Sissejuhatus
Geomeetriatudeng Gina jäi eile õhtul liiga hilja üleval ja tegi pealtvaatamise ajal kodutöid Suur Briti küpsetamine, nii et kui ta lõpuks magama läks, oli tema unine meel ikka veel koogikesi ja kompassi täis. See viis kõige ebatavalise unenäoni.
Gina leidis end Imaginary Ülikoolis Great Brownie Bake Offi kohtunikuna – koolis, kus õpilased õpivad palju geomeetriat, kuid väga vähe aritmeetikat. Imaginary U õpilaste meeskonnad said ülesandeks valmistada võimalikult suur brownie ja Gina otsustas võitja.
Esimesena lõpetas võistkond Alpha, kes uhkusega esitlesid oma ristkülikukujulist brownie-d hindamiseks. Gina tõmbas välja joonlaua ja mõõtis küpsist: see oli 16 tolli pikk ja 9 tolli lai. Team Beta järgnes kiiresti oma ruudukujulise pruunikaga, mille mõlemal küljel oli 12 tolli. Siis algasid hädad.
"Meie brownie on palju pikem kui teie oma," ütles Team Alpha kapten. "Meie oma on selgelt suurem, seega oleme võitjad!"
"Kuid teie ristküliku lühike külg on palju lühem kui meie ruudu külg," ütles Team Beta esindaja. «Meie väljak on selgelt suurem. Oleme võitnud!”
Gina leidis, et selle üle vaielda oli imelik. "Ristkülikukujulise brownie pindala on 9 korda 16, mis on 144 ruuttolli," ütles ta. “Ruudukujulise brownie pindala on 12 korda 12, mis on samuti 144 ruuttolli. Pruunid on ühesuurused: see on lips.
Mõlemad meeskonnad nägid hämmeldunud. „Ma ei saa aru, mida sa „aegade” all mõtled,” ütles üks õpilane, kellele polnud kunagi korrutamist õpetatud. "Mina ka mitte," ütles teine. Kolmas ütles: "Ma kuulsin, et Complex College'i üliõpilased mõõdavad ala numbrite abil, aga mida see üldse tähendab?" Imaginary University oli tõesti kummaline koht, isegi unistuste kohaselt.
Mida pidi Gina tegema? Kuidas suutis ta veenda meeskondi, et nende küpsised on ühesuurused, kui nad ei mõista pindala mõõtmist ja arvude korrutamist? Õnneks tuli Ginal geniaalne idee. "Anna mulle nuga," ütles ta.
Gina mõõtis ristkülikukujulise brownie pika külje alla 12 tolli ja tegi lühikese küljega paralleelse lõike. See muutis suure ristküliku kaheks väiksemaks: üks mõõtmetega 9x12 ja teine 9x4. Kolme kiire lõikega muutis ta 9x4 tüki kolmeks väiksemaks 3x4 tükiks. Väikese ümberpaigutamise tulemuseks oli rahvahulgast kuulda oeh ja aah: Gina oli muutnud ristküliku ruudu täpseks koopiaks.
Mõlemad võistkonnad pidid nüüd leppima, et nende brownie’d olid ühesuurused. Ühe lahti tükeldades ja teiseks ümber paigutades näitas Gina, et kaks pruuniküpsist hõivasid sama kogupindala. Selliseid lahkamisi on geomeetrias kasutatud tuhandeid aastaid, et näidata, et joonised on ühesuurused ning dissektsioonide ja samaväärsuse kohta on palju märkimisväärseid tulemusi. Isegi tänapäeval kasutavad matemaatikud lahkamist ja ümberkorraldamist, et täielikult mõista, millal teatud kujundid on samaväärsed, mis toob kaasa üllatavaid hiljutisi tulemusi.
Tõenäoliselt olete põhikujundite pindalavalemeid välja töötades matemaatikatunnis näinud geomeetrilisi lahkamisi. Näiteks võite meeles pidada, et rööpküliku pindala on võrdne selle aluse pikkuse ja kõrgusega. Selle põhjuseks on asjaolu, et rööpkülikut saab lahti lõigata ja ristkülikuks ümber korraldada.
See lahkamine näitab, et rööpküliku pindala on võrdne sama aluse ja kõrgusega ristküliku pindalaga, mis, nagu teab igaüks, kes ei käinud Imaginary Ülikoolis, on nende kahe arvu korrutis.
Rääkides Imaginary U-st, siis Great Brownie Bake Off oli just kuumenenud. Team Gamma lähenes suure kolmnurkse pruunikaga. "Siin on võitja," teatasid nad julgelt. "Meie mõlemad pooled on teistest palju pikemad."
Gina mõõtis külgi. "Ka siin on sama piirkond!" hüüdis ta. "See on täisnurkne kolmnurk ja jalad on 18 ja 16, nii et ala on ..." Gina peatus hetkeks, märgates hämmeldunud ilmeid kõigi nägudel. "Ah ei midagi. Anna mulle lihtsalt nuga."
Gina viilutas osavalt hüpotenuusi keskpunktist pikema jala keskpunktini, seejärel pööras äsja moodustatud kolmnurka nii, et see moodustas suurema tüki sisse asetades täiusliku ristküliku.
"See on täpselt meie brownie!" hüüdis Team Alpha. Muidugi oli saadud ristkülik 9 x 16: täpselt sama suur kui neil.
Team Betal olid oma kahtlused. "Aga kuidas on see kolmnurk meie ruuduga võrreldes?" küsis nende meeskonnajuht.
Gina oli selleks valmis. "Me juba teame, et ristkülik ja ruut on ühesuurused, nii et transitiivsuse järgi on kolmnurk ja ruut ühesuurused." Transitiivsus on võrdsuse üks olulisemaid omadusi: see ütleb, et kui a = b ja b = c, Siis a = c. Gina jätkas: "Kui esimese brownie pindala on võrdne teise pindalaga ja teise brownie pindala on võrdne kolmanda alaga, peavad ka esimesel ja kolmandal brownie pindalad olema võrdsed."
Kuid Ginal oli lahkamisega liiga lõbus, et sellega peatuda. "Või võiksime teha veel mõned kärped."
Kõigepealt pööras Gina ristkülikut, mis oli varem kolmnurk. Seejärel lõikas ta selle täpselt sama mustriga, mida oli kasutanud Team Alpha ristkülikul.
Seejärel näitas ta, kuidas seda Team Gamma kolmnurga uut osa saab muuta Team Beta ruuduks, täpselt nii, nagu ta oli teinud Team Alpha ristkülikuga.
Sellises olukorras ütleme, et kolmnurk ja ruut on „kääridega ühtsed”: võite ette kujutada, et kasutate kääride abil ühe kujundit lõplikult paljudeks tükkideks, mida saab seejärel ümber paigutada, et moodustada teine. Kolmnurga ja ruudu puhul näitavad pruunid täpselt, kuidas see kääride kongruentsus töötab.
Pange tähele, et muster töötab mõlemas suunas: seda saab kasutada kolmnurga muutmiseks ruuduks või ruudu kolmnurgaks muutmiseks. Teiste sõnadega, kääride kongruentsus on sümmeetriline: kui kujund A on kujuga B kongruentsed käärid, siis kujund B on ka kujuga A kongruentsed käärid.
Tegelikult näitab ülaltoodud argument kolmnurga, ristküliku ja ruudu kohta, et kääride kongruentsus on samuti transitiivne. Kuna kolmnurk on ristkülikuga kongruentsed käärid ja ristkülik on ruuduga kongruentsed käärid, on kolmnurk ruuduga ühtsed käärid. Tõestus on mustrites: lihtsalt asetage need vahekujule, nagu tehti ülaltoodud ristkülikuga.
Kui lõikate kolmnurga tükkideks, mis moodustavad ristküliku, ja seejärel lõigate ristküliku tükkideks, mis moodustavad ruudu, saab saadud tükke kasutada mis tahes kolmest kujundist moodustamiseks.
Asjaolu, et kääride kongruents on transitiivne, on hämmastava tulemuse keskmes: kui kahel hulknurgal on sama pindala, siis on need kääride kongruentsed. See tähendab, et kui arvestada mis tahes kahte sama pindalaga hulknurka, saate ühe alati lõigata piiratud arvuks tükkideks ja need teiseks ümber paigutada.
Selle tähelepanuväärse teoreemi tõestus on samuti märkimisväärselt lihtne. Kõigepealt lõigake iga hulknurk kolmnurkadeks.
Teiseks muutke iga kolmnurk ristkülikuks, sarnaselt sellele, kuidas Gina kolmnurkse küpsise ümber korraldas.
Nüüd tuleb keeruline tehniline osa: muutke iga ristkülik uueks ühe ühiku laiuseks ristkülikuks.
Selleks alustage ristkülikust ühe ühiku laiuste tükkide lõikamist.
Kui saate ristküliku tükeldada lahutamatuks arvuks tükkideks, mille laius on 1, siis oletegi valmis: asetage need lihtsalt üksteise peale. Vastasel juhul lõpetage tükeldamine, kui viimane tükk on 1–2 ühikut lai, ja laduge ülejäänud üksteise peale.
Ärge muretsege, kui ristkülik ise on alla 1 ühiku lai: lihtsalt lõigake see pooleks ja kasutage kahte tükki, et teha uus ristkülik, mis on kaks korda pikem ja poole paksem. Korrake vastavalt vajadusele, kuni teil on ristkülik, mille laius on 1–2 ühikut.
Kujutage nüüd ette, et sellel viimasel ristkülikul on kõrgus h ja laius w, 1-ga w < 2. Me lõikame selle ristküliku osadeks ja korraldame selle ümber ristkülikuks, mille laius on 1 ja kõrgus h × w. Selleks katke h × w ristkülik soovitud hw × 1 selline ristkülik.
Seejärel lõigake mööda punktiirjoont nurgast nurka ja lõigake ära väike kolmnurk, mis asub allosas paremal, järgides selle paremat serva. hw × 1 ristkülik.
See lõikab h × w ristkülik kolmeks tükiks, mida saab ümber korraldada hw × 1 ristkülik. (Selle viimase lahkamise õigustamiseks on vaja mõningaid nutikaid argumente, mis hõlmavad sarnaseid kolmnurki. Üksikasju vaadake allolevatest harjutustest.)
Lõpuks asetage see viimane ristkülik virna peale ja olete muutnud selle hulknurga – tegelikult iga hulknurga – edukalt ristkülikuks laiusega 1.
Kui nüüd algse hulknurga pindala oli A, siis peab selle ristküliku kõrgus olema A, seega iga hulknurk koos pindalaga A on käärid kongruentsed ristkülikuga, mille laius on 1 ja kõrgus A. See tähendab, et kui kahel hulknurgal on pindala A, siis on need mõlemad sama ristkülikuga kongruentsed käärid, nii et transitiivsuse järgi on need üksteisega kongruentsed käärid. See näitab, et iga hulknurk pindalaga A on käärid kongruentsed iga teise hulknurgaga, mille pindala on A.
Kuid isegi sellest võimsast tulemusest ei piisanud, et Imaginary University's Brownie Bake Offi hindamine edukalt lõpule viia. Jäi veel üks sissekanne ja keegi ei olnud üllatunud, millega Team Pi ilmus.
Hetkel, kui Gina nägi seda ringi tulemas, ärkas ta oma unenäost külmas higis. Ta teadis, et on võimatu lõigata ringi lõputult paljudeks tükkideks ja neid ümber korraldada, et moodustada ruut, ristkülik või hulknurk. 1964. aastal tõestasid matemaatikud Lester Dubins, Morris Hirsch ja Jack Karush, et ring ei ole ühegi hulknurgaga kongruentsed käärid. Gina unenägu oli muutunud geomeetriliseks õudusunenäoks.
Kuid nagu nad alati näivad tegevat, muutsid matemaatikud selle takistuse uueks matemaatikaks. 1990. aastal tõestas Miklós Laczkovich, et ringi on võimalik viiludeks lõigata ja ruuduks ümber korraldada seni, kuni saab kasutada lõpmatult väikseid, lõpmatult lahti ühendatud, lõpmata sakilisi tükke, mida pole võimalik kääridega valmistada.
Nii üllatav ja põnev kui Laczkovichi tulemus ka ei olnud, tõestas see vaid, et selline lagunemine on teoreetiliselt võimalik. See ei selgitanud, kuidas tükke ehitada, vaid ainult seda, et need võivad eksisteerida. Kuhu astusid sisse Andras Máthé, Oleg Pikhurko ja Jonathan Noel: 2022. aasta alguses postitas paberi milles nad sobitasid Laczkovichi saavutusega, kuid tükkidega, mida on võimalik visualiseerida.
Kahjuks ei saa te nende tulemust kasutada pruunide küpsetamise mahaarvamiseks. Kääridega üksi 10 ei saa200 nende lagunemisel vajalikud tükid. Kuid see on veel üks samm edasi, vastates pikkadele küsimustele, mis said alguse siis, kui Archimedes esmakordselt leiutas või avastas $latex pi$. Ja see hoiab meid liikumas uue matemaatika leiutamise või avastamise poole, millest eelmised põlvkonnad ei osanud unistadagi.
Harjutused
1. Selgitage, kuidas teame, et rööpküliku pindalavalemi tuletamisel sobib kolmnurk, mille me ära lõikame, ideaalselt rööpküliku teisel poolel olevasse ruumi.
2. Selgitage, miks saab iga kolmnurga ristkülikuks lahata.
Harjutuste 3 ja 4 puhul võtke arvesse diagrammi, mida kasutatakse, et näidata, et an h × w ristkülik on käärid, mis on kongruentsed an-ga hw × 1 ristkülik, märgistatud punktidega.
3. Selgitage, miks $latekskolmnurk$ XYQ on sarnane $latextriangle$-ga ABX. Millest see pikkus annab QY?
4. Selgitage, miks $latekskolmnurk$ PCX on kongruentsed $lateksi kolmnurgaga$ AZQ.
Klõpsake vastuse 1 jaoks:
On mitmeid viise, kuidas näidata, et kaks kolmnurka on kongruentsed. Üks võimalus on märkida, et paralleelsete joonte vaheline kaugus on konstantne, seega on kahel täisnurksel kolmnurgal paar ühtlast jalga.
Ja rööpküliku vastasküljed on kongruentsed, mis muudab kaks kolmnurka hüpotenuus-jalg kolmnurga kongruentsusteoreemi järgi kongruentseks. Võite esitada argumendi ka nurk-külg-nurk kolmnurga kongruentsusteoreemi abil.
Klõpsake vastuse 2 jaoks:
Üks suurepäraseid elementaarseid tulemusi kolmnurga geomeetrias on kolmnurga keskosa teoreem: kui ühendate kolmnurga kahe külje keskpunktid, on saadud sirglõik paralleelne kolmanda küljega ja pool selle pikkusest.
Kuna segment on paralleelne kolmanda küljega, on nurgad 1 ja 3 vastavad nurgad. Ja nurgad 1 ja 2 on ühepoolsed sisenurgad, seega on need täiendavad, mis tähendab, et nende mõõtude summa on 180 kraadi. Kuna $latexangle$ 1 on kongruentne $latexangle$ 3-ga, tähendab see, et nurgad 3 ja 2 on samuti täiendavad.
Seega, kui pöörate ülemist kolmnurka ümber ja paremale, langevad ühtsed küljed ideaalselt kokku ning nurgad 2 ja 3 moodustavad sirge.
See muudab kolmnurga rööpkülikuks, mida, nagu me juba teame, saab muuta ristkülikuks.
Klõpsake vastuse 3 jaoks:
Alates BXYZ on ristkülik, mõlemad $lateksnurk$ ZBC ja $lateksnurk$ ZYX on täisnurgad. Ja kuna ristküliku vastasküljed on paralleelsed, teeb see $lateksnurga$ YQX ühtib $latexangle$-ga AXB, kuna need on alternatiivsed sisenurgad. Seega $latekstriangle$ XYQ on sarnane $latextriangle$-ga ABX nurga-nurga sarnasuse järgi. Sarnaste kolmnurkade küljed on proportsionaalsed, seega $lateks frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Seega $lateks frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$ jne QY = 1. Pange tähele, et kuna $lateksnurk$ ADC on täisnurk ja $lateksinurk$ DAP ja $lateksinurk$ YQX on kongruentsed vastavad nurgad, see teeb $lateksi kolmnurga $ DAP kongruentsed $latekstriangle$ YQX. See tõestab, et saate libistada $latextriangle$ YQX kohta, mille praegu hõivab $latekskolmnurk$ DAP, nagu on vaja kääride kongruentsi argumendis.
Klõpsake vastuse 4 jaoks:
Pange tähele, et $lateksinurk$ AZQ ja $lateksnurk$ PCX on mõlemad täisnurgad ja seega kongruentsed. Kasutades paralleelsete sirgete omadusi nagu harjutuses 3, näeme ka seda $lateksinurk$ AQZ ja $lateksinurk$ PX laiendus on vastavad nurgad. Seda näitasime ka harjutuses 3 QY = 1. See teeb QZ = w − 1, mis on täpselt see CX on võrdne. Seega $latekskolmnurk$ PCX on kongruentsed $lateksi kolmnurgaga$ AZQ nurk-külg-nurk kolmnurga kongruentsuse järgi. See õigustab argumendi teist osa, et an h × w ristkülik on käärid, mis on kongruentsed an-ga hw × 1 ristkülik.
