Matemaatikud veeretavad täringuid ja hangivad kivipaberit-käärid

Nagu Bill Gates jutustab, esitas Warren Buffett talle kord täringumängu väljakutse. Igaüks valis ühe neljast Buffettile kuuluvast täringust ja seejärel viskaks suurema numbriga võidu. Need ei olnud tavalised täringud – neil oli erinev numbrivalik kui tavalisel 1 kuni 6. Buffett pakkus, et lasi Gatesil esimesena valida, et ta saaks valida tugevaima täringu. Kuid pärast seda, kui Gates täringuid uuris, esitas ta vastuettepaneku: Buffett peaks kõigepealt valima.

Gates oli aru saanud, et Buffetti täringutel oli kummaline omadus: ükski neist polnud kõige tugevam. Kui Gates oleks valinud esimesena, siis olenemata sellest, millise täringu ta valis, oleks Buffett suutnud leida teise täringu, mis oleks selle võitnud (st sellise, mille võidu tõenäosus on suurem kui 50%).

Buffetti neli täringut (helista neile A, B, C ja D) moodustas kivi-paberi-kääre meenutava mustri, milles A võidab B, B võidab C, C võidab D ja D võidab A. Matemaatikud ütlevad, et selline täringukomplekt on "intransitiivne".

"See pole üldse intuitiivne, et [intransitiivsed täringud] üldse olemas peaksid olema," ütles Brian Conrey, San Joses asuva Ameerika Matemaatika Instituudi (AIM) direktor, kes kirjutas sellel teemal 2013. aastal mõjuka artikli.

Matemaatikud tulid välja esimesed näited intransitiivsetest täringutest rohkem kui 50 aastat tagasi ja lõpuks tõestatud et kui mõelda täringutele, millel on üha rohkem külgi, on võimalik luua mis tahes pikkusega intransitiivseid tsükleid. Mida matemaatikud kuni viimase ajani ei teadnud, oli see, kui levinud on intransitiivsed täringud. Kas peate selliseid näiteid hoolikalt välja mõtlema või saate täringuid juhuslikult valida ja leida intransitiivse komplekti?

Vaadates kolme täringut, kui sa seda tead A võidab B ja B võidab C, see näib olevat tõend selle kohta A on tugevaim; olukorrad, kus C võidab A peaks olema haruldane. Ja tõepoolest, kui täringutel olevatel numbritel lastakse kokku liita erinevad summad, usuvad matemaatikud, et see intuitsioon peab paika.

Kuid a Internetis postitatud paber eelmise aasta lõpp näitab, et teises loomulikus keskkonnas ebaõnnestub see intuitsioon suurejooneliselt. Oletame, et nõuate, et teie täringud kasutaksid ainult neid numbreid, mis on tavalisel täringul ja mille kogusumma on sama kui tavalisel täringul. Siis paber näitas, kui A võidab B ja B võidab C, A ja C neil on põhimõtteliselt võrdsed võimalused üksteise üle võita.

"Seda teades A võidab B ja B võidab C lihtsalt ei anna teile teavet selle kohta, kas A võidab C, "Ütles Timothy Gowers Cambridge'i ülikoolist, Fieldsi medalist ja uuest tulemusest, mida tõestas Polymath-projektina tuntud avatud veebipõhine koostöö, üks panustajaid.

Vahepeal veel üks viimastel paber analüüsib neljast või enamast täringust koosnevaid komplekte. See leid on vaieldamatult veelgi paradoksaalsem: kui valite näiteks juhuslikult neli täringut ja leiate, et A võidab B, B võidab C ja C võidab D, siis on see veidi rohkem tõenäoliselt jaoks D lööma A kui vastupidine.

Ei Tugev ega nõrk

Hiljutine tulemuste lööve sai alguse kümmekond aastat tagasi pärast seda, kui Conrey osales matemaatikaõpetajate kogunemisel, mille käigus käsitleti intransitiivseid täringuid. "Mul polnud aimugi, et sellised asjad võiksid eksisteerida," ütles ta. "Ma olin neist omamoodi lummatud."

Ta otsustas (hiljem ühines tema kolleegiga Kent Morrison AIM-is), et uurida seda teemat koos kolme keskkooliõpilasega, keda ta juhendas – James Gabbard, Katie Grant ja Andrew Liu. Kui tihti mõtles rühm, kas juhuslikult valitud täringud moodustavad intransitiivse tsükli?

Intransitiivsed täringukomplektid arvatakse olevat haruldased, kui täringu näonumbrid annavad kokku erinevad summad, kuna suurima kogusummaga täringud võidavad tõenäoliselt teisi. Seega otsustas meeskond keskenduda täringutele, millel on kaks omadust: esiteks kasutavad täringud samu numbreid, mis tavalisel täringul – 1 kuni n, juhul an n-poolne stants. Ja teiseks, näonumbrite summa on sama, mis tavalisel matriitsil. Kuid erinevalt tavalistest täringutest võib iga täring mõnda numbrit korrata ja teised välja jätta.

Kuuepoolse täringu puhul on ainult 32 erinevat täringut, millel on need kaks omadust. Nii sai meeskond arvuti abil tuvastada kõik kolmikud, milles A võidab B ja B võidab C. Teadlased leidsid oma hämmastuseks, et A võidab C aastal 1,756 kolmekordset ja C võidab A aastal 1,731 kolmekordset - peaaegu identsed arvud. Selle arvutuse ja enam kui kuue küljega täringu simulatsioonide põhjal oletas meeskond et täringu külgede arvu lähenedes lõpmatusele suureneb tõenäosus, et A võidab C läheneb 50%-le.

Juurdepääsetavuse ja nüansside segune oletus andis Conreyle heaks söödaks Polymathi projekti, kus paljud matemaatikud tulevad veebis kokku, et ideid jagada. 2017. aasta keskel pakkus ta selle idee välja Gowersile, Polymathi lähenemisviisi algatajale. "Mulle meeldis küsimus väga selle üllatusliku väärtuse tõttu," ütles Gowers. Ta kirjutas a blogi postitus arvukalt kommentaare kogunud oletuse kohta ja kuue lisapostituse jooksul õnnestus kommenteerijatel seda tõestada.

Nende paberil postitatud võrgus 2022. aasta novembri lõpus hõlmab tõestuse põhiosa näitamist, et enamasti pole mõtet rääkida sellest, kas üks stants on tugev või nõrk. Buffetti täringud, millest ükski pole paki tugevaim, pole sugugi ebatavalised: kui valite täringu juhuslikult, nagu näitas Polymathi projekt, võidab see tõenäoliselt umbes poole teistest täringutest ja kaotab teisele poolele. "Peaaegu iga suremine on üsna keskmine," ütles Gowers.

Projekt erines AIM-i meeskonna algsest mudelist ühes osas: mõningate tehniliste üksikasjade lihtsustamiseks deklareeris projekt, et stantsil olevate numbrite järjekord on oluline - nii et näiteks 122556 ja 152562 loetakse kaheks erinevaks täringuks. Kuid Polymathi tulemus koos AIM-i meeskonna eksperimentaalsete tõenditega loob tugeva eelduse, et oletus vastab tõele ka algses mudelis, ütles Gowers.

"Mul oli väga hea meel, et nad selle tõendiga välja tulid," ütles Conrey.

Neljast või enamast täringust koosnevate kogude puhul oli AIM-i meeskond ennustanud kolme täringu omaga sarnast käitumist: Näiteks kui A võidab B, B võidab C ja C võidab D siis peaks olema umbes 50-50 tõenäosus, et D võidab A, lähenedes täpselt 50-50-le, kuna täringu külgede arv läheneb lõpmatusele.

Oletuse kontrollimiseks simuleerisid teadlased neljast täringust koosnevaid turniire 50, 100, 150 ja 200 küljega. Simulatsioonid ei järginud nende ennustusi nii täpselt kui kolme täringu puhul, kuid olid siiski piisavalt lähedal, et tugevdada nende usku oletusse. Kuid kuigi teadlased sellest aru ei saanud, kandsid need väikesed lahknevused teistsugust sõnumit: neljast või enamast täringust koosnevate komplektide puhul on nende oletus vale.

"Me tõesti tahtsime, et [oletus] oleks tõsi, sest see oleks lahe," ütles Conrey.

Nelja täringu korral Elisabetta Cornacchia Šveitsi Föderaalse Tehnoloogiainstituudi Lausanne'i ja Jan Hązła Aafrika Matemaatikateaduste Instituut Kigalis, Rwandas, näitas a paber 2020. aasta lõpus veebis postitatud, et kui A võidab B, B võidab C ja C võidab D, Siis D peksmise tõenäosus on veidi suurem kui 50%. A — ilmselt kuskil 52%, ütles Hązła. (Nagu ka Polymathi paberi puhul, kasutasid Cornacchia ja Hązła veidi erinevat mudelit kui AIM-i paberil.)

Cornacchia ja Hązła avastus tuleneb tõsiasjast, et kuigi reeglina ei ole üks täring ei tugev ega nõrk, võib täringupaaril mõnikord olla ühiseid tugevusalasid. Kui valite juhuslikult kaks täringut, näitasid Cornacchia ja Hązła, on tõenäoline, et täringud on korrelatsioonis: nad kipuvad lööma või kaotama samale täringule. "Kui ma palun teil luua kaks täringut, mis on üksteise lähedal, selgub, et see on võimalik," ütles Hązła. Need väikesed korrelatsioonitaskud viivad turniiritulemused sümmeetriast eemale niipea, kui pildil on vähemalt neli täringut.

Hiljutised paberid ei ole loo lõpp. Cornacchia ja Hązła artikkel hakkab alles täpselt paljastama, kuidas täringu vahelised korrelatsioonid rikuvad turniiride sümmeetriat. Seni aga teame nüüd, et seal on palju intransitiivseid täringuid – võib-olla isegi selline, mis on piisavalt peen, et meelitada Bill Gatesi esmalt valima.