Punkte eraldavate vahemaade arvul on uus piir | Ajakiri Quanta

Jaotage kolm punkti tasapinnal, seejärel mõõtke nende iga paari vaheline kaugus. Suure tõenäosusega leiate kolm erinevat distantsi. Kui aga paigutada punktid võrdkülgsesse kolmnurka, on iga vahemaa ühesugune. Tasapinnas on seda nelja punktiga võimatu teha. Väikseim arv vahemaid, mida saate kavandada, on 2 — ruudu servad ja diagonaalid.

Kuid kui tõstate ühe punkti tasapinnast üles, et luua püramiid, mille kõik küljed on võrdkülgsed kolmnurgad, saate neljast punktist koosneva komplekti, mida eraldab üks kordumatu kaugus - püramiidi ühe külje pikkus. kolmnurk.

Kui teil on palju punkte, muutuvad need mustrid veelgi selgemaks. Tasapinna sada juhuslikult hajutatud punkti määravad tõenäoliselt 4,950 erinevat paarikaupa kaugust. Kui aga paigutate 100 punkti tasasele ruudukujulisele ruudustikule, eraldatakse mis tahes punktide paari üks 50 võimalikust kaugusest. Tõstke punktid kolmemõõtmelisse võrgustikku ja saate seda arvu veelgi vähendada.

Küsimustele vastamine punktide vahekauguste arvu kohta võib tunduda esoteerilise harjutusena. Kuid aastakümneid kestnud püüdlustes selliste probleemide lahendamiseks on matemaatikud välja töötanud tööriistu, millel on palju muid rakendusi, alates arvuteooriast kuni füüsikani.

"Kui inimesed püüdsid probleemi lahendada," ütles Pablo Shmerkin Briti Columbia ülikoolis "hakkasid nad avastama üllatavaid ja ootamatuid seoseid."

Viimane areng tuli eelmise aasta lõpus, kui nelja matemaatiku koostööna tõestas uut suhet punktihulkade geomeetria ja nendevaheliste kauguste vahel.

Punktide hulgaga määratud erinevate kauguste loendit nimetatakse selle kauguste hulgaks; loendage, mitu numbrit selles loendis on, ja saate kauguskomplekti suuruse. Aastal 1946 oletas viljakas matemaatik Paul Erdős, et suure arvu punktide korral ei saa seatud kaugus olla väiksem kui see, mis saadakse punktide võrgustikku paigutamisel. Probleem, kuigi pealtnäha lihtne, osutus äärmiselt sügavaks ja keeruliseks. Isegi kahes mõõtmes ei ole see ikka veel täielikult tõestatud, kuigi 2010. aastal tegid kaks matemaatikut sai nii lähedale et see loetakse nüüd tõhusalt lahendatuks; see jääb avatuks kõrgemates mõõtmetes.

Vahepeal koostasid matemaatikud oletuse uusi versioone. Üks tähtsamaid neist tekkis a 1985 paber by Kenneth Falconer, matemaatik St. Andrewsi ülikoolis Šotimaal. Falconer mõtles, mida saab öelda lõpmatu arvu punktide erinevate vahemaade kohta.

Kui teil on lõpmatult palju punkte, pole lihtsalt loendamine enam eriti kasulik. Kuid matemaatikutel on suuruse määratlemiseks muid viise. Falconeri oletus seab seose punktide kogumi geomeetria (mida iseloomustab arv, mida nimetatakse fraktaalmõõtmeks) ja kauguskomplekti suuruse vahel, mida iseloomustab number, mida nimetatakse mõõduks.

Fraktaalne mõõde ühtib tavalise mõõtmete intuitsiooniga. Nii nagu tuttava mõõtme mõiste puhul, on joonelõigu fraktaalmõõde 1, samas kui ruudu (selle sisemus on täidetud) fraktaalmõõde on 2. Kui aga punktide kogum moodustab keerulisema fraktaalmustri — nagu kõver, kus mikroskoopilised keerdkäigud ilmuvad pidevalt, olenemata sellest, kui kaugele sisse suumite – selle fraktaalmõõde ei pruugi olla täisarv. Näiteks allpool näidatud Kochi lumehelbe kõver, millel on lõputu rida järjest väiksemaid kolmnurkseid konarusi, on umbes 1.26.

Üldiselt on lõpmatul punktide kogumil fraktaalne mõõde, mis sõltub laias laastus sellest, kui hajutatud see on. Kui see jaotub ümber tasapinna, on selle fraktaalmõõde 2-le lähedane. Kui see näeb välja rohkem nagu joon, on selle fraktaalmõõde 1-le lähedane. Samasuguseid struktuure saab defineerida ka kolmemõõtmelise ruumi punktihulkade jaoks. või veelgi suuremates mõõtmetes.

Falconeri oletuse teisel poolel on seatud kauguse mõõt. Mõõt on omamoodi pikkuse mõiste matemaatiline üldistus. Ühel arvul, mida saab esitada arvujoone punktina, on nullmõõt. Kuid isegi lõpmatutel hulkadel võib olla nullmõõt. Näiteks on täisarvud reaalarvude vahel nii õhukeselt hajutatud, et neil ei ole kollektiivset "pikkust" ja seega moodustavad nad nullmõõtude komplekti. Teisest küljest on reaalarvudel, näiteks 3/4 ja 1 vahel, mõõt 1/4, sest nii pikk on intervall.

Mõõt võimaldab iseloomustada lõpmata paljude punktide erinevate vahemaade kogumi suurust. Kui vahemaade arv on "väike", tähendab see, et seatud kauguse mõõt on null: dubleeritud vahemaid on palju. Kui aga määratud kauguse mõõt on suurem kui null, tähendab see, et erinevaid vahemaid on palju.

Kahes mõõtmes tõestas Falconer, et mis tahes punktide komplektil, mille fraktaalmõõde on suurem kui 1.5, on kaugus määratud nullist erineva suurusega. Kuid matemaatikud hakkasid kiiresti uskuma, et see kehtib kõigi kogumite kohta, mille fraktaalmõõde on suurem kui 1. "Püüame seda 1/2 lünka lahendada," ütles Yumeng Ou Pennsylvania ülikoolist, uue artikli üks kaasautoritest. Lisaks laieneb Falconeri oletus kolmele või enamale dimensioonile: punktide jaoks, mis on hajutatud d-mõõtmeline ruum, ütleb see, et kui punktide fraktaalmõõde on suurem kui d/2, siis peab määratud kauguse mõõt olema suurem kui 0.

2018. aastal tegi Ou koos kolleegidega näitas, et oletus kehtib kahemõõtmelisena kõigi komplektide puhul, mille fraktaalmõõde on suurem kui 5/4. Nüüd Ou - koos Xiumin Du Northwesterni ülikoolist, Ruixiang Zhang California ülikoolist Berkeleys ja Kevin Ren Princetoni ülikoolist — on tõestanud, et suuremates mõõtmetes on nullist erineva mõõduga seatud kauguse tagamise lävi veidi väiksem kui d/2 + 1/4. "Kõrgemate mõõtmete piirid on selles dokumendis esimest korda paremad kui 2. mõõtmes," ütles Shmerkin. (Kahes mõõtmes on lävi täpselt d/2 + 1/4.)

See viimane tulemus on vaid üks laine viimastest edusammudest on Falconeri oletus. Tõestus rafineeris harmoonilise analüüsi tehnikaid – näiliselt kauge matemaatika valdkond, mis tegeleb meelevaldselt keeruliste funktsioonide esitamisega lihtsate lainetena – piiri tugevdamiseks. Kuid mõned neist tehnikatest töötati esmakordselt välja just selle sama probleemi lahendamiseks.

See küsimus punktidevaheliste kauguste kohta "on olnud harmoonilise analüüsi mõnede suurimate ideede mänguväljak", ütles Aleks Iosevitš Rochesteri ülikoolist.

Ehkki nad on kaotanud vaid poole lüngast, mille Falconer oma 1985. aasta töös jättis, näevad matemaatikud hiljutist tööd tõendina, et kõik oletused võivad lõpuks olla käeulatuses. Seni jätkavad nad probleemi kasutamist oma kõige keerukamate tööriistade katsepolügoonina.