Kaks õpilast harutavad lahti laialt levinud matemaatikaoletuse | Ajakiri Quanta

Summer Haag ja Clyde Kertzer panid oma suvise uurimisprojektiga suuri lootusi. Terve matemaatika alamvaldkonna pimestamine ei kuulunud nende hulka.

Mais lõpetas Haag Colorado ülikoolis Boulderis, kus Kertzer oli bakalaureuseõppes, oma esimest aastat kraadiõppes. Mõlemad ootasid tundide vaheaega. Haag plaanis uudistada uusi matku ja ronimismarsruute. Boulderi põliselanik Kertzer tahtis jalgpalli mängida ja valmistuda oma magistriõppesse. Kuid pürgivate teadusmatemaatikutena olid nad kandideerinud ka poole kohaga suvisesse uurimisprogrammi matemaatiku rühma. Katherine Stange.

Stange on arvuteoreetik, kes kirjeldab end kui matemaatilist "konn” — keegi, kes süveneb ühe probleemi keerukustesse enne teise juurde hüppamist. Teda huvitavad "lihtsad näivad küsimused, mis viivad struktuuririkkuseni", ütles ta. Tema projektid otsivad sageli arvuteooria raskeid lahtisi probleeme, kasutades arvuteid suurte andmekogumite genereerimiseks.

Haag ja Kertzer alustasid programmi Haagi 23. sünnipäeval nädalapikkuse apellatsiooniga Apolloni ringipakkidest – iidsest uurimusest, kuidas ringid saavad harmooniliselt üheks suuremaks ringiks kokku suruda.

Kujutage ette, et paigutate kolm münti nii, et igaüks puudutab teisi. Nende ümber saab alati joonistada ringi, mis puudutab kõiki kolme väljastpoolt. Seejärel võite hakata esitama küsimusi: kuidas on selle suurema ringi suurus seotud kolme mündiga? Millise suurusega ring mahub kolme mündi vahele? Ja kui hakkate joonistama ringe, mis täidavad järjest väiksemaid tühikuid ringide vahel – luues fraktaalmustri, mida tuntakse täidisena –, kuidas on nende ringide suurused üksteisega seotud?

Selle asemel, et mõelda nende ringide läbimõõdule, kasutavad matemaatikud mõõtu, mida nimetatakse kõveruseks - raadiuse pöördväärtuseks. Seega raadiusega 2 ringil on kõverus 1/2 ja raadiusega 1/3 ringil 3. Mida väiksem on ring, seda suurem on kõverus.

Renessansi matemaatikud tõestasid, et kui nelja esimese ringi kõverus on täisarv, on kõigi järgnevate ringide kõverused täisarvud. See on iseenesest tähelepanuväärne. Kuid matemaatikud on probleemi sammu edasi astunud, esitades küsimusi selle kohta, millised täisarvud kuvatakse ringide väiksemaks muutudes ja kumeruste suurenedes.

Aastal 2010, Jelena Fuchs, arvuteoreetik praegu California ülikoolis Davises, tõestatud et kumerused järgivad teatud seost, mis sunnib neid teatud arvulistesse ämbritesse. Varsti pärast seda veendusid matemaatikud, et mitte ainult kumerused ei pea langema ühte või teise ämbrisse, vaid ka igas ämbris tuleb kasutada kõiki võimalikke numbreid. Seda ideed hakati nimetama lokaalseks ja globaalseks oletuseks.

"Paljud tööd viitasid sellele, nagu oleks see juba tõsiasi," ütles Kertzer. "Arutasime seda nii, nagu oleks see lähitulevikus mingil hetkel tõestatud."

James Rickards, Boulderi matemaatik, kes töötab koos Stange'i ja õpilastega, oli kirjutanud koodi, et uurida ringide mis tahes soovitud paigutust. Nii et kui Haag ja Kertzer 15. mail grupiga liitusid, arvasid nad, et loovad lahedad süžeed usaldusväärse kohalikult globaalseks reegliks.

Stange lendas juuni alguses Prantsusmaale konverentsile. Kui ta 12. juunil naasis, tungles meeskond edetabelite ümber, mis näitasid, kuidas mõnel ämbril näis olevat teatud numbrid puudu.

"Me ei uurinud seda nähtust," ütles Rickards. "Ma ei püüdnud kontrollida, kas see on tõsi. Ma teadsin, et see on tõsi – ma lihtsalt eeldasin, et see on tõsi. Ja siis järsku seisame silmitsi andmetega, mis ütlevad, et see pole nii.

Nädala lõpuks oli meeskond kindel, et oletus oli vale. Numbrid, mida nad ootasid, ei ilmunud kunagi. Nad töötasid välja tõendi ja 6. juulil postitanud oma tööd teaduslikule eeltrüki saidile arxiv.org.

Fuchs mäletab, et rääkis Stange'iga varsti pärast seda, kui tõend paika klõpsas. "Kui palju te usute kohalikku ja globaalset oletusse?" küsis Stange. Fuchs vastas, et loomulikult ta usub seda. "Siis ta näitas mulle kõiki neid andmeid ja ma ütlesin: "Issand, see on hämmastav," ütles Fuchs. "Ma mõtlen, et ma tõesti uskusin, et kohalikud ja globaalsed oletused vastasid tõele."

"Kui näete seda, ütlete lihtsalt" Ahaa! Muidugi!'' ütles Peeter Sarnak, matemaatik Instituudis Advanced Study ja Princetoni ülikoolis, kelle varased tähelepanekud aitas õhutada kohalikke ja globaalseid oletusi.

"See on fantastiline ülevaade," lisas Aleks Kontorovitš Rutgersi ülikoolist. "Me kõik anname endale jalaga, et me ei leidnud seda 20 aastat tagasi, kui inimesed sellega mängima hakkasid."

Tulemusest maha jäänud killustiku keskel on töö paljastanud mõra muude arvuteooria oletuste aluses. Matemaatikud on jäänud mõtlema, milline laialt levinud uskumus võib olla järgmine langus.

Ringristmiku ajalugu

Apolloni ringpakendid on saanud oma nime nende tõenäolise looja, Perga Apolloniuse järgi. Umbes 2,200 aastat tagasi kirjutas Kreeka geomeeter raamatu nimega Tangensid selle kohta, kuidas luua ringi, mis puutub mis tahes kolme teise ringiga. Raamat on aja peale kadunud. Kuid umbes 500 aastat hiljem pani Kreeka matemaatik Aleksandria Pappus kokku kogumiku, mis elaks üle Bütsantsi impeeriumi kokkuvarisemise.

Kasutades ainult Pappuse kirjeldust Tangensid, Renessansi matemaatikud üritasid algset tööd uuesti jälgida. Aastaks 1643 oli René Descartes avastanud lihtsa seose mis tahes nelja üksteisega puutuva ringi kõveruste vahel. Descartes väitis, et kõigi ruudukujuliste kõveruste summa võrdub poolega kõveruste summa ruudust. See tähendab, et kolme ringi korral on võimalik arvutada neljanda puutuja ringi raadius. Näiteks kui teil on kolm ringi kõverustega 11, 14 ja 15, saate need numbrid ühendada Descartes'i võrrandiga ja arvutada nende sisse mahtuva ringi kõveruse: 86.

1936. aastal Nobeli preemia võitnud raadiokeemik Frederick Soddy märkas midagi veidrat, kui ta koostas Descartes'i suhtega pakendeid. Kuna ringid muutusid väiksemaks ja kumerused suurenesid, eeldas ta, et saab ruutjuurte või lõpmatute kümnendkohtadega ruutjuurte või lõpmatute kümnendkohtadega numbreid. Selle asemel olid kõik kumerused täisarvud. See oli Descartes'i võrrandi üsna otsene tagajärg, kuid keegi polnud seda märganud sadu aastaid. See inspireeris Soddyt avaldada luuletus teadusajakirjas loodus, mis algas:

Võib-olla suudeldavate huulepaaride jaoks
Ei hõlma trigonomeetriat.
See pole nii, kui neli ringi suudlevad
Kumbki teine ​​kolm.

Võimalik ja vältimatu

Kui tehti kindlaks, et täisarve on täis, püüdsid matemaatikud leida nendest täisarvudest mustreid.

2010. aastal Fuchsi ja Katherine Sanden asunud ehitama a 2003i paber. Duo täheldas, et kui jagate antud pakendi iga kumeruse 24-ga, tekkis reegel. Mõnel pakendil on ainult kumerused, mille jäägid on näiteks 0, 1, 4, 9, 12 või 16. Teised jätavad alles vaid jäägid 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 või 22. Võimalikke rühmasid oli kuus.

Kui matemaatikud uurisid pakendite erinevaid kategooriaid, hakkasid nad märkama, et piisavalt väikeste ringide puhul – suurte kumerustega – tundus, et seda tüüpi pakendite jaoks on igas kategoorias kõik võimalikud numbrid. Seda ideed hakati nimetama lokaalseks-globaalseks oletuseks. Selle tõestamisest sai "üks nende väikeste matemaatikute unistusi", ütles Fuchs. "Näiteks, võib-olla mõne aasta pärast suudan ma selle lahendada."

2012. aastal Kontorovich ja Jean Bourgain (kes suri 2018. aastal) tõestas seda peaaegu iga number oletustega ennustatud. Kuid "peaaegu kõik" ei tähenda "kõiki". Näiteks täiuslikud ruudud on piisavalt haruldased, et matemaatiliselt pole "peaaegu kõik" täisarvud täiuslikud ruudud, kuigi näiteks 25 ja 49 on. Matemaatikud arvasid, et haruldasi vastunäiteid, mis jäid võimalikuks pärast Kontorovichi ja Bourgaini artiklit, tegelikult ei eksisteerinud, peamiselt seetõttu, et kaks või kolm kõige paremini uuritud ringi pakkimist näisid järgivat nii hästi kohalikku ja globaalset oletust, ütles Kontorovich.

Selle numbrilaua üles keeramine

Kui Haag ja Kertzer sel suvel Boulderis alustasid, kritseldas Rickards ideid Stange’i kontoris tahvlile. "Meil oli terve nimekiri," ütles Rickards. Neil oli katsetamiseks neli-viis lähtepunkti. "Asjad, millega saate lihtsalt mängida ja vaadata, mis juhtub."

Üks idee oli arvutada välja kõik võimalikud ringid, mis sisaldavad kahte suvalist kumerust A ja B. Rickards kirjutas programmi, mis väljastab omamoodi pearaamatu, mis teatab, millised täisarvud kuvatakse osapoolele, kui A võõrustab.

Selle programmi põhjal lõi Haag kokku Pythoni skripti, mis joonistas korraga palju simulatsioone. See oli nagu korrutustabel: Haag valis, millised read ja veerud kaasata, lähtudes nende jääkidest, kui need jagati 24-ga. Arvupaarid, mis esinevad apolloonilises pakkis koos, said valged pikslid; need, millel pole musti piksleid.

Haag kündis läbi kümneid krunte – üks iga jäänuste paari kohta igas kuues rühmas.

Nad nägid välja täpselt sellised, nagu oodatud: valge sein, mis oli kaetud mustade täppidega väiksemate täisarvude jaoks. "Ootasime, et mustad täpid kaovad," ütles Stange. Rickards lisas: "Ma arvasin, et võib-olla on isegi võimalik tõestada, et nad lähevad läbi." Ta spekuleeris, et vaadates diagramme, mis sünteesivad paljusid pakendeid koos, suudab meeskond tõestada tulemusi, mis ei olnud võimalikud, kui nad vaatlevad mõnda pakendit eraldi.

Stange'i äraoleku ajal pani Haag kokku iga jäägi paari – umbes 120. Üllatusi pole. Siis läks ta suureks.

Haag oli joonistanud, kuidas 1,000 täisarvu omavahel suhtlevad. (Graafik on suurem, kui see kõlab, kuna see hõlmab 1 miljonit võimalikku paari.) Seejärel keeras ta sihverplaadi kuni 10,000 10,000 korda XNUMX XNUMX korda. Ühel graafikul keeldusid mustade laikude tavalised read ja veerud lahustumast. See ei paistnud midagi sellist, mida kohalikud ja globaalsed oletused ennustavad.

Meeskond kohtus esmaspäeval pärast Stange'i naasmist. Haag esitas oma graafikud ja need kõik keskendusid veidrate täppidega graafikule. "See oli lihtsalt pidev muster," ütles Haag. "Ja see oli siis, kui Kate ütles:" Mis saab siis, kui kohalik ja globaalne oletus ei vasta tõele?

"See näeb välja nagu muster. See peab jätkuma. Nii et lokaalne-globaalne oletus peab olema vale,” meenutas Stange mõtlemist. "James oli skeptilisem."

"Minu esimene mõte oli, et mu koodis peab olema viga," ütles Rickards. "Ma mõtlen, et see oli ainus mõistlik asi, millele suutsin mõelda."

Poole päevaga tuli Rickards ümber. Muster välistas kõik paarid, kus esimene number on kujul 8 × (3n ± 1)² ja teine ​​on 24 korda suurem kui suvaline ruut. See tähendab, et 24 ja 8 ei ilmu kunagi samas pakendis. Numbrid, mida võiks oodata, ei juhtu.

"Ma olin kuidagi uimane. Ei juhtu just sageli, et miski päriselt üllatab,” rääkis Stange. "Aga see on andmetega mängimise võlu."

. juuli paber visandab karmi tõendi, et nende täheldatud muster jätkub lõputult, lükates ümber oletuse. Tõestus tugineb sajandeid vanale põhimõttele, mida nimetatakse ruutvastastuseks, mis hõlmab kahe algarvu ruutu. Stange'i meeskond avastas, kuidas vastastikkus kehtib ringide pakkimisel. See selgitab, miks teatud kumerused ei saa olla üksteisega puutuvad. Reegel, mida nimetatakse takistuseks, levib kogu pakendi ulatuses. "See on lihtsalt täiesti uus asi," ütles Jeffrey Lagarias, Michigani ülikooli matemaatik, kes oli 2003. aasta ringi pakkimise paberi kaasautor. "Nad on selle leidlikult leidnud," ütles Sarnak. "Kui need numbrid ilmuksid, rikuksid need vastastikkust."

Fallout

Mitmed teised arvuteooria oletused võivad nüüd kahtluse alla seada. Sarnaselt kohaliku ja globaalse oletusega on neid raske tõestada, kuid on juba tõestatud, et need kehtivad peaaegu kõikidel juhtudel ja üldiselt eeldatakse, et need vastavad tõele.

Näiteks uurib Fuchs Markovi kolmikuid, arvude komplekte, mis rahuldavad võrrandit x² + y² + z² = 3xyz. Tema ja teised on näidanud, et teatud tüüpi lahendused on ühendatud algarvude jaoks, mis on suuremad kui 10³⁹². Kõik usuvad, et muster peaks jätkuma lõpmatuseni. Kuid uue tulemuse valguses on Fuchs lasknud endal tunda kahtlust. "Võib-olla on mul midagi puudu," ütles ta. "Võib-olla on kõigil midagi puudu."

"Nüüd, kui meil on üks näide, kus see on vale, on küsimus: kas see on vale ka nende teiste näidete puhul?" ütles Rickards.

Seal on ka Zaremba oletus. Selles öeldakse, et mis tahes nimetajaga murdosa saab väljendada jätkuva murruna, mis kasutab ainult numbreid vahemikus 1 kuni 5. 2014. aastal näitasid Kontorovich ja Bourgain, et Zaremba oletus kehtib peaaegu kõigi arvude kohta. Kuid üllatus ringi pakkimise kohta on õõnestanud usaldust Zaremba oletuste vastu.

Kui pakkimisprobleem on tulevaste asjade esilekutsuja, võivad arvutusandmed olla selle lahendamise vahendiks.

"Minu arvates on alati põnev, kui pelgalt andmete vaatamisest sünnib uus matemaatika," ütles Fuchs. "Ilma selleta on tõesti raske ette kujutada, et [nad] oleksid selle otsa komistanud."

Stange lisas, et ilma madalate panustega suveprojektita poleks sellest midagi juhtunud. "Serendipsusel ja mängulisel uurimisel on avastamisel nii suur roll," ütles ta.

"See oli puhas juhus," ütles Haag. "Kui ma poleks piisavalt suureks läinud, poleks me seda märganud." Töö ennustab arvuteooria tuleviku jaoks head. "Matemaatikast saate aru saada oma intuitsiooni ja tõestuste kaudu," ütles Stange. "Ja te usaldate seda väga, sest veetsite sellele palju aega mõeldes. Aga andmetele ei saa vaielda.»

Toimetaja märkus: Alex Kontorovich on liige Quanta Magazineteaduslik nõuandekogu. Teda intervjueeriti selle loo jaoks, kuid ta ei aidanud muul viisil selle loo koostamisele kaasa.