Sajand hiljem silub uus matemaatika üldrelatiivsusteooria | Quanta ajakiri

Albert Einsteini üldine relatiivsusteooria on olnud pööraselt edukas gravitatsiooni toimimise ja universumi suuremahulise struktuuri kujundamise kirjeldamisel. Selle võtab kokku füüsik John Wheeleri ütlus: „Aegruum ütleb ainele, kuidas liikuda; mateeria ütleb aegruumile, kuidas kõverduda. Kuid üldrelatiivsusteooria matemaatika on samuti sügavalt intuitiivne.

Kuna selle põhivõrrandid on nii keerulised, on isegi kõige lihtsama kõlaga väiteid raske tõestada. Näiteks alles 1980. aasta paiku tõestasid matemaatikud üldrelatiivsusteooria peamise teoreemi osana, et isoleeritud füüsikaline süsteem või ruum, milles pole massi, peab olema tasane.

See jättis lahendamata küsimuse, milline näeb välja ruum, kui see on peaaegu vaakum, millel on vaid väike mass. Kas see on tingimata peaaegu tasane?

Kuigi võib tunduda ilmselge, et väiksem mass toob kaasa väiksema kõveruse, ei ole asjad üldrelatiivsusteooria seisukohalt nii lõigatud ja kuivad. Teooria kohaselt võivad tihedad ainekontsentratsioonid osa ruumist "väänata", muutes selle väga kõveraks. Mõnel juhul võib see kumerus olla äärmuslik, mis võib viia mustade aukude tekkeni. See võib juhtuda isegi väikese ainekogusega ruumis, kui see on piisavalt tugevalt kontsentreeritud.

Hiljutises paber, Conghan Dong, Stony Brooki ülikooli magistrant ja Antoine Song, California Tehnoloogiainstituudi dotsent, tõestas, et järjest väiksema massiga kõverate ruumide jada koondub lõpuks nullkõverusega tasaseks ruumiks.

See tulemus on märkimisväärne edasiminek üldrelatiivsusteooria matemaatilises uurimises - püüdlus, mis maksab rohkem kui sajand pärast seda, kui Einstein oma teooria välja töötas. Dan Lee, Queensi kolledži matemaatik, kes uurib üldrelatiivsusteooria matemaatikat, kuid ei osalenud selles uuringus, ütles, et Dongi ja Songi tõendid peegeldavad sügavat arusaama kumeruse ja massi vastastikusest mõjust.

Mida nad tõestasid

Dongi ja Songi tõestus puudutab kolmemõõtmelisi ruume, kuid esmalt vaadake illustreerimise huvides kahemõõtmelist näidet. Kujutlege tasast ilma massita ruumi tavalise sileda paberilehena. Väikese massiga ruum võib sel juhul eemalt vaadatuna tunduda sarnane – see tähendab enamasti tasane. Lähemal uurimisel võib aga ilmneda siin-seal esile kerkivaid teravaid naelu või mullikesi – aine kogunemise tagajärgi. Need juhuslikud paljandid muudaksid paberi hästi hooldatud muru sarnaseks, mille pinnalt paistavad aeg-ajalt välja seened või vars.

Dong ja Song tõestasid a oletus mille koostasid matemaatikud 2001. aastal Gerhard Huisken ja Tom Ilmanen. Oletus väidab, et kui ruumi mass läheneb nullile, peab muutuma ka selle kõverus. Huisken ja Ilmanen tõdesid aga, et selle stsenaariumi teeb keeruliseks mullide ja naelu (mis on üksteisest matemaatiliselt erinevad). Nad oletasid, et mullid ja naelu saab ära lõigata nii, et iga väljalõikega ruumi pinnale jääv piiriala on väike. Nad väitsid, kuid ei suutnud tõestada, et pärast nende tülikate lisandite eemaldamist jäänud ruum oleks peaaegu tasane. Samuti polnud nad kindlad, kuidas selliseid kärpeid teha.

"Need küsimused olid rasked ja ma ei oodanud, et näen Huisken-Ilmaneni oletustele lahendust," ütles Lee.

Oletuse keskmes on kõveruse mõõtmine. Ruum võib kõverduda erineval viisil, erineval hulgal ja eri suundades – nagu sadul (kahes mõõtmes), mis kõverdub edasi ja tagasi, aga alla vasakule ja paremale. Dong ja Song ignoreerivad neid üksikasju. Nad kasutavad kontseptsiooni nimega skalaarkõverus, mis kujutab kumerust ühe numbrina, mis võtab kokku täieliku kumeruse kõigis suundades.

Dong and Songi uus teos, ütles Daniel Stern Cornelli ülikoolist on "üks seni tugevamaid tulemusi, mis näitab meile, kuidas skalaarkõverus kontrollib ruumi kui terviku geomeetriat". Nende artikkel illustreerib, et "kui meil on mittenegatiivne skalaarkõverus ja väike mass, mõistame ruumi struktuuri väga hästi."

Tõend

Huisken-Ilmaneni oletus puudutab pidevalt kahaneva massiga ruumide geomeetriat. See näeb ette konkreetse meetodi, kuidas öelda, kui lähedal on väikese massiga ruum tasasele ruumile. Seda mõõtu nimetatakse Gromov-Hausdorffi kauguseks, mis on nimetatud matemaatikute järgi Mihhael Gromov ja Felix Hausdorff. Gromov-Hausdorffi kauguse arvutamine on kaheetapiline protsess.

Esimene samm on Hausdorffi kauguse leidmine. Oletame, et teil on kaks ringi, A ja B. Alustage mis tahes punktist A-l ja mõelge välja, kui kaugel see on B lähima punktini.

Korrake seda iga punktiga A. Suurim leitud kaugus on Hausdorffi kaugus ringide vahel.

Kui teil on Hausdorffi kaugus, saate arvutada Gromov-Hausdorffi kauguse. Selleks asetage oma objektid suuremasse ruumi, et minimeerida nende vahelist Hausdorffi kaugust. Kahe identse ringi puhul, kuna neid võiks sõna otseses mõttes üksteise peale panna, on Gromov-Hausdorffi kaugus nende vahel null. Selliseid geomeetriliselt identseid objekte nimetatakse isomeetrilisteks.

Muidugi on kauguse mõõtmine keerulisem, kui võrreldavad objektid või ruumid on sarnased, kuid mitte samad. Gromov-Hausdorffi kaugus annab täpse mõõtmise sarnasuste (või erinevuste) kohta kahe algselt erinevas ruumis paikneva objekti kuju vahel. "Gromov-Hausdorffi kaugus on üks parimaid viise, kuidas öelda, et kaks tühikut on peaaegu isomeetrilised, ja see annab sellele "peaaegu" numbri, " ütles Stern.

Enne kui Dong ja Song said võrrelda väikese massiga ja täiesti tasase ruumi vahel, pidid nad eemaldama ärritavad eendid – kitsad naelu, kus aine on tihedalt kokku pakitud, ja veelgi tihedamad mullid, mis võivad sisaldada pisikesi musti auke. "Lõikasime need nii, et piiriala [kus viil tehti] on väike," ütles Song, "ja näitasime, et ala muutub massi vähenedes väiksemaks."

Kuigi see taktika võib tunduda petmisena, ütles Sterni, et oletuse tõestamisel on lubatud teha omamoodi eeltöötlus, lõigates välja mullid ja naelu, mille pindala kahaneb massi vähenedes nullini.

Väikese massiga ruumi proksiks pakkus ta välja, et võiksime ette kujutada kortsunud paberilehte, millel pärast uuesti silumist on endiselt teravad kortsud ja voldid. Kõige silmatorkavamate ebatasasuste eemaldamiseks võite kasutada augurauda, ​​jättes veidi ebaühtlase paberitüki, millesse on auke. Kui nende aukude suurus väheneb, väheneb ka paberi pinnase ebatasasus. Võiks öelda, et piiril tõmbuvad augud nulli, künkad ja mäeharjad kaovad ning teile jääks ühtlaselt sile paberitükk – tõeline tasase ruumi alus.

Seda püüdsid Dong ja Song tõestada. Järgmine samm oli näha, kuidas need lagedad ruumid, millel on nende jämedad näojooned, vastanduvad täieliku tasasuse standardile. Nende strateegias kasutati spetsiaalset tüüpi kaarti, mis võimaldab võrrelda kahte ruumi, seostades ühes ruumis olevaid punkte teise ruumi punktidega. Nende kasutatud kaart töötati välja a paber kirjutasid Stern ja kolm kolleegi - Hubert Bray, Demetre Kazaras ja Marcus Khuri. See protseduur võib täpselt määrata, kui lähedal on kaks tühikut.

Ülesande lihtsustamiseks võtsid Dong ja Song Sternilt ja tema kaasautoritelt kasutusele veel ühe matemaatilise nipi, mis näitas, et kolmemõõtmelist ruumi saab jagada lõpmatult paljudeks kahemõõtmelisteks viiludeks, mida nimetatakse tasemekomplektideks, täpselt nagu kõvaks keedetud muna. munalõikuri pinguldatud juhtmete abil segmentida kitsasteks lehtedeks.

Tasemekomplektid pärivad nendes sisalduva kolmemõõtmelise ruumi kõveruse. Keskendudes oma tähelepanu tasemekomplektidele, mitte suuremale kolmemõõtmelisele ruumile, suutsid Dong ja Song vähendada probleemi dimensiooni kolmelt kahele. See on väga kasulik, ütles Song, sest "me teame palju kahemõõtmelistest objektidest ja meil on nende uurimiseks palju tööriistu."

Kui nad suudaksid edukalt näidata, et iga tasemekomplekt on "tüüpi tasane", võimaldaks see neil saavutada üldist eesmärki näidata, et väikese massiga kolmemõõtmeline ruum on tasapinnaline. Õnneks sai see strateegia läbi.

Järgmised sammud

Tulevikku vaadates ütles Song, et üks valdkonna järgmistest väljakutsetest on muuta tõestus selgemaks, kehtestades täpse protseduuri mullidest ja naeludest vabanemiseks ning kirjeldades paremini ära lõigatud piirkondi. Kuid praegu tunnistas ta, et "meil pole selle saavutamiseks selget strateegiat."

 Veel üks paljutõotav tee, ütles Song, oleks uurida a eraldi oletus mille sõnastas 2011. aastal Lee ja Christina Sormani, matemaatik New Yorgi linnaülikoolist. Lee-Sormani oletus esitab sarnase küsimuse nagu Huisken ja Ilmanen, kuid see tugineb erinevale viisile kujundite erinevuse mõõtmiseks. Selle asemel, et arvestada kahe kujundi maksimaalset kaugust, nagu seda teeb Gromov-Hausdorffi kaugus, küsib Lee-Sormani lähenemisviis ruumi maht nende vahel. Mida väiksem see maht, seda lähemal need on.

Vahepeal loodab Song uurida skalaarkõveruse põhiküsimusi, mis ei ole füüsikast motiveeritud. "Üldrelatiivsusteoorias," ütles ta, "me käsitleme väga erilisi ruume, mis on lõpmatuseni peaaegu tasased, kuid geomeetrias hoolime kõikvõimalikest ruumidest."

"On lootust, et need tehnikad võivad olla kasulikud ka muudes seadetes", mis pole üldise relatiivsusteooriaga seotud, ütles Stern. "Seotud probleeme on suur perekond," ütles ta, mis ootab uurimist.

Quanta viib läbi mitmeid küsitlusi, et meie vaatajaskonda paremini teenindada. Võtke meie matemaatika lugejaküsitlus ja teid osaletakse tasuta võitmiseks Quanta kaup.