Miks matemaatikud uuesti tõestavad seda, mida nad juba teavad?

Esimene tõestus, mida paljud inimesed kunagi keskkooli alguses õpivad, on Vana-Kreeka matemaatiku Eukleidese tõestus, et algarve on lõpmatult palju. See võtab vaid mõne rea ega kasuta mõisteid, mis on keerulisemad kui täisarvud ja korrutamine.

Tema tõestus tugineb tõsiasjale, et kui algarvusid oleks lõplik, siis nende kõigi korrutamine ja 1 liitmine tähendaks teise algarvu olemasolu. See vastuolu tähendab, et algarvud peavad olema lõpmatud.

Matemaatikutel on kummaliselt populaarne ajaviide: seda ikka ja jälle tõestada.

Miks seda vaeva näha? Ühest küljest on see lõbus. Veelgi olulisem on see, et "ma arvan, et piir meelelahutusliku matemaatika ja tõsise matemaatika vahel on väga õhuke," ütles William Gasarch, Marylandi ülikooli arvutiteaduse professor ja raamatu autor uus tõestus postitati veebis selle aasta alguses.

Gasarchi tõestus on vaid uusim uudsete tõendite pikas järjestuses. 2018. aastal Romeo Meštrović Montenegro ülikooli teadlane koostas aastal ligi 200 Eukleidese teoreemi tõestust. põhjalik ajalooline ülevaade. Tõepoolest, kogu analüütilise arvuteooria valdkond, mis kasutab täisarvude uurimiseks pidevalt muutuvaid suurusi, väidetavalt tekkis aastal 1737, kui matemaatikahiiglane Leonhard Euler kasutas tõsiasja, et lõpmatu jada 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … lahkneb (see tähendab, et see ei summeeru lõplikuks arvuks), et taas tõestada, et algarvusid on lõpmatu arv.

Christian Elsholtz, matemaatik Grazi tehnikaülikoolis Austrias ja autor veel üks hiljutine tõend, ütles, et selle asemel, et tõestada raskeid tulemusi paljudest väiksematest tulemustest – mida matemaatikud teevad, kui nad lemmasid süstemaatiliselt teoreemideks panevad –, tegi ta vastupidist. "Ma kasutan Fermat' viimast teoreemi, mis on tõesti mittetriviaalne tulemus. Ja siis ma järeldan väga lihtsa tulemuse. Ta ütles, et tagurpidi töötamine võib paljastada varjatud seosed erinevate matemaatikavaldkondade vahel.

"Seal on väike konkurents, et inimestel oleks kõige naeruväärsemalt raske tõend," ütles Andrew Granville, Montreali ülikooli matemaatik ja autor kahest muud tõendid. "See peab olema lõbus. Teha midagi tehniliselt kohutavat pole mõtet. Ainus viis, kuidas soovite midagi rasket teha, on see, et see on lõbus."

Granville ütles, et sellel sõbralikul üksmeelel on tõsine mõte. Teadlastele ei toideta ainult küsimusi, mida nad püüavad lahendada. “Matemaatika loomisprotsess ei seisne selles, et sa lihtsalt määrad masinale ülesande ja masin lahendab selle. See seisneb selles, et keegi võtab selle, mida nad on varem teinud, ja kasutab seda tehnika loomiseks ja ideede arendamiseks.

Nagu Gasarch ütleb: „Kõik paberid pärinevad uuest armsast tõendist, et algarvud on tõsiseks matemaatikaks lõpmatud. Ühel päeval vaatate lihtsalt algarvu ja järgmisel päeval ruutude tihedust.

Gasarchi tõestus algab tõsiasjaga, et kui värvida täisarvud lõpliku arvu värvidega, on alati olemas sama värvi numbripaar, mille summa on ka see värv, mis oli tõestas 1916. aastal autor Isai Schur. Gasarch kasutas Schuri teoreemi näitamaks, et kui algarvude arv oleks piiratud, siis eksisteeriks täiuslik kuup (täisarv, näiteks 125, mis võrdub mõne teise täisarvuga, mis on korrutatud iseendaga kolm korda), mis on kahe summa. muud täiuslikud kuubikud. Kuid juba 1770. aastal oli Euler tõestanud, et sellist kuupi pole olemas n = 3 Fermat' viimase teoreemi juhtumit, mis eeldab, et sellele pole täisarvulisi lahendusi aⁿ + bⁿ = cⁿ eest n suurem kui 2. Sellele vastuolule tuginedes arutles Gasarch, et algarvusid peab olema lõpmatu arv.

Ühes Granville'i 2017. aasta tõestuses kasutati Fermat' teistsugust teoreemi. Granville tugines peamiselt a 1927 teoreem Bartel Leendert van der Waerden, mis näitas, et kui värvida täisarvud piiratud arvu värvidega, on alati olemas suvaliselt pikad võrdsete vahedega sama värvi täisarvude ahelad. Nagu Gasarch, alustas Granville eeldusest, et algarvud on lõplikud. Seejärel kasutas ta van der Waerdeni teoreemi, et leida nelja võrdsete vahedega identse värviga täiusliku ruudu jada. Kuid Fermat oli tõestanud, et sellist järjestust ei saa eksisteerida. Vastuolu! Kuna selline jada võiks eksisteerida, kui oleks olemas lõplik arv algarvu, kuid see ei saa eksisteerida, peab olema lõpmatu arv algarvu. Granville'i tõestus oli teine ​​​​ hiljutine peamine tõestus, mis tugines van der Waerdeni teoreemile - Levent Alpöge, nüüdseks järeldoktor Harvardi Ülikoolis, oli tulemust kasutanud ka a 2015 paber, avaldati veel ülikoolis õppides.

Granville on Elsholtzi paberi eriline fänn, kes rakendab ka Fermat' viimast teoreemi ja kontrafaktilist oletust, et algarvusid on ainult lõplikult palju. Nagu Gasarch, kasutas Elsholtz Schuri teoreemi, kuigi mõnevõrra erineval viisil. Elsholtz andis ka teise tõestuse, kasutades a Klaus Rothi 1953. aasta teoreem, mis ütleb, et teatud suuruse täisarvude komplektid peavad sisaldama kolme võrdse vahega arvu rühmi.

Sellele tööle tuginedes võib vastata mõnele sügavamale ja isegi praktilisele matemaatilisele küsimusele. Näiteks avaliku võtmega krüptimist, mis tugineb suurte arvude faktoriseerimise raskustele, oleks väga lihtne murda, kui elaksime maailmas, kus on piiratud arvu algarvudega. Elsholtz mõtleb, kas lõpmatu arvu algarvude tõendite ja selle vahel, kui raske on selliseid krüptimisskeeme lahti murda, võib olla mingi seos. Eukleidese teoreemiga on "mingi nõrk seos," ütles Elsholtz. "Oleks huvitav näha sügavamaid seoseid."

Granville ütles, et parim matemaatika võib kasvada erinevate valdkondade ja ainete kummalistest kombinatsioonidest ning ilmneb sageli pärast seda, kui matemaatikud on aastaid veetnud madalama taseme, kuid lõbusate probleemide üle nuudeldes. Teda paelub tõsiasi, et näiliselt kaugeid aineid saaks arvuteoorias rakendada. Hiljutises küsitluses kiitis Granville "hõredat elegantsi" a 1955. aasta tõestus Hillel Furstenbergi poolt, mis kasutas punktikomplekti topoloogiat. Nagu Alpöge, oli ka Furstenberg veel kolledžis, kui tema tõend avaldati. Ta läheks edasi an hiilgav karjäär aastal mitmesuguseid matemaatilisi distsipliine.

Granville küsis retooriliselt, kas Eukleidese vana tulemuse uued tõendid on "lihtsalt uudishimu või midagi, millel on pikaajaline tähtsus". Oma küsimusele vastates ütles ta: "Ma ei saa teile öelda."