Michel Talagrand võitis Abeli ​​auhinna töö eest tülitsemise juhuslikkuse eest | Ajakiri Quanta

Juhuslikud protsessid toimuvad kõikjal meie ümber. Ühel päeval sajab, teisel päeval mitte; aktsiad ja võlakirjad suurendavad ja kaotavad väärtust; liiklusummikud ühinevad ja kaovad. Kuna neid juhivad arvukad tegurid, mis üksteisega keerulisel viisil suhtlevad, on selliste süsteemide täpset käitumist võimatu ennustada. Selle asemel mõtleme nendele tõenäosustele, iseloomustades tulemusi tõenäoliste või harvaesinevatena.

Tänapäeval prantsuse tõenäosusteoreetik Michel Talagrand pälvis Abeli ​​auhinna, mis on üks kõrgemaid autasusid matemaatikas, selliste protsesside sügava ja keeruka mõistmise arendamise eest. Norra kuninga poolt välja pandud auhind on loodud Nobeli eeskujul ja sellega kaasneb 7.5 miljonit Norra krooni (umbes 700,000 XNUMX dollarit). Kui talle öeldi, et ta võitis, läks mu mõistus tühjaks, ütles Talagrand. “See matemaatika, millega ma tegelen, ei olnud üldse moes, kui ma alustasin. Seda peeti alaväärseks matemaatikaks. See, et mulle see auhind anti, on absoluutne tõend, et see nii ei ole.

Teised matemaatikud nõustuvad. Talagrandi töö "muutis seda, kuidas ma maailma näen", ütles Assaf Naor Princetoni ülikoolist. Täna, lisatud Helge Holden, Abeli ​​auhinna komisjoni esimehe, "on muutumas väga populaarseks kirjeldada ja modelleerida reaalseid sündmusi juhuslike protsesside abil. Kohe tuleb ette Talagrandi tööriistakast.»

Talagrand suhtub oma elusse kui ebatõenäoliste sündmuste ahelasse. Ta läbis napilt Lyoni põhikooli: kuigi ta tundis huvi teaduse vastu, ei meeldinud talle õppida. Kui ta oli 5-aastane, kaotas ta pärast võrkkesta eraldumist paremast silmast nägemise; 15-aastaselt tekkis tal kolm võrkkesta irdumist teisest silmast, mistõttu ta pidi kuu aega haiglas veetma, silmad kinni sidestatud, kartes, et ta jääb pimedaks. Tema isa, matemaatikaprofessor, külastas teda iga päev, hoides meelt matemaatikat õpetades. "Nii õppisin ma abstraktsiooni jõudu," Talagrand kirjutas 2019is pärast Shaw auhinna võitmist, veel üks suur matemaatikaauhind, millega kaasneb 1.2 miljoni dollari suurune pearaha. (Talagrand kasutab osa sellest rahast koos oma Abeli ​​võitudega, et asutada oma auhind, "tunnustades noorte teadlaste saavutusi valdkondades, millele olen oma elu pühendanud.")

Ta jättis paranemise ajal pool aastat koolist puudu, kuid ta sai innustust hakata keskenduma õpingutele. Ta oli hiilgav matemaatikas ja pärast kolledži lõpetamist 1974. aastal võeti ta tööle Prantsusmaa riiklikusse teadusuuringute keskusesse, mis on Euroopa suurim uurimisinstituut, kus ta töötas kuni pensionile jäämiseni 2017. Selle aja jooksul omandas ta doktorikraadi; armus oma tulevasesse naisesse, statistikusse, esimesest silmapilgust (ta tegi naisele abieluettepaneku kolm päeva pärast temaga kohtumist); ja arendas järk-järgult huvi tõenäosuse vastu, avaldades sellel teemal sadu artikleid.

See ei olnud ette määratud. Talagrand alustas oma karjääri kõrgmõõtmeliste geomeetriliste ruumide uurimisega. "Ma ei olnud kümme aastat avastanud, milles ma hea olen," ütles ta. Kuid ta ei kahetse seda ümbersõitu. See viis ta lõpuks tõenäosusteooria juurde, kus "mul oli teine ​​​​vaade … see andis mulle võimaluse vaadata asju teistmoodi," ütles ta. See võimaldas tal uurida juhuslikke protsesse läbi kõrgmõõtmelise geomeetria objektiivi.

"Ta toob oma geomeetrilise intuitsiooni, et lahendada puhtalt tõenäosuslikke küsimusi," ütles Naor.

Juhuslik protsess on sündmuste kogum, mille tulemused varieeruvad olenevalt juhusest modelleeritaval viisil – näiteks müntide viskamise jada või aatomite trajektoorid gaasis või päevane sademete kogusumma. Matemaatikud tahavad mõista seost individuaalsete tulemuste ja kogukäitumise vahel. Mitu korda peate münti viskama, et aru saada, kas see on õiglane? Kas jõgi ajab üle kallaste?

Talagrand keskendus protsessidele, mille tulemused jaotuvad kellukesekujulise kõvera järgi, mida nimetatakse Gaussi kõveraks. Sellised jaotused on looduses tavalised ja neil on mitmeid soovitavaid matemaatilisi omadusi. Ta tahtis teada, mida saab selliste olukordade äärmuslike tulemuste kohta kindlalt öelda. Seega tõestas ta ebavõrdsuse kogumit, mis seadis võimalikele tulemustele ranged ülemised ja alumised piirid. "Hea ebavõrdsuse saavutamine on kunstiteos," ütles Holden. See kunst on kasulik: Talagrandi meetodid võivad anda optimaalse hinnangu näiteks kõrgeima taseme kohta, milleni jõgi võib järgmise 10 aasta jooksul tõusta, või tugevaima võimaliku maavärina tugevuse.

Kui tegemist on keerukate ja suuremõõtmeliste andmetega, võib selliste maksimumväärtuste leidmine olla keeruline.

Oletame, et soovite hinnata jõe üleujutuse ohtu – see sõltub sellistest teguritest nagu sademed, tuul ja temperatuur. Jõe kõrgust saab modelleerida juhusliku protsessina. Talagrand töötas 15 aastat, et arendada tehnikat, mida nimetatakse üldiseks aheldamiseks, mis võimaldas tal luua sellise juhusliku protsessiga seotud suuremõõtmelise geomeetrilise ruumi. Tema meetod "annab teile võimaluse geomeetriast maksimumi välja lugeda," ütles Naor.

Tehnika on väga üldine ja seetõttu laialdaselt kasutatav. Oletame, et soovite analüüsida tohutut suuremõõtmelist andmekogumit, mis sõltub tuhandetest parameetritest. Sisulise järelduse tegemiseks soovite säilitada andmekogumi kõige olulisemad omadused, iseloomustades seda vaid mõne parameetriga. (Näiteks on see üks viis erinevate valkude keeruliste struktuuride analüüsimiseks ja võrdlemiseks.) Paljud nüüdisaegsed meetodid saavutavad selle lihtsuse, rakendades juhuslikku operatsiooni, mis kaardistab kõrgemõõtmelised andmed madalama mõõtmega ruumi. . Matemaatikud saavad kasutada Talagrandi üldist aheldamismeetodit, et määrata selle protsessiga kaasnevate maksimaalsete vigade hulk, võimaldades neil kindlaks teha tõenäosuse, et mõnda olulist funktsiooni lihtsustatud andmekogumis ei säilitata.

Talagrandi töö ei piirdunud ainult juhusliku protsessi parimate ja halvimate võimalike tulemuste analüüsimisega. Samuti uuris ta, mis juhtub keskmisel juhul.

Paljudes protsessides võivad juhuslikud üksiksündmused kokkuvõttes viia väga deterministlike tulemusteni. Kui mõõtmised on sõltumatud, muutuvad kogusummad väga ennustatavaks, isegi kui iga üksikut sündmust on võimatu ennustada. Näiteks visake aus münt. Midagi ette ei saa öelda, mis saab. Pöörake seda 10 korda ja umbes 66% ajast saate neli, viis või kuus pead – ligikaudu viie pea eeldatava väärtuse lähedal. Kuid keerake münti 1,000 korda ja saate 450% ajast 550–99.7 pead, mis on veelgi kontsentreeritumalt eeldatava väärtuse 500 ümber. "See on keskmise ümber erakordselt terav," ütles Holden.

"Kuigi milleski on nii palju juhuslikkust, tühistab see juhuslikkus end," ütles Naor. "See, mis alguses tundus kohutava segadusena, on tegelikult korraldatud."

See nähtus, mida nimetatakse mõõtekontsentratsiooniks, esineb ka palju keerulisemates juhuslikes protsessides. Talagrand tuli välja ebavõrdsuste kogumiga, mis võimaldab seda kontsentratsiooni kvantifitseerida, ja tõestas, et see tekib paljudes erinevates kontekstides. Tema tehnikad tähistasid kõrvalekaldumist piirkonna varasemast tööst. Ta kirjutas oma 2019. aasta essees esimest sellist ebavõrdsust, mis oli "maagiline kogemus". Ta oli "pideva elevuse seisundis".

Ta on eriti uhke ühe oma hilisema kontsentratsiooni ebavõrdsuse üle. "Ei ole lihtne saada tulemust, mis püüab mõelda universumile ja millel on samal ajal üheleheküljeline tõend, mida on lihtne seletada," ütles ta. (Ta meenutab heameelega, et kasutas kunagi taksoteenust, mille omanik tundis ära tema nime, olles ärikoolis tõenäosusklassis õppinud ebavõrdsust. "See oli erakordne," ütles ta.)

Nagu tema üldine aheldamismeetod, ilmnevad Talagrandi kontsentratsiooni ebavõrdsused kõikjal matemaatikas. "See on hämmastav, kui kaugele see läheb," ütles Naor. "Talagrandi ebavõrdsus on kruvid, mis hoiavad asju koos."

Mõelge optimeerimisprobleemile, kus peate sorteerima erineva suurusega üksused prügikastidesse – ressursside jaotamise mudeliks. Kui teil on palju esemeid, on väga raske välja mõelda väikseimat prügikastide arvu, mida vajate. Kuid Talagrandi ebavõrdsused võivad teile öelda, kui palju prügikasti te tõenäoliselt vajate, kui esemete suurused on juhuslikud.

Sarnaseid meetodeid on kasutatud kontsentratsiooninähtuste tõestamiseks kombinatoorikas, füüsikas, informaatikas, statistikas ja muudes seadetes.

Hiljuti rakendas Talagrand oma arusaama juhuslikest protsessidest, et tõestada olulist oletust spin-klaaside, juhuslike, sageli vastuoluliste interaktsioonide tekitatud korrastamata magnetmaterjalide kohta. Talagrand oli pettunud, et kuigi spin-prillid on matemaatiliselt hästi määratletud, mõistsid füüsikud neid paremini kui matemaatikud. "See oli okas meie jalas," ütles ta. Ta tõestas tulemust - keerlevate klaaside niinimetatud vaba energia kohta -, mis andis aluse matemaatilisemale teooriale.

Kogu tema karjääri jooksul on Talagrandi uurimistööd iseloomustanud "see võime lihtsalt tagasi astuda ja leida üldpõhimõtted, mis on kõikjal korduvkasutatavad," ütles Naor. „Ta külastab ja vaatab uuesti ning mõtleb millegi üle kõikvõimalikest vaatenurkadest. Ja lõpuks avaldab ta arusaama, millest saab tööhobune, mida kõik kasutavad.

"Mulle meeldib väga hästi aru saada lihtsatest asjadest, sest mu aju on väga aeglane," ütles Talagrand. "Nii et ma mõtlen neile väga-väga kaua." Ta ütles, et teda juhib soov "mõista midagi sügavalt, puhtal viisil, mis muudab teooria palju lihtsamaks. Siis saab järgmine põlvkond sealt alustada ja teha edusamme oma tingimustel.

Viimase kümnendi jooksul on ta selle saavutanud õpikuid kirjutades – mitte ainult juhuslike protsesside ja keerutavate prillide kohta, vaid ka valdkonna kohta, millega ta üldse ei tööta, kvantväljateooria kohta. Ta oli tahtnud selle kohta õppida, kuid mõistis, et kõik õpikud, mida ta leidis, olid kirjutatud füüsikutele, mitte matemaatikutele. Nii et ta kirjutas ühe ise. "Kui te ei saa enam asju leiutada, saate neid selgitada," ütles ta.