Sissejuhatus
Me kipume arvama, et matemaatika on puhtalt loogiline, kuid matemaatika õpetamine, selle väärtused, kasulikkus ja toimimine on täis nüansse. Mis on siis "hea" matemaatika? 2007. aastal matemaatik Terence tao kirjutas essee Ameerika Matemaatika Seltsi bülletään mis sellele küsimusele vastust otsis. Tänapäeval Fieldsi medali, matemaatika läbimurdeauhinna ja MacArthuri stipendiumi saajana on Tao üks austatumaid ja viljakamaid matemaatikuid. Selles episoodis ühineb ta meie saatejuhi ja kaasmatemaatikuga Steven Strogatz hea matemaatika põhitõdede uuesti üle vaatamiseks.
Kuulake edasi Apple Podcastid, Spotify, Google Podcastid, Stitcher, Häälestama või oma lemmik taskuhäälingusaadete rakenduse või saate seda teha voogesitage seda Quanta.
Ümberkirjutus
STEVEN STROGATZ: 2007. aasta oktoobris, mil esimese põlvkonna iPhone oli veel kuum kaup ja aktsiaturg oli enne suurt majanduslangust kõigi aegade kõrgeimal tasemel, otsustas UCLA matemaatikaprofessor Terence Tao vastata küsimusele. küsimus, mille üle matemaatikud olid pikka aega vaielnud: mis on täpselt hea matemaatika?
Kas asi on ranguses? Elegantsus? Reaalse maailma utiliit? Terry kirjutas väga läbimõeldud ja helde, ma isegi ütleksin, et avatud südamega essee kõigist viisidest, kuidas matemaatika võiks olla hea. Aga nüüd, rohkem kui 15 aastat hiljem, kas me peame uuesti läbi mõtlema, mis on hea matemaatika?
Mina olen Steve Strogatz ja see on taskuhäälingusaade "The Joy of Why". Quanta Magazine kus uurime koos mu kaassaatejuhi Janna Leviniga kordamööda mõningaid tänapäeva suurimaid vastuseta küsimusi matemaatikas ja loodusteadustes.
(Teemamängud)
Terry Tao ise on täna siin, et uuesti läbi vaadata igavene küsimus, mis teeb matemaatika heaks. Professor Tao on kirjutanud rohkem kui 300 uurimistööd hämmastavalt laia matemaatika valdkonnas, sealhulgas harmooniliste analüüside, osadiferentsiaalvõrrandite, kombinatoorika, arvuteooria, andmeteaduse, juhuslike maatriksite ja palju muu kohta. Teda on nimetatud "matemaatika Mozartiks". Ja Fieldsi medali, matemaatika läbimurdeauhinna, MacArthuri stipendiumi ja paljude teiste auhindade võitjana on see nimetus kindlasti hästi ära teenitud.
Terry, tere tulemast saatesse "The Joy of Why".
TERENCE TAO: Rõõm siin olla.
STROGATZ: Mul on väga hea meel, et saan teiega rääkida sellel küsimusel, mis teeb teatud tüüpi matemaatilise uurimistöö heaks. Mäletan päris eredalt, kuidas lehitsesin Ameerika Matemaatika Seltsi bülletään aastal 2007 ja tulen kokku teie essee selle teema kohta et sa meile poseerisid. Selle peale mõtlevad kõik matemaatikud. Aga inimestele, kes ei pruugi nii tuttavad olla, võiksite meile öelda, kuidas te selle küsimuseni jõudsite? Kuidas te omal ajal head matemaatikat määratlesite?
TAO: Õige, jah. See oli tegelikult üleskutse. Nii et toimetaja infoleht palus mul toona artiklit kaastööd teha. Ma arvan, et mul oli õpilasena väga naiivne ettekujutus sellest, mis on matemaatika. Mul oli selline mõte, et on mingi hallhabemenõukogu, kes jagab inimestele probleeme, mille kallal tööd teha. Ja see oli mulle kui kraadiõppurile omamoodi šokk, kui mõistsin, et tegelikult ei olnud keskset võimu, kes probleeme jagaks, ja inimesed tegid isejuhtivaid uuringuid.
Käisin pidevalt kõnedel ja kuulasin, kuidas teised matemaatikud rääkisid sellest, mis neile põnevat tundub ja mis neid matemaatikas erutab, ning sellest, et igal matemaatikul on matemaatikale erinev lähenemine. Mõned otsiksid rakendusi, mõned esteetilise ilu, mõned lihtsalt probleemide lahendamise kaudu. Nad tahtsid probleemi lahendada ja keskendusid omamoodi kõige raskematele ja kõige keerulisematele ülesannetele. Mõned keskenduksid tehnikale; mõned püüaksid asju võimalikult elegantseks muuta.
Kui aga kuulasin, kuidas paljud erinevad matemaatikud räägivad sellest, mida nad peavad matemaatikas väärtuslikuks, jäi mulle mulje, et kuigi meil kõigil olid erinevad ideaalid selle kohta, milline hea matemaatika peaks välja nägema, kipuvad nad kõik lähenevad samale asjale.
Kui matemaatika on tõesti hea, satuvad inimesed, kes otsivad ilu, lõpuks üle selle. Inimesed, kes ajavad taga, kes hindavad tehnilist jõudu või rakendusi, satuvad lõpuks selle peale.
Eugene Wigner oli teemal väga kuulus essee matemaatika ebamõistlik efektiivsus füüsikateadustes peaaegu sajand tagasi, kus ta just täheldas, et matemaatikas on valdkondi – näiteks Riemanni geomeetria, kõvera ruumi uurimine –, mis oli matemaatikute jaoks algselt vaid puhtalt teoreetiline harjutus, mis üritas tõestada paralleelpostulaat ja nii edasi, osutusid just selleks, mida Einstein, Poincaré ja Hilbert vajasid üldrelatiivsusteooria matemaatika kirjeldamiseks. Ja see on lihtsalt nähtus, mis juhtub.
Nii et see, mida matemaatikud peavad intellektuaalselt huvitavaks, pole mitte ainult matemaatika, vaid ka füüsiliselt oluline. Kuid isegi matemaatikas pakuvad matemaatikute jaoks elegantsed ained sügavat ülevaadet.
Ma tunnen, et tead, seal on platooniliselt hea matemaatika ja kõik meie erinevad väärtussüsteemid on lihtsalt erinevad viisid sellele objektiivsele heale kraamile ligi pääseda.
STROGATZ: See on väga huvitav. Kuna olen ise platoonilisele mõtlemisele kalduv inimene, on mul kiusatus nõustuda. Kuigi ma olen veidi üllatunud, kui kuulen seda ütlemas, sest ma oleksin arvanud, et see, kuhu te lähete, tundus esialgu olevat, nagu selles osas on nii palju erinevaid seisukohti. See on aga huvitav fakt, omamoodi empiiriline fakt, et me jõuame kokku leppida selles, mis on hea või mitte, kuigi, nagu te ütlete, lähtume sellest nii paljudest erinevatest väärtustest.
TAO: Õige. Ühinemine võib võtta aega. Teate, nii et kindlasti on näiteks väljasid, kus need ühe mõõdiku järgi mõõdetuna näevad palju paremad välja kui teised. Võib-olla on neil palju rakendusi, kuid nende esitlus on äärmiselt vastik.
(Strogatz naerab)
Või asju, mis on väga elegantsed, kuid millel pole pärismaailmas veel palju häid rakendusi. Kuid ma tunnen, et lõpuks see läheneb.
STROGATZ: Lubage mul küsida teilt selle kokkupuutepunkti kohta pärismaailmaga. See on matemaatikas huvitav pinge. Ja teate, ütleme väikeste lastena, kui me esimest korda geomeetriat tundma õpime, võite sel hetkel arvata, et kolmnurgad on reaalsed või ringid või sirged on tõelised ja et need võivad teile rääkida ristkülikukujulistest kujunditest, mida näete. hoonetes üle maailma või et geodeetid peavad kasutama geomeetriat. Ja lõppude lõpuks pärineb see sõna Maa mõõtmisest, eks, "geomeetria". Ja nii, oli aeg, mil geomeetria oli empiiriline.
Aga see, mida ma tahtsin teilt küsida, on seotud kommentaariga, et John von Neumann tehtud. Seega oli von Neumann, kui keegi ei tundnud, ise suur matemaatik. Ja ta tegi selle kommentaari selles essees: "Matemaatik”, mis räägib matemaatika ja empiirilise maailma, reaalse maailma suhetest, kus ta ütleb umbkaudu, et matemaatilised ideed pärinevad empiiriast, kuid ühel hetkel, kui sa saad matemaatilised ideed, hakkab subjekt elama oma elu. oma. Ja siis on see rohkem nagu loominguline kunstiteos. Oluliseks muutuvad esteetilised kriteeriumid. Kuid ta ütleb, et see põhjustab ohtu. Et kui subjekt hakkab oma empiirilisest allikast liiga kaugele jääma, nagu eriti oma teises või kolmandas põlvkonnas, ütleb ta, et on võimalus, et subjekt võib kannatada liiga abstraktse sugulusaretuse all ja tal on oht degenereeruda.
Kas teil on selle kohta mõtteid? Ma mõtlen, kas matemaatika peab jääma kontakti oma empiirilise allikaga?
TAO: Jah, ma arvan, et see peab olema maandatud. Kui ma ütlen, et empiiriliselt lähenevad kõik need erinevad matemaatika tegemise viisid, siis ainult sellepärast – see juhtub ainult siis, kui uuritav on terve. Hea uudis on see, et tavaliselt see nii on.
Kuid näiteks matemaatikud hindavad lühikesi tõestusi pikkadele, kõik muud asjad on võrdsed. Kuid võiks ette kujutada, et inimesed lähevad üle parda ja nagu matemaatika üks alavaldkond on kinnisideeks võimalikult lühikeste tõestuste tegemisest ja sügavate teoreemide äärmiselt läbipaistmatud kaherealistest tõestustest. Ja nad teevad sellest omamoodi võistluse ja siis muutub see selliseks segaseks mänguks ja siis kaotate kogu intuitsiooni. Võib-olla kaotate sügavama mõistmise, kuna olete lihtsalt nii kinnisideeks, et kõik oma tõendid oleksid võimalikult lühikesed. Nüüd praktikas seda tegelikult ei juhtu. Kuid see on omamoodi teoreetiline näide ja ma arvan, et von Neumann tõi välja sarnase mõtte.
Ja nagu kuuekümnendatel ja seitsmekümnendatel aastatel oli matemaatika ajastu, kus abstraktsioon tegi suuri edusamme paljude varem väga empiirilise matemaatika lihtsustamisel ja ühendamisel. Eriti algebras mõistsid inimesed, teate küll, numbreid ja polünoome ja paljusid muid objekte, mida varem käsitleti eraldi, võite neid kõiki pidada sama algebraklassi liikmeteks, antud juhul rõngaks.
Ja matemaatikas tehti palju edusamme, leides õige abstraktsiooni, olgu see siis topoloogiline ruum või vektorruum, mis iganes, ja teoreemide tõestamine üldiselt. Ja seda nimetatakse mõnikord matemaatikas Bourbaki ajastuks. Ja see kaldus maandusest pisut liiga kaugele.
Meil oli muidugi kogu New Math episood osariikides, kus pedagoogid püüdsid õpetada matemaatikat Bourbaki stiilis ja lõpuks mõistis, et see pole sellel tasemel sobiv pedagoogika.
Nüüd on pendel aga päris palju tagasi löönud. Meil on omamoodi — aine on päris palju küpsenud ja iga matemaatika, geomeetria, topoloogia, mis iganes valdkond, meil on omamoodi rahuldavad formaliseeringud ja me nagu teame, millised on õiged abstraktsioonid. Ja nüüd keskendub valdkond taas ühendustele ja rakendustele. See ühendab nüüd palju rohkem reaalse maailmaga.
Ma mõtlen, et mitte lihtsalt füüsika, mis on traditsiooniline seos, vaid, teate, arvutiteadus, bioteadused, sotsiaalteadused. Suurandmete kasvuga saab peaaegu iga inimdistsipliini praegu mingil määral matematiseerida.
STROGATZ: Mind huvitab väga sõna, mida te just minut tagasi kasutasite "vastastikuse seose" kohta, sest see tundub meile arutlemiseks keskse punktina. Mainite oma essees seda, et lisaks sellele, mida te nimetate "kohalikeks" kriteeriumiteks elegantsuse või reaalsete rakenduste või mille iganes kohta, mainite ka seda hea matemaatika "globaalset" aspekti: et hea matemaatika on seotud teistega. hea matemaatika.
See on peaaegu võti selle heaks, et see on teiste osadega integreeritud. Kuid see on huvitav, sest see kõlab peaaegu nagu ringikujuline arutluskäik: hea matemaatika on matemaatika, mis on seotud muu hea matemaatikaga. Kuid see on tõesti võimas idee ja ma lihtsalt mõtlen, kas saaksite seda veidi rohkem laiendada.
TAO: Jah, ma mõtlen, mida matemaatika endast kujutab – üks asi, mida matemaatika teeb, on see, et see loob seoseid, mis on väga elementaarsed ja fundamentaalsed, kuid pole ilmsed, kui vaadata seda lihtsalt pinna tasandilt. Selle väga varajane näide on Descartes'i Descartesi koordinaatide leiutis, mis lõi põhimõttelise seose geomeetria - punktide ja joonte ning ruumiobjektide uurimise - ning arvude, algebra vahel.
Näiteks ring, mida võite pidada geomeetriliseks objektiks, kuid võite mõelda ka võrrandiks: x2 + y2 = 1 on ringi võrrand. Tol ajal oli see väga revolutsiooniline side. Teate, iidsed kreeklased pidasid arvuteooriat ja geomeetriat peaaegu täielikult eraldatud aineteks.
Kuid Descartes'iga oli see põhimõtteline seos. Ja nüüd on see sisestatud; tead, kuidas me matemaatikat õpetame. Enam pole üllatav, et kui teil on geomeetriline probleem, ründate seda numbritega. Või kui teil on numbritega probleeme, võite seda rünnata geomeetriaga.
See on mõnevõrra tingitud sellest, et nii geomeetria kui ka arvud on sama matemaatilise kontseptsiooni aspektid. Meil on terve valdkond, mida nimetatakse algebraliseks geomeetriaks, mis ei ole ei algebra ega geomeetria, vaid see on ühtne objekt, mis uurib objekte, mida võite pidada geomeetrilisteks kujunditeks, nagu jooned ja ringid jne, või võrranditeks.
Kuid tegelikult on see nende kahe terviklik liit, mida me uurime. Ja kui teema on süvenenud, oleme mõistnud, et see on mõnes mõttes fundamentaalsem kui algebra või geomeetria eraldi. Niisiis, need seosed aitavad meil avastada omamoodi tõelist matemaatikat, mis esialgu annab meie empiirilised uuringud meile ainult selle teema nurga.
Seal on see kuulus mõistujutt elevandist, ma unustan, kus, et kui sul on… Seal on neli pimedat ja nad avastavad elevandi. Ja üks neist katsub elevandi jalga ja mõtleb: "Oh, see on väga karm. See peab olema nagu puu või midagi.
Ja üks neist katsub tüve ja alles palju hiljem näevad nad, et seal on üksainus elevant, mis selgitab kõiki nende erinevaid hüpoteese. Jah, nii et me kõik oleme alguses pimedad. Me lihtsalt vaatame varje Platoni koopas ja alles hiljem taipame -
STROGATZ: Vau, sa oled siin väga filosoofiline. See on midagi. Ma ei suuda praegu vastu panna: kui hakkate rääkima elevandist ja pimedatest, siis see viitab sellele, et arvate, et matemaatika on olemas – see on midagi elevandi sarnast ja et meie oleme pimedad... Või sina tead, me püüame näha midagi, mis eksisteerib inimestest sõltumatult. Kas sa tõesti usud seda?
TAO: Kui teete head matemaatikat, siis see ei ole lihtsalt sümbolite surumine. Sulle tundub, et on mingi reaalne objekt, mida püüad mõista, ja kõik meie võrrandid, mis meil on, on selle omamoodi ligikaudsed või varjud.
Võite vaielda filosoofilise mõtte üle, mis on tegelikult reaalsus ja nii edasi. Ma mõtlen, et need on asjad, mida saate katsuda, ja mida reaalsemaks asjad matemaatiliselt muutuvad, seda vähem füüsilised need mõnikord tunduvad. Nagu te ütlesite, oli geomeetria algselt füüsilises ruumis olevate objektide puhul väga käegakatsutav asi, mida saate – teate, tegelikult saate ehitada ringi ja ruudu ja nii edasi.
Aga tänapäeva geomeetrias, teate, me töötame kõrgemates mõõtmetes. Me võime rääkida diskreetsetest geomeetriatest, igasugustest veidratest topoloogiatest. Ja ma mõtlen, et teema väärib endiselt geomeetriaks nimetamist, kuigi Maad enam ei mõõdeta. Vana-Kreeka etümoloogia on väga vananenud, aga nii see on, aga midagi on seal kindlasti. Kas – kui tõeliseks soovite seda nimetada. Aga ma arvan, et asi on selles, et matemaatika tegelikuks tegemiseks aitab see uskuda, et see on tõeline.
STROGATZ: Jah, kas pole huvitav? See teeb. Tundub, et see on midagi, mis läheb matemaatika ajalukku väga sügavale. Mind tabas essee, mille Archimedes kirjutas oma sõbrale või vähemalt kolleegile Eratosthenesele.
Me räägime praegu, näiteks aastast 250 eKr. Ja ta teeb märkuse, et ta on avastanud viisi, kuidas leida ala, mida me nimetaksime parabooli lõiguks. Ta võtab parabooli, lõikab selle risti lõiguga, mis on parabooli telje suhtes kaldnurga all, ja arvutab selle ala välja. Ta saab väga ilusa tulemuse. Kuid ta ütleb Eratosthenesele midagi, näiteks: "Need tulemused olid kogu aeg arvudele omased." Tead, nad on seal. Nad on seal. Nad lihtsalt ootavad, kuni ta leiab.
Pole nagu ta neid loonud. See pole nagu luule. See on tegelikult huvitav, kas pole? Et paljud suurepärased kunstnikud – Michelangelo rääkis kuju kivi küljest vabastamisest, tead, nagu oleks see alguses seal sees. Ja see kõlab nii nagu teil ja paljudel teistel suurepärastel matemaatikutel – nagu te ütlete, on väga kasulik uskuda seda ideed, et see on seal ja ootab meid ja ootab, et õiged mõistused selle avastaksid.
TAO: Õige. Noh, ma arvan, et selle üks ilming on see, et ideid, mida on esmakordsel avastamisel sageli väga keeruline seletada, need lihtsustatakse. Ma mõtlen, et sageli on põhjus, miks miski alguses väga sügav või raske tundub, et sul pole õiget tähistust.
Näiteks on meil nüüd numbritega manipuleerimiseks kümnendmärk ja see on väga mugav. Kuid varem olid meil nagu rooma numbrid ja siis olid veel primitiivsemad arvusüsteemid, millega oli lihtsalt väga-väga raske töötada, kui tahtsite matemaatikat teha.
Eukleidese oma Elements, teate küll — mõned nende iidsete tekstide argumendid. Näiteks Eukleidese teoreem on üks Elements Ma arvan, et seda nimetatakse lollide sillaks või nii. See on nagu väide, et minu arvates on väide nagu võrdhaarne kolmnurk, kaks põhinurka on võrdsed. Nagu, see on nagu kaherealine tõestus tänapäevastes geomeetrilistes tekstides, tead, õigete aksioomidega. Kuid Eukleidesel oli see kohutav viis seda teha. Ja just seal loobusid paljud klassikalise ajastu geomeetria õpilased matemaatikast täielikult.
STROGATZ: Tõsi. (naerab)
TAO: Aga teate, meil on nüüd palju parem viis seda teha. Nii sageli on matemaatikas ilmnevad komplikatsioonid meie enda piirangute artefaktid. Ja nii, nagu me küpseme, muutuvad asjad lihtsamaks. Ja see tundub seetõttu reaalsem. Me ei näe artefakte. Me näeme olemust.
STROGATZ: Noh, tagasi tulles teie essee juurde: Kui te seda kirjutasite, siis see oli teie karjääri alguses, mitte päris alguses, kuid siiski. Miks tundsite toona, et on oluline püüda määratleda, mis on hea matemaatika?
TAO: Ma arvan... Nii et selleks hetkeks hakkasin ma juba kraadiõppureid nõustama ja märkasin, et seal on mingisuguseid väärarusaamu selle kohta, mis on hea ja mis mitte. Ja ma rääkisin ka erinevate valdkondade matemaatikutega ja see, mida oma valdkond matemaatikas väärtustab, tundus teistest erinev. Kuid ikkagi õppisime me kõik ühte ja sama ainet.
Ja mõnikord ütles keegi midagi, mis mind kuidagi valesti hõõrus, näiteks: "Sellel matemaatikal pole rakendusi, seega pole sellel ka väärtust." Või „See tõestus on lihtsalt liiga keeruline; seetõttu pole sellel väärtust," või midagi. Või vastupidi, teate: „See tõestus on liiga lihtne; seepärast pole see väärt…” Teate küll. Nagu, seal oli mingisugune snobism ja nii edasi, mõnikord kohtasin.
Ja minu kogemuse järgi tuli parim matemaatika siis, kui ma mõistsin teistsugust vaatenurka, teistmoodi mõtlesin matemaatikast kui keegi teises valdkonnas ja rakendasin seda probleemile, mis mulle korda läks. Ja nii erines minu kogemus, kuidas matemaatikat õigesti kasutada ja kuidas seda kasutada, neist niivõrd erinev – omamoodi "üks tõeline viis matemaatika tegemiseks".
Tundsin, et see punkt tuleb kuidagi välja tuua. Et matemaatikat on tõesti võimalik teha mitmuses, kuid matemaatika on siiski ühtne.
STROGATZ: See on väga paljastav, sest ma olin mõelnud, teate, nagu mainisin oma sissejuhatuses paljusid erinevaid matemaatikaharusid, mida olete uurinud, ja ma isegi ei lisanud mõnda. Nagu ma mäletan vaid mõne aasta tagust teie tööd selle vedelikudünaamika saladuse kohta, selle kohta, kas teatud võrrandid, mis meie arvates teevad head tööd vee ja õhu liikumiste lähendamiseks. Ma ei taha liiga palju detailidesse laskuda, aga lihtsalt ütlen, et siin sa oled, inimesed arvavad, et teete arvuteooriat või harmooniliste analüüsi, ja ühtäkki töötate vedeliku dünaamika küsimustega. Ma mõistan, et see on osaline diferentsiaalvõrrand. Sellegipoolest näib, et teie huvide laius on seotud teie laiaulatusliku vastuvõtmisega erinevate arusaamade, erinevate väärtuslike ideede vastuvõtmisega erinevatest viisidest hea matemaatika tegemiseks.
TAO: Ma unustan, kes seda ütles, aga matemaatikuid on kahte tüüpi. Seal on siilid ja rebased. Rebane on inimene, kes teab natuke kõigest. Siil on olend, kes teab ühte asja väga-väga hästi. Ja kumbki pole teisest parem. Nad täiendavad üksteist. Ma pean silmas seda, et matemaatikas on vaja inimesi, kes on ühes alamvaldkonnas tõeliselt sügavad valdkonnaeksperdid ja tunnevad teemat seestpoolt. Ja vaja on inimesi, kes suudavad näha seoseid ühe ja teise valdkonna vahel. Seega tuvastan end kindlasti rebasena, kuid töötan paljude siilidega. Töö, mille üle olen kõige uhkem, on sageli selline koostöö.
STROGATZ: Oh, jah. Kas nad saavad aru, et nad on siilid?
TAO: Olgu, rollid muutuvad ajas. Nagu, on ka teisi koostööprojekte, kus mina olen siil ja keegi teine on rebane. Need pole omamoodi püsivad – teate, need pole teie DNA-s.
STROGATZ: Ah, hea mõte. Me võime lapsendada — võime kanda mõlemat mantlit.
Noh, aga kas esseele vastati tol ajal? Kas inimesed ütlesid teile midagi vastu?
TAO: Sain üldiselt üsna positiivse vastuse. Ma mõtlen, AMS-i bülletään ma arvan, et see ei ole tohutult ja laialt levinud väljaanne. Ja ma ei öelnud tegelikult midagi liiga vastuolulist. Samuti selline eelnev sotsiaalmeedia, nii et ma arvan, et võib-olla on mõned matemaatikablogid selle üles võtnud, kuid Twitterit polnud. Miski ei põhjustanud seda viiruslikuks muutumiseks.
Jah, ma arvan ka, et üldiselt ei kuluta matemaatikud palju oma ajast ja intellektuaalsest kapitalist spekulatsioonidele. Ma mõtlen, seal kutsutakse veel üks matemaatik Minhyong Kim kellel oli see väga tore metafoor, et matemaatikute jaoks on usaldusväärsus nagu valuuta, nagu raha. Kui tõestate teoreeme ja demonstreerite, et tunnete teemat, kogute panka kuidagi seda usaldusväärsust. Ja kui teil on piisavalt valuutat, võite endale lubada veidi spekuleerida, olles veidi filosoofiline ja öeldes, mis võib olla tõsi, mitte seda, mida saate tegelikult tõestada.
Kuid me kipume olema konservatiivsed ja me ei taha oma pangakontole arvelduskrediiti. Teate, te ei taha, et suurem osa teie kirjutisest oleks spekulatiivne ja et vaid üks protsent tõestaks midagi.
STROGATZ: Piisavalt õiglane. Nii et okei. Niisiis, sellest ajast on möödunud palju aastaid. Millest me räägime? Sellest on rohkem kui 15 aastat.
TAO: Oh jah, aeg lendab.
STROGATZ: Kas teie arvamus on muutunud? Kas me peame midagi üle vaatama?
TAO: Noh, matemaatikakultuur muutub üsna palju. Mul oli matemaatikast juba avar vaade ja nüüd on see veelgi laiem.
Niisiis, üks väga konkreetne näide on järgmine: 2007. aastal olid arvutipõhised tõestused endiselt vastuolulised. Oli kuulus oletus, mida nimetatakse Kepleri oletuseks, mis käsitleb kõige tõhusamat viisi ühikupallide pakkimiseks kolmemõõtmelisse ruumi. Ja seal on tavaline pakend, ma arvan, et seda nimetatakse kuubikujuliseks keskpakendiks või nii, mida Kepler arvas olevat parim võimalik.
See sai lõpuks lahendatud, kuid tõestus oli väga arvuti abiga. See oli üsna keeruline ja [Thomas] HalesLõppkokkuvõttes lõi selle konkreetse tõendi ametlikuks kontrollimiseks terve arvutikeele, kuid seda ei peetud tõeliseks tõestuseks palju aastaid. Kuid see näitas, kui vastuoluline oli tõendi kontseptsioon, mille kontrollimiseks vajate arvutiabi.
Sellele järgnenud aastate jooksul on olnud palju, palju muid näiteid tõenditest, kus inimene saab taandada keerulise probleemi millekski, mille kontrollimiseks on endiselt vaja arvutit. Ja siis läheb arvuti edasi ja kontrollib seda. Oleme välja töötanud tavad, kuidas seda vastutustundlikult teha. Teate küll, kuidas avaldada koodi ja andmeid ning kuidas kontrollida ja uusi avatud lähtekoodiga asju ja nii edasi. Ja nüüd on arvutipõhised tõendid laialdaselt aktsepteeritud.
Nüüd, ma arvan, tuleb järgmine kultuuriline nihe kas tehisintellekti loodud tõestused aktsepteeritakse. Praegu ei ole AI tööriistad tasemel, kus nad suudaksid luua tõendeid matemaatikaprobleemide tõeliseks edendamiseks. Võib-olla bakalaureuseõppe tasemel kodutööd, nad saavad omamoodi hakkama, aga uurivad matemaatikat, nad pole veel sellel tasemel. Kuid mingil hetkel hakkame nägema AI-ga toetatud paberite ilmumist ja arutelu.
See, kuidas meie kultuur on mõnes mõttes muutunud... 2007. aastal tegi vaid murdosa matemaatikutest oma trükised enne avaldamist kättesaadavaks. Autorid valvasid oma eeltrükke kadedalt, kuni nad said ajakirjalt vastuvõtmise teate. Ja siis võivad nad jagada.
Aga nüüd panevad kõik paberid selga avalikud serverid nagu arXiv. Palju avatum on panna videoid ja blogipostitusi selle kohta, kust paberi ideed pärinevad. Sest inimesed mõistavad, et just see muudab töö mõjukamaks ja mõjukamaks. Kui proovite oma tööd mitte avalikustada ja olla selle suhtes väga salajane, ei tekita see tähelepanu.
Matemaatika on muutunud palju koostöövalmidam. Teate, 50 aastat tagasi ma ütleksin, et enamik matemaatikatöid olid ühe autoriga. Nüüd on kindlasti enamus kaks-kolm-neli autorit. Ja me alles hakkame nägema tõeliselt suuri projekte, nagu me teaduses teeme, nagu kümned, sajad inimesed teevad koostööd. Seda on matemaatikutel endiselt raske teha, kuid ma arvan, et me jõuame selleni.
Samal ajal muutume palju interdistsiplinaarsemaks. Teeme palju rohkem koostööd teiste teadustega. Töötame matemaatika valdkondade vahel. Ja tänu Internetile saame teha koostööd inimestega üle kogu maailma. Niisiis, viis, kuidas me matemaatikat teeme, on kindlasti muutumas.
Loodan, et tulevikus saame amatöörmatemaatika kogukonda rohkem ära kasutada. On ka teisi valdkondi, nagu astronoomia, kus astronoomid kasutavad suurel määral ära amatöörastronoomia kogukonda, näiteks amatöörid leiavad palju komeete.
Aga matemaatikud... Matemaatikas on mõned üksikud valdkonnad, nagu näiteks meeldimine, plaatimine, kahemõõtmeline plaatimine ja võib-olla kirjete leidmine algarvudes. On mõned väga valitud matemaatikavaldkonnad, kus amatöörid annavad oma panuse ja need on teretulnud. Kuid takistusi on palju. Enamikus matemaatika valdkondades on teil vaja nii palju koolitust ja sisestatud või tavapärast tarkust, et me ei saa asju koguda. Kuid see võib tulevikus muutuda. Võib-olla oleks tehisintellekti üks mõju võimaldada amatöörmatemaatikutel matemaatikasse tähendusrikkalt panustada.
STROGATZ: See on väga huvitav.
[Paus reklaami sisestamiseks]
STROGATZ: Nii et amatöörid võivad tehisintellekti abiga kas küsida uusi häid küsimusi või aidata olemasolevaid küsimusi hästi uurida.
TAO: On palju erinevaid viise - jah. Näiteks on praegu projekte suurte teoreemide tõestuste vormistamiseks nendes asjades, nn ametlikud tõendusassistendid, mis on nagu arvutikeeled, mis suudavad 100% kontrollida, kas teoreem on tõene või mitte, ja — on tõestatud või mitte. See võimaldab tegelikult laiaulatuslikku koostööd matemaatikas.
Nii et kui varem tegite teoreemi tõestamiseks koostööd 10 inimesega ja igaüks annab ühe sammu, peavad kõik kontrollima kõigi teiste matemaatikat. Sest matemaatikaga on nii, et kui ühes etapis on viga, võib kogu asi kokku kukkuda.
Nii et teil on vaja usaldust ja nii - seepärast see takistab, see pärsib tõesti laiaulatuslikku koostööd matemaatikas. Kuid nüüd on olnud edukaid näiteid tõeliselt suurte teoreemide vormistamise kohta, kus on tohutu kogukond, nad kõik ei tunne üksteist, nad ei usalda üksteist, kuid nad suhtlevad mõne Githubi hoidlasse üleslaadimise kaudu või midagi, näiteks argumendi üksikute etappide individuaalsed tõendid. Ja ametlik tõestustarkvara kontrollib kõike ja nii ei pea te usalduse pärast muretsema. Seega lubame uusi koostööviise, mida me varem pole näinud.
STROGATZ: Väga huvitav on kuulda sinu nägemust, Terry. See on põnev mõte. Te ei kuule väljendit "kodaniku matemaatik". Kuuled kodanikuteadusest, aga miks mitte kodaniku matemaatika?
Aga ma lihtsalt mõtlen, kas on mingeid trende, mille pärast muretsete näiteks arvutipõhise tõestuse või tehisintellektiga loodud tõestuste puhul? Kas me teame, et teatud tulemused vastavad tõele, kuid me ei saa aru, miks?
TAO: Nii et see on probleem. See on probleem juba enne AI tulekut. Seega on palju valdkondi, kus mingi teema referaadid lähevad järjest pikemaks, sadu lehekülgi. Ja ma loodan, et AI võib tegelikult aidata lihtsustada ja see võib nii selgitada kui ka tõestada.
Nii et juba on olemas eksperimentaalne tarkvara, kus näiteks kui võtate vormistatud tõendi, saate selle tegelikult teisendada interaktiivseks inimloetavaks dokumendiks, kus teil on tõestus ja näete kõrgetasemelisi samme ja kui seal on lause. te ei saa aru, võite sellel topeltklõpsata ja see laieneb väiksemateks sammudeks. Varsti arvan, et tõestuse läbimise ajal võib teie kõrval istuda ka AI-vestlusrobot, mis saab esitada küsimusi ja iga sammu selgitada, nagu oleks nad selle autor. Ma arvan, et oleme sellele juba väga lähedal.
On muresid. Peame muutma oma õpilaste harimise viisi, eriti nüüd, kui paljud meie traditsioonilised viisid kodutööde andmiseks ja nii edasi, oleme peaaegu punktis, kus need tehisintellekti tööriistad saavad koheselt vastata paljudele meie tavapärastele eksamiküsimustele. Ja seega peame õpetama oma õpilastele uusi oskusi, näiteks kuidas kontrollida, kas tehisintellekti loodud väljund on õige või mitte, ja kuidas saada teist arvamust.
Ja me võime näha matemaatika eksperimentaalsema poole tulekut, teate. Seega on matemaatika peaaegu täielikult teoreetiline, samas kui enamikul teadustel on nii teoreetiline kui ka eksperimentaalne komponent. Meil võib lõpuks olla tulemusi, mida kõigepealt tõestavad ainult arvutid ja nagu te ütlete, me ei saa aru. Aga kui meil on andmed, mida tehisintellekt ja arvuti loodud tõendid pakuvad, saame võib-olla katseid läbi viia.
Nüüd on natuke eksperimentaalset matemaatikat. Inimesed uurivad näiteks suuri andmekogumeid mitmesugustest asjadest, näiteks elliptilisi kõveraid. Kuid see võib tulevikus muutuda palju suuremaks.
STROGATZ: Jee, sul on väga optimistlik vaade, see kõlab mulle. See pole nagu kuldajastu minevik. Kui ma teid õigesti kuulen, arvate, et ees on palju väga põnevat.
TAO: Jah, paljud uued tehnoloogilised tööriistad on väga võimsad. Pean silmas seda, et AI-l on üldiselt palju keerulisi tõuse ja varjukülgi. Ja väljaspool teadusi on palju võimalikke häireid majanduses, intellektuaalomandi õigustes ja nii edasi. Kuid matemaatikas on minu arvates hea ja halva suhe parem kui paljudes teistes valdkondades.
Ja teate, internet on tõesti muutnud seda, kuidas me matemaatikat teeme. Teen koostööd paljude inimestega väga erinevates valdkondades. Ma ei saaks seda ilma Internetita teha. Asjaolu, et ma võin minna Wikipediasse või kuhu iganes ja alustada aine õppimist, saada kellelegi meili ja me saame võrgus koostööd teha. Kui ma peaksin tegema vana kooli asju, kus saaksin rääkida ainult oma osakonna inimestega ja kasutada kõige muu jaoks füüsilist posti, ei saaks ma seda matemaatikat teha, mida praegu teen.
STROGATZ: Vau, olgu. Pean lihtsalt alla tõmbama selle, mida sa just ütlesid, sest ma poleks miljoni aasta jooksul kunagi mõelnud, et hakkan seda kuulma: Terry Tao loeb matemaatika õppimiseks Vikipeediat?
TAO: Lähtepunktiks. Ma mõtlen, et see pole alati Wikipedia, vaid lihtsalt selleks, et saada märksõnad, ja siis teen täpsema otsingu näiteks MathSciNet või mõni muu andmebaas. Aga jah.
STROGATZ: See ei ole kriitika. Tähendab, ma teen sama asja. Vikipeedia on tegelikult, kui Vikipeedia matemaatikat kritiseeritakse, siis võib-olla see, et mõnikord on see lugejate jaoks liiga arenenud, ma arvan, et see on mõeldud. Mitte alati. Ma mõtlen, see sõltub. See on artiklite lõikes väga erinev. Aga see on lihtsalt naljakas. Mulle meeldib seda kuulda.
TAO: Ma mõtlen, need tööriistad, peate suutma väljundit kontrollida. Tead, põhjus, miks ma saan Vikipeediat matemaatika tegemiseks kasutada, on see, et ma tean juba piisavalt matemaatikat, et tunnen ära, kas matemaatika Vikipeedia tükk on kahtlane või mitte. Teate, see võib saada mõned allikad ja üks neist on parem allikas kui teine. Ja ma tean autoreid ja mul on aimu, milline viide on minu jaoks parem. Kui ma kasutaksin Vikipeediat, et õppida tundma teemat, milles mul pole kogemusi, siis arvan, et see oleks pigem juhuslik muutuja.
STROGATZ: Noh, me oleme üsna palju rääkinud sellest, mis teeb hea matemaatika, uut tüüpi hea matemaatika võimaliku tuleviku. Kuid võib-olla peaksime käsitlema küsimust: miks see üldse oluline on? Miks on oluline, et matemaatika oleks hea?
TAO: Noh, esiteks ma mõtlen, miks meil üldse matemaatikud on? Miks ühiskond väärtustab matemaatikuid ja annab meile ressursse, et teha seda, mida me teeme? Teate, see on sellepärast, et me pakume mingit väärtust. Meil võib olla rakendusi reaalses maailmas. Intellektuaalne huvi on olemas ja mõned meie väljatöötatud teooriad annavad lõpuks ülevaate teistest nähtustest.
Ja mitte kogu matemaatika pole võrdse väärtusega. Ma mõtlen, et sa võiksid arvutada järjest rohkem pi numbreid, kuid mingil hetkel ei õpi sa midagi. Iga teema vajab mingisugust väärtushinnangut, sest peate eraldama ressursse. Seal on nii palju matemaatikat. Milliseid edusamme soovite esile tõsta ja avalikustada ning teistele inimestele teada anda ning millised neist peaks ehk lihtsalt vaikselt kuskil ajakirjas istuma?
Isegi kui arvate, et teema on täiesti objektiivne ja teate, et seal on ainult tõsi või vale, peame ikkagi tegema valikuid. Tead, lihtsalt sellepärast, et aeg on piiratud ressurss. Tähelepanu on piiratud ressurss. Raha on piiratud ressurss. Seega on need alati olulised küsimused.
STROGATZ: Huvitav, et mainisite avalikustamise kohta, sest see on minu arvates teie töö eripära, et olete ka palju pingutanud, et matemaatikat oma ajaveebi kaudu avalikult kättesaadavaks teha, läbi erinevate artiklite. oled kirjutanud. Mäletan, et arutasin üht, millesse sa kirjutasid Ameerika teadlane universaalsuse ja selle idee kohta. Miks on oluline teha matemaatika avalikult kättesaadavaks ja arusaadavaks? Ma mõtlen, mida sa üritad teha?
TAO: See juhtus kuidagi orgaaniliselt. Minu karjääri alguses oli World Wide Web veel väga uus ja matemaatikud hakkasid omama erineva sisuga veebilehti, kuid keskset kataloogi polnud palju. Enne Google'it ja nii edasi oli üksikuid ressursse tegelikult raske leida.
Niisiis, ma hakkasin omamoodi tegema väikesed kataloogid minu veebilehel. Ja ma teeksin ka oma lehtede jaoks veebilehti ja kommenteeriksin. Esialgu oli see pigem minu enda kasuks, lihtsalt korraldusliku tööriistana, lihtsalt selleks, et aidata mul asju üles leida. Kõrvalsaadusena oli see avalikkusele kättesaadav, kuid ma olin oma veebilehtede peamine tarbija või vähemalt nii ma arvasin.
Kuid ma mäletan väga selgelt, et oli kord, kui kirjutasin referaadi ja panin selle oma veebilehele ning mul oli väike alamleht nimega "Mis on uut?" Ja ma lihtsalt ütlesin: "Siin on paber. Selles on küsimus, millele ma ei osanud ikka veel vastata ja ma ei tea, kuidas seda lahendada. Ja ma just tegin selle kommentaari. Ja siis, nagu kaks päeva hiljem, sain e-kirja, milles öeldi: „Oh, ma just vaatasin teie kodulehte. Ma tean sellele vastust. Seal on paber, mis lahendab teie probleemi.
Ja see pani mind esiteks mõistma, et inimesed külastasid minu veebisaiti, mida ma tegelikult ei teadnud. Kuid see suhtlus kogukonnaga võib tõesti aidata - see võib aidata mul oma küsimusi otseselt lahendada.
Seda seadust nimetatakse Metcalfe seadus võrgunduses see, kui teil on n inimesed ja nad kõik räägivad omavahel, seal on umbes n2 nendevahelised ühendused. Ja nii, mida suurem on publik ja suurem foorum, kus kõik saavad teistega rääkida, seda rohkem saate luua potentsiaalseid sidemeid ja seda rohkem võib juhtuda häid asju.
Ma mõtlen, et minu karjääri jooksul on nii palju avastusi, mida olen teinud, või seoseid, mida olen loonud, ootamatu seose tõttu. Kogu minu karjäärikogemus on olnud selline, et rohkem sidemeid võrdub lihtsalt paremate asjadega.
STROGATZ: Ma arvan, et ilus näide sellest, millele te just viitate, aga mulle meeldiks, kui te sellest räägiksite, on sidemed, mille lõite andmeteaduse inimestega, kes on huvitatud meditsiinilise resonantstomograafiaga seotud küsimustest. , MRI. Kas saaksite meile sellest loost veidi rääkida?
TAO: Niisiis, see oli umbes 2006, 2005, ma arvan. Niisiis, siin UCLA ülikoolilinnakus oli interdistsiplinaarne programm, mis käsitles, ma arvan, mitmemõõtmelist geomeetrilist analüüsi või midagi sellist, kus nad tõid kokku puhtaid matemaatikuid, kes olid huvitatud omaette mitmemõõtmelisest tüüpi geomeetriast, ja siis, teate, inimesed, kellel oli väga konkreetseid andmetüüpi probleeme.
Ja ma olin just hakanud tegelema juhuslike maatriksiteooria probleemidega, nii et mind tunti kui inimest, kes oskab maatriksitega manipuleerida. Ja ma kohtasin kedagi, keda ma juba tundsin, Emmanuel Candès, sest sel ajal töötas ta Caltechis kohe kõrvalmajas. Ja tema ja teine kaastöötaja, Justin Romberg, olid nad selle ebatavalise nähtuse avastanud.
Nii et nad vaatasid MRI-pilte, kuid need on väga aeglased. Inimkehast piisavalt kõrge eraldusvõimega kujutise kogumiseks või kasvaja või mõne muu meditsiiniliselt olulise tunnuse kogumiseks, mida soovite leida, kulub sageli mitu minutit, sest nad peavad skaneerima kõik need erinevad nurgad ja seejärel andmed sünteesima. . Ja see oli tegelikult probleem, sest näiteks väikesed lapsed lihtsalt kolm minutit MRT-aparaadis paigal istuda oli üsna problemaatiline.
Nii et nad katsetasid teistmoodi, kasutades mingit lineaarset algebrat. Nad lootsid jõudlust parandada 10%, 20%. Teate küll, natuke teravam pilt, kui standardset algoritmi natukene kohandada.
Nii et standardset algoritmi nimetati vähimruutude lähendamiseks ja nad tegid midagi muud, mida nimetatakse kogu variatsiooni minimeerimiseks. Kuid kui nad arvutitarkvara käivitasid, said nad oma testpildi peaaegu täiusliku rekonstrueerimise. Massiivne, tohutu paranemine. Ja nad ei osanud seda seletada.
Aga Emmanuel oli sellel programmil ja me vestlesime tee ääres või midagi muud. Ja ta just mainis seda ja tegelikult oli mu esimene mõte, et sa tegid oma arvutuses vea, et see, mida sa räägid, pole tegelikult võimalik. Ja ma mäletan, et ma läksin sel õhtul koju tagasi ja püüdsin kirja panna tõelise tõendi, et see, mida nad nägid, ei saanud tegelikult juhtuda. Ja siis poole peal mõistsin, et olin teinud oletuse, mis ei vastanud tõele. Ja siis sain aru, et see võib tegelikult toimida. Ja siis ma mõtlesin, mis võiks olla seletus. Ja siis tegime koostööd ja leidsime tegelikult hea seletuse ning avaldasime selle.
Ja kui me seda tegime, mõistsid inimesed, et on palju muid olukordi, kus tuli teha mõõtmine, mis tavaliselt nõudis palju-palju andmeid, ja mõnel juhul võite võtta palju väiksema andmemahu ja saada ikkagi väga kõrge tulemuse. eraldusvõime mõõtmine.
Näiteks nüüdisaegsed MRI-aparaadid – skaneerimine, mis varem võttis kolm minutit, võib nüüd võtta aega 30 sekundit, sest see tarkvara, see algoritm on juhtmega ühendatud, on nüüd masinatesse kõvasti kodeeritud.
STROGATZ: See on ilus lugu, see on nii vahva lugu. Ma mõtlen, et räägin olulisest matemaatikast, mis muudab elusid, sõna otseses mõttes, selles meditsiinilise pildistamise kontekstis. Ma armastan selle rahulikkust ja teie avatud meelt, kui kuuled seda ideed ja mõtlen siis, et "see on võimatu, ma võin seda tõestada." Ja siis mõistan, et tegelikult ei. Fantastiline näha, et matemaatika sellist mõju avaldab.
Noh, olgu, ma arvan, et lasen sul parem minna, Terry. On olnud tõeline rõõm arutada teiega hea matemaatika olemust. Suur tänu meiega täna liitumise eest.
TAO: Jah, ei, see on olnud rõõm.
[Paus reklaami sisestamiseks]
STROGATZ: "The Joy of Why" on taskuhäälingusaade Quanta Magazine, toimetuse poolest sõltumatu väljaanne, mida toetab Simonsi fond. Simonsi fondi rahastamisotsused ei mõjuta teemade valikut, külalisi ega muid toimetusotsuseid selles taskuhäälingus ega Quanta Magazine.
“The Joy of Why” on produtseerinud PRX Productions. Tootmismeeskond on Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler ja Merritt Jacob. PRX Productionsi tegevprodutsent on Jocelyn Gonzales. Morgan Church ja Edwin Ochoa pakkusid täiendavat abi. Alates Quanta Magazine, John Rennie ja Thomas Lin andsid toimetusjuhiseid, keda toetasid Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana ja Madison Goldberg.
Meie teemamuusika pärineb APM Musicust. Julian Lin mõtles välja taskuhäälingusaate nime. Episoodi kunst on Peter Greenwoodilt ja meie logo autorid Jaki King ja Kristina Armitage. Eriline tänu Columbia ajakirjanduskoolile ja Burt Odom-Reedile Cornell Broadcast Studios'is.
Ma olen teie võõrustaja, Steve Strogatz. Kui teil on meile küsimusi või kommentaare, saatke meile e-kiri aadressil . Aitah kuulamast.
- SEO-põhise sisu ja PR-levi. Võimenduge juba täna.
- PlatoData.Network Vertikaalne generatiivne Ai. Jõustage ennast. Juurdepääs siia.
- PlatoAiStream. Web3 luure. Täiustatud teadmised. Juurdepääs siia.
- PlatoESG. Süsinik, CleanTech, Energia, Keskkond päikeseenergia, Jäätmekäitluse. Juurdepääs siia.
- PlatoTervis. Biotehnoloogia ja kliiniliste uuringute luureandmed. Juurdepääs siia.
- Allikas: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :on
- :on
- :mitte
- : kus
- ][lk
- $ UP
- 1
- 10
- 15 aastat
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 aastat
- a
- Võimalik
- MEIST
- sellest
- ABSTRACT
- abstraktsioon
- AC
- vastuvõtmine
- aktsepteeritud
- aktsepteerimine
- juurdepääsetav
- Ligipääs
- konto
- üle
- tegelik
- tegelikult
- Ad
- Täiendavad lisad
- aadress
- vastu võtma
- edendama
- edasijõudnud
- ettemaksed
- Advent
- nõustama
- esteetiline
- pärast
- jälle
- vanus
- tagasi
- kokkuleppel
- eespool
- AI
- AI vestlusrobot
- AIR
- Ais
- algoritm
- elus
- Materjal: BPA ja flataatide vaba plastik
- eraldama
- võimaldama
- peaaegu
- mööda
- juba
- Ka
- Kuigi
- alati
- amatöör
- ameerika
- vahel
- summa
- an
- analüüs
- Vana
- ja
- Teine
- vastus
- mistahes
- enam
- keegi
- midagi
- lahus
- app
- õun
- rakendused
- Rakendades
- läheneb
- asjakohane
- OLEME
- PIIRKOND
- valdkondades
- argument
- argumendid
- ümber
- Kunst
- artikkel
- kaubad
- Kunstnikud
- AS
- küsima
- aspekt
- aspektid
- Abi
- eeldus
- astronoomia
- At
- rünnak
- tähelepanu
- publik
- autor
- autor on
- asutus
- autorid
- saadaval
- Auhinnad
- Telg
- tagasi
- Halb
- Pank
- pangakonto
- tõkked
- baas
- põhiline
- BE
- ilus
- Ilu
- sest
- muutuma
- muutub
- saada
- olnud
- enne
- alustama
- Algus
- on
- olendid
- Uskuma
- kasu
- BEST
- Parem
- vahel
- Suur
- Big andmed
- suurem
- suurim
- Natuke
- Blogi
- Blogi postitused
- blogid
- keha
- mõlemad
- oksad
- laius
- Murdma
- läbimurre
- BRIDGE
- Toomine
- lai
- ülekanne
- laiem
- brock
- ehitama
- hooned
- kuid
- by
- arvutus
- helistama
- kutsutud
- tuli
- Ülikoolilinnak
- CAN
- kapital
- Karjäär
- juhul
- juhtudel
- maadlus
- põhjuste
- koobas
- kesk-
- keskasutus
- Sajand
- kindel
- kindlasti
- raske
- võimalus
- muutma
- muutunud
- muutuv
- chatbot
- jututoas
- kontrollima
- kontroll
- valikuid
- kirik
- Ring
- ringid
- ring-
- kodanik
- klass
- lähedal
- Co-Host
- kood
- Teevad koostööd
- koostöö
- koostöö
- kolleeg
- koguma
- COLUMBIA
- Tulema
- tuleb
- Komeedid
- tulevad
- kommentaar
- kommentaar
- kommentaarid
- kaup
- edastama
- kogukond
- Täiendus
- täiesti
- keeruline
- keeruline
- komponent
- Arvutama
- arvuti
- Arvutiteadus
- arvutiga loodud
- arvutid
- mõiste
- Murettekitav
- betoon
- oletus
- ühendamine
- ühendus
- Side
- ühendab
- konservatiivne
- tarbija
- kontakt
- sisu
- kontekst
- aitama kaasa
- panustab
- vastuoluline
- Mugav
- tavaline
- lähenema
- Lähenemine
- vastupidi
- muutma
- cornell
- Nurk
- parandada
- võiks
- nõukogu
- Kursus
- loodud
- Loominguline
- olend
- usutavus
- kriteeriumid
- kriitika
- rahvahulk
- kultuuriline
- kultuur
- valuuta
- kärped
- OHT
- andmed
- andmeteadus
- andmekogumid
- andmebaas
- Päeva
- arutelu
- otsused
- sügav
- sügavam
- määratlema
- kindlasti
- näitama
- osakond
- sõltub
- kirjeldama
- väärib
- detailid
- kindlaksmääratud
- arendama
- arenenud
- DID
- erinev
- raske
- numbrit
- mõõdud
- otse
- kataloogid
- distsipliin
- avastama
- avastasin
- arutama
- arutame
- Katkestus
- eristusvõime
- selgelt
- dna
- do
- dokument
- ei
- Ei tee
- teeme
- domeen
- Ära
- Uks
- alla
- varjuküljed
- dünaamika
- iga
- Varajane
- maa
- majandus
- toimetaja
- Juhtkiri
- harima
- kasvatajad
- Edwin
- tõhusus
- tõhus
- jõupingutusi
- Einstein
- kumbki
- elevant
- Elliptiline
- teine
- Muidu
- volitamine
- võimaldab
- võimaldades
- kohtumine
- lõpp
- piisavalt
- Kogu
- täielikult
- episood
- võrdne
- Võrdub
- võrrandid
- Ajastu
- viga
- eriti
- ESNA
- olemus
- Isegi
- lõpuks
- Iga
- kõik
- igaüks
- kõik
- täpselt
- eksam
- näide
- näited
- erutatud
- põnev
- täidesaatev
- Produtsent
- Teostama
- olemasolevate
- olemas
- Laiendama
- kogemus
- eksperimentaalne
- katsetamine
- katseid
- ekspertide
- Selgitama
- selgitades
- selgitus
- uurida
- Avastades
- ulatus
- äärmiselt
- asjaolu
- õiglane
- õiglaselt
- Langema
- vale
- tuttav
- kuulus
- fantastiline
- kaugele
- lummav
- Lemmik
- tunnusjoon
- tundma
- tunneb
- mees
- viga
- vähe
- väli
- Valdkonnad
- arvasin
- arvandmed
- Lõpuks
- leidma
- leidmine
- esimene
- vedelik
- Vedeliku dünaamika
- Keskenduma
- keskendumine
- eest
- formaalne
- Vormiliselt
- Edasi
- foorumid
- avastatud
- Sihtasutus
- neli
- rebane
- murdosa
- sõber
- Alates
- põhiline
- rahastamise
- naljakas
- tulevik
- mäng
- andis
- Üldine
- tekitama
- põlvkond
- helde
- saama
- saab
- saamine
- GitHub
- Andma
- Go
- Goes
- läheb
- kuldne
- hea
- tubli töö
- sain
- koolilõpetaja
- suur
- kreeka
- Greenwood
- Greif
- maandatud
- valvur
- arvan
- online
- juhised
- olnud
- poolel teel
- käsi
- juhtuda
- juhtus
- Juhtub
- juhtub
- Raske
- Olema
- võttes
- he
- tervislik
- kuulama
- ärakuulamine
- siil
- aitama
- aidates
- aitab
- siin
- Suur
- kõrgetasemeline
- kõrgresolutsiooniga
- rohkem
- Esile tõstma
- teda
- ise
- tema
- ajalugu
- terviklikku
- Avaleht
- kodulehe
- Austatud
- lootus
- lootusrikas
- lootes
- võõrustaja
- KUUM
- Kuidas
- Kuidas
- HTTPS
- tohutu
- Tohutult
- inim-
- inimesele loetav
- sajad
- i
- idee
- ideaale
- ideid
- identifitseerima
- if
- pilt
- pildid
- kujutage ette
- Imaging
- mõju
- mõjuv
- oluline
- võimatu
- paranemine
- in
- kallutatud
- sisaldama
- Kaasa arvatud
- sõltumatud
- eraldi
- mõju
- Mõjuv
- omane
- esialgu
- ülevaade
- teadmisi
- otsekohe
- integreeritud
- intellektuaalne
- intellektuaalomandi
- ette nähtud
- suhtlemist
- interaktiivne
- huvi
- huvitatud
- huvitav
- Internet
- sisse
- Sissejuhatus
- intuitsioon
- leiutis
- iPhone
- isoleeritud
- IT
- ITS
- jacob
- töö
- John
- liitumine
- meiega liitumas
- Liita
- ajakiri
- ajakirjandus
- rõõm
- lihtsalt
- hoitakse
- Võti
- märksõnad
- lapsed
- Laps
- liiki
- kuningas
- Teadma
- teatud
- teab
- maa
- keel
- Keeled
- suur
- suuremahuline
- suurem
- pärast
- Seadus
- Õppida
- õppimine
- kõige vähem
- vähem
- laskma
- Tase
- elu
- Maaülikooli
- nagu
- piirangud
- piiratud
- lin
- joon
- sirgjooneline
- liinid
- Kuulamine
- vähe
- Elab
- loogiline
- logo
- Pikk
- enam
- Vaata
- näeb välja
- otsin
- välimus
- kaotama
- Partii
- palju
- armastus
- masin
- masinad
- tehtud
- ajakiri
- Enamus
- tegema
- TEEB
- Tegemine
- juhtima
- palju
- Turg
- suur
- matemaatika
- matemaatiline
- matemaatiliselt
- matemaatika
- maatriks
- Matt
- küsimus
- küps
- mai..
- võib olla
- me
- keskmine
- mõõtmine
- Meedia
- meditsiini-
- liikmed
- Mehed
- mainima
- mainitud
- mõdu
- meetriline
- võib
- miljon
- mõtetes
- minimeerimine
- minut
- protokoll
- väärarvamused
- viga
- Kaasaegne
- režiimid
- raha
- rohkem
- Morgan
- kõige
- resolutsiooni
- MRI
- palju
- muusika
- peab
- my
- mina
- Mõistatus
- naiivne
- nimi
- Vajadus
- vaja
- vajadustele
- kumbki
- mitte kunagi
- Uus
- uudised
- järgmine
- kena
- öö
- ei
- Tavaliselt
- mitte midagi
- teade
- nüüd
- Nuance
- number
- numbrid
- objekt
- eesmärk
- esemeid
- Ilmne
- OCHOA
- oktoober
- of
- sageli
- oh
- Hästi
- on
- kunagi
- ONE
- ones
- Internetis
- ainult
- läbipaistmatu
- avatud lähtekoodiga
- Avatus
- Arvamus
- Optimistlik
- or
- orgaaniliselt
- organisatsiooniline
- Muu
- teised
- meie
- välja
- vananenud
- väljund
- väljaspool
- üle
- enda
- Pakk
- pakitud
- lehekülge
- Paber
- dokumendid
- Parallel
- eriline
- eriti
- osad
- Vastu võetud
- minevik
- Inimesed
- protsent
- täiuslik
- jõudlus
- püsiv
- inimene
- Peter
- nähtus
- füüsiline
- Füüsikalised teadused
- Füüsiliselt
- Füüsika
- valitud
- tükk
- Platon
- Platoni andmete intelligentsus
- Platoni oma
- PlatoData
- palun
- rõõm
- podcast
- Taskuhääling
- Luule
- Punkt
- Vaatepunkt
- võrra
- tulenevad
- positiivne
- võimalik
- Postitusi
- potentsiaal
- võim
- võimas
- tava
- tavad
- täpselt
- esitlus
- ilus
- takistab
- varem
- esmane
- Peamine
- primitiivne
- preemia
- Probleem
- problemaatiline
- probleeme
- Toodetud
- tootja
- Produktsioon
- lavastused
- Õpetaja
- Programm
- Edu
- projektid
- viljakas
- tõend
- tõendid
- korralikult
- kinnisvara
- Omandiõigused
- kaitstud
- uhke
- Tõesta
- tõestatud
- anda
- tingimusel
- pakkudes
- tõestades
- avalik
- avaldamine
- avalikult
- avaldama
- avaldatud
- Kirjastamine
- puhas
- puhtalt
- eesmärk
- jätkama
- Lükkamine
- panema
- Paneb
- Kvantamagazin
- küsimus
- Küsimused
- vaikselt
- üsna
- juhuslik
- pigem
- suhe
- lugejad
- reaalne
- päris maailm
- Reaalsus
- mõistma
- realiseeritud
- realiseerimisel
- tõesti
- põhjus
- langus
- andmed
- vähendama
- viide
- nimetatud
- seotud
- suhe
- suhtelisus
- vabastades
- meeles pidama
- Eemaldatud
- Hoidla
- nõutav
- Vajab
- teadustöö
- lahendatud
- resonants
- ressurss
- Vahendid
- vastus
- vastutustundlikult
- kaasa
- Tulemused
- paljastav
- üle vaadata
- revolutsiooniline
- õige
- õigusi
- ring
- Tõusma
- rollid
- rooma
- ligikaudu
- jooks
- Ütlesin
- sama
- ütlema
- ütlus
- ütleb
- skaneerida
- Kool
- teadus
- TEADUSED
- Otsing
- Teine
- sekundit
- salajane
- vaata
- nägemine
- tundub
- tundus
- tundub
- nähtud
- segment
- valima
- valik
- ise juhitud
- Lause
- eri
- Serverid
- Komplektid
- mitu
- kuju
- Jaga
- suunata
- Lühike
- peaks
- külg
- sarnane
- lihtne
- lihtsam
- lihtsustatud
- lihtsustama
- lihtsustamine
- alates
- ühekordne
- istuma
- Istung
- olukordades
- oskused
- aeglane
- väiksem
- So
- sotsiaalmeedia
- Sotsiaalse meedia
- Ühiskond
- tarkvara
- pakkumine
- LAHENDAGE
- Lahendamine
- mõned
- kuidagi
- Keegi
- midagi
- mõnikord
- mõnevõrra
- kuskil
- varsti
- otsisin
- helid
- allikas
- Allikad
- Ruum
- ruumiline
- eriline
- spetsialiseeritud
- spekulatsioonid
- spekulatiivne
- kulutama
- Spotify
- ruut
- väljakud
- standard
- Stanford
- algus
- alustatud
- Käivitus
- algab
- väljavõte
- Ühendriigid
- jääma
- Samm
- Sammud
- Steve
- Veel
- varu
- aktsiaturg
- KIVI
- Lugu
- otse
- sammud
- õpilane
- Õpilased
- uuringud
- stuudiod
- Uuring
- Õppimine
- teema
- edukas
- selline
- Soovitab
- toetama
- Toetatud
- Pind
- üllatunud
- üllatav
- kahtlane
- sünteesima
- süsteemid
- Võtma
- võtab
- võtmine
- rääkima
- rääkimine
- Läbirääkimised
- materiaalne
- ülesanded
- Tee
- õpetamine
- meeskond
- Tehniline
- tehnika
- tehnoloogiline
- öelda
- kipuvad
- kümneid
- test
- kui
- tänan
- et
- .
- Piirkond
- Tulevik
- maailm
- oma
- Neile
- teema
- SIIS
- teoreetiline
- teooria
- Seal.
- seetõttu
- Need
- nad
- asi
- asjad
- mõtlema
- Mõtlemine
- Kolmas
- Kolmas põlvkond
- see
- kuigi?
- arvasin
- kolm
- kolmemõõtmeline
- Läbi
- aeg
- et
- täna
- kokku
- liiga
- tööriist
- töövahendid
- Teemasid
- Summa
- puudutama
- traditsiooniline
- koolitus
- ümber
- töödeldud
- puu
- Trends
- proovitud
- tõsi
- Usalda
- püüdma
- üritab
- Pööramine
- lülitub
- tutistamine
- puperdama
- kaks
- tüüp
- liigid
- UCLA
- rõhutama
- mõistma
- arusaadav
- mõistmine
- arusaadav
- Ootamatu
- ühtne
- liit
- üksus
- Ühendatud
- kuni
- Üleslaadimine
- peale
- UPS
- us
- kasutama
- Kasutatud
- kasulik
- kasutamine
- tavaliselt
- kasulikkus
- ära kasutama
- väärtuslik
- väärtus
- hinnatud
- Väärtused
- muutuja
- eri
- kontrollima
- väga
- VET
- Videod
- vaade
- viiruslik
- nägemus
- kohta
- ootamine
- tahan
- tagaotsitav
- oli
- vaadates
- Vesi
- Tee..
- kuidas
- we
- kandma
- web
- webp
- teretulnud
- tervitas
- Hästi
- olid
- M
- Mis on
- mis iganes
- millal
- samas kui
- kas
- mis
- kuigi
- WHO
- kogu
- miks
- lai
- laialdaselt
- laialt levinud
- Wikipedia
- will
- võitja
- tarkus
- koos
- jooksul
- ilma
- ei tea
- sõna
- WordPress
- Töö
- töötas
- töö
- toimingud
- maailm
- mures
- muretsema
- oleks
- wow
- kirjutama
- kirjutamine
- kirjalik
- Vale
- kirjutas
- aastat
- jah
- veel
- sa
- Sinu
- sephyrnet