Pierre de Fermat' link keskkooliõpilase peamise matemaatika tõestusega | Quanta ajakiri

Nagu paljud matemaatikaõpilased, unistasin ka mina matemaatilisest ülevusest. Arvasin, et olen kunagi lähedal. Keeruline algebraülesanne kolledžis pani mind hiliste õhtutundideni töötama. Pärast tundidepikkust võitlust tundsin tulemas läbimurre. Ma manipuleerisin osavalt väljenditega. Ma kaalusin, korrutasin ja lihtsustasin, kuni mu avastus lõpuks paljastas:

$lateks 1 + 1 = 2 $.

Ma ei suutnud muud kui naerda. Maailm teadis juba, et $lateks 1 + 1 = 2 $, nii et "Honneri teoreem" ei pidanud olema. Ja kuigi paljud noored matemaatikud on kogenud pettumust mitte päris läbimurde pärast, on märkimisväärne Daniel Larseni lugu hoiab unistust elus.

Larsen oli 2022. aastal keskkooliõpilane, kui ta tõestas tulemuse teatud tüüpi arvu kohta, mis olid aastakümneid matemaatikutest kõrvale hiilinud. Ta tõestas, et Carmichaeli numbreid – uudishimulikku tüüpi mitte päris algarvu – võib leida sagedamini kui varem teada oli, luues uue teoreemi, mis jääb tema tööga igaveseks seostatuks. Niisiis, mis on Carmichaeli numbrid? Sellele vastamiseks peame minema ajas tagasi.

Pierre de Fermat' nimi on matemaatika ühes kuulsaimas teoreemis. Üle 300 aasta oli Fermat' viimane teoreem saavutamatu matemaatilise ülevuse ülim sümbol. 1600. aastatel kritseldas Fermat oma pakutud teoreemi kohta märkuse raamatusse, mida ta luges, väites, et teab, kuidas seda tõestada ilma üksikasju esitamata. Matemaatikud püüdsid probleemi ise lahendada kuni 1990. aastateni, mil Andrew Wiles seda lõpuks tõestas, kasutades uusi tehnikaid, mis avastati sadu aastaid pärast Fermat' surma.

Kuid see on Fermat' vähemkuulus "väike teoreem", mis on seotud Carmichaeli numbritega. Siin on üks viis selle väljendamiseks:

Kui on antud algarv $lateks p$, siis mis tahes täisarvu $lateks a$ korral jagub suurus $lateks a^p – a$ arvuga $lateks p$.

Näiteks võtke algväärtus $lateks p = 11 $ ja täisarv $lateks a = 2 $. Fermat' väike teoreem ütleb, et $lateks 2^{11} – 2 = 2046$ jagub 11-ga ja see on: $lateks 2046 div 11 = 186$. Või võtke $lateks p = 7 $ ja $lateks a = 4 $: $lateks 4^7 – 4 = 16380 = 7 korda 2340 $, nii et $lateks 4^7 - 4 $ jagub tõepoolest 7-ga.

Erinevalt Fermat' viimasest teoreemist ei kulunud tema väikese teoreemi lahendamiseks 300 aastat. Leonhard Euler avaldas tõendi vähem kui sajand hiljem. Ja kuna tegemist on algarvudega, leidsid inimesed viisid selle kasutamiseks.

Üks viis Fermat' väikese teoreemi kasutamiseks on näidata, et arv ei ole algarv. Oletame, et te ei tea, kas 21 on algväärtus või mitte. Kui 21 oleks algväärtus, siis Fermat' väikese teoreemi kohaselt peaks iga täisarvu $lateks a$ korral $lateks a^{21}$ – $lateks a$ jaguma 21-ga. Aga kui proovite mõnda $ väärtust latex a$ näete, et see ei tööta. Näiteks $lateks 2^{21} – 2 = 2097150$, mis ei ole 21 kordne. Seetõttu, kuna see ei rahulda Fermat' väikest teoreemi, ei saa 21 olla algväärtus.

See võib tunduda rumal viis kontrollida, kas arv on algarvu. Me ju teame $lateks 21 = 3 korda 7$. Kuid suurte arvude algarvude kontrollimine on kaasaegses matemaatikas aeganõudev ja oluline ülesanne, mistõttu matemaatikud otsivad alati otseteid. Selleks on matemaatikud mõelnud, kas Fermat' väikese teoreemi vastupidine väide võib olla tõsi.

Mis on teoreemi pöörd? Võib-olla mäletate matemaatikatunnist, et teoreemi võib pidada tingimuslauseks kujul „kui P SIIS Q.” Teoreem ütleb, et kui P osa (antetsedent või hüpotees) on tõene, siis Q osa (tagajärg või järeldus) peab samuti tõene olema. Teoreemi vastand on väide, mille saate, kui vahetate antetsedendi ja tagajärje. Nii et vastupidine "Kui P SIIS Q” on väide „Kui Q SIIS P. "

Vaatleme Pythagorase teoreemi. Meile öeldakse sageli, et see ütleb $lateks a^2 + b^2 = c^2$. Kuid see pole päris õige. Pythagorase teoreem on tegelikult tingimuslause: see ütleb, et kui täisnurksel kolmnurgal on küljepikkused $lateks a$, $lateks b$ ja $lateks c$, kus $lateks c$ on hüpotenuusi pikkus, siis $lateks a ^2 + b^2 = c^2$. Mis on selle vastupidine? See ütleb, et kui kolmnurga küljepikkused $lateks a$, $lateks b$ ja $lateks c$ vastavad võrrandile $lateks a^2 + b^2 = c^2$, siis on tegemist täisnurkse kolmnurgaga.

On ahvatlev mõelda, et teoreemi vastupidine käik on alati tõsi ja paljud õpilased on sellesse lõksu langenud. Juhtub tõene Pythagorase teoreemi pöörd, mis võimaldab järeldada, et kolmnurk külgede pikkustega 9, 40 ja 41 peab olema täisnurkne kolmnurk, kuna $lateks 9^2 + 40^2 = 41^2$. Kuid tõene väide ei pea olema tõene: näiteks kui on tõsi, et kui $lateks x$ on positiivne arv, siis $latex x^2$ on positiivne, siis vastupidine – kui $lateks x^2$ on positiivne arv, siis $lateks x$ on positiivne — ei ole, kuna $lateks (-1)^2$ on positiivne, aga −1 ise ei ole.

On hea matemaatiline tava uurida väite vastupidist ja matemaatikud, kes otsivad primaalsuse teste, tahtsid teada, kas Fermat' väikese teoreemi vastupidine väide vastab tõele. Vastupidine ütleb, et täisarvu $lateks q$ korral, kui arv $lateks a^q – a$ jagub mis tahes täisarvu $lateks a$ korral $lateksiga q$, siis $latex q$ peab olema algarv. Kui see oleks tõsi, väldiks see osa arvutuslikust jahmatusest, mille käigus kontrollitakse, kas $lateks q$ jagub muude arvudega peale 1 ja iseenda. Nagu matemaatikas sageli juhtub, tekitas see üks küsimus uusi küsimusi, mis lõpuks viisid uute matemaatiliste ideedeni.

Kui hakkate uurima Fermat' väikese teoreemi vastupidist mõtet, avastate, et see kehtib paljude arvude kohta. Näiteks mis tahes täisarvu $lateks a$ korral jagub arv $lateks a^2 – a$ 2-ga. Seda näete, kui arvestate $lateks a^2 – a$ väärtusega $latex a korda (a-1) $. Alates a ja $lateks a − 1$ on järjestikused täisarvud, üks neist peab olema paaris ja seega peab nende korrutis jaguma 2-ga.

Sarnased argumendid näitavad, et $lateks a^3 – a$ jagub alati 3-ga ja $lateks a^5 – a$ jagub alati 5-ga (vt täpsemalt allolevatest harjutustest). Seega kehtib Fermat' väikese teoreemi vastupidine punkt 3 ja 5 puhul. Vastupidine lause ütleb meile, mida me ootame ka väikeste mittealgaararvude puhul. Kui kasutame seda kontrollimaks, kas 4 on algväärtus või mitte, arvutame $lateks 2^4 – 2$ ja jälgime, et 14 ei jagu 4-ga.

Tegelikult saate kontrollida kuni numbrini 561 ja kõik viitab sellele, et Fermat' väike teoreem on tõsi. Algarvud, mis on väiksemad kui 561, jagavad $lateksi a^p – a$ iga kohta a, ja mittealgusarvud alla 561 mitte. Kuid see muutub 561 juures. Veidi arenenud arvuteooriaga saab näidata, et $lateks a^{561} – a$ jagub alati 561-ga, nii et kui Fermat' väikese teoreemi vastupidine oleks tõene, siis 561 peaks olema algväärtus . Aga see pole: $lateks 561 = 3 × 11 × 17 $. Seega on Fermat' väikese teoreemi pöördväärtus vale.

Matemaatikud nimetavad selliseid numbreid nagu 561 pseudoalgarvuks, kuna need vastavad teatud algarvuga seotud tingimustele (nt $lateksi a^p – a$ jagamine kõigi jaoks a), kuid need pole tegelikult algarvud. Fermat' väikese teoreemi pöördnäiteid on leitud veelgi – järgmised kolm on 1,105, 1,729 ja 2,465. Neid hakati nimetama Carmichaeli numbriteks, mis said nime Ameerika matemaatiku Robert Carmichaeli järgi. Pärast nende avastamist tekkisid uued küsimused: kas on muid viise Carmichaeli numbrite tuvastamiseks? Kas neil on muid erilisi omadusi? Kas neid on lõpmatult palju? Kui jah, siis kui sageli need esinevad?

Just see viimane küsimus tõmbas lõpuks Daniel Larseni tähelepanu. Matemaatikud olid tõestanud, et Carmichaeli arve on tõepoolest lõpmatult palju, kuid selle näitamiseks pidid nad konstrueerima üksteisest väga kaugel olevad Carmichaeli numbrid. See jättis lahtiseks küsimuse, kuidas need lõpmatult paljud Carmichaeli numbrid arvujoonel jaotuvad. Kas need on oma olemuselt alati üksteisest kaugel või võivad need esineda sagedamini ja korrapärasemalt, kui see esialgne tõestus näitas?

Sellised küsimused pseudoalgarvude kohta meenutavad sarnaseid ja olulisi küsimusi algarvude endi kohta. Kaks tuhat aastat tagasi tõestas Eukleides, et algarve on lõpmatult palju, kuid algarvude jaotumise kogu arvureas kulus palju kauem. 1800. aastatel näitas Bertrandi postulaat, et iga $lateksi n > 3 $ korral on alati algarv $lateksi n$ ja $lateksi 2n$ vahel. See annab meile ettekujutuse sellest, kui sageli on oodata algarvu, kui liigume mööda arvurida.

Matemaatikud mõtlesid, kas mõni Bertrandi postulaadi versioon vastab Carmichaeli numbritele. Ka Daniel Larsen imestas ja tugines mõne kuulsa kaasaegse matemaatiku – Fieldsi medalistide – tööle. James Maynard ja Terence Tao, teiste hulgas - ta pööras uudishimu ümber uuele tulemusele selle kohta, kuidas Carmichaeli numbreid jaotatakse. Ja kuigi noored matemaatikud ei peaks arvatavasti lootma, et saavutavad täna õhtuse kodutöö tegemisel nii palju, siis Daniel Larseni raske töö, visadus ja edu peaksid inspireerima neid edasi liikuma, isegi kui nad on tõestades uuesti midagi, mida me juba teame.

Harjutused

1. Kasutage faktooringut, et näidata, et kui $lateks a$ on naturaalarv, siis $lateks a^3 – a$ jagub alati 3-ga.

2. Väide “Kui nelinurk on ristkülik, siis on nelinurga diagonaalid kongruentsed” on tõene. Kas vastupidine on tõsi?

3. Näidake, et kui $lateks a$ on naturaalarv, siis arv $lateks a^5 – a$ jagub alati 5-ga.