Teoreetik, kes näeb matemaatikat kunstis, muusikas ja kirjutamises | Ajakiri Quanta

Sarah Hart on alati jälginud varjatud viise, kuidas matemaatika tungib teistesse valdkondadesse. Lapsena rabas teda muinasjuttudes numbri 3 kõikjal esinemine. Harti matemaatikaõpetajast ema julgustas teda mustreid otsima, andes talle ajaviitmiseks matemaatika mõistatusi.

Hart omandas 2000. aastal doktorikraadi rühmateoorias ja hiljem sai temast Londoni ülikooli Birkbecki professor. Harti uurimused uurisid Coxeteri rühmade struktuuri, struktuuride üldisemaid versioone, mis kataloogivad hulknurkade ja prismade sümmeetriat. 2023. aastal avaldas ta Once Upon a Prime, raamat matemaatika ilmumisviisidest ilukirjanduses ja luules. "Kuna meie, inimesed, oleme osa universumist, on loomulik, et meie loomingulised väljendusvormid, nende hulgas ka kirjandus, avaldavad kalduvust mustri ja struktuuri järgi," kirjutas Hart. "Matemaatika on seega kirjanduse täiesti erineva vaatenurga võti."

Alates 2020. aastast on Hart Londoni Greshami kolledži geomeetriaprofessor. Greshamil pole traditsioonilisi kursusi; selle asemel peavad selle professorid igaüks mitu avalikku loengut aastas. Hart on esimene naine, kes on kunagi olnud 428-aastasel ametikohal, mille 17. sajandil hõivas Isaac Barrow, kes oli kuulus teise Isaaci (Newtoni) õpetamise poolest. Hiljuti pidas seda matemaatik Roger Penrose, kes võitis 2020. aasta Nobeli füüsikaauhinna. Hart rääkis Quanta kuidas matemaatika ja kunst üksteist mõjutavad. Intervjuu on koondatud ja selguse huvides toimetatud.

Miks otsustasite kirjutada oma raamatu matemaatika ja kirjanduse seostest?

Neid seoseid on vähem uuritud ja vähem tuntud kui matemaatika ja näiteks muusika vahelisi seoseid. Matemaatika ja muusika seoseid on tähistatud vähemalt Pythagoreanide ajast peale. Kuigi konkreetsete raamatute, autorite või žanrite kohta on tehtud kirjutamist ja akadeemilist uurimistööd, ei olnud ma näinud laiemale publikule mõeldud raamatut matemaatika ja kirjanduse laiematest seostest.

Kuidas peaksid kunstiinimesed matemaatikast mõtlema?

Matemaatika ja, ma ütleksin, teiste kunstide vahel on palju ühist. Kirjanduses, nagu ka muusikas ja kunstis, ei alustata kunagi millestki. Kui olete luuletaja, siis valite: kas mul on haiku väga täpsete arvuliste piirangutega või ma kirjutan soneti, millel on teatud arv ridu, kindel riimiskeemi, teatud meeter? Isegi sellel, millel pole riimiskeemi, on reavahetused, rütm. Tekivad piirangud, mis inspireerivad loovust ja aitavad teil keskenduda.

Matemaatikas on meil sama asi. Meil on mõned põhireeglid. Selle sees saame uurida, mängida ja teoreeme tõestada. Mida matemaatika saab kunstide heaks teha, on aidata leida uusi struktuure, näidata, millised on võimalused. Kuidas näeks välja muusikapala, millel pole võtmeallkirja? Me võime mõelda 12 toonile ja nende paigutusele erinevalt ning siin on kõik viisid, kuidas seda teha. Siin on erinevad värvilahendused, mida saate välja mõelda, siin on poeetilise meetri erinevad vormid.

Mis on näide sellest, kuidas kirjandus on matemaatikat mõjutanud?

Tuhandeid aastaid tagasi Indias püüdsid luuletajad mõelda võimalikele meetritele. Sanskriti luules on teil pikad ja lühikesed silbid. Pikk on kaks korda pikem kui lühike. Kui soovite välja selgitada, kui palju on neid, mille pikkus on kolm, võite valida lühikese, lühikese, lühikese või pika, lühikese või lühikese, pikkuse. Kolme tegemiseks on kolm võimalust. Nelja pikkuse fraasi tegemiseks on viis võimalust. Ja viie pikkuse fraasi tegemiseks on kaheksa võimalust. See järjestus, mille saate, on selline, kus iga liige on kahe eelmise summa. Te reprodutseerite täpselt seda, mida me tänapäeval nimetame Fibonacci jadaks. Kuid see oli sajandeid enne Fibonaccit.

Kuidas on lood matemaatika mõjuga kirjandusele?

Üsna lihtne jada, kuid see töötab väga-väga võimsalt, on Eleanor Cattoni raamat Valgustid, mis ilmus 2013. aastal. Ta kasutas jada, mis läheb 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Iga peatükk selles raamatus on poole pikem kui eelmine. See loob selle tõeliselt põneva efekti, sest tempo kiireneb ja tegelaste valikud on piiratumad. Kõik kiirustab oma lõppu. Lõpuks on peatükid äärmiselt lühikesed.

Veel üks näide veidi keerulisemast matemaatilisest struktuurist on nn ortogonaalsed ladina ruudud. Ladina ruut sarnaneb sudoku ruudustikuga. Sel juhul oleks see 10 x 10 ruudustik. Iga number ilmub igas reas ja igas veerus täpselt üks kord. Ortogonaalsed ladina ruudud moodustatakse kahe ladina ruudu katmisel, nii et igas ruumis on numbripaar. Iga paari esimesest numbrist moodustatud ruudustik on ladina ruut ja sama on ka iga paari teisest numbrist moodustatud ruudustik. Veelgi enam, paaride ruudustikus ei ilmu ükski paar rohkem kui üks kord.

Need on kõikvõimalikel viisidel väga kasulikud. Nendest saab teha veaparanduskoode, mis on kasulikud sõnumite saatmisel mööda mürarikkaid kanaleid. Kuid nende konkreetsete, suurus 10, üks suurepäraseid asju on see, et üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid Leonhard Euler arvas, et neid ei saa eksisteerida. See oli üks väheseid kordi, kui ta eksis; sellepärast oli see nii põnev. Palju aega pärast seda, kui ta tegi selle oletuse, et need asjad ei saa teatud suuruste puhul eksisteerida, lükati see ümber ja 1959. aastal leiti selle suurusega ruudud. cover of Scientific American sellel aastal.

Aastaid pärast seda otsis prantsuse kirjanik Georges Perec oma raamatu jaoks struktuuri Eluaeg: kasutusjuhend. Ta valis ühe neist ortogonaalsetest ladina ruutudest. Ta seadis oma raamatu Pariisi kortermajja, kus oli 100 tuba, 10 x 10 ruutmeetrit. Iga peatükk oli erinevas ruumis ja igal peatükil oli ainulaadne maitse. Tal oli 10 asja nimekirjad – erinevad kangad, värvid, sellised asjad. Iga peatükk kasutaks ainulaadset kombinatsiooni. See on tõeliselt põnev viis raamatu struktureerimiseks.

Sa hindad selgelt head kirjutamist. Mida arvate matemaatika uurimistööde kirjutamise kvaliteedist?

See on väga muutlik! Ma tean, et me hindame lühidust, kuid ma arvan, et mõnikord viiakse see liiga kaugele. Liiga palju on pabereid, millel pole kasulikke näiteid.

See, mida me tegelikult hindame, on geniaalne argument, mis, kuna see hõlmab kõiki juhtumeid korraga nii nutikalt, on ühtlasi lühike ja elegantne. See ei ole sama, kui suruda oma pikk vaidlus vajalikust väiksemasse ruumi, kattes lehe salapäraste tähistega, mille olete loonud tähistuse lühendamiseks, kuid mida mitte ainult lugeja, vaid tõenäoliselt ka teie ise peate vaevarikkalt lahti pakkima. uuesti selleks, et saada aru, mis toimub.

Me ei mõtle piisavalt kasulikule märkusele, mis tuletab lugejale meelde, mida mõeldakse. Õige tähistus võib matemaatikat absoluutselt muuta ja võib jätta ruumi ka üldistustele. Mõelge ajaloolisele üleminekule tundmatu, selle ruudu ja kolme erineva tähega kuubi kirjutamiselt ning sellele, kui palju tõenäolisem ja isegi võimalik on hakata mõtlema sellele, millal olete kirjutama hakanud ja selle asemel hoopis .

Kas näete matemaatika ja kunsti seostes evolutsiooni?

Kogu aeg on uusi asju. Fraktalid olid 1990. aastatel kõikjal. Iga õpilaskodu seinal oli pilt Mandelbroti komplektist või midagi sellist. Kõik ütlesid: "Oh, see on põnev, fraktalid." Saate näiteks muusikuid, heliloojaid, kes kasutavad oma teostes fraktaaljärjestusi.

Kui ma olin umbes 16-aastane, olid need uued asjad, mida kutsuti graafikakalkulaatoriteks. Väga põnev. Ja mu ema sõber kinkis mulle selle programmi, mis võiks ühele neist väikestest graafikakalkulaatoritest Mandelbroti komplekti joonistada. Sellel oli umbes 200 pikslit, ma ei tea. Programmeerite selle asja sisse ja siis pidin selle 12 tunniks lahkuma. See joonistaks need 200 punkti selle lõppu. Nii võisid isegi lihtsad koolilapsed 80ndate lõpus ja 90ndate alguses sellega tegeleda ja neid pilte ise teha.

Tundub, et isegi koolis käies tundsite hardcore matemaatika vastu suurt huvi.

 Ma arvan, et olen huvitatud sellest ajast, kui ma isegi teadsin, et see tähendab, et olen matemaatiline. Nagu, ma lihtsalt tegin alati mustreid sellest ajast, kui ma olin pisike, pisike laps.

Kui ma olin üsna väike, olid mu lemmikmänguasi väga lihtsad puidust maalitud plaadid. Neid oli erinevates värvides. Ma tegin neist mustreid ja siis vaatasin seda uhkelt umbes päeva ja siis tegin veel ühe.

Natuke vanemaks saades mängisin numbritega ja vaatasin mustreid. Ema oleks see, kelle juurde ma läheksin ja ütleksin: "Mul on igav." Ja siis ta ütles: "Noh, kas saate välja mõelda, milline on kolmnurga moodustamiseks vajalike punktide muster?" või mis iganes see oli. Ta laseb mul kolmnurksed numbrid uuesti avastada ja ma oleksin väga põnevil.

Mu vaene ema, hämmastavate leiutiste arv, millega ma oma ema juurde läheksin. "Olen välja töötanud täiesti uue viisi millegi tegemiseks!" Ja ta ütles: "Olgu, see on väga tore. Aga teate, Descartes mõtles sellele sajandeid tagasi. Ja siis ma läheksin; Paar päeva hiljem tulin välja veel ühe suurepärase ideega. "See on armas, kallis. Kuid see oli vanadel kreeklastel.

Kas mäletate mõnda eriti rahuldustpakkuvat hetke oma matemaatikauurija karjäärist?

Hetked, mil saate lõpuks aru, mis muster on, mida näete, pakuvad alati rahuldust, samuti kui töötate välja, kuidas täita tõendit, millega olete maadelnud. Minu tugevaimad mälestused nendest rõõmu tunnetest, ilmselt seetõttu, et tundsin neid esimest korda, pärinevad minu teadlaskarjääri algusest. Kuid ikkagi on armas tunne saada seda "ahaa", kui saate lõpuks aru, mis toimub.

Üritasin väga varakult midagi tõestada lõputute Coxeteri rühmade kohta. Ma lahendasin mõned juhtumid ja ülejäänuid vaadates leidsin tehnika, mis toimiks, kui konkreetne kriteerium on täidetud. Saate need seosed graafikusse kirjutada, nii et hakkasin koostama kogumit graafikutest, mille jaoks saaks minu tehnikat rakendada. See oli ühe aasta jõulude ajal.

Mõne aja pärast hakkas minu piltide komplekt välja nägema nagu konkreetne graafikute komplekt, mis oli loetletud minu kontoris leiduvas Coxeteri gruppe käsitlevas raamatus, ja hakkasin lootma, et see on täpselt see graafikute komplekt. Kui see nii oleks, täidaks see augu minu tõestuses ja minu teoreem oleks lõpetatud. Kuid ma ei saanud seda kindlalt kontrollida enne, kui pärast jõule ülikooli tagasi tulin – see oli enne, kui sai kõike lihtsalt Google’iga otsida. Arvan, et ootus, et pidin ootama, et oma aimdust kinnitada, muutis selle veelgi paremaks, kui jõudsin raamatu juurde ja võrdlesin oma käsitsi kirjutatud diagrammide komplekti raamatus olevatega ning need sobisid tõepoolest.

Mida arvate küsimusest, kas matemaatika on loodud või avastatud? Peaaegu keegi ei vaidleks vastu, et mõni romaanikirjanik, kellest te oma raamatus kirjutate, "avastas" oma romaanid. Kas see on põhimõtteline erinevus matemaatika ja kirjanduse vahel või mitte?

Tõenäoliselt on, kuigi mõningaid resonantse on ikka veel.

Matemaatikaga tegelemine tundub avastusena. Kui me leiutaksime matemaatika, poleks asju kindlasti nii raske tõestada! Mõnikord tahame meeleheitlikult, et miski oleks tõsi, ja see pole nii. Ma arvan, et me ei saa vältida loogika tagajärgi.

See kõik tundub avastusena, kui seda teed. Mõned valikud peegeldavad seda, mida me reaalses maailmas kogeme, näiteks geomeetria aksioomid, millega töötame ja mis valitakse seetõttu, et see näib olevat umbes selline, nagu reaalsus on – kuigi isegi seal pole sellist asja nagu "punkt" või " joon” (sest me ei saa joonistada midagi, mis ei võta ruumi, ja joonel geomeetrias pole laiust ja see ulatub lõputult kaugele).

Mingil määral on selle kontiinumiga kirjanduses paralleele. Kui olete soneti reeglid määratlenud, on teil raske kirjutada sellist, mille esimene rida lõpeb sõnadega "oranž" või "korsten".

Aga ma ei suuda vastu panna midagi jagama J.R.R. Tolkien ütles kirjutamise kohta Hobbit: „Kõik sai alguse sellest, et lugesin eksamitöid, et natukenegi lisaraha teenida. … Noh, ühel päeval jõudsin eksamiraamatu tühjale lehele ja kritseldasin sellele. "Maa augus elas hobit." Ma ei teadnud olenditest rohkem kui see ja läks aastaid, enne kui tema lugu kasvas. Ma ei tea, kust see sõna tuli."

Hobitid — kas ta lõi need või avastas?