Sissejuhatus
Nagu paljud inimesed, kes kavatsevad saada matemaatikuks, Wei Ho kasvas üles matemaatikavõistlustel võistlemas. Kaheksandas klassis võitis ta Wisconsinis toimunud Mathcountsi osariigi võistluse ja tema meeskond saavutas rahvusvõistlustel kolmanda koha.
Erinevalt paljudest tulevastest matemaatikutest ei olnud ta kindel, kas ta tahab kunagi selleks saada.
"Ma tahtsin teha kõike, kogu aeg," ütles Ho. “Võtsin balletti väga tõsiselt kuni keskkooli alguseni. Toimetasin kirjandusajakirja. Tegin debatti ja kohtuekspertiisi. Mängisin tennist ja jalgpalli ning klaverit ja viiulit. Seevastu tundusid paljud edukad matemaatikud olevat matemaatikast kinnisideeks, jättes kõrvale kõik muu. Kuidas saaks tema, paljude kirgedega inimene, sellise keskendumistasemega võistelda?
Lõppkokkuvõttes tõmbas Ho matemaatika ranguse poole. Ta naudib endiselt balletti, romaanide lugemist ja krüptiliste ristsõnade lahendamist, isegi kui ta aitab uuesti leiutada matemaatilist masinavärki, mis on aluseks põhilistele matemaatilistele objektidele, nagu polünoomvõrrandid, millega on seotud pikaajalised ja segadust tekitavad lahtised küsimused.
Ho uurib tuttavaid geomeetrilisi objekte, kuid ta sõnastab küsimused ümber, et paigutada need ratsionaalsete arvude valdkonda – arvudesse, mida saab kirjutada murdudena. "Siis hakkab arvuteooria sellesse kõigesse segama," ütles ta.
Teda huvitavad eriti elliptilised kõverad, mis on määratletud teatud tüüpi polünoomvõrrandiga, millel on rakendusi matemaatika erinevates harudes. Elliptilised kõverad ilmuvad analüüsis – laias laastus pidevate asjade, nagu reaalarvude uurimisel – ja algebras, mis seisneb täpsete matemaatiliste struktuuride leidmises ja määratlemises. (Kuigi nende fookus on erinev, jagunevad analüüs ja algebra pigem tundlikkuse kui range piiri järgi, kuna nende vahel on palju kattuvust.)
Sissejuhatus
2018. aastal välja antud tõkkeid murdvas eeltrükis Ho ja tema kaastöötaja Levent Alpöge Harvardi ülikoolist avastas uue ülemise piiri polünoomide täisarvuliste lahendite arvu jaoks, mis määratlevad elliptilised kõverad. Nende tehnika tugineb 1906. aastal Suurbritanniasse emigreerunud Ameerika matemaatiku Louis Mordelli aastakümnete vanustele töödele. Ho ja Alpöge suutsid oma artiklis koguda uut teavet nende täisarvuliste lahenduste jaotuse kohta, mis oli kõrvale hiilinud teistest sarnastest uurimisrühmadest. probleeme.
Ho veedab aasta (puhkusel oma õppejõu kohalt Michigani ülikoolis) külalisprofessorina Instituudis Advanced Study, kus ta nimetati hiljuti IASi naiste ja matemaatika programmi esimeseks direktoriks. Ta on ka 2023. aasta Ameerika Matemaatika Seltsi stipendiaat ja Princetoni ülikooli teadlane.
Ta loodab, et programmi Naised ja matemaatika juhtimine "aitab vähemalt kogukonda rohkem, aitab rohkem inimesi, selle asemel, et ainult mina oma kontoris üksi või koos kaastöötajatega matemaatikauuringuid teha," ütles ta. "Ma saan tõestada teoreeme ja võib-olla kunagi tõestan teoreemi, mis 100 aasta pärast loeb. Võib-olla võib-olla mitte. Kuid ma tundsin, et ma ei mõjuta piisavalt maailma ega inimesi enda ümber.
Quanta rääkis Ho-ga videokonverentside sarjas. Intervjuud on koondatud ja selguse huvides toimetatud.
Kuidas kirjeldaksite oma matemaatikat?
Mõnikord jagavad matemaatikud end algebralisteks ja analüütilisteks inimesteks. Matemaatika, mida ma teen, puudutab mõlemat poolt, kuid hingelt olen ma algebrast, kuigi mõtlen geomeetriliselt. Ma kipun sageli nägema algebrat ja geomeetriat sisuliselt samadena.
See pole päris täpne, kuid põhimõtteliselt alates Descartes'i loomingust ja eriti eelmisel sajandil on need kaks teemat muutunud väga lähedaseks. On olemas üsna täpne sõnastik, mis võib mõnes olukorras aidata geomeetrilist pilti algebralisteks tagajärgedeks tõlkida.
Minu enda puhul aitab geomeetriline pilt sageli sõnastada väiteid ja oletusi ning anda intuitsiooni, kuid siis tõlgime need kirjutades algebrasse. Vigu on lihtsam tuvastada, kuna algebra on tavaliselt rangem. Samuti võib algebra kasutamine olla lihtsam, kui geomeetriat on liiga raske visualiseerida.
Millistele ideedele olete oma viimases töös keskendunud?
Üsna osa minu tööst on seotud elliptiliste kõveratega, mis on arvuteoorias ja aritmeetilises geomeetrias väga loomulikud objektid.
Selliste võrrandite täisarvlahendusi peaks olema raske leida. Eeldame, et peaaegu kõigil kõveratel ei tohiks olla täisarvulisi lahendusi. Kuid seda on väga raske tõestada.
Uurisime Leventiga seda integraalpunktide arvu jaotust. Kasutame klassikalist konstruktsiooni Mordelli 1969. aasta raamatust Diofantiini võrrandid. Me saame anda elliptilise kõvera integraalpunktide arvu ülemise piiri. Teised inimesed on andnud ülempiirid. Leidsime teistsuguse piiri, mida on lihtne öelda.
Millist rolli mängis teie hiljutises tulemuses Mordelli varasem töö?
Meie küsimus hõlmab elliptiliste kõverate integraalpunkte. Mordellil on viis seostada seda millegi muuga, mida me saame uurida.
See on midagi, mida me matemaatikas kogu aeg teeme: me tahame objektist aru saada, kuid selle mõistmiseks peame leidma puhverserveri. Mõnikord on see puhverserver väga täpne. Mõnikord kaotab see teabe. Kuid tegelikult on see midagi, millele me pääseme juurde.
Millal otsustasite keskenduda matemaatikale?
Ma arvan, et minu jaoks ei olnud pöördepunkti. Olen praegu oma elu ja karjääriga rahul, kuid tunnen, et kui asjad oleksid olnud veidi teisiti, oleksin võinud olla õnnelik paljudes karjäärides või muudes valdkondades. Võib-olla on see midagi, mida enamik matemaatikuid ei ütleks, sest neile meeldib rääkida sellest, kui kirglik nad matemaatika vastu on ja kuidas nad ei suuda kunagi millelegi muule mõelda. Minu arvates ei vasta see tõele.
Olen uudishimulik paljude erinevate asjade vastu. Võib-olla sattusin matemaatikuks, sest olin pettunud ranguse puudumise pärast teistes valdkondades. Mind treeniti lapsena mõnes mõttes matemaatiku moodi mõtlema, sest nii me kodus asju ajasime. Mu isa mängis minuga matemaatikamänge, mis tähendas, et õppisin juba noorest peale loogilist mõtlemist. Tahtsin, et asjad oleksid tõestatud.
Kuid ma ei olnud kindel, et minust saab hea matemaatik.
Miks?
Kui ma olin noorem, ei teadnud ma nii palju matemaatilisi inimesi, kes oleksid erineval moel minuga sarnased. Jagame neid sõnu eeskujude kohta. Asi pole lihtsalt selles, et ma ei näinud piisavalt naisi või Aasia-Ameerika naisi.
Pean silmas seda, et ma ei näinud palju inimesi, kes oleksid kirglikud asjadesse peale matemaatika. See pani mind endas palju kahtlema. Kuidas saan olla matemaatikas edukas, kui ma ei kuluta 100% oma ajast matemaatikale mõtlemisele? Seda ma enda ümber nägin. Mulle jäi mulje, et teised inimesed lähenevad matemaatikale teistmoodi kui mina, minu eakaaslased ja minust vanemad inimesed. Arvasin, et on raske teha karjääri, kus ma ei oleks selline. Mul oleks muud huvid.
Inimlik aspekt on midagi, millest ma ei näinud, et teised inimesed nii palju hooliksid. Kartsin, et osa minust teeb mind matemaatikuks saamisel halvaks.
Sissejuhatus
Teid nimetati just IASi naiste ja matemaatika programmi direktoriks. Mida see programm naismatemaatikutele pakub?
See on nädalane töötuba erinevatel karjäärietappidel naistele, sealhulgas bakalaureuseõppe naistele, kraadiõppuritele, järeldoktoritele ning mõnele noorematele ja vanematele õppejõududele. See on matemaatika õppimine toetavas keskkonnas.
Bakalaureuseõppe üliõpilased, kes võib-olla ei teadnud, et tahavad matemaatikaga tegeleda, kohtuvad väga vanemate matemaatikutega ja saavad kogu aeg mentorlust. Nad saavad näha palju erinevaid inimesi erinevatel karjäärietappidel ja rääkida inimestega oma kogemustest. Ma ei usu, et on palju muid programme, millel oleks kogu see valik ja mis on keskendunud konkreetsele alamvaldkonnale.
2023. aasta programmi nimi on "Täisarvudes mustrid". Sellel on palju inimesi aditiivse kombinatoorika ja analüütilise arvuteooria alal. Toome neile kohtumiseks inimesi erinevatelt karjääriteedelt.
Vanemate kraadiõppurite jaoks, kes juba selles valdkonnas töötavad, kohtuvad nad oma eriala järeldoktorite, noorem- ja vanemõppejõududega ning saavad võimaluse nädalaks nendega koos töötada.
Olete samuti seotud Virnade projekt, mis on ulatuslik veebiressurss. Mis on selles ainulaadset?
Selle tohutu maht ja juurdepääsetavus. See on see tohutu – välja printimisel rohkem kui 7,500 lehekülge – veebipõhine koostööprojekt. Kuid realistlikult [Columbia ülikooli matemaatik] Aise Johan de Jong kirjutab peaaegu kõik. See on range, hoolikalt kirjutatud ressurss algebraliste geomeetrite jaoks. See on hämmastav tegu, mida ta on kogukonna heaks teinud.
Iga nädala või kahe järel kasvab see. See on usaldusväärne viide peaaegu kõigele. See hõlmab tohutul hulgal algebralist geomeetriat, mille jaoks peaksite vaatama nagu 20 õpikut.
See on elamine selles mõttes, et asju saab lisada ja muuta. Kui on vigu, siis need püütakse kinni.
Teine asi, mis selle juures omamoodi huvitav on, on sildisüsteem. Kuigi see dokument täieneb pidevalt, saate siiski viidata konkreetsele sildile igavesti. Konkreetsete tulemuste jaoks, mida võiksite tsiteerida, on üle 21,000 XNUMX püsiva sildi. Pieter Belmans ehitas kogu tagaosa, mida on kasutatud ka teistes projektides. Teised inimesed on selle tehnoloogiat kohandanud.
Probleem on selles – ja Johan teab seda –, et lõpuks ei suuda ta seda kirjutada. Kunagi, kui tahame, et see jätkuks, on vaja, et teised inimesed oleksid rohkem kaasatud.
Millist rolli mängivad teie töötoad Stacksi projektis?
Asi on selles, et hakata kaasama nooremaid inimesi. Laseme neil kirjutada tükke, mis võivad lõpuks sellesse lisada. Siin on teatud pinged, sest selleks, et veebisait jääks ressursina korrektne ja kvaliteetne, tuleb seda hoolikalt modereerida. Nii et Johanil on veel palju tööd asjade sisseseadmisel. See ei saa olla nagu Wikipedia, kus igaüks saab seda puudutada. See on veidi kahetsusväärne, kuid see peab juhtuma, kui soovite, et see toimiks.
Püüame välja mõelda viise, kuidas järk-järgult rohkem inimesi Stacksi projekti kaasata. Kaasame mentorid, kes töötavad projektide kallal kraadiõppurite ja järeldoktoritega. Nad õpivad algebralist geomeetriat. Siis nad kirjutavad midagi üles.
We just avaldatud köide hulga selgitavate artiklitega, mis loodetavasti lähevad lõpuks Stacksi projekti.
Stacksi projekt võib olla äärmiselt mõjukas sadu aastaid, kui piisavalt inimesi osaleb ja seda jätkab.
