah, see peab olema keeruline.
Strogatz (21:06): Vau. Kuid muidugi on võimalik, et see on olemas, lihtsalt see oleks tõesti veider asi.
Moore (21:12): Jah. Nii et see viib meid millegi juurde, mis pöördub tagasi selle põhiküsimuse juurde. Teate, umbes sel ajal hakkasid nad proovima vormistada, mis on matemaatika aksioomid. Ja millalgi hiljem, umbes 1930ndatel, tõestas [Kurt] Gödel, et tegelikult on igasugune arusaadav aksioomisüsteem, mis saavutab naturaalarvude aritmeetika vormistamise tagasihoidliku eesmärgi, tingimata puudulik. On väiteid, mida te ei saa selle aksioomisüsteemi põhjal tõestada, ja te ei saa neid aksioomide põhjal ümber lükata, kasutades standardseid lõplikke tõestusi.
(21:52) Ja see oli minu arvates päris šokeeriv. Sest see ütleb teile, et eesmärk püüda kuidagi algoritmiliselt lahendada kõik teie probleemid matemaatikas ja luua mingisugune algoritmiline alus, mingi täielik matemaatika alus on mõnes mõttes hukule määratud. Või vähemalt peab seda juhtima mõni kõrgem intuitsioon, mis ei piirdu ainult – ma ei tea –, mis tol ajal oli saadaval.
(22:16) Ja mida Gödel tõestas – üks asi, mida ta hiljem tõestas, oli see, et üks väidetest, mida te ei saa tõestada ega ümber lükata, on väide, et teie aksioomisüsteem on järjekindel. Et see ei tooks kaasa mingeid vastuolusid. Seda väidet saab kodeerida kui väidet arvuteooria, naturaalarvude aritmeetika kohta, kuid mitte eriti loomulikul viisil. Kui lähete ja räägite mõne osakonna arvuteoreetikuga, ei pea nad seda probleemiks ega arvuteooria väiteks, kuigi tehniliselt see nii on. Ja nii oligi – Gödeli ajast jäi küsimus, kas kontiinumi hüpotees – või on olemas mõni muu loomulik matemaatiline väide, mis on otsustamatu aksioomisüsteemi põhjal, mille sees me töötasime.
Strogatz (23:02): Seega on olemas selline aksioomide kontseptsioon. Tõenäoliselt peaksime püüdma meeles pidada, kuidas need välja näevad. Sest kui me teeme väga ettevaatlikku matemaatikat, peame paika panema mõned definitsioonid, aga ka mõned asjad, mida me võtame – ma ei tea, miks ma ei taha öelda, et "me võtame iseenesestmõistetavana", vaid et me aktsepteerime kui aluskivi.
Moore (23:19): Jah, jah. Nii et see on midagi, mida kreeklased tegid, see oli, teate – üks saavutusi geomeetria formaliseerimisel – oli selle asemel, et püüda defineerida, mis geomeetria on, pigem vaadelda seda järgmiselt: kirjutan üles mõned määratlemata terminid ja seejärel kirjutage üles reeglid või aksioomid, mis reguleerivad nende määratlemata terminite käitumist. Nende jaoks olid need asjad nagu punkt ja joon. Ja kui punkt on sirgel, on need määratlemata mõisted. Ja kui punkt asub joonel kahe teise punkti vahel, on need määratlemata mõisted. Ja siis panete kirja aksioomide komplekti, mis juhivad nende mõistete toimimist. Ja kui olete seda õigesti teinud, on kõik nõus, et need omadused kehtivad nende asjade puhul ilmselgelt. Seetõttu on need aksioomid asjad, mis on iseenesestmõistetavalt tõesed.
(23:19) Nii et geomeetria jaoks, teate, on see kuulus paralleelpostulaat, mida – te ei saanud teistest tuletada. Ja see oli mõnevõrra revolutsiooniline, kui avastati, et tegelikult saab konstrueerida geomeetria mudeleid, mis vastavad kõigile aksioomidele, kuid mitte paralleelsele postulaadile. Seetõttu pole paralleelpostulaat teiste aksioomide põhjal tõestatav. Nii et mõnes mõttes oli Gödel välja töötanud meetodi selle tegemiseks, kuid matemaatika mudelite tasemel või vähemalt selle aksioomisüsteemi mudelite tasemel, mis meil on matemaatika jaoks.
Strogatz (24:45): Ahaa, see on huvitav viis öelda. Näiteks, kus meil on Eukleidiline geomeetria ja siis on meil ka need uudsemad mitte-eukleidilised geomeetriad, mida Einstein kasutas üldrelatiivsusteoorias, kuid need harjuvad ka mujal. Ja need on loogiliselt sama head kui eukleidiline geomeetria. Aga nüüd, selle asemel, et rääkida lihtsalt geomeetriast, ütlete, et meil võiks olla traditsiooniline – noh, ma pole kindel, mis sõnad need on. Mis on eukleidilise geomeetria analoog? Kas traditsiooniline matemaatika on olemas?
Moore (25:16): See on lahtine küsimus. Ma mõtlen seda, ma mõtlen - ma arvan, et see on osaliselt filosoofiline küsimus. Võib-olla on see sotsioloogiline küsimus, sest küsimus on selles, mis on matemaatika, eks? See tuleb tagasi selle põhiküsimuse juurde. Ja ma arvan, et need aksioomid, mis meil on ZFC aksioomid, mis töötati välja veidi rohkem kui 100 aastat tagasi, on need, millega me üldiselt nõustume, et need on tõesed või need on omadused, mis komplektil peaksid olema, kuid need pole täielik.
Strogatz (25:44): Noh, oota, pakime selle kõik lahti. See kõlab hästi. Nii et ZFC, miks me ei võiks sellest alustada? Need on mõne inimese ja asja nimed.
Moore (25:51): Jah, jah. “Zermelo-Fraenkeli hulgateooria" midagi, mida nimetatakse valiku aksioomiks. Jah.
Strogatz (25:55): OK. Ja need on laialdaselt aktsepteeritud mängureeglid.
Moore (25:59): Jah, see on loetelu aksioomidest, mis on — see on üsna pikk, kuid mitte nii pikk. Näiteks kui teil on kaks komplekti, on olemas komplekt, mille elemendid on mõlemad. Sidumisaksioom, et võite võtta komplektide kogumi ühenduse ja see ongi hulk. Ja nii edasi.
Strogatz (26:15): OK. Seega on olemas ZFC viis, kuidas teha hulgateooriat ja see on teie sõnul pakutud välja teatud ajal ja see meeldib inimestele, aga siis ütlesite, et see pole täielik?
Moore (26:26): Jah. Nii et see on midagi, mida saate kirjutada. Arvuti algoritm aksioomide loetlemiseks. See on lõpmatu hulk aksioome. Kuid kui kahte tüüpi aksioomide klastreid välja arvata, on see piiratud. Kui te ei pööra tähelepanu, arvate tegelikult, et need, kõik teised aksioomide klastrid on üksikud aksioomid. Kuid tegelikult on nad lõpmatu aksioomide perekond. Saate luua arvutiprogrammi, mis sülitab välja kõik aksioomid. Me kipume uskuma, et ZFC on järjepidev, sest me pole avastanud vastuolusid. Kui te seda usute, siis Gödeli mittetäielikkuse teoreemi järgi ei suuda ZFC tõestada, et see on järjepidev.
(27:03) Ja nii on selliseid väiteid nagu ZFC järjepidevus, mida ZFC ei suuda tõestada. See on huvitav punkt. Sest jällegi usume, et ZFC on järjepidev. Ja see on, ma mõtlen, üks põhjusi, miks ma mõtlen... Enamik matemaatikuid, kes nad tööle hakkavad, põhineb usul, et CFC on järjepidev. eks? Kuid see on midagi, mida me peame tõeseks väiteks. Kuid see pole midagi, mille tõestamiseks ZFC ise ei piisa.
Strogatz (27:27): Ma lihtsalt mõtlen. Teel siia oleme maininud Gödelit. Ma ei tea, kas me oleme öelnud, kes ta on. Kas soovite meile lühidalt rääkida?
Moore (27:34) Jah, ta oli. Ma mõtlen, et ta oli omamoodi revolutsiooniline loogik. See, mittetäielikkuse teoreem, oli üks tema peamisi saavutusi. Ja tema teine suuremaks saavutuseks oli näidata, et kontiinumi hüpoteesi ei saa ZFC aksioomide abil ümber lükata.
Strogatz (27:49): Mõned inimesed peavad teda suurimaks loogikuks pärast Aristotelest. Ja Einstein, kes oli tema sõber ja kolleeg Kõrgkoolide Instituudist, ütles, et talle meeldis eesõigus jalutada koos tööle. Kurt Godel. Ma mõtlen, et ta oli Einsteiniga ühes intellektuaalses liigas. Kui te pole temast kuulnud, siis soovitan vaadata temast kõnelevat raamatut Reis mõistuse piirile. Suurepärane raamat Gödeli elust. Aga okei, nii et ta on õige, nii et ta on 20. sajandi keskpaiga, 20. sajandi alguse loogik. Ja sa ütled, et ta tõestas seda – noh, ütle seda veel kord kontiinumi hüpoteesi kohta?
Moore (28:23): Mis tahes hulgateooria mudelis konstrueeris ta väiksema hulgateooria mudeli, mis rahuldab kontiinumi hüpoteesi. Ja see näitab, et te ei saa ümber lükata kontiinumi hüpoteesi hulgateooria aksioomide raames. Ühest hulgateooria mudelist, kui teil on see olemas, saan toota uue, mis rahuldab kontiinumi hüpoteesi.
Strogatz (28:43): Ma näen. Seega võiks olla hulgateooria versioone, omamoodi väiksemaid versioone, mis on ikka piisavad aritmeetika tegemiseks, ma arvan.
Moore: Jah.
Strogatz (28:51): Aga milles, OK, kontiinumi hüpotees vastab tõele, just nagu Cantor arvas.
Moore: Jah.
Strogatz (28:56): Ja siis. Aga siis - sellel lool on suur "aga".
Moore (28:59): Jah. Nii palju, palju aastaid hiljem, [Paul] Cohen töötas välja meetodi, mida nimetatakse sundimiseks, mis võimaldas tal suurendada hulgateooria mudeleid. Ja seda kasutades tõestas ta, et te ei saa kontiinumi hüpoteesi tõestada. Välja arvatud, et tema tehnikat saab kasutada ka tõestamaks, et sa ei saa seda ümber lükata. See, jah, see tehnika, mida nimetatakse sundimiseks, on tõesti väga võimas. Sundimine ja väiksema mudeli loomise tehnika oma hulgateooria mudeli raames. Need on omamoodi kaks tööriista, mis meil on uute hulgateooria mudelite loomiseks vanadest hulgateooria mudelitest.
Moore (29:32): Tulles tagasi geomeetria analoogia juurde. Pean silmas isegi neid hüperboolse tasandi mudeleid, mis olid geomeetria mitte-eukleidilised mudelid – need ise alustavad sellest, et võtavad Eukleidilise tasandi või selle alamhulga ja ehitavad geomeetria mudeli nagu seal olevad punktid ja jooned. Punktid on sellel kettal tavalised punktid. Ja jooned on ringid, teatud ringid esialgses geomeetrias. Mõte, mida ma püüan rõhutada, on see, et see on omamoodi viljakas asi, mida te matemaatikas teete. Sageli alustate mõne struktuuriga, mis rahuldab teie aksioomisüsteemi, näiteks geomeetriaga, mis rahuldab teie geomeetria aksioome, ja manipuleerite sellega kuidagi ja loote uue asja, mis võib-olla rahuldab teistsugust aksioomide komplekti. Seda tegid Cohen ja Gödel, et nad võtsid hulgateooria aksioomide mudeli – ja seega mõnes mõttes matemaatika mudeli – ning manipuleerisid sellega erinevate tehnikate abil uute mudelite loomiseks, mis rahuldas kas kontiinumi hüpotees on tõene või et kontiinumi hüpotees on väär.
Strogatz (30:36): Nii et see on minu jaoks tõesti hämmastav ja ma olen paljude inimeste jaoks kindel, et teate… Näiteks Platonil on selline filosoofia, et seal on teatud ideaalvormid ja tõed, mis — võib-olla suudame. Ma ei näe neid siin Maal, kuid mõnes platoonilises maailmas on nende tõde olemas.
Moore: Ja ja.
Strogatz (30:57): Ja teile tundub, et tegelikud arvud on olemas, olenemata sellest, kas inimesed mõtlevad neile või mitte, ja et kontiinumi hüpotees kas vastab reaalarvudele või ei ole. Aga sa ütled mulle?
Moore (31:09): Noh, ma mõtlen, jah, selle kohta on erinevaid koolkondi. Ma mõtlen, et te ei saanud — te võite seda vaadata nii, et minu arvates on see asi, mis käib selle nime all, see üldine multiversumi vaade, et te ei saa enam midagi öelda. Kõik need hulgateooria mudelid on lihtsalt olemas. Ja parim, mida saame teha, on püüda mõista, mis neist igaühes tõsi on, ja liikuda nende vahel. Ja see on väga mitteplatooniline vaade asjadele, omamoodi formalistlik vaade asjadele. Samuti võite asuda seisukohale, et on olemas mõni eelistatud hulgateooria mudel. See tähendab, teate, reaalsus, milles me elame, ja kõik need teised mudelid, need on aksioomide mudelid, kuid need pole tegelikult need, mida me aksioomidega kirjeldame. Ma arvan, et analoogia geomeetriaga on seal mõnevõrra illustreeriv, eks? Ma mõtlen, et saate toota palju erinevaid geomeetrilisi mudeleid. Kuid me elame endiselt füüsilises maailmas, millel on geomeetria ja võib-olla see on see geomeetria, millest me kõige rohkem hoolime.
Strogatz (32:03): Ma näen. Nii et samamoodi, nagu võiksime anda eukleidilisele geomeetriale eelisseisundi, sest see on see, millega oleme harjunud. See on see, mis on olnud juba pikka aega, sest see on omamoodi kõige lihtsam ja ilmsem, kuid me arvame siiski, et need teised on head ja neil on oma domeenid, kus nad on kasulikud ja huvitavad.
Moore (32:20): Aga võib-olla on ka asi, millele tasub siin tähelepanu juhtida, see, et isegi meie arusaam — noh, esiteks, ma pole kindel, et me elame eukleidilises geomeetrias. Kuid selles on küsimus. Kuid isegi meie arusaama füüsilisest maailmast rikastab oluliselt kõigi nende teiste geomeetriate mõistmine, see vaba uurimine teiste geomeetriamudelite kohta. Ja sama on ka hulgateooriaga. Ma arvan, et isegi kui me leppisime tulevikus kokku konsensusega selles osas, mis on hulgateooria uus aksioom, on sellesse sihtkohta jõudmine kindlasti võimatu ilma kogu selle eelneva uurimiseta.
Strogatz (33:00): Mida tähendaks kontiinumi hüpoteesi tõestamine või ümberlükkamine? Kõigi nende laagrite jaoks? Mis on kaalul?
Moore (33:08): Jah, see on — okei, nii et ma arvan, et leer, kes võtab sellist "kõikide maailmade" vaatepunkti, ütleks lihtsalt, et see on mõttetu küsimus. See, et Cohen ja Gödel ning nende tehnikad hulga teooria mudelite loomiseks on omamoodi arutelu lõpp. Ja teate, me toodame võib-olla palju uusi hulgateooria mudeleid, kuid me ei saa kunagi lõplikku vastust väitele, et kontiinumi hüpotees on õige või vale. Inimesed, kes arvavad, et selles väites on mingisugune tõde või väär, püüaksid arvatavasti välja mõelda mõne uue aksioomi ja oletatavasti mingi heuristilise põhjenduse, miks see aksioom peaks tõene olema – kas heuristilise või võib-olla pragmaatilise põhjenduse. miks see tõsi on. Ja kui sa väidad, et selle aksioomiga tuleks nõustuda, et see mingil moel kapseldab intuitsiooni, mis meil on matemaatika või hulkade kohta, siis kui see aksioom ka tõestab või lükkab ümber kontiinumi hüpoteesi selle sõna formaalses tähenduses, siis näeksite. et CH on tõene või väär.
Strogatz (34:12): Nii et see on koht, kus me praegu oleme. Et tõesti on hetkel need kaks leeri.
Moore (34:16): Jah, teatud määral. Sellest, kui kontiinumi hüpotees aksioomide põhjal otsustamatuks osutus, on nii kaua aega möödas, et ma arvan, et enamik matemaatikuid on harjunud tõsiasjaga, et võib-olla on see kõige rohkem, mida saate öelda. Ja ma arvan, et praegusel hetkel oleks hämmastav, kui matemaatikud tervikuna suudaksid koonduda mõne uue heuristika ümber, millega kõik nõustuvad, et see peaks olema tõsi. Ja võib-olla ei juhtu seda kunagi. Võib-olla on kogukonnal liiga palju erinevaid vaatenurki. Ausalt öeldes arvan ma, et ZFC on matemaatika tõeliste aksioomide kogum, kuid see ei ole universaalne seisukoht. Kindlasti on inimesi, kes arvavad, et midagi lõpmatut lihtsalt ei eksisteeri. Ja sellest pole mõtet rääkida ja me ei peaks sellest rääkima.
Strogatz (35:05): Noh, see on ajastutruu traditsioon. See on — Aristoteles käskis meil lõpmatuse suhtes valvel olla. Ja kogu matemaatika ajaloo jooksul on inimesed isegi nii suured kui [Carl Friedrich] Gauss olid selle lõpetatud lõpmatuse kontseptsiooni suhtes väga ettevaatlikud, mistõttu Cantor meile selle ussipurgi avas. Aga ma ei tea, et see on ussid. Tundub, et see on — tead, mis kahju on? See on see, et laseme oma kujutlusvõimel lennata ja avastame palju huvitavat.
(35:30) Aga mul on küsimus. Inimesena, kes pole komplektiteoreetik, ei taha ma seda ebaviisakas küsimuses küsida. Kuid see võib tunduda pisut ebaviisakas, mis — tead, kuhu ma lähen, eks? Näiteks, kuidas see mind mõjutab? Kas ülejäänud matemaatika tunneb hulgateoorias toimuvaid vibratsioone? Või oleme teie tegemistest kuidagi eraldatud?
Moore (35:49): See on hea küsimus. Ma arvan, et enamik matemaatikuid ei kohta kunagi väidet, mis pole tõestatav ega ümberlükatav ZFC matemaatika tavapärases aksioomisüsteemis. Ja hulga teoreetikud on mingil määral avastanud sellele seletuse. On olemas hulgateooria mudel, mis on suurem kui Gödeli algmudel, kuid väiksem kui kõigi hulkade universum, mida nimetatakse tahkeks baasmudeliks, [Robert] Solovay avastati umbes Coheni töö ajal. Ja tähelepanuväärne avastus on see, et seda mudelit – selles olevat tõsist – ei saa sundimisega mõjutada. Seega, kui saate sõnastada midagi selle kohta, mis on selles mudelis tõene või vale selles mudelis, on see miski, mis on suures osas immuunne iseseisvuse nähtusele.
(36:35) Konks on selles, et see hulgateooria mudel ei ole — ei rahulda valiku aksioomi. Nii et valiku aksioom on — see on siin järjekordne ussipurk. Kuid üks põhjusi, miks valikuaksioom teistest aksioomidest erineb, on see, et see ei ole konstruktiivne. Kõik teised aksioomid ütlevad teile, et mõni hulk, mille kirjeldus on olemas, on tegelikult hulk. Just nii toimivad aksioomid. Kuid valiku aksioom ütleb teile, et arvestades komplektide kogumit, mis ei ole tühjad, saate valida igaühe hulgast midagi – seega ka valiku –, kuid see ei ütle teile, kuidas te valiku teete. See oli aksioom, mis ühest küljest võimaldas meil konstrueerida igasuguseid veidraid, paradoksaalseid asju. Tead, ma arvan, et umbes 100 aasta taguses palliplatsil, nagu mittemõõdetavad komplektid, mis iganes see ka poleks. Seal on see kuulus sfääri lagunemine, see Banachi-Tarski paradoks, see —
Strogatz (37:29): Oh, see on huvitav.
Moore (37:32): — sa võid lõigata sfääri lõplikult paljudeks tükkideks ja seejärel uuesti kokku panna kaheks keraks, mis on algse kera mõõtmetega. Ja nüüd põhjus, miks see on absurdne, seisneb selles, et sa peaksid suutma määrata igale sfäärile massi – tead küll, algsele sfäärile – ja seejärel määrata kõikidele nendele tükkidele massi, milleks saad selle tükeldada. peaks moodustama esialgse massi. Ja siis, kui te neid ümber korraldate, ei tohiks see protsess massi muuta. Kuid millegipärast on teil neid uuesti kokku pannes kaks korda suurem mass, kui alustasite. Nüüd on selle argumendi punkt – kus asjad lähevad valesti, on see sfääri lõikamine, mida valikuaksioom võimaldab teha, on nii halb, et te ei saa nendele tükkidele masse omistada, mis teil on.
(38:11) Nüüd pani see paradoksaalne käitumine inimesi mõtlema, et valiku aksioom on võib-olla kuidagi problemaatiline. Võib-olla viib see mingi paradoksini matemaatikas endas. Seetõttu ei tohiks valikuaksioomiga nõustuda. Üks asi, mida Gödel tõestas samal ajal, kui ta tõestas, et te ei saa kontiinuumi hüpoteesi ümber lükata, on see, et valiku aksioomi eeldamine on samuti ohutu. See tähendab, et kui ZFC aksioomid ilma valikuaksioomita on järjepidevad, on sama ka ZFC aksioomide kogum valikuaksioomiga. Võib-olla annab see teile palju veidraid, eksootilisi asju, kuid põhimõtteliselt ei saasta see vett.
(38:51) Millalgi hiljem avastati see asi nimega Zorni lemma, mis osutus valiku aksioomiga võrdväärseks. Ja see on tõesti väga viljakas paljude erinevate matemaatikaharude arendamiseks. See on midagi – saate sellest teada, kui olete kõrgtasemel bakalaureuseõppe või kui olete matemaatika magistrant. See on kuidagi osa lihtsalt matemaatika kraadiõppe jaoks vajalikust õppimisest. Ja selle äärmise kasulikkuse tõttu on see midagi, mida me tänapäeval lihtsalt aktsepteerime. Ma arvan, et enamik matemaatikuid ei tunne end mugavalt ilma valikuaksioomita lihtsalt seetõttu, et paljudel juhtudel kasutavad nad seda isegi teadmata.
(39:31) Nii et ma arvan, et see on ka näide sellest, kuidas me võiksime lahendada pidevuse hüpoteesi. See on see, et me avastame tulevikus mõne aksioomi, mis on matemaatika edasisel arendamisel nii kasulik, et me lihtsalt peame seda aksioomi teatud määral tõeseks. Nii juhtus Zorni lemmaga. Ja valiku aksioomi järgi ei peetud seda algselt tõeks. Tegelikult suhtuti sellesse alguses skeptiliselt.
Strogatz (39:56): Aga las ma vaatan, kas saan, sest see teeb... Oleme nüüd palju rääkinud valiku aksioomist: selle seosest kontiinumi hüpoteesiga. Kas on kuidagi kaval viis öelda, mis see on?
Moore (40:06): Teate küll, valiku aksioomil ja kontiinumi hüpoteesil on omamoodi uudishimulik seos, sest nad… OK, kontiinumi hüpotees, hulgateoreetikute vaatevinklist võimaldab see konstrueerida palju eksootilisi asju. . See võimaldab teil teha lõputult pikka, isegi loendamatult pikka konstruktsiooni, kus teete kõike väga kontrollitud viisil, algoritmiliselt. Ja mõne veidra objekti ehitamine, kus olete oma teekonnal suure kontrolli säilitanud. Valikuaksioomi puudumisel on kontiinumi hüpotees, nagu ma seda algselt väitsin, et pole olemas vahepealseid reegleid, see on midagi, millel ei ole sama hammustust, kui valikuaksioom on tõene. Ja selle põhjuseks on see, et näiteks valikuaksioomi puudumisel saab rääkida kontiinumi hüpoteesi veelgi tugevamatest versioonidest. Nagu iga selle arvurea alamhulk, reaalarvurida, on kas loendatav või selle sees elab Cantori komplekti koopia. Näiteks on selline punktide puu, punktide kahendpuu, mis asub teie komplektis. Ja see on väga konkreetne viis öelda, et selle suurus on sama suur kui tegelikel numbritel.
Strogatz (41:14): Kas me, ülejäänud matemaatikas väljaspool hulgateooriat, kas me peaksime kontiinuumi hüpoteesi hetkel muutuma ebamäärase staatuse tõttu, mis näib olevat? Meile öeldakse, et see on hulgateooria standardmudelis otsustamatu. Tead, kas see on oluline? Kas see mõjutab ülejäänud matemaatikat?
Moore (41:35): Vastus on enamasti eitav. Kuid see pole täiesti teada. Kontiinumi hüpotees. See vastab tõele Solovay mudel, näiteks: Iga reaalarvude hulk on kas loendatav või on selle sees suletud reaalarvude hulk, mis on loendamatu ja millel pole isoleeritud punkte. Kuid on väiteid, mis ilmnevad matemaatikas, küsimusi, mis ilmnevad loomulikult, omamoodi orgaaniliselt teistes valdkondades, kus selgub, et need sõltuvad kas kontiinumi hüpoteesist või millestki muust, mis ei sõltu ZFC aksioomidest. Üks näide sellest on midagi, mida nimetatakse mediaalseks piiriks, mis on tõenäosuse ja tõenäosuse osade osas kasulik seade, et võtta asjadel piire ja säilitada siiski, et asjad on mõõdetavad. Mediaalsed piirid on midagi, mida saate luua pidevuse hüpoteesi abil, kuid need ei ole midagi, mida saate ZFC-s ehitada.
Strogatz (42:27): See teeb mind õnnelikuks, pean ütlema. Ma tahan uskuda, et matemaatika on üks suur võrk. Ja see, nagu on vana ütlus: "Ükski inimene pole saar", kellelt iganes, ma ei tea. Aga igatahes ma ei taha, et ükski matemaatika osa oleks saar. Nii et mulle ei meeldiks mõelda, et hulgateooria on kuidagi mingi – ma mõtlen, et keegi ei ütleks, et see nii on, aga isegi kontiinumi hüpoteesi sisaldav osa ei taha, et see oleks suurest kontinendist lahutatud. Ja tundub, et ei ole.
Moore (42:52): Õige. Kui võtate Hilberti ruumi ja vaatate piiratud operaatoreid ja kompaktseid operaatoreid, on need hästi uuritud objektide algebrad, mida uuritakse matemaatikas. Võite võtta neist jagatise. Selle automorfismi rühma uurimine on midagi, mille kohta matemaatik võib küsida. Ja tõepoolest, Brown, Douglas ja Fillmore küsis selle kohta 1970. aastatel. Ja on teada, et see, kas kontiinumi hüpotees on tõene või väär, on seotud sellega, kas sellel algebral on väga keerulisi automorfisme või mitte. See on midagi, mis on funktsionaalse analüüsi kursuse standardobjekt, mida õpetaksite kraadiõppes. Ja need on selle objekti väga-väga põhiomadused.
(43:34) Kuid asi on selles, et see on midagi, mis pealtnäha on – see pole hulgateoorias probleem. Erinevatel hulgateoreetikutel on erinev arusaam, miks teema on oluline. Kuid minu jaoks on see teema – milleks see oluline on. Asi on selles, et see mängib ainulaadset rolli, võimaldades teile teada anda, kui esitate küsimuse, mis ei pruugi olla aksioomide põhjal otsustatav. Sest te ei taha aastaid, aastaid ja aastaid uurida seda probleemi, mille üle te ei suuda ilma eduta otsustada. Ja kui keegi oskab teile öelda: "Noh, te ei leia kunagi sellele probleemile lahendust, sest te ei saa seda tõestada ega ümber lükata," eks? Seda on hea teada.
Strogatz (44:13): Olgu. Noh, see on minu jaoks väga meeliülendav sõnum, mille sa edastad, Justin, John Donne! Just seda nime ma otsisin, John Donne. Ja ütleme seda nüüdisaegsel viisil: Ükski inimene pole saar. Ja sama ilma matemaatika osata. Kvantteooria aluseks olevas funktsionaalses analüüsis on – isegi kõige esoteerilisemad näivad asjad hulgateooria äärealadel on endiselt seotud matemaatika väga maalähedaste osadega. Niisiis, see on mulle uudis ja ma tahan teid lihtsalt tänada, et meid valgustasite. See oli lõbus. Aitäh.
Moore (44:46): Täname, et olete olemas.
Kuulutaja (44:46): uurige rohkem matemaatilisi mõistatusi Quanta raamat Peanumbri vandenõu, avaldanud The MIT Press, saadaval nüüd aadressil Amazon.com, Barnesandnoble.comvõi teie kohalikku raamatupoodi. Rääkige sellest podcastist kindlasti ka oma sõpradele ja andke meile positiivne ülevaade või jälgige, kus kuulate. See aitab inimestel leida Rõõm miks.
Strogatz (45: 12): Rõõm miks on podcast pärit Quanta Magazine, toimetuse poolest sõltumatu väljaanne, mida toetab Simonsi fond. Simonsi fondi rahastamisotsused ei mõjuta teemade valikut, külalisi ega muid toimetusotsuseid selles taskuhäälingus ega Quanta Magazine. Rõõm miks Tootsid Susan Valot ja Polly Stryker. Meie toimetajad on John Rennie ja Thomas Lin, keda toetavad Matt Carlstrom, Annie Melcher ja Zach Savitsky. Meie teemamuusika koostas Richie Johnson, taskuhäälingusaate nime mõtles välja Julian Lin. Episoodi kujunduse autor on Peter Greenwood ja meie logo autor Jaki King. Eriline tänu Burt Odom-Reedile Cornell Broadcast Studios'is. Olen teie võõrustaja Steve Strogatz. Kui teil on meile küsimusi või kommentaare, saatke meile e-kiri aadressil Aitah kuulamast.
- SEO-põhise sisu ja PR-levi. Võimenduge juba täna.
- Platoblockchain. Web3 metaversiooni intelligentsus. Täiustatud teadmised. Juurdepääs siia.
- Tuleviku rahapaja Adryenn Ashley. Juurdepääs siia.
- Allikas: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :on
- :on
- ][lk
- $ UP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Võimalik
- MEIST
- sellest
- absoluutne
- AC
- aktsepteerima
- saavutus
- saavutusi
- tegelikult
- edasijõudnud
- mõjutada
- pärast
- algoritm
- algoritmiline
- algoritmiliselt
- Materjal: BPA ja flataatide vaba plastik
- võimaldab
- mööda
- Tähestik
- juba
- Kuigi
- hämmastav
- summa
- analüüs
- Vana
- ja
- teatas
- Teine
- vastus
- mistahes
- app
- õun
- rakendused
- OLEME
- vaielda
- argument
- ümber
- saabuvad
- kunst
- AS
- Partner
- At
- tähelepanu
- saadaval
- keskmine
- tagasi
- Halb
- baas
- põhineb
- põhiline
- Põhimõtteliselt
- BE
- ilus
- sest
- muutuma
- muutub
- olnud
- enne
- Algus
- on
- Uskuma
- Berkeley
- Bertrand
- BEST
- Parem
- vahel
- Peale
- Suur
- suurem
- suurim
- Natuke
- Plokid
- raamat
- Raamatud
- oksad
- lühidalt
- Toob
- ülekanne
- ehitama
- Ehitus
- põletada
- by
- arvutused
- helistama
- kutsutud
- Kutsub
- Cambridge
- Laager
- CAN
- ei saa
- mis
- ettevaatlik
- Carl
- juhtudel
- juhuslik
- maadlus
- Sajand
- kindel
- kindlasti
- muutma
- iseloom
- Charles
- valik
- ringid
- klass
- selge
- suletud
- kolleeg
- kogumine
- Kollektsioonid
- Tulema
- mugav
- tulevad
- kommentaarid
- ühine
- kogukond
- võrdlema
- täitma
- Lõpetatud
- keeruline
- koostatud
- arvuti
- mõiste
- mõisted
- üksmeel
- Arvestama
- järjepidev
- ehitama
- ehitus
- edasiviiv
- sisaldab
- kontinent
- pidev
- kontinuum
- kontrollida
- kontrollitud
- vastuoluline
- Vestlus
- võiks
- Võidelda
- Kursus
- loodud
- uudishimulik
- lõigatud
- lõikamine
- Päeva
- otsustama
- otsused
- sügav
- sügavam
- Kraad
- osakond
- sõltuv
- kirjeldama
- kirjeldus
- sihtkoht
- arendama
- arenenud
- arenev
- seade
- diagrammid
- DID
- erinev
- numbrit
- mõõdud
- avalikustamine
- avastama
- avastasin
- avastades
- avastus
- arutama
- arutame
- arutelu
- eristatav
- eristama
- Ei tee
- teeme
- Domeenid
- Ära
- Hukule määratud
- uksed
- kahekordistada
- alla
- ajam
- iga
- Varajane
- maa
- lihtsaim
- serv
- Juhtkiri
- kumbki
- element
- elemendid
- Lõputu
- piisavalt
- rikastatud
- täielikult
- Samaväärne
- põhiliselt
- Isegi
- lõpuks
- Iga
- igaüks
- kõik
- arenenud
- täpselt
- näide
- näited
- Välja arvatud
- erand
- erutatud
- näitama
- olemas
- Eksootiline
- selgitus
- uurimine
- uurima
- ekspress
- lisatasu
- äärmuslik
- kangas
- nägu
- Ebaõnnestunud
- õiglane
- õiglaselt
- usk
- pere
- kuulus
- suurepäraselt
- KIIRE
- Lemmik
- hirmud
- tunnusjoon
- mees
- vähe
- Valdkonnad
- lõplik
- leidma
- esimene
- Esimest korda
- Kala
- järgima
- eest
- igavesti
- formaalne
- Vormiliselt
- vormid
- Sihtasutus
- Sihtasutused
- murdosa
- tasuta
- sõber
- sõbrad
- Alates
- täis
- lõbu
- funktsioon
- funktsionaalne
- funktsioonid
- rahastamise
- edasi
- tulevik
- mäng
- Üldine
- üldiselt
- tekitama
- põlvkond
- helde
- Saksamaa
- saama
- saamine
- Andma
- antud
- annab
- andmine
- Go
- eesmärk
- Goes
- läheb
- hea
- klass
- koolilõpetaja
- antud
- suur
- suurim
- suuresti
- Kreeka
- Greenwood
- Grupp
- arvas ära
- online
- käsi
- juhtuda
- juhtus
- Juhtub
- õnnelik
- Olema
- võttes
- he
- pea
- kuulnud
- ärakuulamine
- süda
- aitas
- kasulik
- aitab
- siin
- rohkem
- tagantjärele
- ajalugu
- loodab
- võõrustaja
- Kuidas
- HTTPS
- inim-
- Näljane
- i
- idee
- ideaalne
- Illusioon
- ettekujutused
- tähtsus
- oluline
- in
- Teistes
- sisaldama
- Kaasa arvatud
- sõltumatus
- sõltumatud
- Lõpmatu
- Lõpmatus
- mõju
- mõjutatud
- esialgu
- sisend
- Näiteks
- selle asemel
- Instituut
- lahutamatu
- terviklikkuse
- intellektuaalne
- huvitatud
- huvitav
- el
- kehtestama
- Irooniline
- saar
- isoleeritud
- küsimustes
- IT
- ITS
- ise
- John
- Johnson
- liitumine
- Justin
- hoidma
- pidamine
- laps
- lapsed
- Laps
- kuningas
- Teadma
- Teades
- teatud
- keel
- Keeled
- suur
- suurelt jaolt
- suurem
- suurim
- viimane
- Hilja
- ladina
- viima
- Liiga
- Õppida
- õppinud
- õppimine
- Led
- moto
- Pikkus
- väljaüürimine
- Tase
- elu
- nagu
- LIMIT
- piirid
- joon
- liinid
- seotud
- nimekiri
- Kuulamine
- kirjandus
- vähe
- elama
- Elab
- kohalik
- logo
- Pikk
- Vaata
- näeb välja
- otsin
- kaotamine
- Partii
- armastus
- armastatud
- tehtud
- ajakiri
- säilitamine
- peamine
- tegema
- TEEB
- mees
- manipuleerimine
- palju
- palju inimesi
- Mass
- massid
- matemaatika
- matemaatiline
- matemaatika
- küsimus
- tähendusrikas
- vahendid
- mõõtma
- mehhanism
- mainitud
- sõnum
- meetod
- Keskel
- võib
- MIT
- mudel
- mudelid
- Kaasaegne
- hetk
- rohkem
- kõige
- liikumine
- liikuma
- film
- multiverse
- muusika
- salapärane
- nimi
- nimed
- Natural
- tingimata
- Vajadus
- negatiivne
- kumbki
- Uus
- uudised
- Mõiste
- number
- numbrid
- objekt
- esemeid
- Ilmne
- of
- sageli
- Vana
- on
- ONE
- avatud
- avatud
- Avaneb
- ettevõtjad
- tavaline
- orgaaniliselt
- Korraldatud
- originaal
- algselt
- Muu
- teised
- meie
- väljaspool
- üle
- üldine
- enda
- sidumine
- Paradoks
- Parallel
- vanemad
- osa
- eriti
- osad
- Paul
- pöörates
- Penguins
- Inimesed
- inimeste
- ehk
- inimene
- isiklik
- Peter
- nähtus
- filosoofia
- füüsiline
- Füüsika
- tükki
- Koht
- Kohad
- Platon
- Platoni andmete intelligentsus
- PlatoData
- palun
- pluss
- podcast
- Taskuhääling
- Punkt
- Vaatepunkt
- võrra
- positiivne
- võimalik
- potentsiaalselt
- võim
- võimas
- volitused
- pragmaatiline
- eelistatud
- vajutage
- ilus
- Peamine
- primitiivne
- põhimõtted
- tõenäoliselt
- Probleem
- probleeme
- protsess
- tootma
- Toodetud
- Õpetaja
- Programm
- lubadus
- tõendid
- omadused
- kinnisvara
- pakutud
- kaitstud
- tõestatav
- Tõesta
- tõestatud
- osutub
- anda
- avaldamine
- avaldatud
- panema
- Kvantamagazin
- Kvant
- küsimus
- Küsimused
- ralli
- pigem
- Ratsionaalne
- RAY
- Jõuab
- reaalne
- päris maailm
- Reaalsus
- realiseeritud
- realm
- põhjus
- põhjustel
- soovitama
- seotud
- seos
- suhe
- suhteliselt
- sugulased
- jäänused
- tähelepanuväärne
- meeles pidama
- kordama
- nõutav
- teadustöö
- suhtes
- REST
- läbi
- revolutsiooniline
- rangelt
- ROBERT
- Roll
- Rolling
- rullides
- ruum
- eeskirjade
- ohutu
- Ütlesin
- sama
- rahul
- ütleb
- Skaala
- Koolid
- teadus
- Teine
- sekundit
- tundub
- valik
- tunne
- eri
- komplekt
- Komplektid
- lahendama
- Väljakujunenud
- mitu
- kuju
- peaks
- näitama
- näidatud
- Näitused
- külg
- kirjutama
- lihtne
- alates
- ühekordne
- SIX
- SUURUS
- suurused
- Skeptitsism
- uni
- väike
- väiksem
- So
- tahke
- lahendus
- mõned
- Keegi
- midagi
- mõnevõrra
- kuskil
- Ruum
- Säde
- eriline
- eriti
- kulutama
- Spotify
- Stage
- kaalul
- standard
- algus
- alustatud
- Käivitus
- väljendatud
- väljavõte
- avaldused
- olek
- Steve
- Veel
- Lugu
- otse
- tugev
- tugevam
- struktuur
- õpilane
- õppinud
- stuudiod
- Uuring
- Õppimine
- teema
- edu
- selline
- piisav
- Toetatud
- kindlasti
- üllatus
- üllatunud
- üllatav
- Susan
- sümbol
- süsteem
- tabel
- Võtma
- võtab
- võtmine
- rääkima
- rääkimine
- õpetajad
- õpetamine
- tehnikat
- teismeline
- ütleb
- tingimused
- test
- tänan
- et
- .
- Tulevik
- JOON
- maailm
- oma
- Neile
- teema
- ennast
- Seal.
- seetõttu
- Need
- asi
- asjad
- Mõtlemine
- Kolmas
- arvasin
- tuhandeid
- Läbi
- läbi kogu
- aeg
- et
- täna
- liiga
- töövahendid
- Teemasid
- TÄIELIKULT
- jälgida
- traditsiooniline
- traditsiooniline
- koolitatud
- ravimisel
- tohutult
- tõsi
- Tõde
- Pöörake
- Pöördunud
- Kaks korda
- defineerimata
- all
- mõistma
- mõistmine
- mõistab
- liit
- Ametiühingud
- ainulaadne
- Universaalne
- Universum
- Ülikool
- us
- kasutama
- Kasutatud
- tavaliselt
- kasulikkus
- väärtus
- eri
- vaade
- seisukohti
- ootama
- jalutamine
- tahab
- Watch
- Vesi
- Tee..
- kuidas
- web
- webp
- teretulnud
- Hästi
- M
- Mis on
- kas
- mis
- WHO
- kes iganes
- kogu
- laialdaselt
- will
- valmis
- koos
- jooksul
- ilma
- sõna
- sõnad
- Töö
- töö
- töötab
- maailm
- ussid
- mures
- väärt
- oleks
- kirjutama
- kirjutamine
- Vale
- aasta
- aastat
- sa
- Sinu
- ise
- sephyrnet
- null
- zoom