Valdkondade ühendamine, matemaatikud jõuavad vana probleemini kaugele | Ajakiri Quanta

Plaanide muutus tuli maanteereisil. Möödunud aprilli ühel ilusal päeval matemaatikud Rachel Greenfeld ja Saara Peluse asusid minema oma koduasutusest, New Jerseys Princetonis asuvast Instituudist Advanced Study, suundudes New Yorki Rochesterisse, kus mõlemad pidid järgmisel päeval kõnesid pidama.

Nad olid peaaegu kaks aastat võidelnud olulise oletusega harmoonilise analüüsi valdkonnas, mis uurib, kuidas jagada keerulisi signaale nende komponentide sagedusteks. Koos kolmanda kaastöötajaga Marina Iliopoulou, uurisid nad probleemi versiooni, milles komponentide sagedused on esitatud punktidena tasapinnal, mille kaugused üksteisest on seotud täisarvudega. Kolm teadlast püüdsid näidata, et neid punkte ei saa olla liiga palju, kuid seni olid kõik nende tehnikad puudulikud.

Tundus, et nad keerlesid rattaid. Siis tekkis Pelusel mõte: mis siis, kui nad loobuksid harmoonilise analüüsi probleemist – loomulikult ajutiselt – ja pööraksid tähelepanu punktide kogumitele, milles kahe punkti vaheline kaugus on täpselt täisarv? Millised võimalikud struktuurid võivad sellistel komplektidel olla? Matemaatikud on iidsetest aegadest püüdnud mõista täisarvude kauguste hulka. Näiteks Pythagorase kolmikud (nt 3, 4 ja 5) tähistavad täisnurkseid kolmnurki, mille kolm tippu on üksteisest täisarvude kaugusel.

"Ma arvan, et kuna Rachel oli autos minuga lõksus, tõin selle välja," ütles Peluse, kes on praegu Michigani ülikooli professor. Täisarvulise kauguse saavutamise idee elektrifitseeris Greenfeldi.

Enne kui nad arugi said, olid nad alustanud mitte ühe suunamuutusega, vaid kahega.

"Me ei pööranud tegelikult enam tähelepanu sellele, kuhu me liigume, ega tulnud kiirteelt maha," ütles Peluse. "Me läksime Rochesterist vastassuunas umbes tund aega enne, kui märkasime, sest olime matemaatikast nii põnevil."

1945. aastal Norman Anning ja Paul Erdős tõestatud et tasandi lõpmatu hulk punkte, mis on üksteisest täisarvude kaugusel, peavad asuma sirgel. Piiratud punktide hulga puhul on võimalused veidi mitmekesisemad. Matemaatikud on koostanud suuri komplekte, mis asuvad kas joonel või ringil, mõnikord koos kolme või nelja lisapunktiga, mis jäävad peamisest takistusest kõrvale. (Punktidel endil ei pea olema täisarvulisi koordinaate – küsimus on nendevahelises kauguses.)

Keegi pole ühegi teise konfiguratsiooniga suure hulga punkte välja mõelnud, kuid keegi pole tõestanud, et muud konfiguratsioonid on võimatud. Ligi 80 aasta jooksul pärast Anningi ja Erdősi tulemust pole see teema praktiliselt edenenud – siiani.

Greenfeldil, Iliopouloul ja Pelusel on tõestatud et kõik suure täisarvulise vahemaa punktid – välja arvatud võib-olla hõre käputäis kõrvalekallete punkte – peavad asuma ühel sirgel või ringil. "Kui soovite suurt komplekti, kus kõik paaridevahelised kaugused on täisarvud, on ainsad mängijad ringid ja jooned," ütles ta. József Solymosi Briti Columbia ülikoolist. Ta nimetas nende tulemust "fantastiliseks lahenduseks".

Uus lähenemisviis kasutab ideid ja tehnikaid kolmest erinevast matemaatikavaldkonnast: kombinatoorika, arvuteooria ja algebraline geomeetria. See erinevate valdkondade ühendamine "võib olla tõeline psühholoogiline läbimurre", ütles Terence tao, matemaatik California ülikoolist Los Angeleses.

Aleks Iosevitš, Rochesteri ülikoolist, nõustub. "Nad panid väga tugeva aluse väga paljudele probleemidele," ütles ta. "Minu meelest pole absoluutselt kahtlust, et see leiab veelgi sügavamaid rakendusi."

Lihtsuse piirid

Tasapinnas on lihtne valida lõpmatu hulk punkte, mis on üksteisest täisarvude kaugusel – lihtsalt võtke oma lemmikjoon, kujutage ette arvurida, mis on selle peal ja kasutage mõnda või kõiki täisarvudele vastavaid punkte. Kuid see on ainus viis tasapinnale seatud lõpmatu täisarvulise kauguse konstrueerimiseks, nagu Anning ja Erdős mõistsid 1945. aastal. Niipea kui teil on vaid kolm punkti, mis pole kõik samal sirgel, muutub teie konfiguratsioon nii piiratuks, et see on võimatu et lisada veel lõpmatult palju punkte.

Põhjus taandub lihtsale geomeetriale. Kujutage ette, et alustate kahe punktiga A ja B, mis on üksteisest täisarvu kaugusel. Kui soovite lisada kolmanda punkti C, mis on täisarvuline kaugus nii A-st kui ka B-st, kuid ei asu neid läbival sirgel, siis enamik tasapinna punkte ei tööta. Ainsad elujõulised punktid elavad spetsiaalsetel kõveratel, mida nimetatakse hüperboolideks ja mis lõikavad A ja B vahel. Kui A ja B on näiteks 4 ühiku kaugusel, siis on neid hüperboole täpselt neli. (Hüperboolil on tavaliselt kaks erinevat osa, nii et näiteks kaks punast kõverat alloleval joonisel moodustavad ühe hüperbooli.)

Kui olete valinud C (mis selles näites on 3 ühikut A-st ja 5 ühikut B-st), pole teil peaaegu ühtegi võimalust punktide lisamiseks. Iga punkt, mille saate lisada, peab asuma ühel hüperboolil A ja B vahel või neid läbival joonel. Kuid see peab asuma ka ühel hüperboolil A ja C vahel ning ühel hüperboolil B ja C vahel (või vastavatel sirgel) – teisisõnu, uue punkti saab paigutada ainult sinna, kus kolm hüperbooli või sirget ristuvad (kuigi mitte kõik ristmikud ei tööta). Neid hüperboole ja sirgeid on alguses ainult piiratud arv ning kaks hüperbooli (või sirget) võivad ristuda maksimaalselt neljas punktis. Seega on teil valida ainult lõputult palju ristumispunkte – te ei saa luua lõpmatut kogumit.

Kui on vaja mõista, kuidas täisarvuliste kauguspunktide komplekt tegelikult välja näeb, muutub hüperbooli lähenemine kiiresti kohmakaks. Punkte lisades peate maadlema kasvavate hüperboolide arvuga. Näiteks selleks ajaks, kui teie komplektis on vaid 10 punkti, loob 11. lisamine 10 uut hüperboolide perekonda – kõik need, mis jäävad teie uue punkti ja juba komplektis oleva punkti vahele. "Te ei saa palju punkte lisada, sest te eksite kõigis nendes hüperboolides ja ristumiskohtades," ütles Greenfeld.

Nii on matemaatikud otsinud paremini juhitavaid põhimõtteid täisarvuliste kauguspunktide suurte komplektide koostamiseks, mis ei asu ühel sirgel. Kuid nad on suutnud välja pakkuda ainult ühe lähenemisviisi: pange oma punktid ringile. Kui soovite täisarvulist kaugust määrata näiteks triljoni punktiga, on viise, kuidas leida triljon punkti raadiusega 1 ringil, mille kõik vahemaad on murrud. Seejärel saate ringi täis puhuda, kuni kõik murdosa kaugused muutuvad täisarvudeks. Mida rohkem punkte soovite oma komplekti lisada, seda rohkem peate ringi paisuma.

Matemaatikud on aastate jooksul välja toonud vaid veidi eksootilisemaid näiteid. Nad võivad koostada suuri täisarvude kauguste komplekte, milles kõik punktid peale nelja asuvad ühel sirgel või kõik peale kolme asuvad ringil. Paljud matemaatikud kahtlustavad, et need on ainsad suurte täisarvude kauguste komplektid, milles kõik punktid ei asu sirgel või ringil. Nad teavad seda kindlasti, kui suudavad kunagi tõestada midagi, mida nimetatakse Bombieri-Langi oletuseks. Kuid matemaatikud on eriarvamusel, kas see oletus on tõenäoline.

Alates Anningi ja Erdősi tööst 1945. aastal on matemaatikud täisarvude kaugushulkade mõistmisel vähe edasi arenenud. Aja jooksul näis täisarvude kauguse probleem ühinevat paljude teiste kombinatoorika, arvuteooria ja geomeetria probleemidega, mida on lihtne väita, kuid mis näivad olevat võimatu lahendada. "See mõõdab, kui haletsusväärne on meie matemaatika," ütles Tao.

Teatud mõttes oli täisarvude kauguse probleem omaenda varajaste õnnestumiste ohver. Hüperbooltõestus oma geniaalse lihtsusega sümboliseerib filosoofiat, mida pooldab Erdős, väga mõjukas matemaatik, kes rääkis sageli raamatust – matemaatika kõige elegantsemate tõestuste väljamõeldud mahust. Erdősi propageeritud lihtsuse kultuur on viinud kombinatoorses geomeetrias "tohutute tulemusteni", ütles Iosevitš. Kuid see võib viia ka pimealadeni - antud juhul umbes algebralise geomeetria lähenemisviiside toomise väärtuse kohta.

"Ma arvan, et te ei leia [algebralises geomeetrias] viimase 50 aasta jooksul tõestatud tulemust, mis pole tehniliselt väga segane ja segane," ütles Iosevitš. "Kuid mõnikord peavad asjad nii olema."

Tagantjärele ootas täisarvude kauguse probleem matemaatikuid, kes olid nõus kaaluma rohkem ohjeldamatut kõverat kui hüperboolid ja seejärel kasutama algebralise geomeetria ja arvuteooria keerukaid tööriistu nende taltsutamiseks. "See nõudis inimesi, kellel oli piisavalt teadmisi ja huvi," ütles Iosevitš.

Ta ütles, et enamik matemaatikuid on rahul sellega, et kasutavad kogu oma karjääri jooksul mõnda tööriista ühes matemaatikanurgas. Kuid Greenfeld, Iliopoulou ja Peluse on kartmatud uurijad, ütles Iosevitš. "Nad näevad matemaatikat kui ühtset tervikut."

Probleemi keeruliseks muutmine

2021. aasta suvel otsustas Greenfeld, et on aeg tegeleda harmoonilise analüüsi probleemiga, mille üle ta oli kooli lõpetamisest saadik mõelnud. Klassikaline harmooniline analüüs, mis moodustab reaalses maailmas signaalitöötluse aluse, seisneb signaalide jagamises erinevate sageduste ja faasidega siinuslaineteks. See protsess toimib, kuna on võimalik koostada lõpmatu nimekiri siinuslainetest, mis kombineerituna hõivavad mis tahes signaali kõik funktsioonid ilma liiasuseta.

Sageli tahavad teadlased aga uurida midagi keerukamat kui ühemõõtmeline signaal. Näiteks võivad nad soovida tasapinnal asuval kettal oleva signaali lagundada. Kuid ketas suudab majutada ainult piiratud kogumit ühilduvaid siinuslaineid – liiga vähe, et jäädvustada kõigi kettal olevate võimalike signaalide käitumist. Seejärel tekib küsimus: kui suur võib see piiratud kogu olla?

Sellises kogumis saab siinuste sagedusi esitada tasapinna punktidena, mis tunduvad olevat vastumeelsed joonteks ja ringideks koondumisele: te ei leia kunagi kolme punkti, mis on kõik sama joone lähedal, või nelja, mis kõik on lähedal. samasse ringi. Greenfeld lootis seda vastumeelsust kasutada tõestamaks, et need sageduskomplektid võivad sisaldada vaid mõnda punkti.

2021. aastal Bonni ülikoolis toimunud koosolekul osales Greenfeld kõnel "determinantmeetodist", arvuteooriast pärit tehnikast, mille abil saab hinnata, kui palju teatud tüüpi täisarvupunkte võib kõveratel asuda. Ta mõistis, et see tööriist võib olla just see, mida ta vajab. Greenfeld värbas Iliopoulou ja Peluse, kes olid samuti koosolekul. "Hakkasime seda meetodit koos õppima," ütles Greenfeld.

Kuid vaatamata paljudele jõupingutustele ei suutnud nad määravat meetodit oma eesmärgile viia ja 2023. aasta kevadeks tundsid nad end heitunult. Iosevitš oli kutsunud Greenfeldi ja Peluse Rochesterisse külla. "Nii et me mõtlesime: "Olgu, me läheme Rochesterisse ja Alexiga rääkimine annab meile elujõudu," ütles Peluse. Kuid nagu selgus, maandusid nad Rochesteris juba uue elujõuna tänu täisarvuliste vahemaade kogumite pingelisele arutelule nende planeerimata ümbersõidul mööda Susquehanna jõge Pennsylvanias.

Nad jõudsid Iosevitšiga planeeritud õhtusöögile liiga hilja, kuid leidsid ta hotelli fuajees ootamas koos kottide kaasavõtmisega. Ta andestas nende hilinemise – ja oli enam kui andestav järgmisel hommikul, kui nad rääkisid talle oma plaanist lahendada täisarvuliste kauguste komplektid. "Ta oli nii põnevil," meenutas Peluse. "Emotsionaalselt oli see tohutu tõuke."

Nagu hüperbooli lähenemisviisi puhul, püüdsid Greenfeld, Iliopoulou ja Peluse kontrollida täisarvude kauguste komplektide struktuuri, tuvastades kõverate perekonnad, millel punktid peavad asuma. Hüperbooli meetod hakkab liiga keerduma kohe, kui teil on rohkem kui paar punkti, kuid Greenfeld, Iliopoulou ja Peluse leidsid, kuidas arvestada palju punkte korraga, liigutades kogu konfiguratsiooni kõrgema mõõtmega ruumi.

Et näha, kuidas see toimib, oletame, et alustate oma täisarvulise kauguse komplekti "võrdluspunktiga" A. Iga teine ​​punkt komplektis on täisarvu kaugusel punktist A. Punktid asuvad tasapinnal, kuid saate tasandit kolmemõõtmelisse ruumi põrgata, kleepides igale punktile kolmanda koordinaadi, mille väärtus on kaugus punktist A. Näiteks , oletame, et A on punkt (1, 3). Seejärel muutub punkt (4, 7), mis asub punktist A 5 ühiku kaugusel, kolmemõõtmelises ruumis punktiks (4, 7, 5). See protsess muudab tasapinna kolmemõõtmelises ruumis koonuseks, mille ots asub punktis A, mis on nüüd märgistatud (1, 3, 0). Täisarvulised kauguspunktid muutuvad kolmemõõtmelise ruumi punktideks, mis asuvad koonusel ja ka teatud võrel.

Samamoodi, kui valite kaks võrdluspunkti A ja B, saate teisendada tasapinna punktid neljamõõtmelise ruumi punktideks – lihtsalt andke igale punktile kaks uut koordinaati, mille väärtused on selle kaugused punktidest A ja B. See protsess teisendab tasapinna. kõverale pinnale neljamõõtmelises ruumis. Sel viisil saate jätkuvalt rohkem võrdluspunkte lisada. Iga uue võrdluspunktiga suureneb mõõde ühe võrra ja tasapind kaardistatakse veelgi nihkemale pinnale (või nagu matemaatikud ütlevad, kõrgema astme pinnale).

Kui see raamistik oli paigas, kasutasid teadlased arvuteooriast determinantmeetodit. Determinandid on arvud, mida tavaliselt seostatakse maatriksitega, mis kajastavad hulga punktide kogumi geomeetrilisi omadusi – näiteks võib konkreetne determinant mõõta kolme punktiga moodustatud kolmnurga pindala. Determinantide meetod pakub võimalust kasutada selliseid determinante, et hinnata punktide arvu, mis asuvad samaaegselt võnkuval pinnal ja võrel – just sellise olukorraga, millega Greenfeld, Iliopoulou ja Peluse tegelesid.

Teadlased kasutasid determinantmeetodil põhinevat töörida, et näidata, et kui nad saavutavad oma täisarvude vahemaa sobivalt suure mõõtme, peavad kõik punktid asuma väikesel arvul spetsiaalsetel kõveratel. Need kõverad, kui nende varjud tasapinnal ei ole joon või ring, ei saa sisaldada palju võrepunkte, mis on ainsad kandidaadid täisarvulise kauguse komplekti punktide saamiseks. See tähendab, et komplekti punktide arv, mis võivad asuda põhijoonest või ringist, on piiratud – teadlased näitasid, et see peab olema väiksem kui komplekti läbimõõdu väga aeglaselt kasvav funktsioon.

Nende piir ei ulatu standardile, mille kohaselt on „neli punkti joonest väljas või kolm punkti ringist väljas”, mis paljude matemaatikute arvates kehtib suurte täisarvude kaugushulkade puhul. Sellegipoolest näitab tulemus, et "oletuse olemus vastab tõele," ütles Jacob Fox Stanfordi ülikoolist. Oletuse täielikuks tõestuseks on tõenäoliselt vaja uusi ideid, ütlesid matemaatikud.

Meeskonna kõrgmõõtmeline kodeerimisskeem on "äärmiselt vastupidav", ütles Iosevitš. "Põhimõtteliselt pole olemas ainult rakendused - on rakendusi, mille peale ma juba mõtlen."

Üks rakendus, Greenfeld, Iliopoulou ja Peluse loodavad, on seotud nende algse harmoonilise analüüsi probleemiga, mille juurde need kolm nüüd tagasi pöörduvad. Nende tulemus täisarvuliste kauguste komplektides "võib olla hüppelauaks selle poole," ütles Greenfeld.

Iosevitš ennustas, et teadlaste algatatud kombinatoorika süntees algebralise geomeetriaga ei lõpe täisarvude kauguste komplektide ega nendega seotud probleemidega harmoonilise analüüsis. "Usun, et see, mida me näeme, on kontseptuaalne läbimurre," ütles ta. "See saadab mõlema valdkonna inimestele sõnumi, et see on väga produktiivne suhtlus."

Tao ütles, et see saadab ka sõnumi, et mõnikord on vaja probleemi keerulisemaks muuta. Matemaatikud püüdlevad tavaliselt vastupidise poole, märkis ta. "Kuid see on näide, kus probleemi keerulisemaks muutmine on tegelikult õige samm."

Ta ütles, et ettemaks on muutnud seda, kuidas ta mõtleb kõrgete kõverate kohta. "Mõnikord võivad nad olla teie sõbrad ja mitte vaenlased."