Kolmandal sajandil eKr Archimedes tulenevad mõistatus veiste karjatamise kohta, mida tema sõnul suudab lahendada ainult tõeliselt tark inimene. Tema probleem taandus lõpuks võrrandile, mis hõlmab kahe ruudukujulise liikme erinevust, mida saab kirjutada järgmiselt x2 - dy2 = 1. Siin, d on täisarv – positiivne või negatiivne loendusarv – ja Archimedes otsis lahendusi, kus mõlemad x ja y on samuti täisarvud.
See võrrandite klass, mida nimetatakse Pelli võrranditeks, on matemaatikuid lummanud aastatuhandete jooksul.
Mõni sajand pärast Archimedest pakkusid India matemaatik Brahmagupta ja hiljem matemaatik Bhāskara II algoritme nende võrrandite täisarvuliste lahenduste leidmiseks. 1600. aastate keskel avastas prantsuse matemaatik Pierre de Fermat (kes polnud sellest tööst teadlik) uuesti, et mõnel juhul, isegi kui d määrati suhteliselt väike väärtus, väikseim võimalik täisarvuline lahendus x ja y võib olla massiivne. Kui ta saatis konkureerivatele matemaatikutele rea väljakutseülesandeid, hõlmasid need võrrandit x2 - 61y2 = 1, mille väikseimad lahendid on üheksa- või kümnekohalised. (Mis puutub Archimedesesse, siis tema mõistatus küsis põhiliselt võrrandile täisarvulisi lahendusi x2 - 4,729,494y2 = 1. "Kõige väiksema lahenduse printimiseks kulub 50 lehekülge," ütles Peter Koymans, matemaatik Michigani ülikoolist. "Mõnes mõttes on see Archimedese hiiglaslik troll."
Kuid Pelli võrrandite lahendused suudavad palju enamat. Oletagem näiteks, et soovite lähendada $latex sqrt{2}$, mis on irratsionaalne arv, täisarvude suhtena. Selgub, et Pelli võrrandi lahendamine x2 - 2y2 = 1 aitab teil seda teha: $latex sqrt{2}$ (või üldisemalt $latex sqrt{d}$) saab hästi lähendada, kui kirjutate lahenduse ümber murdosa kujul x/y.
Võib-olla veelgi intrigeerivam on see, et need lahendused räägivad teile ka teatud numbrisüsteemide kohta, mida matemaatikud kutsuvad rõngasteks. Sellises arvusüsteemis võivad matemaatikud liita $latex sqrt{2}$ täisarvudega. Sõrmustel on teatud omadused ja matemaatikud tahavad neid omadusi mõista. Selgub, et Pelli võrrand aitab neil seda teha.
Ja nii "paljud väga kuulsad matemaatikud - peaaegu iga matemaatik mingil ajaperioodil - uurisid seda võrrandit, kuna see on lihtne," ütles. Mark Shusterman, matemaatik Harvardi ülikoolist. Nende matemaatikute hulka kuulusid Fermat, Euler, Lagrange ja Dirichlet. (John Pell, mitte nii väga; võrrand nimetati ekslikult tema järgi.)
Nüüd Koymans ja Carlo Pagano, Montreali Concordia ülikooli matemaatik, on osutus aastakümneid vanaks oletuseks seotud Pelli võrrandiga, mis kvantifitseerib, kui sageli on võrrandi teatud vormil täisarvulised lahendid. Selleks importisid nad ideid teisest valdkonnast – rühmateooriast –, saades samal ajal parema arusaamise selle valdkonna võtmetähtsusega, kuid salapärasest uurimisobjektist. "Nad kasutasid tõeliselt sügavaid ja ilusaid ideid," ütles Andrew Granville, Montreali ülikooli matemaatik. "Nad said sellest tõesti aru."
Murtud aritmeetika
1990. aastate alguses Peter Stevenhagen, Madalmaade Leideni ülikooli matemaatik, inspireeris mõned seosed, mida ta nägi Pelli võrrandite ja rühmateooria vahel, et teha oletusi selle kohta, kui sageli on neil võrranditel täisarvulisi lahendusi. Kuid "Ma ei oodanud, et see niipea tõestatakse," ütles ta - või isegi oma eluajal. Saadaolevad tehnikad ei tundunud probleemi ründamiseks piisavalt tugevad.
Tema oletus sõltub rõngaste konkreetsest tunnusest. Arvude ringis, kus täisarvudele on lisatud näiteks $latex sqrt{-5}$ (matemaatikud töötavad sageli „kujuteldavate” arvudega, nagu $latex sqrt{-5}$), on kaks erinevat võimalust jagage arv selle algteguriteks. Näiteks arvu 6 saab kirjutada mitte ainult 2 × 3, vaid ka (1 + $lateks sqrt{-5}$) × (1 – $lateks sqrt{-5} $). Selle tulemusena laguneb selles ringis ainulaadne algfaktorisatsioon – aritmeetika keskne põhimõte, mis on tavaliste täisarvude puhul praktiliselt iseenesestmõistetav. Selle esinemise ulatus on kodeeritud selle ringiga seotud objektis, mida nimetatakse klassirühmaks.
Üks viis, kuidas matemaatikud püüavad saada sügavamat ülevaadet neid huvitavast arvusüsteemist (näiteks $latex sqrt{2}$, mis on ühendatud täisarvudega), on selle klassirühma arvutamine ja uurimine. Sellegipoolest on peaaegu liiga keeruline kindlaks määrata klassirühmade käitumise üldreegleid kõigis neis erinevates numbrisüsteemides.
1980. aastatel matemaatikud Henri Cohen ja Hendrik Lenstra esitama laia hulga oletusi selle kohta, millised need reeglid peaksid välja nägema. Need "Cohen-Lenstra heuristika" võivad teile palju öelda klassirühmade kohta, mis omakorda peaksid paljastama nende aluseks olevate numbrisüsteemide omadused.
Oli ainult üks probleem. Kuigi paljud arvutused näivad toetavat Cohen-Lenstra heuristikat, on need siiski oletused, mitte tõendid. "Mis puutub teoreemidesse, siis kuni viimase ajani ei teadnud me peaaegu midagi," ütles Alex Bartel, Glasgow ülikooli matemaatik.
Huvitaval kombel on klassirühma tüüpiline käitumine lahutamatult põimunud Pelli võrrandite käitumisega. Ühe probleemi mõistmine aitab mõista teist - niivõrd, et Stevenhageni oletus "on olnud ka Cohen-Lenstra heuristika edusammude proovikivi," ütles Pagano.
Uus töö hõlmab negatiivset Pelli võrrandit, kus x2 - dy2 on seatud väärtusele −1, mitte 1. Erinevalt algsest Pelli võrrandist, millel on mis tahes jaoks alati lõpmatu arv täisarvulisi lahendeid d, mitte kõik väärtused d negatiivses Pelli võrrandis saadakse võrrand, mida saab lahendada. Võtke x2 - 3y2 = −1: Pole tähtis, kui kaugele piki numbrijoont ka ei vaataks, ei leia te kunagi lahendust, kuigi x2 - 3y2 = 1-l on lõpmatult palju lahendeid.
Tegelikult on väärtusi palju d mille puhul negatiivset Pelli võrrandit ei saa lahendada: põhinedes teadaolevatel reeglitel selle kohta, kuidas teatud arvud on üksteisega seotud, d ei saa olla 3, 7, 11, 15 ja nii edasi kordne.
Kuid isegi siis, kui te väldite neid väärtusi d ja võtta arvesse ainult ülejäänud negatiivseid Pelli võrrandeid, pole ikka alati võimalik lahendusi leida. Selles väiksemas võimalike väärtuste komplektis d, milline proportsioon tegelikult töötab?
1993. aastal pakkus Stevenhagen välja valemi, mis andis sellele küsimusele täpse vastuse. Väärtustest jaoks d mis võiks toimida (st väärtused, mis ei ole 3, 7 jne kordsed), ennustas ta, et ligikaudu 58% tekitaks täisarvuliste lahendustega negatiivsed Pelli võrrandid.
Stevenhageni arvamise ajendiks oli eelkõige seos negatiivse Pelli võrrandi ja klassirühmade Cohen-Lenstra heuristika vahel – seos, mida Koymans ja Pagano kasutasid ära, kui 30 aastat hiljem tõestasid, et tal on õigus.
Parem kahur
2010. aastal olid Koymans ja Pagano veel bakalaureuseõppe üliõpilased – ei olnud veel tuttavad Stevenhageni oletustega –, kui ilmus artikkel, mis tegi probleemi lahendamisel aastate jooksul mõned esimesed edusammud.
Selles töös, mis oli avaldatakse Matemaatika aastaraamatud, matemaatikud Étienne Fouvry ja Jürgen Klüners näitas, et väärtuste osakaal d mis toimiks negatiivse Pelli võrrandi korral, jäi teatud vahemikku. Selleks said nad pidepunkti vastavate klassirühmade mõne elemendi käitumisest. Kuid Stevenhageni 58% täpsema hinnangu põhjal oleks neil vaja mõista palju rohkem elemente. Kahjuks jäid need elemendid uurimatuks: nende struktuuri mõtestamiseks oli endiselt vaja uudseid meetodeid. Edasine areng tundus võimatu.
Siis, aastal 2017, kui Koymans ja Pagano õppisid mõlemad Leideni ülikoolis magistrantuuris, ilmus paber mis muutis kõike. "Kui ma seda nägin, sain kohe aru, et see oli väga-väga muljetavaldav tulemus," ütles Koymans. "See oli nii, et nüüd on mul kahur, millega saan selle probleemi pihta tulistada ja loota, et saan edusamme." (Sel ajal olid Stevenhagen ja Lenstra ka Leideni professorid, mis aitas tekitada Koymansi ja Pagano huvi selle probleemi vastu.)
Selle artikli koostas Harvardi magistrant, Alexander Smith (kes on nüüd Stanfordi Clay stipendiaat). Koymans ja Pagano ei kiitnud teost läbimurdena üksi. "Ideed olid hämmastavad," ütles Granville. "Revolutsiooniline."
Smith oli püüdnud mõista elliptiliste kõverate võrrandite lahenduste omadusi. Seda tehes töötas ta välja Cohen-Lenstra heuristika konkreetse osa. See ei olnud mitte ainult esimene suur samm nende laiemate oletuste tsementeerimisel matemaatilise faktina, vaid see hõlmas just seda klassirühma, mida Koymans ja Pagano pidid oma töös Stevenhageni oletustega aru saama. (See tükk sisaldas elemente, mida Fouvry ja Klüners olid oma osatulemuses uurinud, kuid see läks ka neist palju kaugemale.)
Kuid Koymans ja Pagano ei saanud lihtsalt Smithi meetodeid kohe kasutada. (Kui see oleks olnud võimalik, oleks Smith ise ilmselt seda teinud.) Smithi tõestus käsitles klassirühmi, mis olid seotud õigete numbrirõngastega (need, milles $latex sqrt{d}$ liidetakse täisarvudega) – kuid ta võttis arvesse kõiki täisarvu väärtused d. Koymans ja Pagano seevastu mõtlesid ainult nende väärtuste väikesele alamhulgale. d. Selle tulemusena pidid nad hindama keskmist käitumist palju väiksema osa klassirühmade seas.
Need klassirühmad moodustasid sisuliselt 0% Smithi klassirühmadest – see tähendab, et Smith võis need tõendit kirjutades minema visata. Nad ei aidanud üldse kaasa keskmisele käitumisele, mida ta õppis.
Ja kui Koymans ja Pagano püüdsid rakendada tema tehnikaid just neile klassirühmadele, kellest nad hoolisid, läksid meetodid kohe katki. Paar peaks tegema olulisi muudatusi, et need tööle saada. Veelgi enam, need ei iseloomustanud mitte ainult ühte klassirühma, vaid pigem lahknevusi, mis võib esineda kahe erineva klassirühma vahel (see oleks nende Stevenhageni oletuse põhiosa tõendist) - mis nõuaks ka erinevaid tööriistu.
Nii hakkasid Koymans ja Pagano Smithi paberit hoolikamalt läbi kammima, lootes täpselt kindlaks teha, kus asjad hakkasid rööpast välja minema. See oli raske ja vaevarikas töö, mitte ainult seetõttu, et materjal oli nii keeruline, vaid ka seetõttu, et Smith viimistles sel ajal veel oma eeltrükki ning tegi vajalikke parandusi ja täpsustusi. (Ta postitas tema paberi uus versioon Internetis eelmisel kuul.)
Terve aasta õppisid Koymans ja Pagano koos, rida-realt, tõestust. Nad kohtusid iga päev, arutasid lõunasöögi ajal teatud osa, enne kui veetsid paar tundi tahvli taga, aidates üksteisel asjakohaseid ideid läbi töötada. Kui üks neist tegi edusamme ise, saatis ta teisele sõnumi, et teda värskendada. Shusterman meenutab, et nägi mõnikord neid töötamas pikkade öödeni. Hoolimata sellega kaasnevatest väljakutsetest (või võib-olla just seetõttu), oli seda väga lõbus koos teha, ütles Koymans.
Lõpuks tegid nad kindlaks, kus nad peaksid proovima uut lähenemist. Alguses suutsid nad teha vaid tagasihoidlikke parandusi. Koos matemaatikutega Stephanie Chan ja Djordjo Milovic, mõtlesid nad välja, kuidas klassirühmas mõne lisaelemendiga hakkama saada, mis võimaldas neil saada paremaid piire kui Fouvryl ja Klünersil. Kuid olulised osad klassirühma struktuurist jäid neist siiski kõrvale.
Üks suur probleem, millega nad pidid tegelema – miski, mille puhul Smithi meetod selles uues kontekstis enam ei toiminud – oli tagada, et nad analüüsiksid tõeliselt klassirühmade „keskmist” käitumist kui klasside väärtusi. d läks aina suuremaks ja suuremaks. Õige juhuslikkuse määra kindlakstegemiseks tõestasid Koymans ja Pagano keerulist reeglite kogumit, mida nimetatakse vastastikkuse seadusteks. Lõpuks võimaldas see neil saavutada kontrolli, mida neil vaja oli kahe klassirühma erinevuse üle.
See edasiminek koos teistega võimaldas neil lõpuks selle aasta alguses Stevenhageni oletuse tõendamise lõpule viia. "On hämmastav, et nad suutsid selle täielikult lahendada, " ütles Chan. "Varem olid meil kõik need probleemid."
See, mida nad tegid, "üllatas mind," ütles Smith. "Koymans ja Pagano on säilitanud mu vana keele ja kasutanud seda lihtsalt selleks, et suruda aina kaugemale suunas, millest ma vaevu enam aru saan."
Teravaim tööriist
Alates ajast, mil ta viis aastat tagasi seda tutvustas, peeti Smithi tõestust Cohen-Lenstra heuristika ühe osa kohta võimaluseks avada uksi paljudele teistele probleemidele, sealhulgas küsimustele elliptiliste kõverate ja muude huvipakkuvate struktuuride kohta. (Koymans ja Pagano loetlevad oma artiklis kümmekond oletust, mille puhul nad loodavad oma meetodeid kasutada. Paljudel pole midagi pistmist negatiivse Pelli võrrandi või isegi klassirühmadega.)
"Paljudel objektidel on struktuurid, mis ei erine seda tüüpi algebralistest rühmadest, " ütles Granville. Kuid paljud samad teetõkked, millega Koymans ja Pagano pidid silmitsi seisma, on olemas ka nendes muudes kontekstides. Negatiivse Pelli võrrandi uus töö on aidanud neid teetõkkeid lahti saada. "Alexander Smith on rääkinud meile, kuidas neid saagi ja vasaraid ehitada, kuid nüüd peame tegema need võimalikult teravaks ja võimalikult tugevaks ning võimalikult erinevateks olukordadeks kohandatavaks," ütles Bartel. "Üks asi, mida see paber teeb, on selles suunas palju liikumine."
Vahepeal on kogu see töö viimistlenud matemaatikute arusaamist ainult ühest klassirühmade aspektist. Ülejäänud Cohen-Lenstra oletused jäävad vähemalt hetkel kättesaamatuks. Kuid Koymansi ja Pagano artikkel "on märk sellest, et tehnikad, mis meil on Cohen-Lenstra probleemide ründamiseks, on arenemas," ütles Smith.
Lenstra ise oli sama optimistlik. See on "täiesti tähelepanuväärne", kirjutas ta e-kirjas. "See avab tõesti uue peatüki arvuteooria harus, mis on sama vana kui arvuteooria ise."
