Kuidas lihtne matemaatika nõela liigutab | Quanta ajakiri

Kujutage ette, et veerete mööda tänavat juhita autoga, kui näete probleemi ees. Amazoni kohaletoimetamise juht sai oma kaubiku poolel teel mööda topelt pargitud UPS-i veokist, enne kui taipas, et ei saa läbi. Nüüd on nad kinni. Ja nii ka sina.

Tänav on U-ey mahatõmbamiseks liiga kitsas, nii et teie tehisintellektiga auto alustab kolmepunktipööret. Esiteks võtab auto käänulise tee ühe äärekivi poole. Kohale jõudes juhib see teisele poole ja tagurdab vastastee äärekivini. Seejärel keerab see rooli tagasi esimese kurvilise raja suunas, sõites edasi ja takistusest eemale.

See vahepöörete tegemise lihtne geomeetriline algoritm aitab teil kitsastes olukordades ringi liikuda. (Kui olete kunagi paralleelselt parkinud, siis teate, mida see edasi-tagasi vingerdamine võib teie heaks teha.)

Siin on lõbus matemaatikaülesanne selle kohta, kui palju ruumi auto ümber pööramiseks vajate, ja matemaatikud on selle idealiseeritud versiooni kallal töötanud üle 100 aasta. See sai alguse 1917. aastal, kui Jaapani matemaatik Sōichi Kakeya esitas probleemi, mis meenutab veidi meie liiklusummikut. Oletame, et teil on lõpmata õhuke nõel pikkusega 1. Kui suur on väikseima piirkonna pindala, kus saate nõela 180 kraadi pöörata ja selle algasendisse tagasi viia? Seda tuntakse Kakeya nõelaprobleemina ja matemaatikud uurivad endiselt selle variatsioone. Vaatame lihtsat geomeetriat, mis muudab Kakeya nõelaprobleemi nii huvitavaks ja üllatavaks.

Nagu paljud matemaatikaprobleemid, hõlmab see ka mõningaid lihtsustavaid eeldusi, mis muudavad selle vähem realistlikuks, kuid paremini juhitavaks. Näiteks auto pikkus ja laius on sõidu ajal olulised, kuid eeldame, et meie nõela pikkus on 1 ja laius null. (See tähendab, et nõela enda pindala on null, mis mängib probleemi lahendamisel olulist rolli.) Samuti eeldame, et erinevalt autost saab nõel pöörata ümber oma esi- ja tagaotsa. või mis tahes punkti vahepeal.

Eesmärk on leida väikseim piirkond, mis võimaldab nõela 180 kraadi pöörata. Väikseima asja leidmine, mis vastab teatud tingimustele, võib olla keeruline, kuid hea viis alustada on otsida kõike, mis nendele tingimustele vastab, ja vaadata, mida saate selle käigus õppida. Näiteks on lihtne vastus lihtsalt pöörata nõela 180 kraadi ümber selle lõpp-punkti ja seejärel libistada tagasi üles. See tagastab nõela algsesse asendisse, kuid nüüd osutab see vastupidises suunas, nagu Kakeya nõelaprobleem nõuab.

Pöörde jaoks vajalik piirkond on raadiusega 1 poolring, mille pindala on $lateks A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Seega leidsime ühe piirkonna, mis töötab.

Saame paremini hakkama, kui kasutame ära oma maagilise matemaatilise nõela võimet pöörata mis tahes punkti ümber. Selle asemel, et pöörata seda ümber oma lõpp-punkti, pöörame seda ümber oma keskpunkti.

Võiksite seda nimetada Kakeya kompassiks: meie nõel on suunatud põhja poole, kuid pärast pööramist on see samas kohas, kuid näitab lõunasse. See piirkond on ring raadiusega $latex frac{1}{2}$, seega selle pindala on $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. See on pool meie esimese piirkonna pindalast, seega teeme edusamme.

Kuhu edasi? Võiksime ammutada inspiratsiooni oma juhita auto dilemmast ja kaaluda nõela jaoks kolme punkti pöörde kasutamist. See toimib tegelikult päris hästi.

Seda tehnikat kasutades nõela poolt välja pühitud piirkonda nimetatakse deltalihaseks ja seegi vastab Kakeya nõuetele. Selle pindala arvutamine nõuab enamat kui elementaarne geomeetria, millest siin juttu tuleb (parameetriliste kõverate tundmine aitab), kuid selgub, et selle konkreetse deltalihase pindala – see, mille pühib välja 1 pikkusega joonelõik – on täpselt $lateks frac{pi}{8}$. Nüüd on meil veelgi väiksem piirkond, kus saame Kakeya nõela ümber pöörata, ja teile võidakse andeks anda, kui arvate, et see on parim, mida saame teha. Kakeya ise arvas, et see võib nii olla.

Kuid see nõelaprobleem võttis suure pöörde, kui vene matemaatik Abram Besicovitch avastas, et saate lõputult paremini teha. Ta mõtles välja protseduuri, et eemaldada piirkonnast mittevajalikud killud, kuni see oli nii väike, kui ta soovis.

Protsess on tehniline ja keeruline, kuid üks Besicovitši ideel põhinev strateegia tugineb kahele lihtsale ideele. Esiteks kaaluge allolevat täisnurkset kolmnurka, mille kõrgus on 1 ja alus on 2.

Praegu unustame nõela täielikult ümber keeramise ja keskendume lihtsalt ühele lihtsale faktile: kui asetame 1 pikkuse nõela ülemisse tippu, on kolmnurk piisavalt suur, et nõel saaks 90 võrra pöörata. kraadi ühelt küljelt teisele.

Kuna kolmnurga pindala on $lateks A=frac{1}{2}bh$, on selle kolmnurga pindala $lateks A=frak{1}{2} korda 2 korda 1 = 1$.

Nüüd on esimene oluline idee: saame vähendada piirkonna pindala, säilitades samal ajal 90-kraadise pöörde. Strateegia on lihtne: lõikame kolmnurga keskelt alla ja seejärel surume kaks poolt kokku.

Selle uue kujundi pindala peab olema algsest väiksem, kuna kolmnurga osad kattuvad nüüd. Tegelikult on joonise pindala lihtne arvutada: see on vaid kolm neljandikku külje 1 ruudust, seega on pindala $lateks A = murd{3}{4}$, mis on väiksem kui külje pindala. kolmnurk, millest alustasime.

Ja me saame endiselt suunata nõela kõigis samades suundades nagu varem. On ainult üks probleem: algne nurk on jagatud kaheks osaks, nii et need suunad on nüüd jagatud kaheks eraldi piirkonnaks.

Kui nõel on uue piirkonna vasakul küljel, saame seda pöörata 45 kraadi lõuna ja kagu vahel ja kui see on paremal, saame seda pöörata 45 kraadi lõuna ja edela vahel, kuid kuna need kaks osa on eraldatud. , tundub, et me ei suuda seda täielikult 90 kraadi pöörata, nagu varem.

Siin tuleb sisse teine ​​oluline idee. Nõela ühelt küljelt teisele viimiseks on kaval viis, mis ei nõua palju pinda. Males võite teada, et ratsu liigub L-kujuliselt. Noh, meie nõel hakkab liikuma N-kujuliselt.

Seda tehakse järgmiselt. Esiteks libiseb nõel N-i ühel küljel üles. Seejärel pöörleb see piki diagonaali ja libiseb alla. Seejärel pöörleb see uuesti ja lõpetab oma reisi, libistades N-teed teiselt poolt üles.

Esmapilgul ei pruugi see N-kujuline liigutus välja näha, kuid see teeb midagi väga kasulikku. See võimaldab nõelal "hüpata" ühelt paralleelselt joonelt teisele, mis aitab meil nõela ühest piirkonnast teise viia. Veelgi olulisem on see, et see teeb seda ilma palju pinda nõudmata. Tegelikult võite selle nõuda nii vähe pinda kui soovite. Siin on põhjus.

Tuletame meelde, et meie nõela laius on null. Seega on igal joonel, mida mööda nõel edasi või tagasi liigub, nullpindala. See tähendab, et piirkond, mis on vajalik nõela N-kujutisel üles, alla või diagonaalselt liigutamiseks, koosneb nullpinnaga tükkidest.

See jätab pöörded lihtsalt N-kuju nurkadesse.

Need käigud nõuavad pindala. Igas nurgas näete väikest ringi sektorit. Kuid siin on salakaval osa: saate neid piirkondi väiksemaks muuta, pikendades N.

Ringjoone sektori pindala valem on $lateks A = frac{theta}{360} pi r^2$, kus $lateks teeta$ on sektori nurga mõõt kraadides. Ükskõik kui kõrge N on, on sektori raadius alati 1: see on nõela pikkus. Kuid kui N muutub kõrgemaks, nurk kahaneb, mis vähendab sektori pindala. Seega saate lisaala muuta nii väikeseks, kui soovite, venitades N-i nii palju kui vaja.

Pidage meeles, et saime oma kolmnurkse piirkonna pindala vähendada, jagades selle kaheks ja muutes tükid kattuvad. Probleem oli selles, et see jagas 90-kraadise nurga kaheks eraldi tükiks, takistades nõela pööramist 90 kraadi võrra. Nüüd saame selle probleemi lahendada, kleepides sobiva N-kuju, et tagada nõela tee ühelt küljelt teisele.

Selles uuendatud piirkonnas saab nõel endiselt pöörata 90 kraadi nagu varem, praegu toimub see kahes etapis. Esiteks pöördub nõel 45 kraadi ja joondub vasakpoolse vertikaalse servaga. Järgmisena liigub see mööda N-kuju, et jõuda teisele poole. Kui see on olemas, võib vabalt keerata ülejäänud 45 kraadi.

See liigutab nõela 90 kraadi ja selle pöörlemise jätkamiseks lisate lihtsalt piirkonna pööratud koopiad.

Sobivate N-kujuliste kujundite lisamisega saab nõel hüpata ühelt kolmnurkselt poolsaarelt teisele, pöörates end vähehaaval, kuni jõuab lõpuni, täpselt nagu kolmepunktilist pööret sooritav auto.

Üksikasjades on rohkem kuratlikku matemaatikat, kuid need kaks ideed – et saaksime algse piirkonna pindala pidevalt vähendada, lõigates selle üles ja nihutades seda, tagades samal ajal, et suudame suvaliselt väikeste N-kujude abil tükkideks liikuda – aitavad meid. liigutage nõela üha kahanevas piirkonnas, mis võib lõpuks olla nii väike, kui soovite.

Tavalisem lähenemine sellise piirkonna ehitamiseks algab võrdkülgsete kolmnurkadega ja kasutab "Perroni puid", mis on nutikad viisid kolmnurkade viilutamiseks ja tükkide kokku venitamiseks ja libistamiseks. Tulemus on üsna vapustav.

Viimasel ajal on matemaatikud edusamme teinud selle vana probleemi uutel variantidel, mis on seatud suurematesse mõõtmetesse ja erineva suuruse mõistega. Tõenäoliselt ei näe me kunagi AI-toega autot, mis jälgiks Kakeya nõela otsaga pööret, kuid me oskame siiski hinnata selle peaaegu olematuse ilu ja lihtsust.

Harjutused

1. Kui suur on väikseima võrdkülgse kolmnurga pindala, mis töötab Kakeya nõelte komplektina?

2. Saate teha harjutuse 1 võrdkülgse kolmnurgaga võrreldes pisut paremini, kui kasutate "Reuleaux' kolmnurka" ehk piirkonda, mis koosneb kolmest kattuvast ringikujulisest sektorist. Kui suur on väikseima töötava Reuleaux’ kolmnurga pindala?