Isaac Newton ei olnud tuntud oma helduse poolest ja tema põlgus konkurentide vastu oli legendaarne. Kuid ühes kirjas oma konkurendile Gottfried Leibnizile, keda nüüd tuntakse kui Epistola Posterior, Newton on nostalgiline ja peaaegu sõbralik. Selles räägib ta loo oma tudengiajast, mil ta alles hakkas matemaatikat õppima. Ta jutustab, kuidas ta tegi arvamise ja kontrollimise teel suure avastuse, võrdsustades kõveraalused alad lõpmatute summadega. Tema mõttekäik kirjas on nii võluv ja ligipääsetav, et see tuletab mulle meelde mustrite äraarvamise mänge, mida väikestele lastele meeldib mängida.
Kõik sai alguse sellest, et noor Newton luges John Wallise Arithmetica Infinitorum, 17. sajandi matemaatika põhiteos. Wallis hõlmas uudse ja induktiivse meetodi pi väärtuse määramiseks ning Newton tahtis välja mõelda midagi sarnast. Ta alustas probleemiga leida reguleeritava laiusega "ringikujulise segmendi" ala $lateks x $. See on ühikuringi all olev piirkond, mis on defineeritud väärtusega $latex y=sqrt{1-x^2}$ ja mis asub horisontaaltelje osa kohal 0 kuni $lateks x $. Siin $lateks x $ võib olla mis tahes arv vahemikus 0 kuni 1 ja 1 on ringi raadius. Ühikringi pindala on pi, nagu Newton hästi teadis, nii et millal $lateks x=1$, on kõvera alune pindala veerand ühikuringist $latexfrac{π}{4}$. Aga muude väärtuste jaoks $lateks x $, midagi polnud teada.
Kui Newton leiaks viisi kõveraaluse pindala määramiseks iga võimaliku väärtuse jaoks $lateks x $, see võib anda talle enneolematu vahendi pi lähendamiseks. See oli algselt tema suur plaan. Kuid teel leidis ta midagi veelgi paremat: meetodi keeruliste kõverate asendamiseks lõpmatute summadega lihtsamate ehitusplokkidega, mis on koostatud $lateks x $.
Newtoni esimene samm oli mõelda analoogia põhjal. Selle asemel, et sihtida otse ringikujulise segmendi pindala, uuris ta analoogsete segmentide alasid, mis on piiratud järgmiste kõveratega:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton teadis, et kõverate all olevaid alasid loendis täisarvu astmetega (nt $lateksimurd{0}{2}=0$ ja $lateksimurd{2}{2} = 1$) oleks lihtne arvutada, sest need lihtsustavad algebraliselt. Näiteks,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Samuti
Kuid ringi võrrandi — $lateks y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$ — või teiste poolte astmetega kõverate jaoks pole sellist lihtsustust saadaval. Siis ei teadnud keegi, kuidas nende all olevat ala leida.
Õnneks olid täisarvu võimsusega kõverate all olevad alad selged. Võtke kõver $lateks y_4=1-2x^2+x^4$. Sel ajal tuntud selliste funktsioonide reegel võimaldas Newtonil (ja kõigil teistel) ala kiiresti leida: Iga täisarvu võimsuse $latex nge 0$ korral on kõvera alune pindala $latex y=x^n$ üle intervall alates $lateks 0 $ et $lateks x $ on antud $lateks frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis arvas selle reegli oma induktiivse meetodiga ja Pierre de Fermat tõestas seda lõplikult.) Selle reegliga relvastatud Newton teadis, et kõvera $lateks y_4$ alune pindala on $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Sama reegel võimaldas tal leida ülaltoodud loendis teiste täisarvu astmetega kõverate all oleva ala. Kirjutame $lateks A_n$ kõvera $lateks y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$ jaoks, kus $lateks n= 0, 1, 2, …$ . Reegli rakendamine annab tulemuse
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = hspace{.295em}?$
$lateks A_2 = x -frak{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = hspace{.295em}?$
$lateks A_4 = x -frak{2}{3}x^3 + murd{1}{5}x^5$
$lateks A_5 =hspace{.295em}? $
$lateks A_6 = x -frak{3}{3}x^3 + murd{3}{5}x^5 – murd{1}{7}x^7$
ja nii edasi. Newtoni kaval idee oli täita lüngad, lootes ära arvata $latexA_1$ (seeria ringikujulise segmendi tundmatu ala jaoks) selle põhjal, mida ta teistes seeriates nägi. Üks asi oli kohe selge: iga $latexA_n$ algas lihtsalt tähega $latex x$ . See soovitas valemeid muuta järgmiselt:
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_2 = x -frak{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_4 = x -frak{2}{3}x^3 + murd{1}{5}x^5$
$lateks A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_6 = x -frak{3}{3}x^3 + murd{3}{5}x^5 – murd{1}{7}x^7$.
Järgmise küsimärkide partii asendamiseks vaatas Newton termineid $latex x^3$. Väikese litsentsiga näeme, et isegi $latexA_0$-l oli üks neist kuupterminitest, kuna saame selle ümber kirjutada kujul $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Nagu Newton Leibnizile selgitas, täheldas ta, et "teised terminid $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ jne, olid aritmeetilises progressioonis” (ta pidas lugejates silmas 0, 1, 2, 3). Kahtlustades, et see aritmeetiline progressioon võib ulatuda ka lünkadesse, arvas Newton, et kogu lugejate jada, nii tuntud kui ka tundmatu, peaks olema numbrid, mida eraldab $lateksi murd{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “ja sellest ka seeria kaks esimest terminit”, mis teda huvitasid – veel tundmatu $lateks A_1$ , $latex A_3$ ja $latex A_5$ – "peaks olema $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ jne.
Seega soovitasid mustrid selles etapis Newtonile, et $latex A_1$ peaks algama järgmiselt
$lateks A_1 = x-frak{1}{3}(frak{1}{2}x^3) + …$.
See oli hea algus, kuid ta vajas enamat. Teisi mustreid jahtides märkas Newton, et võrrandite nimetajad sisaldavad alati kasvavas järjekorras paarituid numbreid. Näiteks vaadake $latex A_6$, mille nimetajad on 1, 3, 5 ja 7. Sama muster töötas $latex A_4$ ja $latex A_2$ puhul. Piisavalt lihtne. See muster püsis ilmselt kõigi võrrandite kõigis nimetajates.
Üle jäi vaid leida lugejatest muster. Newton uuris uuesti $lateksi A_2$, $lateksi A_4$ ja $lateksi A_6$ ning märkas midagi. In $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ nägi ta 1-st, mis korrutas väärtuse $lateks x$ ja teise 1-ga terminis $latexfrac {1}{3}x^3$ (ta eiras seda negatiivne märk). Kui $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, nägi ta lugejaid 1, 2, 1. Ja $lateksis A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , nägi ta lugejaid 1, 3, 3, 1. Need numbrid peaksid olema kõigile tuttavad kes on kunagi uurinud Pascali kolmnurka, numbrite kolmnurkset paigutust, mis kõige lihtsamal juhul luuakse selle kohal olevate arvude liitmisel, alustades ülaosas 1-st.
Pascali kutsumise asemel nimetas Newton neid lugejaid "arvu 11 võimsusteks". Näiteks 112 = 121, mis on kolmnurga teine rida, ja 113 = 1331, mis on kolmas. Tänapäeval nimetatakse neid arve ka binoomkoefitsientideks. Need tekivad siis, kui laiendate binoomarvu astmeid nagu ($lateks a +b$), nagu näiteks $lateks (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Kui see muster käes, oli Newtonil nüüd lihtne viis välja kirjutada $latex A_2, A_4, A_6$ ja kõik muud paarisnumbrid AS.
Järgmiseks, et ekstrapoleerida oma tulemused poolvõimsustele ja paaritutele alaindeksitele (ja lõpuks jõuda soovitud seeriani, $latex A_1$), pidi Newton laiendama Pascali kolmnurga fantastiliselt uuele režiimile: ridade vahel poolel teel. Ekstrapoleerimiseks tuletas ta Pascali kolmnurga mis tahes kindlas reas – real $latex m$ – binoomkoefitsientide üldvalemi ja ühendas seejärel julgelt $latex m= frac{1}{2}$. Ja hämmastaval kombel see töötas. See andis talle otsitud seeria lugejad ühikuringi $latexA_1$ jaoks.
Siin on Newtoni enda sõnadega tema kokkuvõte Leibnizile mustritest, mida ta märkas induktiivselt kuni selle argumendi etapini:
Hakkasin mõtlema, et nimetajad 1, 3, 5, 7 jne olid aritmeetilises progressioonis, nii et ainult lugejate arvulised koefitsiendid vajavad veel uurimist. Kuid vahelduvalt antud piirkondades olid need arvu 11 astmete arvud … see tähendab, et esimene on 1; siis '1, 1'; kolmandaks "1, 2, 1"; neljandaks '1, 3, 3, 1'; viiendaks '1, 4, 6, 4, 1' jne ja seetõttu hakkasin uurima, kuidas saab tuletada seeria ülejäänud arvud kahest esimesest antud arvust ja ma leidsin, et pannes teise jaoks $lateksi m$ joonisel, ülejäänud saadakse selle seeria tingimuste pideva korrutamisega,
$lateks frac{m-0}{1} korda frac{m-1}{2} korda frac {m-2}{3} korda frac{m-3}{4} korda frac {m-4}{5 }$ jne.
… Vastavalt sellele rakendasin seda reeglit seeriate vahele paigutamisel ja kuna ringi teiseks liikmeks oli $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, panin $lateksi m=frac{1}{2}$ ja tekkivad terminid olid
$latex frac {1}{2} korda frac{frac{1}{2}-1}{2}$ või $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} korda frac{frac{1}{2}-2}{3}$ või $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} korda frac{frac{1}{2}-3}{4}$ või $latex – frac {5}{128}$,nii lõpmatuseni. Sellest sain aru, et ringikujulise segmendi pindala, mida ma tahtsin, oli
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Lõpuks, ühendades $latex x=1$, võib Newton saada $latexfrac{π}{4}$ jaoks lõpmatu summa. See oli oluline leid, kuid selgub, et on olemas paremaid viise pii lähendamiseks lõpmatu summa abil, nagu Newton ise avastas peagi pärast seda esialgset katset selliste lõpmatute summade kohta, mida nüüd nimetatakse astmeridadeks. Lõpuks arvutas ta välja pii esimesed 15 numbrit.
Tulles tagasi ringikujulise segmendi probleemi juurde, mõistis Newton, et ringi enda võrrandit (mitte ainult selle all olevat pindala) saab esitada ka astmereaga. Ta pidi vaid nimetajad välja jätma ja ülaltoodud astmereas $lateksi x$ astmeid 1 võrra vähendama. Nii pandi ta seda arvama
Et testida, kas see tulemus oli mõttekas, korrutas Newton selle iseenesest: "Sellest sai $lateks 1-x^2$, ülejäänud terminid kadusid seeria jätkudes lõpmatuseni."
Üksikasjade juurest pisut tagasi astudes näeme siin mitmeid probleemide lahendamise õppetunde. Kui probleem on liiga raske, muutke seda. Kui see tundub liiga konkreetne, siis üldistada. Newton tegi mõlemat ja saavutas tulemused, mis on olulisemad ja võimsamad kui see, mida ta algselt taotles.
Newton ei fikseerinud kangekaelselt veerand ringi. Ta vaatas palju üldisemat kuju, mis tahes ringikujulist segmenti laiusega $lateks x $. Selle asemel, et jääda $latex x=1$ juurde, lasi ta $lateksil x$ vabalt joosta vahemikus 0 kuni 1. See paljastas tema seeria koefitsientide binoomsuse – arvude ootamatu ilmumise Pascali kolmnurgas ja nende üldistustes – mis Las Newton näeb mustreid, millest Wallis ja teised olid puudust tundnud. Nende mustrite nägemine andis Newtonile teadmisi, mida ta vajas astmeridade teooria palju laiemaks ja üldisemaks arendamiseks.
Tema hilisemas töös andis Newtoni jõuseeria talle arvutamiseks Šveitsi armee noa. Nende abil sai ta teha integraale, leida algebravõrrandite juuri ning arvutada siinuste, koosinuste ja logaritmide väärtusi. Nagu ta ütles: "Nende abiga jõuab analüüs, võin peaaegu öelda, kõigi probleemideni."
Moraal: probleemi muutmine ei ole petmine. See on loominguline. Ja see võib olla millegi suurema võti.
