Lihtne geomeetria, mis ennustab molekulaarmosaiike | Ajakiri Quanta

Ühel laupäeva pärastlõunal 2021. aasta sügisel Silvio Decurtins lehitses läbi paber pealkirjaga, mille oleks võinud tõmmata matemaatiliselt kalduvatele teismelistele mõeldud koomiksist: "Platoni kuubik ja killustumise loomulik geomeetria".

Talle ei jäänud silma mitte ebatavaline pealkiri, vaid pildid kolmandal leheküljel – geoloogilised mustrid igas skaalas lõhenenud igikeltsast kuni Maa tektooniliste plaatideni. Berni ülikooli keemikule Decurtinsile meenusid materjalid, mida ta oli uurinud. “Ah! Mul on ka mustrid!” ta mõtles. "See on lihtsalt mastaabi küsimus."

Decurtini mustreid ei moodustanud praod maapinnas, vaid molekulid: need olid mosaiigitaolised molekulide plaadid vaid ühe molekuli paksuste lehtedena. Nendel 2D-materjalidel võivad olla omapärased ja praktilised omadused, mis sõltuvad nende molekulaarsete ehitusplokkide paigutusest.

Näiteks on võimalik paigutada molekule 2D-mustriteks, mis kasutavad arvutusbittidena elektrone või salvestavad andmeid. Vahedega mustrid võivad toimida membraanidena. Ja metalliioone sisaldavad mustrid võivad olla võimsad katalüsaatorid.

Neid 2D-materjale on võimalik aatomi haaval ehitada, kuid see on kallis, keeruline ja aeganõudev. Nii paljud teadlased, sealhulgas Decurtins ja tema kolleegid, soovivad kujundada materjale, mis ise kokku panevad. Molekulide isekoosnemise ennustamine 2D-lehtedeks on materjaliteaduse üks suuremaid väljakutseid, ütles Johannes Barth, Müncheni Tehnikaülikooli füüsik.

Selle põhjuseks on asjaolu, et loodus pole oma molekulaarse disaini filosoofiaga eriti vastutulelik. Ennustuste koostamine on superarvutite töö ja vajalike raskekaaluliste programmide käivitamine võib võtta päevi või nädalaid.

Nii et Decurtins võttis ühendust Gábor Domokos, uuringu esimene autor, Budapesti Tehnika- ja Majandusülikooli matemaatik. Decurtins mõtles, kas sama geomeetria, mis kirjeldab planeetide murdumist, võib selgitada, kuidas molekulid kogunevad.

Järgmise aasta jooksul kasutasid Domokos ja tema kolleegid geomeetrilist mõtlemist, et lahti pakkida molekulaarse isekoostumise reeglid - uue tee väljamõtlemine piirata mosaiike, mida molekulid võivad moodustada, kasutades ainult tessellatsiooni lihtsat geomeetriat.

"Algul nad ei uskunud, et saate sellega hakkama," ütles Domokos. "Nad tegelesid tehisintellekti, superarvutite ja kogu sellise jazziga. Ja nüüd nad lihtsalt vaatavad valemeid. Ja see on väga lõõgastav. ”

Planeetidest aatomiteni

 Pärast seda, kui Decurtins ühendust võttis, üritas Domokos ideed kellelegi maha müüa Krisztina Regős, tema magistrant. Decurtins oli saatnud käputäie pilte, mis kujutasid mustreid aatomiskaalas – tema kolleegi kavandatud ja sünteesitud molekuli plaadid. Shi-Xia Liu - vaadates läbi võimsa mikroskoobi silma. Domokos tahtis näha, kas Regős saaks kasutada geomeetriat, mille ta algselt oli välja töötanud geoloogiliste murdude kirjeldamiseks, et iseloomustada Decurtinsi piltide mustreid.

Alustuseks käsitles Regős 2D-materjale kui lihtsaid hulknurkseid tessellatsioone – mustreid, mis sobivad kokku ilma lünkadeta ja korduvad lõputult. Seejärel arvutas ta Domokose lähenemisviisi järgi iga mustri jaoks kaks numbrit. Esimene oli keskmine tippude või nurkade arv hulknurga kohta. Teine oli iga tippu ümbritsevate hulknurkade keskmine arv.

Need kaks keskmist väärtust koos on nagu mustri GPS-koordinaadid. Need annavad selle asukoha kõigi võimalike tessellatsioonide maastikul.

Seda maastikku nimetatakse sümboolseks tasapinnaks. See on lihtne 2D ruudustik, millel on keskmine kujundite arv tipu kohta x-telg ja keskmine tippude arv kujundi kohta y-telg. Iga tessellatsioon peaks joonistama täpselt ühte punkti tasapinnas. Täiuslik kärgstruktuuri muster on näiteks kuueharuliste kuusnurkade tessellatsioon, mis kohtuvad igas tipus kolmikutena – sümboolse tasapinna punktides (3, 6).

Kuid enamik looduslikke mosaiike, kivipragudest molekulaarsete monokihtideni, ei ole täiesti perioodilised tessellatsioonid.

Näiteks päris vahast kärgstruktuuri rakud ei ole kõik täiuslikud kuusnurgad. Mesilased teevad vigu. Aga nii segane kui see ka pole, on kärg siiski keskmiselt kärg. Ja keskmiselt joonistub see ikkagi sümboolse tasapinna punktini (3, 6). Matemaatik ütles, et Domokose keskmiste arvutamise meetod on selle asemel, et tegemist oleks liigse lihtsustamisega. Marjorie Senechal Smith College'ist, kes vaatas läbi uue uuringu. Heites välja vead ja käsitledes mustreid keskmistena, paljastab see omamoodi ideaalse reaalsuse, mis on tavaliselt maetud hunnikute juhuste alla.

Kuid kui Regős püüdis seda meetodit Decurtinsi molekulaarsete piltide puhul rakendada, sattus ta kiiresti hätta. "Hakkasin neid sümboolsele tasandile panema," ütles ta, "ja siis mõistsin, et ma ei saa."

Probleem oli mastaabis. Erinevalt geoloogilistest mustritest, millega Domokos oli varem töötanud, on molekulaarmosaiigid tegelikult mustrite sees olevad mustrid. Erineva suurendusega vaadatuna on neil erinev geomeetria. Regős ei suutnud kirjeldada molekulaarseid mosaiike ühe väärtuspaariga, kuna mustrid joonistasid sümboolsele tasapinnale erinevad punktid, sõltuvalt pildi suurendusest. See sarnanes kuusnurkse plaadi sissesuumimisega ja leidmisega, et selle peamised ehitusplokid on tõesti kolmnurgad.

"Nii et Kriszti ütles: OK, see on jama," ütles Domokos.

Siis mõtles ta välja, kuidas mosaiike korrastada. Selle asemel, et sundida materjalide pesastatud mustreid üheks keskmiste paariks, jagas ta need kolmeks korraldustasandiks, millest igaüks tähistas oma punktiga sümboolsel tasandil.

Madalaimal tasemel ühinevad iga molekuli aatomid hulknurgaks. Seejärel ühenduvad need molekulid üksteisega vesiniksidemete kaudu, luues hulknurkade tessellatsiooni. Lõpuks kahanevad üksikud molekulid kõige väljasuumimal tasemel punktideks ja need punktid ühenduvad, moodustades mosaiigi.

Regősi uues raamistikus on iga tase kujutatud lihtsa punktide ja joonte võrguna – graafikuna.

Graafiteooria kasutamine molekulaarsete mustrite kirjeldamiseks on "väga võimas", ütles Carlos-Andres Palma, keemiafüüsik Hiina Teaduste Akadeemias ja Berliini Humboldti Ülikoolis. Traditsiooniliselt klassifitseerivad teadlased mustreid nende sümmeetria alusel. Kuid see ei peegelda tegelikkuse segadust - tõelised nanomaterjalid on harva täiesti perioodilised või sümmeetrilised, ütles Palma. Nii et molekulaarmustrite taandamine lihtsateks ja paindlikeks graafikuteks "võimaldab meil minu arvates palju paremini suhelda loodusmaailmaga," ütles ta.

Ennustavad mustrid

Regősil ja Domokosel oli nüüd võimalus kirjeldada Decurtinsi molekulaarseid mosaiike, mis on oluline samm molekulide isekoosnemise ennustamisel.

"Me oleme ennustamises tõesti üsna halvad," ütles Ulrich Aschauer, Salzburgi ülikooli arvutusfüüsik, kes tegeleb isemonteerimisega.

Traditsiooniliselt kasutavad teadlased erinevaid meetodeid, et ennustada, kuidas molekulid ise kokku koonduvad. Aschauer simuleerib, kuidas molekulid pinnal interakteeruvad. Seejärel teeb ta kindlaks mustrid, mille moodustamiseks on vaja kõige vähem energiat ja mis peaksid kõige tõenäolisemalt ilmnema. Teised teadlased vaatavad läbi tohutul hulgal juhuslikult genereeritud mustreid või koolitavad masinõppe algoritme, et ennustada isekoosnemist. Kõik need meetodid on arvutuslikult kulukad – Palma meenutas, kuidas üks kolleeg simuleeris kunagi aastaid veemolekule, et teha üksainus ennustus selle kohta, kuidas vesi ise koguneb. Masinõppe algoritmidel on ka pimeala; nad õpivad ainult seda, mida sa neile toidad, ütles Aschauer. Ja kõiki võimalikke mustreid on võimatu kontrollida, nii et teadlased peavad sageli ära arvama, milliseid neist tasub kõigepealt kaaluda.

"Meie algne oletus määrab lõpliku asja, mille me leiame," selgitas Aschauer. "Ja see on suur probleem, sest kui mul pole alustuseks õiget intuitsiooni, siis eksin."

Regőse ja Domokose geomeetria oli aga agnostiline. See käsitles molekule lihtsalt punktidena ja sidemeid joontena. See ei nõudnud alustamist.

Pärast Aschaueri ja Decurtinsiga Šveitsis isiklikult kohtumist pöördusid matemaatikud lõpuks segase äri poole, püüdes mustreid ennustada, mitte neid lihtsalt kirjeldada.

Gömböcs ja sillad

Praegusel kujul võib Regősi süsteem piirata mustri keskmist organiseerituse taset, kus molekulid on hulknurgad ja vesiniksidemed on jooned. Kuid ta ei suutnud suuremahulist mosaiiki ennustada molekulaarsest plaadist ülespoole. Ilma millegita, mis kõiki kolme tasandit matemaatiliselt siduks, oli tema mudel nagu puuduva pulgaga redel.

Domokos otsustas, et tasub end sisse registreerida Kostja Novoselov — Singapuri riikliku ülikooli füüsik, kes jagas Nobeli preemiat grafeeni sünteesimiseks, mis on võib-olla kõige kuulsam 2D ​​materjal üldse. Need kaks kohtusid kogemata selle aasta alguses, pärast seda, kui Novoselov tellis silmatorkavalt palju Gömböcs, uued geomeetrilised vormid, mille Domokos oli Budapesti poest avastanud.

Novoselovi panusega täiustasid Domokos ja Regős oma geomeetrilist mudelit. Kuni selle ajani kasutasid nad vaid kolme korraldustasandit: molekuli, keskmise ulatusega mustrit ja suuremahulist mustrit. Novoselov soovitas lisada neljanda tasandi – silla keskmise ja suure taseme vahel. Seda silda kirjeldav võrrand sidus väikseima ja keskmise tasandi geomeetria suurima tasemega, molekulaarse mosaiigiga.

Kui sild on paigas, saab meeskond nüüd molekulaarse plaadi üles võtta, et piirata selle potentsiaalseid suuremahulisi mustreid, kasutades lihtsat viie algebralise võrrandi ja ebavõrdsuse süsteemi, mis mahuksid ümbriku tagaküljele. Nendes matemaatilistes väidetes on muutujateks mustri koordinaadid sümboolsel tasandil, millele lisanduvad mõned molekuli struktuuri kirjeldavad terminid. Tervikuna seob süsteem iga organisatsiooni tasandi teistega ja mustri koordinaatidega sümboolsel tasandil.

Sümboolsel tasapinnal joonistatud molekuli võimalikud suuremahulised paigutused langevad kõvera väikesele lõigule, mis määratleb kõik võimalikud ruumi täitvad 2D molekulaarmustrid. Teadlased saavad nüüd selle lõigu piiramiseks kasutada lähtemolekuli.

Kuid nad ei olnud veel veendunud, et nende võimalike mustrite "lõik" oli piisavalt väike. Kui see oleks liiga lai, poleks see eriti kasulik piirang. Kui Liu joonistas sümboolsele tasapinnale 2D-veejää struktuure, leidis ta, et need langevad ideaalselt meetodi ennustatud ulatuse äärmuslikesse otstesse. Piire ei saanud parandada.

"See on siin looduse keel," ütles Domokos. "See oli minu jaoks suur üllatus."

Kasv ja vorm

Projekti lõpus, 2022. aasta mais, sõitsid ungarlased taas Šveitsi. Seekord üllatasid nende kolleegid neid mikroskoobi külastusega, mis oli toonud pildid, millega nad töötasid – ja siis Regős ja Domokos mõistsid lõpuks, mida nad olid teinud: sidudes matemaatiliselt suuremahulisi mosaiike molekulaarsete sidemetega. palju väiksemas plaanis olid nad tabanud midagi nähtamatust interaktsioonide sasipuntrast, mis lõpuks määrab, kuidas molekulaarsed mustrid kujunevad. Nende geomeetria suutis "näha" asju, mida masin ei näinud.

"See oli uskumatu," ütles Regős. "Läksime keldrisse ja nägime, et nad on meie teaduse piiril."

Mikroskoobi kasutamine ise kokkupandud mustrite mõistmiseks on Novoselovi sõnul sama, mis üritaks aru saada rohust, pildistades seda ülalt. Need pildid räägivad muru kohta palju, "aga kindlasti mitte kõike," ütles ta. Need näitavad vähe rohu juurte või selle kasvu kohta. Domokose ja Regősi raamistik ei näe juuri ideaalselt, kuid see pakub täiesti uut viisi nende visandamiseks, sidudes mustri molekulaarsed ehitusplokid võimaliku mosaiigiga.

"Nad jätkavad imelist vana traditsiooni uurida kasvu ja vormi vahelisi seoseid," ütles Senechal, "mis on tõesti kesksel kohal, et mõista kõike meid ümbritsevas maailmas."

Molekulaarne iseseisev kokkupanek algab sageli väikese materjalilaiguga, mis kasvab suuremaks mustriks. Uus matemaatiline raamistik eeldab aga lõpmatut mustrit, mitte lõplikku plaastrit. Töö kohandamine kirjeldamaks, kuidas piiratud laigud kasvavad suuremateks mustriteks, võib olla samm tõelise ennustamise suunas, ütles Palma. Aschauer ütles, et kavatseb kasutada geomeetriat juhina ummikutesse ja paljutõotavatesse, kuid uurimata nurkadesse võimalike mustrite maastikul. Ja sümboolse tasandi matemaatilise keele kasutamine masinõppe mudelite koolitamiseks võib olla põnev, lisas ta.

"Olen selle ilust väga huvitatud," ütles Novoselov. "Väga vähesega – lihtsalt fundamentaalse matemaatilise lähenemisega, mis on tõesti puhas geomeetria, vaid 2D graafikud – saate ennustada nii palju asju."

Matemaatika on lihtne, ütles Senechal. Kuid "lihtsuse nägemiseks," lisas ta, "on vaja palju keerukust."