Matemaatika "A-meeskond" tõestab kriitilist seost lisamise ja komplektide vahel | Ajakiri Quanta

Juhuslikult valitud arvude komplektis võib liitmine minna metsikuks.

Lisage sellisest komplektist kõik paarid ja saate uue loendi, milles on tõenäoliselt palju rohkem numbreid, kui alustasite. Alustage 10 juhuslikust numbrist ja see uus loend (nimetatakse summaks) sisaldab umbes 50 elementi. Alustage 100-st ja tõenäoliselt on summas umbes 5,000; 1,000 juhuslikku algarvu teeb summast 500,000 XNUMX numbri pikkuse.

Kuid kui teie algsel hulgal on struktuur, võib summas olla vähem numbreid kui see. Mõelge veel ühele 10-arvulisele komplektile: kõik paarisarvud vahemikus 2 kuni 20. Kuna erinevad paarid annavad kokku sama arvu – 10 + 12 on sama, mis 8 + 14 ja 6 + 16 -, on summas vaid 19 numbrit, mitte 50. See erinevus muutub komplektide suurenedes üha sügavamaks. 1,000 numbrist koosnev struktureeritud loend võib sisaldada ainult 2,000 numbrit sisaldavat summat.

1960. aastatel nimetas matemaatik Gregory Freiman alustas väikeste summadega komplektide uurimist, püüdes uurida seost liitmise ja hulga struktuuri vahel – üliolulist seost, mis määratleb aditiivse kombinatoorika matemaatilise välja. Freiman tegi muljetavaldavaid edusamme, tõestades, et väikese summaga komplekti peab sisaldama suurem komplekt, mille elemendid on paigutatud väga korrapärase mustriga. Siis aga jäi põld soiku. "Freimani algset tõestust oli erakordselt raske mõista, kuni selleni, et keegi polnud päris kindel, et see oli õige. Nii et sellel ei olnud tegelikult sellist mõju, mis sellel võis olla, ”ütles Timothy Gowers, matemaatik Collège de France'is ja Cambridge'i ülikoolis ning Fieldsi medalist. "Kuid siis Imre Ruzsa tormas sündmuskohale."

Sarjas kaks dokumendid 1990. aastatel tõestas Ruzsa Freimani teoreemi elegantse uue argumendiga. Mõni aasta hiljem, Katalin Marton2019. aastal surnud mõjukas Ungari matemaatik täpsustas küsimust, mida väike summa algse komplekti struktuuri kohta tähendab. Ta asendas komplektis ilmunud elementide tüübid ja struktuuritüübi, mida matemaatikud peaksid otsima, arvates, et matemaatikud saaksid veelgi rohkem teavet. Martoni oletusel on seoseid tõestussüsteemide, kodeerimisteooria ja krüptograafiaga ning see on aditiivses kombinatoorikas kõrgel kohal.

Tema oletus "tundub tõesti ühe põhilisema asjana, millest me aru ei saanud," ütles Ben Green, Oxfordi ülikooli matemaatik. See "lihtsalt toetas paljusid asju, millest ma hoolin."

Green ühendas jõud Gowersiga, Freddie Manners California ülikoolist San Diegos ja Terence tao, Los Angelese California ülikooli Fieldsi medalist, et kujundada välja see, mida Iisraeli matemaatik ja blogija Gil Kalai nimetatakse "A-meeskond” matemaatikutest. Nad tõestasid paberil oletuse versiooni jagatud 9. novembril.

Nets Katz, Rice'i ülikooli matemaatik, kes tööga ei osalenud, kirjeldab tõestust kui "ilusalt otsekohest" ja "enam-vähem täiesti ootamatult".

Seejärel alustas Tao pingutusi tõendi vormistamiseks Lean, programmeerimiskeel, mis aitab matemaatikutel teoreeme kontrollida. Vaid mõne nädalaga see pingutus õnnestus. 5. detsembri teisipäeva varahommikul Tao teatas et Lean oli oletuse tõestanud ilma vabandusteta – standardne väide, mis ilmub siis, kui arvuti ei saa teatud sammu kontrollida. See on selle kõrgeima profiiliga kasutusala kontrollitööriistad alates 2021. aastast, ja tähistab pöördepunkti viisides, kuidas matemaatikud tõestust kirjutavad arvutile arusaadavates terminites. Kui need tööriistad muutuvad matemaatikute jaoks piisavalt lihtsaks, võivad need asendada sageli pikaajalist ja koormavat vastastikuse eksperdihinnangu protsessi, ütles Gowers.

Tõestuse koostisosad olid keenud aastakümneid. Gowers tegi oma esimesed sammud 2000. aastate alguses. Kuid kulus 20 aastat, et tõestada, mida Kalai nimetas põllu "pühaks graaliks".

Grupisisene

Martoni oletuse mõistmiseks aitab tutvuda rühma mõistega, matemaatilise objektiga, mis koosneb hulgast ja tehtest. Mõelge täisarvudele – lõpmatule arvude hulgale – ja liitmise operatsioonile. Iga kord, kui liidate kaks täisarvu, saate uue täisarvu. Liitmine järgib ka mõnda muud rühmatoimingute reeglit, nagu assotsiatiivsus, mis võimaldab teil muuta toimingute järjekorda: 3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2.

Grupi sees võib mõnikord leida väiksemaid komplekte, mis vastavad kõigile rühma omadustele. Näiteks kui lisate kaks paarisarvu, saate teise paarisarvu. Paarisarvud on omaette rühm, mis teeb neist täisarvude alamrühma. Seevastu paaritud numbrid ei ole alarühm. Kui liidate kaks paaritut numbrit, saate paarisarvu – mitte algses komplektis. Kuid saate kõik paaritud numbrid, kui lisate igale paarisarvule 1. Sellist nihutatud alamrühma nimetatakse kosetiks. Sellel ei ole kõiki alarühma omadusi, kuid see säilitab oma alamrühma struktuuri mitmel viisil. Näiteks nagu paarisarvud, on ka paaritud arvud kõik võrdsete vahedega.

Marton oletas, et kui sul on komplekt, siis helistame A mis koosneb rühmaelementidest, mille summa ei ole palju suurem kui A ise, siis on mingi alamrühm - nimetage seda G — erilise varaga. Shift G paar korda komplektide tegemiseks ja need komplektid koos sisaldavad algset komplekti A. Veelgi enam, ta eeldas, et kosettide arv ei kasva palju kiiremini kui summade suurus – ta arvas, et see peaks olema seotud polünoomteguriga, mitte palju kiirema eksponentsiaalse kasvuga.

See võib tunduda väga tehniline uudishimu. Aga kuna see on seotud lihtsa testiga – mis juhtub, kui lisate komplekti vaid kaks elementi? — alarühma üldise struktuuri jaoks on see matemaatikute ja arvutiteadlaste jaoks väga oluline. Sama üldine idee ilmneb siis, kui arvutiteadlased proovivad sõnumeid krüpteerida, et saaksite korraga vaid osa sõnumist dekodeerida. See esineb ka tõenäosuslikult kontrollitavates tõendites, tõestuse vormis, mida arvutiteadlased saavad kontrollida, kontrollides vaid mõnda üksikut teabebitti. Kõigil neil juhtudel töötate struktuuris vaid paari punktiga – dekodeerite vaid mõne biti pikast sõnumist või kontrollite väikese osa keerulisest tõendist – ja järeldate midagi suurema, kõrgema taseme struktuuri kohta.

"Võite teeselda, et kõik on rühma suur alamhulk," ütles Tom Sanders, endine Gowersi õpilane, kes on nüüd Greeni kolleeg Oxfordis, või saate „paljude kokkusattumuste olemasolust saada kõike, mida tahtsite. Mõlemad vaatenurgad on kasulikud.

Ruzsa avaldas Martoni oletuse 1999. aastal, andes talle täieliku tunnustuse. "Ta jõudis selle oletuseni minust ja Freimanist sõltumatult ja ilmselt enne meid," ütles ta. "Seetõttu otsustasin temaga rääkides nimetada seda tema oletuseks." Siiski nimetavad matemaatikud seda nüüd Freiman-Ruzsa polünoomiks või PFR-iks.

Nullid ja Ühed

Rühmad, nagu paljud matemaatilised objektid, võtavad palju erinevaid vorme. Marton oletas, et tema oletus kehtib kõigi rühmade kohta. Seda tuleb veel näidata. Uus paber tõestab seda teatud tüüpi rühma jaoks, mille elementideks on kahendarvude loendid nagu (0, 1, 1, 1, 0). Kuna arvutid töötavad binaarselt, on see rühm arvutiteaduses ülioluline. Kuid see on olnud kasulik ka aditiivses kombinatoorikas. "See on nagu see mänguasjade seade, kus saate mängida ja asju proovida," ütles Sanders. "Algebra on palju, palju toredam" kui täisarvudega töötamine, lisas ta.

Loetel on fikseeritud pikkused ja iga bitt võib olla kas 0 või 1. Saate need kokku liita, lisades iga kirje teise loendi vastele reegliga, et 1 + 1 = 0. Seega (0, 1, 1, 1 , 0) + (1, 1, 1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0, 1). PFR on katse välja selgitada, milline võib komplekt välja näha, kui see pole päris alamrühm, kuid sellel on mõned rühmalaadsed funktsioonid.

PFR-i täpsemaks muutmiseks kujutage ette, et teil on binaarsete loendite komplekt, mida nimetatakse A. Nüüd võtke iga elemendipaar alates A ja liita need kokku. Saadud summad moodustavad summa AEhk A + A. Kui elemendid A valitakse juhuslikult, siis on enamik summasid üksteisest erinevad. Kui neid on k elemendid sisse A, see tähendab, et neid on umbes k²/2 elementi summas. Millal k on suur - ütleme, 1,000 - k²/2 on palju suurem kui k. Aga kui A on alarühm, mille iga element A + A on A, mis tähendab, et A + A on sama suur kui A ise.

PFR arvestab komplekte, mis ei ole juhuslikud, kuid ei ole ka alarühmad. Nendes komplektides on elementide arv A + A on veidi väike - ütleme, 10kVõi 100k. "See on tõesti kasulik, kui teie arusaam struktuurist on palju rikkalikum kui lihtsalt täpne algebraline struktuur," ütles Shachar Lovett, San Diego California ülikooli arvutiteadlane.

Kõik matemaatikute teada olevad komplektid, mis järgisid seda omadust, "on päris lähedased tegelikele alarühmadele", ütles Tao. "See oli intuitsioon, et seal ei lebanud ühtegi teist tüüpi võltsrühmi." Freiman oli oma algses töös tõestanud selle väite versiooni. 1999. aastal laiendas Ruzsa Freimani teoreemi täisarvudelt kahendloendite seadistuseni. Ta tõestas et kui elementide arv sisse A + A on suuruse konstantne kordne A, A sisaldub alarühmas.

Kuid Ruzsa teoreem nõudis, et alarühm oleks tohutu. Martoni nägemus oli väita, et selle asemel, et kuuluda ühte hiiglaslikku alarühma, A võib sisalduda alamrühma kosetide polünoomilises arvus, mis ei ole suurem algsest komplektist A.

"Ma tean tõelist ideed, kui näen tõelist ideed"

Aastatuhande vahetuse paiku jõudis Gowers Freimani teoreemi Ruzsa tõestusteni, uurides teistsugust probleemi võrdsete vahedega arvujadasid sisaldavate hulkade kohta. "Mul oli vaja midagi sellist, et saada struktuurset teavet teatud komplekti palju vabamast teabest, " ütles Gowers. "Mul oli väga vedanud, et mitte nii kaua varem valmistas Ruzsa selle suurepärase tõendi."

Gowers hakkas välja töötama oletuse polünoomilise versiooni potentsiaalset tõestust. Tema idee oli alustada komplektist A mille summa oli suhteliselt väike, siis järk-järgult manipuleerida A alagruppi. Kui ta suudaks tõestada, et saadud alarühm oli algse komplektiga sarnane A, võis ta kergesti järeldada, et oletus oli tõsi. Gowers jagas oma ideid kolleegidega, kuid keegi ei saanud neist täielikku tõendit vormida. Kuigi mõnel juhul oli Gowersi strateegia edukas, läksid teistel juhtudel manipulatsioonid A kaugemal polünoomi Freiman-Ruzsa oletuse soovitud järeldusest.

Lõpuks liikus väljak edasi. 2012. aastal Sanders peaaegu tõestatud PFR. Kuid nihutatud alamrühmade arv, mida ta vajas, ületas polünoomi taset, kuigi vaid veidi. "Kui ta seda tegi, tähendas see, et sellest sai vähem pakiline asi, kuid siiski väga tore probleem, mis mulle väga meeldib," ütles Gowers.

Kuid Gowersi ideed elasid edasi tema kolleegide mälestustes ja kõvaketastes. "Seal on tõeline idee," ütles Green, kes oli samuti olnud Gowersi õpilane. "Ma tean tõelist ideed, kui näen tõelist ideed." Sel suvel vabastasid Green, Manners ja Tao lõpuks Gowersi ideed oma puhastustulest.

Green, Tao ja Manners olid 37 lehekülge sügaval koostöös, enne kui nad mõtlesid naasta Gowersi 20-aastaste ideede juurde. Ühel 23. juunil paber, olid nad väikeste summadega hulgade struktuuri uurimiseks edukalt kasutanud tõenäosusteooriast pärit kontseptsiooni, mida nimetatakse juhuslikeks muutujateks. Seda lülitit tehes saaks rühm oma komplekte peenemalt manipuleerida. "Juhuslike muutujatega tegelemine on kuidagi palju vähem jäik kui kogumitega tegelemine," ütles Manners. Juhusliku muutujaga: "Ma saan üht tõenäosust väikese summa võrra muuta ja see võib anda mulle parema juhusliku muutuja."

Seda tõenäosuslikku perspektiivi kasutades saaksid Green, Manners ja Tao liikuda komplektis olevate elementide arvuga töötamise asemel juhuslikus suuruses sisalduva teabe mõõtmisele, mida nimetatakse entroopiaks. Entroopia polnud aditiivse kombinatoorika jaoks uus. Tegelikult Tao oli üritanud kontseptsiooni populariseerimiseks 2000. aastate lõpus. Kuid keegi polnud seda veel proovinud kasutada Freiman-Ruzsa polünoomi oletuse puhul. Green, Manners ja Tao avastasid, et see on võimas. Kuid nad ei suutnud ikkagi oletust tõestada.

Kui rühm näris oma uusi tulemusi, mõistsid nad, et nad on lõpuks loonud keskkonna, kus Gowersi uinunud ideed võiksid õitseda. Kui nad mõõdaksid komplekti suurust selle entroopia, mitte elementide arvu järgi, võivad tehnilised üksikasjad palju paremini välja töötada. "Mingil hetkel saime aru, et need Timi 20 aasta tagused ideed töötasid tõenäolisemalt kui need, mida proovisime," ütles Tao. "Ja nii me tõime Timi projekti tagasi. Ja siis sobivad kõik tükid üllatavalt kenasti kokku.”

Siiski oli palju detaile, mida tuli välja mõelda, enne kui tõend kokku sai. "See oli omamoodi rumal, et me kõik neljakesi olime muude asjadega uskumatult hõivatud," ütles Manners. "Tahate selle suurepärase tulemuse avaldada ja maailmale rääkida, kuid tegelikult peate ikkagi oma vahekokkuvõtte kirjutama." Lõpuks suutis rühm läbi lüüa ja 9. novembril postitasid nad oma paberi. Nad tõestasid, et kui A + A ei ole suurem kui k korda suurem kui A, Siis A saab katta mitte rohkem kui umbes k¹² nihked alarühmas, mis ei ole suurem kui A. See on potentsiaalselt tohutu arv vahetusi. Kuid see on polünoom, nii et see ei kasva eksponentsiaalselt kiiremini kui k muutub suuremaks, nagu oleks k olid eksponendis.

Paar päeva hiljem Tao hakkas vormista tõend. Ta juhtis vormistamisprojekti koostöös, kasutades kaastööde koordineerimiseks versioonikontrolli paketti GitHub 25 vabatahtlikku üle maailma. Nad kasutasid tööriista nimega Plaan poolt välja töötatud Patrick Massot, matemaatik Paris-Saclay ülikoolist, et korraldada jõupingutusi Tao teksti tõlkimiseks kutsutud “Matemaatiline inglise keel” arvutikoodiks. Blueprint võib muuhulgas luua a kaardistada mis kujutab erinevaid tõestusega seotud loogilisi samme. Kui kõik mullid olid kaetud sellega, mida Tao nimetas "armsaks roheliseks varjundiks", oli meeskond valmis. Nad avastasid paberist mõned väga väikesed kirjavead - võrgus sõnumTao märkis, et "projekti matemaatiliselt huvitavamaid osi oli suhteliselt lihtne vormistada, kuid tehnilised "ilmselged" sammud võtsid kõige kauem aega.

Marton suri vaid paar aastat enne tema kuulsa oletuse tõestamist, kuid tõestus kordab teda elutöö entroopia ja infoteooria kohta. "Kõik toimib palju paremini, kui teete seda selles entroopiaraamistikus kui raamistikus, mida ma üritasin teha," ütles Gowers. "Minu jaoks tundub see siiski mõnevõrra maagiline."

Quanta viib läbi mitmeid küsitlusi, et meie vaatajaskonda paremini teenindada. Võtke meie matemaatika lugejaküsitlus ja teid osaletakse tasuta võitmiseks Quanta kaup.