Matemaatikud imestavad "hulluid" kärpeid läbi nelja mõõtme | Ajakiri Quanta

Topoloogia kesksed uurimisobjektid on ruumid, mida nimetatakse kollektoriteks ja mis näevad sisse suumimisel tasased. Näiteks sfääri pind on kahemõõtmeline kollektor. Topoloogid mõistavad selliseid kahemõõtmelisi kollektoreid väga hästi. Ja nad on välja töötanud tööriistad, mis võimaldavad neil mõista kolmemõõtmelisi ja viie või enama mõõtmega kollektoreid.

Kuid neljas mõõtmes "läheb kõik natuke hulluks," ütles Sam Hughes, Oxfordi ülikooli järeldoktor. Tööriistad lakkavad töötamast; ilmneb eksootiline käitumine. Nagu Tom Mrowka Massachusettsi Tehnoloogiainstituudist selgitas: "Huvitavate nähtuste jaoks on lihtsalt piisavalt ruumi, kuid mitte nii palju, et need laguneksid."

1990. aastate alguses Mrowka ja Peter Kronheimer Harvardi ülikoolis uuriti, kuidas kahemõõtmelisi pindu saab neljamõõtmelistesse kollektoritesse põimida. Nad töötasid välja uued tehnikad nende pindade iseloomustamiseks, võimaldades neil saada olulise ülevaate neljamõõtmeliste kollektorite muidu ligipääsmatust struktuurist. Nende leiud näitasid, et laia pindade klassi liikmed lõikavad kõik oma põhikollektorist läbi suhteliselt lihtsal viisil, jättes põhiomaduse muutumatuks. Kuid keegi ei suutnud tõestada, et see oli alati tõsi.

Veebruaris koos Daniel Ruberman Hughesi Brandeisi ülikoolist koostanud vastunäidete jada — “hullud” kahemõõtmelised pinnad, mis lahkavad oma põhikollektoreid viisil, mida matemaatikud pidasid võimatuks. Vastunäited näitavad, et neljamõõtmelised kollektorid on veelgi märkimisväärselt mitmekesisemad, kui varasemate aastakümnete matemaatikud olid mõistnud. "See on tõesti ilus paber," ütles Mrowka. "Ma lihtsalt vaatan seda. Seal on palju maitsvaid pisiasju."

Nimekirja koostamine

Eelmise aasta lõpus, Ruberman aitas korraldada konverents, mis koostas uue nimekirja kõige olulisematest avatud probleemidest madalamõõtmelises topoloogias. Selle ettevalmistamisel vaatas ta varasemat oluliste lahendamata topoloogiliste probleemide loendit aastast 1997. See sisaldas küsimust, mille Kronheimer oli esitanud oma töö põhjal Mrowkaga. "See oli seal sees ja ma arvan, et see oli natuke unustatud," ütles Ruberman. Nüüd arvas ta, et oskab sellele vastata.

Küsimuse mõistmiseks aitab kõigepealt kaaluda kahte peamist ideed: lihtsalt ühendatud kollektorid ja põhirühm.

Lihtsalt ühendatud kollektorid on ruumid, kus neid ei läbida. Ühes dimensioonis on lõpmatu joon lihtsalt ühendatud, kuid ring mitte. Kahes dimensioonis on lõpmatu tasapind ja kera pind lihtsalt ühendatud, kuid sõõriku pind mitte.

Matemaatikud muudavad selle eristamise rangeks, asetades kollektorile silmuseid ja kaaludes, kuidas neid saab deformeerida. Kui mõnda silmust saab punktini kahandada, ühendatakse lihtsalt kollektor. Näiteks tasapinnal või kera pinnal on see võimalik – mõelge nööri pingule tõmbamisele. Aga kui see nöör käib ringi, ei saa see kahaneda. Sarnaselt ei saa sõõriku pinnal ümber või läbi keskse augu kulgevad aasad deformeeruda üheks punktiks. Sõõrik ise jääb teele.

Matemaatikud klassifitseerivad ruume, mis ei ole lihtsalt ühendatud, arvutades nende "põhirühma" - objekti, mille struktuur peegeldab silmuste kahanemist. Lihtsalt ühendatud kollektoritel on "triviaalne" põhirühm, millel on ainult üks element. Kuid aukudega kollektoritel on keerulisemad põhirühmad.

Neljamõõtmelised kollektorid, mis on lihtsalt ühendatud, võivad siiski olla kummalised. Nende mõistmiseks mõtisklevad matemaatikud, mis võib juhtuda neisse põimitud kahemõõtmeliste pindadega.

Analoogia põhjal mõelge nööriaasa lamedale paberile. Sellega pole palju teha. Kuid tõstke see üles kolmemõõtmelisse ruumi ja saate selle keerulisteks sõlmedeks siduda. Stringi – ühemõõtmelise kollektoriga – manipuleerimise viisid selgitavad selle ruumi olemust, kuhu see on manustatud.

Samamoodi on keerulisemas neljamõõtmelises maailmas kahemõõtmelised pinnad "kogu ettevõtte võtmeks mitmel erineval viisil," ütles Ruberman. "Pinnad räägivad teile neljamõõtmelise kollektori kohta palju rohkem, kui teil on õigus oodata." Pinnad võimaldavad teil kollektoreid eristada: kui pind võib elada ühes kollektoris, kuid mitte teises, siis teate, et kollektorid on erinevad. Ja pindade abil saab vanadest kollektoreid ehitada.

Pindadel on ka vastavad põhirühmad. Ja nii ka nende täiendid — kollektori osa, mis jääb üle, kui pind ära võtta. Eemaldage ekvaator kahemõõtmelistest kollektoritest, näiteks kera või sõõriku pinnalt, ja saate kaks lahti ühendatud poolkera. Kuid sõõriku pind jääb üheks tükiks, kui eemaldate horisontaalse rõnga asemel vertikaalse rõnga. Samamoodi, olenevalt sellest, kuidas te neljamõõtmelisest kollektorist pinna välja lõigate, saate erinevaid täiendusi.

1990ndatel uurisid Mrowka ja Kronheimer, mis juhtub, kui eraldada neljamõõtmelisest kollektorist kahemõõtmeline pind. Kui kollektor ise on lihtsalt ühendatud, siis millistele tingimustele peavad pinnad vastama, et tagada ka nende komplementide lihtsalt ühendamine?

Kronheimer ja Mrowka teadsid, et teatud tüüpi pindadel võib olla komplemente, mis ei olnud lihtsalt ühendatud. Kuid nende töö näis viitavat sellele, et teisel laial pindade klassil peavad alati olema lihtsalt ühendatud täiendid.

Peaaegu kolm aastakümmet ei suutnud keegi selles klassis leida näidet pinnast, mille täiend ei oleks lihtsalt ühendatud. Kuid 2023. aasta sügisel, pärast probleemiga kokku puutumist, arvas Ruberman, et suudab. Selle asemel, et alustada neljamõõtmelise kollektoriga ja lõigata pind välja, alustas ta kahemõõtmelisest pinnast, millel olid vajalikud omadused, ja ehitas selle ümber kollektori.

Esmalt nuumas ta pinna neljamõõtmeliseks laiguks. Sellel neljamõõtmelisel laigal oli kolmemõõtmeline piir, nagu ka kolmemõõtmelisel objektil, nagu pallil, on kahemõõtmeline piir. Ruberman soovis teisele poole piiri kinnitada hoolikalt valitud neljamõõtmelise kollektori, mis oleks pinna täienduseks. Kui gambiit toimiks, oleks sellel kollektoril keeruline fundamentaalrühm, ometi oleks kõige põhirühm kokkuvõttes triviaalne. Äsja ehitatud neljamõõtmeline kollektor oleks seega lihtsalt ühendatud.

Kuid selleks, et kõike õigesti kokku liimida, pidi ta näitama, et uue lisandi põhirühm rahuldab kõikvõimalikke omadusi. "Mul polnud aimugi, kuidas seda teha," ütles Ruberman.

Jaanuaris pidas Hughes - rühmateoreetik - Brandeisis kõne. Publiku hulgas oli Ruberman. Ta mõistis, et Hughesil võib olla see kadunud tükk, mida ta otsis. Nad kohtusid järgmisel päeval ja mõne tunni jooksul töötasid nad välja peamised ideed, mida nad vajasid. Rubermanil puudus "see, mida rühmateoreetikud on praegusel hetkel arvutanud 70-80 aastat," ütles Hughes. "Oleme selles olnud igavesti." Nädala lõpuks oli neil tõend valmis.

"Mina teadsin mõnda asja ja tema teadis mõndagi ning meie kahe vahel teadsime piisavalt, et seda lihtsalt teha," ütles Ruberman.

Kuna rühmateooriat tõestuses kasutatakse, on see "veidi ebatavaline", ütles Maggie Miller Texase ülikoolist Austinis. "See on kirjutatud veidi teisiti, kui enamik neljamõõtmelisi topolooge tunneks end mugavalt."

Tulemuseks on järjekordne näide sellest, kui keeruliseks võib neljamõõtmeline topoloogia muutuda. "Pindadel on huvitavamaid kinnitusi, kui me arvasime," ütles Hughes. See muudab kollektorite klassifitseerimise keerulisemaks ja muud tüüpi tulemuste tõestamise nende kohta.

Sellegipoolest märtsis İnanç Baykur Massachusettsi ülikoolist Amherstis, kes korraldas eelmisel aastal koos Rubermaniga nimekirjade koostamise konverentsi, teatas lahendusest teisele probleemile, mis hõlmab lihtsalt ühendatud neljamõõtmelisi kollektoreid 1997. aasta loendist.

Tundub, et topoloogid puhastavad maja.