Varjatud ühendus, mis muutis arvuteooriat | Ajakiri Quanta

Algarvusid on kolme tüüpi. Esimene on üksildane kõrvalekalle: 2, ainus paaris algväärtus. Pärast seda jätavad pooled algarvudest jäägi 1, kui jagatakse 4-ga. Teine pool jätab jäägi 3. (esimeses laagris langevad 5 ja 13, teises 7 ja 11.) Jäägil pole ilmset põhjust -1 algarvu ja jääk-3 algarvu peaksid käituma põhimõtteliselt erinevalt. Aga nad teevad.

Üks peamisi erinevusi tuleneb omadusest, mida nimetatakse ruutkeskseks vastastikkuseks, mida esmakordselt tõestas Carl Gauss, 19. sajandi vaieldamatult mõjukaim matemaatik. "See on üsna lihtne väide, millel on rakendusi kõikjal, igasuguses matemaatikas, mitte ainult arvuteoorias," ütles ta. James Rickards, matemaatik Colorado ülikoolist Boulderis. "Kuid see pole ka piisavalt ilmne, et olla tõeliselt huvitav."

Arvuteooria on matemaatika haru, mis tegeleb täisarvudega (erinevalt näiteks kujunditest või pidevatest suurustest). Algarvud – need, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga – on selle keskmes, samamoodi nagu DNA on bioloogia tuum. Ruutarvuline vastastikkus on muutnud matemaatikute arusaama sellest, kui palju on võimalik nende kohta tõestada. Kui mõelda algarvudele kui mäeahelikule, on vastastikkus nagu kitsas tee, mis laseb matemaatikutel ronida varem kättesaamatutele tippudele ja näha nendest tippudest tõdesid, mis olid varjatud.

Kuigi see on vana teoreem, on sellel jätkuvalt uusi rakendusi. Sel suvel Rickards ja tema kolleeg Katherine Stange, koos kahe õpilasega, lükkas ümber laialt levinud oletuse selle kohta, kuidas väikeseid ringe saab suurema sisse pakkida. Tulemus šokeeris matemaatikuid. Peeter Sarnak, numbriteoreetik Instituudis Advanced Study ja Princetoni ülikoolist, rääkis Stange'iga konverentsil varsti pärast tema meeskonda. postitanud nende paber. "Ta ütles mulle, et tal on vastunäide," meenutas Sarnak. "Küsisin temalt kohe: "Kas sa kasutad kuskil vastastikkust?" Ja seda ta tõepoolest kasutas.'”

Mustrid algarvude paarides

Vastastikkuse mõistmiseks peate kõigepealt mõistma moodularitmeetikat. Modulaarsed toimingud põhinevad jääkide arvutamisel, kui jagate arvuga, mida nimetatakse mooduliks. Näiteks 9 moodul 7 on 2, sest kui jagad 9 7-ga, jääb üle jääk 2. Mooduli 7 arvusüsteemis on 7 arvu: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Saate neid arve liita, lahutada, korrutada ja jagada.

Nii nagu täisarvude puhul, võivad nendel arvusüsteemidel olla täiuslikud ruudud – arvud, mis on teise arvu korrutis iseendaga. Näiteks 0, 1, 2 ja 4 on täiuslikud ruudud moodul 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 ja 3 × 3 = 2 mod 7). Iga tavaline ruut on võrdne kas 0, 1, 2 või 4 mooduliga 7. (Näiteks 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Kuna modulaarsed arvusüsteemid on lõplikud, on täiuslikumad ruudud tavalisemad.

Ruutarvuline vastastikkus tuleneb suhteliselt sirgjoonelisest küsimusest. Antud kaks algarvu p ja q, kui sa seda tead p on täiuslik ruudukujuline moodul q, kas saate öelda, kas või mitte q on täiuslik ruudukujuline moodul p?

Selgub, et nii kaua kui kumbki p or q jätab 1-ga jagamisel jäägi 4, kui p on täiuslik ruudukujuline moodul q, Siis q on ka ideaalne kandiline moodul p. Väidetavalt on kaks algarvu vastastikku.

Teisest küljest, kui mõlemad jätavad jäägiks 3 (näiteks 7 ja 11), siis nad ei vasta: kui p on ruudukujuline moodul q, see tähendab seda q ei ole ruudukujuline moodul p. Selles näites on 11 ruutmoodul 7, kuna 11 = 4 mod 7 ja me juba teame, et 4 on üks täiuslikest ruutudest moodul 7. Sellest järeldub, et 7 ei ole ruutmoodul 11. Kui võtta tavaliste moodulite loend ruudud (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) ja vaadake nende jääke modulo 11, siis 7 ei ilmu kunagi.

See, kui kasutada tehnilist terminit, on tõesti imelik!

Üldistamise jõud

Nagu paljud matemaatilised ideed, on ka vastastikkus olnud mõjukas, kuna seda saab üldistada.

Varsti pärast seda, kui Gauss avaldas 1801. aastal esimese tõendi ruutvastastikkuse kohta, püüdsid matemaatikud laiendada ideed ruutudest kaugemale. „Miks mitte kolmas või neljas jõud? Nad kujutasid ette, et võib-olla on olemas kuupmeetri vastastikkuse seadus või kvartsiline vastastikkuse seadus, ”ütles Keith Conrad, Connecticuti ülikooli numbriteoreetik.

Kuid nad jäid kinni, ütles Conrad, "sest pole lihtsat mustrit." See muutus, kui Gauss tõi vastastikkuse kompleksarvude valdkonda, mis liidab miinus 1 ruutjuure, mida esindab i, tavalistele numbritele. Ta tutvustas ideed, et arvuteoreetikud saavad analüüsida mitte ainult tavalisi täisarve, vaid ka teisi täisarvutaolisi matemaatilisi süsteeme, nagu nn Gaussi täisarvud, mis on kompleksarvud, mille reaal- ja kujuteldavad osad on mõlemad täisarvud.

Gaussi täisarvude puhul muutus kogu arusaam sellest, mida loetakse algarvuks. Näiteks 5 ei ole enam algväärtus, sest 5 = (2 + i) × (2 − i). "Sa pead uuesti alustama nagu oleksite algkoolis," ütles Conrad. 1832. aastal tõestas Gauss tema nime kandvate komplekssete täisarvude kvartsilist vastastikkuse seadust.

Järsku õppisid matemaatikud nendes uutes arvusüsteemides kasutama selliseid tööriistu nagu modulaarne aritmeetika ja faktoriseerimine. Conradi sõnul oli inspiratsiooniks ruutvastasus.

Nüüd hakkasid ilmnema mustrid, mis olid ilma kompleksarvudeta tabamatud. 1840. aastate keskpaigaks olid Gotthold Eisenstein ja Carl Jacobi tõestanud esimesed kuupmeetri vastastikkuse seadused.

Seejärel, 1920. aastatel, avastas Emil Artin, üks kaasaegse algebra rajajaid, selle, mida Conrad nimetab "ülima vastastikkuse seaduseks". Kõiki teisi vastastikkuse seadusi võiks vaadelda kui Artini vastastikkuse seaduse erijuhtumeid.

Sajand hiljem töötavad matemaatikud ikka veel välja uusi tõestusi Gaussi esimese ruutkeskmise vastastikkuse seaduse kohta ja üldistavad seda uudsetesse matemaatilistesse kontekstidesse. Paljude erinevate tõendite olemasolu võib olla kasulik. "Kui soovite laiendada tulemust uuele seadistusele, võib üks argumentidest kergesti üle kanda, teised aga mitte," ütles Conrad.

Miks on vastastikkus nii kasulik?

Kvadraatilist vastastikkust kasutatakse nii erinevates uurimisvaldkondades nagu graafiteooria, algebraline topoloogia ja krüptograafia. Viimases töötas 1982. aastal välja mõjukas avaliku võtme krüpteerimisalgoritm Shafi Goldwasser ja Silvio micali sõltub kahe suure algarvu korrutamisest p ja q kokku ja väljastada tulemus, N, koos numbriga, x, mis ei ole ruutmoodul N. Algoritm kasutab N ja x digitaalsete sõnumite krüpteerimiseks suuremate numbrite stringideks. Ainus viis selle stringi dekrüpteerimiseks on otsustada, kas iga arv krüptitud stringis on ruudukujuline moodul või mitte N — peaaegu võimatu ilma algarvude väärtusi teadmata p ja q.

Ja muidugi, ruutvastasus ilmneb arvuteoorias korduvalt. Näiteks saab seda kasutada tõestamaks, et iga algarvu, mis on võrdne 1 mooduliga 4, saab kirjutada kahe ruudu summana (näiteks 13 võrdub 1 moodul 4 ja 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Seevastu algarvusid, mis on võrdsed 3 mooduliga 4, ei saa kunagi kirjutada kahe ruudu summana.

Sarnak märkis, et vastastikkust võib kasutada avatud küsimuste lahendamiseks, näiteks välja selgitada, milliseid numbreid saab kirjutada kolme kuubi summana. On teada, et arvud, mis on võrdsed 4 või 5 mooduliga 9, ei võrdu kolme kuubi summaga, kuid teised jäävad saladuseks. (2019. aastal Andrew Booker loodud pealkirjad kui ta avastas, et (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Stange ütles, et kõigi selle paljude rakenduste ja paljude erinevate tõendite puhul on vastastikkuses midagi, mis jääb saladuseks.

„Mis matemaatilise tõestusega sageli juhtub, on see, et saate jälgida iga sammu; võite uskuda, et see on tõsi," ütles ta. "Ja te võite ikkagi teisest otsast välja tulla tundega:" Aga miks?

Vistseraalsel tasandil mõistmine, mis eristab 7 ja 11 numbritest 5 ja 13, võib olla igavesti kättesaamatu. "Me saame žongleerida ainult nii paljude abstraktsioonitasemetega," ütles ta. "See ilmneb arvuteoorias kõikjal … ja ometi on see vaid samm kaugemale sellest, mis tundub, nagu võiksite lihtsalt teada."

Quanta viib läbi mitmeid küsitlusi, et meie vaatajaskonda paremini teenindada. Võtke meie matemaatika lugejaküsitlus ja teid osaletakse tasuta võitmiseks Quanta kaup.