اثبات جدید «فرم‌های مدولار» مرموز و قدرتمند را متمایز می‌کند

در یک اثبات جدید، یک شیء ریاضی که مدت ها نادیده گرفته شده بود، سرانجام در کانون توجه قرار گرفت.

در نگاه اول، اشکال مدولار - توابعی که تقارن های فراوان آنها برای قرن ها ریاضیدانان را مجذوب خود کرده است - به نظر می رسد بیش از اندازه کافی توجه را به خود جلب کرده اند. آنها در انواع مشکلات ظاهر می شوند: آنها یک عنصر کلیدی در اثبات آخرین قضیه فرما توسط اندرو وایلز در سال 1994 بودند، که یکی از بزرگترین سؤالات باز در نظریه اعداد را حل کرد. آنها نقش محوری را در برنامه لنگلندز، تلاشی مستمر برای توسعه «نظریه یکپارچه بزرگ ریاضیات». آنها حتی برای مطالعه مدل ها در نظریه ریسمان و فیزیک کوانتومی استفاده شده اند.

اما فرم های مدولار که در این زمینه ها به وجود می آیند از نوع خاصی هستند. فرم های مدولار به اصطلاح "همخوانی" ساختار اضافی دارند که مطالعه آنها را آسان تر می کند. اما فرم‌های مدولار «ناهمخوانی» عمومی‌تر، بسیار بیشتر از همتایان سازگار دوستانه خود هستند. گفت: "اگر یک شکل مدولار تصادفی بگیرید، با احتمال 1 ناهمخوانی است." کامرون فرانک، ریاضیدان دانشگاه مک مستر در کانادا. تا زمانی که دلیل خوبی برای مواجهه با فرم مدولار همخوانی نداشته باشید، انتظار ندارید. آنها بسیار نادر هستند.»

و با این حال، ریاضیدانان در مورد اشکال مدولار ناهمخوان، علیرغم همه جا، اطلاعات بسیار کمی دارند. گفت: آنها کاملاً مرموز هستند آنتونی شول، ریاضیدان دانشگاه کمبریج. نه تنها ارائه جملات فراگیر در مورد چنین دسته کلی از توابع دشوار است، بلکه ابزارهای توسعه یافته برای مطالعه فرم های مدولار در حالت ناهمخوانی تجزیه می شوند. این امر باعث شده است که ریاضیدانان در مورد آنچه که حتی باید تلاش کنند تا اثبات کنند مطمئن نباشند.

با این حال، یک حدس اصلی در مورد فرم‌های مدولار ناهمخوان مدت‌هاست که برجسته شده است: یک تابلوی راهنمای منفرد و ناپایدار در بیابان.

در سال 1968، الیور اتکین و پیتر سوینرتون-دایر، ریاضیدانان متوجه شدند که به نظر می‌رسد فرم‌های مدولار ناهمگون دارای ویژگی مشخصی هستند که آنها را از فرم‌های مدولار همخوانی متمایز می‌کند. گفت که باید چنین راه آشکاری برای تفکیک این دو وجود داشته باشد «واقعاً بسیار شگفت‌انگیز است». جفری میسون، ریاضیدان دانشگاه کالیفرنیا، سانتا کروز. فرم های مدولار همخوانی و ناهمخوانی بسیار متفاوت هستند، زیرا فرم های مدولار ناهمگون فاقد تقارن هایی هستند که فرم های مدولار همخوانی دارند. اما این تفاوت‌ها، اگرچه مهم هستند، اما می‌توانند ظریف و دشوار باشند.

در اینجا، ناگهان، شواهد آشکاری از این تفاوت ها آشکار شد.

مشاهدات اتکین و سوینرتون-دایر بعداً به عنوان حدس "مخرج نامحدود" شناخته شد. اگر درست باشد، به ریاضیدانان این امکان را می‌دهد که اولین جای پای خود را در قلمروی عمدتاً ناشناخته اجسام ناهمگون تثبیت کنند. و با ارائه راهی آسان برای تشخیص اینکه یک فرم مدولار معین متعلق به کدام کلاس است، این حدس همچنین می‌تواند یک برنامه بزرگ در فیزیک نظری - برنامه‌ای با هدف درک مدل‌های برهمکنش ذرات به نام نظریه‌های میدان هم‌شکل - در زمینه ریاضی محکم‌تر قرار دهد.

اما برای بیش از 50 سال، هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند. سرانجام در اواخر سال 2021، سه نفر از ریاضیدانان موفق شدند. به نظر می‌رسید که اثبات آن‌ها از ناکجاآباد بیرون آمده باشد، و از تکنیک‌هایی استفاده می‌کردند که هیچ‌کس انتظار نداشت در این زمینه مطالعه ببیند. اکنون ریاضیدانان و فیزیکدانان شروع به کشف پیامدهای آن کار کرده‌اند.

تقارن و ساختار

فرم‌های مدولار ناسازگار همیشه به حاشیه نمی‌رفتند.

در قرن نوزدهم، ریاضیدانان تازه شروع به توسعه نظریه اشکال مدولار کردند. این نامی بود که به نوع خاصی از تابع بسیار متقارن داده شد - تابعی که در دامنه ای به نام نیمه بالایی صفحه پیچیده زندگی می کند.

صفحه مختلط روشی برای ترسیم نمودار اعداد مختلط است که دارای دو بخش واقعی و خیالی است. یک شکل مدولار اعداد مختلط ورودی را می گیرد که قسمت خیالی آنها مثبت است که مربوط به نیمه بالایی صفحه است. (نیم صفحه بالایی را می توان به راحتی به داخل یک دیسک واحد نگاشت؛ فرم های مدولار اغلب با استفاده از این نگاشت به تصویر کشیده می شوند.)

بسیاری از تقارن‌های فرم‌های مدولار بر حسب مجموعه‌های خاص یا «گروه‌ها» از ماتریس‌های 2 در 2 - آرایه‌های مربعی چهار عددی تعریف می‌شوند. در اشکال مدولار، آن چهار عدد همیشه اعداد صحیح هستند. مهمتر از همه، یک عدد مرتبط با ماتریس که برخی از ویژگی های آن را تعیین می کند - به نام دترمینانت - باید 1 باشد.

بی نهایت از این قبیل مجموعه ماتریس ها وجود دارد. در برخی از گروه ها، ماتریس ها را می توان با قوانین نسبتاً ساده توصیف کرد. برای مثال، در همه ماتریس‌ها، ورودی‌های بالا سمت راست و پایین سمت چپ ممکن است زوج باشند، در حالی که دو ورودی دیگر فرد هستند. یا شاید ورودی های بالا سمت راست و پایین سمت چپ بر 11 بخش پذیر باشند، در حالی که دو ورودی دیگر هر دو 1 بیشتر از مضربی از 11 باشند.

گروه هایی که می توانند با این نوع روابط تعریف شوند - و اشکال مدولار مرتبط با چنین گروه هایی - آنهایی هستند که بسیار مورد مطالعه قرار گرفته اند.

اما آن‌ها مانند سوزن‌هایی در انبار کاه هستند: اکثر مجموعه‌های ماتریس‌های 2 در 2 را نمی‌توان با قوانین خوب در این راه مشخص کرد، و باعث می‌شود آنها و شکل‌های مدولار مرتبط با آن‌ها ناهماهنگ باشند.

تا اواخر دهه 1930 - حوالی شروع جنگ جهانی دوم - بود که مطالعه فرم‌های مدولار همخوانی مطالعه فرم‌های ناهمگون را تحت‌الشعاع قرار داد. این زمانی بود که ریاضیدان آلمانی Erich Hecke جعبه ابزاری را ایجاد کرد که به او اجازه می داد بسیاری از ویژگی های اشکال مدولار را مشخص کند و آنها را با دیگر اشیاء ریاضی مهم مرتبط کند.

روش های Hecke فقط برای گروه های همخوانی و اشکال مدولار آنها کار می کرد. گروه های ناسازگار فاقد ساختار اضافی بودند که جعبه ابزار Hecke را موثر می کرد. فرانک گفت: «این چیزی که شما در دنیای همخوانی دارید، وقتی به دنیای ناسازگاری می روید، از بین می رود.

و بنابراین به نظر می رسید که فرم های مدولار ناهمخوانی همیشه نادیده گرفته می شوند. این بدان معنا نیست که آنها هیچ نوع ساختار خاصی از خود نداشتند، فقط در زیر سطح کمین کرده بودند. همانطور که برایان برچ، همکار Swinnerton-Dyer یک بار نوشت، "اگرچه ساختار مرموزتر است، به نظر می رسد تقریباً به همان اندازه غنی است." اما وقتی نوبت به دستیابی به آن ساختار رسید، ریاضیدانان دچار ضرر شدند. آنها حتی نمی دانستند از کجا شروع کنند.

وارد اتکین و سوینرتون دایر شوید.

یک معیار مرتب

این دو ریاضی‌دان می‌خواستند در مورد فرم‌های مدولار ناهمخوان، و هر رازی که ممکن است پنهان می‌کنند، بیشتر بدانند.

گفت: "همیشه این راهی است که ریاضیات پیشرفت می کند." وینی لی، ریاضیدان دانشگاه ایالتی پنسیلوانیا. "شما چیزهایی را با ویژگی های بسیار خاص و ساختار بیشتر مطالعه می کنید. سپس به تعمیم آن می‌روید تا سعی کنید بفهمید کدام ویژگی‌ها منتقل می‌شوند و کدام نه.»

برای مطالعه یک فرم مدولار معین، ریاضیدانان اغلب آن را به صورت مجموع نامتناهی به نام q-expansion (نوع خاصی از سری توان) نشان می‌دهند، سپس ضرایب آن بسط را تجزیه و تحلیل می‌کنند. قبلاً مشخص بود که اگر یک شکل مدولار معین همخوانی باشد، ضرایب دارای مخرج هایی هستند که هرگز از مقداری ثابت بزرگتر نمی شوند.

در دهه 1960، اتکین و سوینرتون-دایر بسط های q را برای نمرات و امتیازات فرم های مدولار محاسبه کردند. همانطور که آنها این کار را انجام دادند، متوجه شدند که اگر یک شکل مدولار ناهمخوان باشد، مخرج ها در دنباله مرتبط با آن بدون محدودیت رشد می کنند. گفت: "آنها در واقع می توانند چیزی در مورد این اشکال ناهمخوانی مرموز بگویند." یونکینگ تانگ، ریاضیدان دانشگاه کالیفرنیا، برکلی.

آیا واقعاً تشخیص این دو نوع فرم مدولار می تواند به همین راحتی باشد؟

ریاضیدانان مشاهدات خود را در کنفرانسی در کالیفرنیا در سال 1968 ذکر کردند و نشان دادند که مخرج‌های نامحدود ممکن است یک مشخصه جهانی از اشکال مدولار ناهمخوان باشد. گفت که حدس "بسیار قابل توجه" بود جان وویت، ریاضیدان کالج دارتموث. "این یک معیار منظم به ما می دهد تا تصمیم بگیریم آیا یک فرم مدولار متعلق به یک گروه همخوانی است یا نه" - یک آزمون تورنسل بسیار راحت برای نظریه پردازان اعداد که در اختیار دارند، و چیزی که در زمینه های دیگر ممکن است تشخیص آن دشوار باشد.

او افزود: «این تقریباً خیلی خوب است که واقعیت داشته باشد. واقعاً انتظار چنین معجزه ای وجود ندارد.

در واقع، هیچ کس نمی تواند حدس مخرج های نامحدود را اثبات کند. لی و تعدادی دیگر بودند قادر به نشان دادن درست بود برای خانواده های خاص از فرم‌های مدولار ناهمگون، اما ریاضیدانان هیچ ایده‌ای نداشتند که چگونه با بیانیه کلی مقابله کنند.

سپس در سپتامبر 2021، تانگ، همراه با فرانک کالگاری از دانشگاه شیکاگو و وسلین دیمیتروف از موسسه مطالعات پیشرفته، یک مدرک 50 صفحه ای را ارسال کرد. فرانک گفت: "این شگفت انگیز و واقعا غیرمنتظره بود." "به نظر می رسید که جامعه هیچ ایده ای برای نحوه برخورد با این مشکل نداشته است."

نویسندگان امیدوارند مقاله آنها اولین گام به سوی توسعه این تابلوی راهنمایی در بیابان به یک شبکه جاده ای کامل باشد. دیمیتروف گفت: «ما با ارائه پاسخ به ساده‌ترین سؤال، سهم خود را در این بخش از نظریه اعداد انجام می‌دهیم.

بازگشت به روش های قدیمی

کالگاری، دیمیتروف و تانگ برای حل حدس مخرج های نامحدود تلاش نکردند. در اواخر سال 2019، آنها امیدوار بودند که نشان دهند یک عدد معین (مقدار یک آنالوگ تابع زتای ریمان) غیرمنطقی است - که مانند جذر 2، نمی توان آن را به صورت کسری نوشت. (هدف نهایی آنها این است که ثابت کنند این عدد و موارد مشابه آن ماورایی هستند، به این معنی که مانند اعداد π و e، آنها را نمی توان به عنوان راه حل یک معادله چند جمله ای با ضرایب صحیح نوشت.)

از نظر ظاهری، این مشکل کاملاً نامرتبط است. اما در 1 ژانویه 2021، دیمیتروف در سال جدید با ایمیلی به دیگران زنگ زد که در آن «یک فکر آرزویی» را توصیف کرد: شاید تکنیک‌هایی که آنها در سال گذشته توسعه داده بودند، برای اثبات حدس‌های مخرج نامحدود استفاده شوند.

به آن شلیک کردند. در عرض هفت ماه، آنها مدرک خود را داشتند.

اول، آنها دو فضا را در نظر گرفتند: فضای همه فرم های مدولار با مخرج های محدود، و فضای همه فرم های مدولار همخوانی. با توجه به حدس مخرج نامحدود، آن دو فضا باید یکسان باشند. از آنجایی که فضاها ویژگی های خاصی را برآورده می کردند، ریاضیدانان فقط باید نشان می دادند که اندازه آنها یکسان است. انجام این کار به طور خودکار نشان دهنده هم ارزی آنها خواهد بود.

کالگاری، دیمیتروف و تانگ می‌توانستند اندازه فضای دوم را نسبتاً آسان محاسبه کنند و به نوعی تعداد تقریبی شکل‌های مدولار همخوانی را به دست آورند. اما برآورد اندازه فضای اول بسیار دشوار بود. آنها مجبور بودند بسیاری از تکنیک‌های مختلف را با هم ترکیب کنند - از جمله تکنیک‌هایی از نظریه اعداد متعالی.

با استفاده از آن روش‌ها، آنها نشان دادند که فضای فرم‌های مدولار با مخرج‌های محدود می‌تواند حداکثر اندازه معینی داشته باشد. این حداکثر اندازه کمی بزرگتر از اندازه فضای فرم های مدولار همخوانی بود. با این حال، معلوم شد که این مرحله "واقعا قلب اثبات است". ژان بنو بست، ریاضیدان دانشگاه پاریس-ساکلی. "شما برای انجام این کار به قدرت زیادی نیاز دارید." (کالگاری، دیمیتروف و تانگ این محدودیت را در اندازه فضا به روش‌های انگشت شماری ثابت کردند که به طور بالقوه کاربردهای بسیار گسترده‌تری به تکنیک‌های خود می‌دهند.)

گفت: "این ریاضیات بسیار، بسیار کلاسیک و زیبا، با طعم قرن نوزدهم است." خاویر فرسان، یک ریاضیدان در École Polytechnique فرانسه.

سپس سه نفر باید شکاف بین دو فضا را ببندند. انجام این کار نشان می دهد که هر شکل مدولار با مخرج محدود باید همخوانی داشته باشد.

بنابراین آنها برعکس را فرض کردند: که یک شکل مدولار ناهمخوانی با مخرج های محدود وجود دارد. طبق تعریف، در شکافی زندگی می‌کند که کالگاری، دیمیتروف و تانگ سعی در رفع آن داشتند. سپس این سه نشان دادند که وجود این شکل مدولار ناهمخوانی به طور خودکار وجود بسیاری از اشکال مدولار ناهمگون دیگر با مخرج های محدود را نشان می دهد. انگار از همین دانه یک جنگل کامل روییده بود.

اما آنها قبلاً حداکثر اندازه شکاف را تعیین کرده بودند - و آنقدر کوچک بود که نمی توانست با این تعداد اشکال ناهمخوان مطابقت داشته باشد.

به این معنی که حتی یک چنین فرمی نمی تواند وجود داشته باشد. آنها حدس چند دهه اتکین و سوینرتون-دایر را ثابت کرده بودند.

ریاضیدانان تکنیک های مورد استفاده در کار را حتی جذاب تر از خود نتیجه می دانند. شول می‌گوید: «این ایده‌ها قبلاً هرگز در مطالعه حسابی فرم‌های مدولار استفاده نشده بود.

همانطور که وویت توضیح می دهد، اگرچه مطالعه فرم های مدولار به عنوان بخشی از حوزه تحلیل پیچیده آغاز شد، کار فعلی در حوزه تئوری اعداد و هندسه جبری بوده است. به گفته او، مقاله جدید بازگشتی به تحلیل پیچیده را نشان می‌دهد: «این یک چشم‌انداز جدید و قدیمی است».

جست‌وجوی نظریه‌های جدید

ریاضیدانان تنها کسانی نیستند که از حدس مخرج های نامحدود هیجان زده هستند. همچنین در فیزیک نظری ظاهر می شود.

در دهه 1970، داستان دیگری به موازات داستانی که توسط اتکین و سوینرتون-دایر آغاز شد، در حال رخ دادن بود. ریاضیدانان داشتند متوجه ارتباط عجیبی شد بین یک شی به نام گروه هیولا و یک شکل مدولار به نام the j-تابع. ضرایب از j-function دقیقاً ویژگی های خاصی از گروه هیولا را منعکس می کند.

تحقیقات بعدی نشان داد که این ارتباط به این دلیل است که هم گروه و هم شکل مدولار به مدل مهمی از برهمکنش‌های ذرات به نام نظریه میدان هم‌شکل دوبعدی مربوط می‌شوند.

اما نظریه میدان منسجم که گروه هیولا را با j-تابع تنها نمونه ای از بی نهایت نظریه میدان همسان بود. و در حالی که این نظریه‌ها جهانی را که ما در آن زندگی می‌کنیم توصیف نمی‌کنند، درک آنها می‌تواند بینش‌های جدیدی در مورد اینکه نظریه‌های میدان کوانتومی واقعی‌تر چگونه ممکن است رفتار کنند، ارائه دهد.

و بنابراین، فیزیکدانان با نگاه کردن به اشکال مدولار مرتبط، به مطالعه نظریه‌های میدان هم‌نوع ادامه داده‌اند. (در این زمینه، فیزیکدانان از مفهوم کلی تری از یک فرم مدولار استفاده می کنند که به آن شکل مدولار با ارزش برداری می گویند.)

گفت: برای درک آنچه در یک تئوری میدان منسجم خاص در حال وقوع است، باید نشان دهید که شکل مدولار آن همخوانی است. مایکل تویت، ریاضیدان و فیزیکدان نظری در دانشگاه گالوی ایرلند. سپس می توانید شروع به توصیف تئوری های میدانی منسجم کنید، و حتی نظریه های جدیدی را که نمی دانستید به دنبال آنها باشید، کشف کنید. این امر به‌ویژه برای تلاش‌های مداوم برای طبقه‌بندی همه نظریه‌های میدان هم‌نوع بسیار مهم است - پروژه‌ای که فیزیکدانان آن را راه‌انداز مدولار نامیده‌اند.

میسون گفت: «وقتی فهمیدید این یک فرم مدولار همخوانی است، به شما امکان می‌دهد گام‌های بزرگی در این برنامه بردارید.

فیزیکدانان چارچوبی را توسعه دادند که به آنها اجازه می‌دهد این ویژگی همخوانی را برای اشکال مدولاری که در حال مطالعه هستند، در نظر بگیرند. اما این مشابه داشتن یک اثبات دقیق ریاضی نیست - و در حالی که دیگر ریاضیدانان بعداً توانستند چنین مدرکی ارائه کند، استدلال آنها فقط در تنظیمات خاصی کار می کرد. به گفته میسون، این همچنین شامل "یک مسیر بسیار پرپیچ و خم و پیچیده" به سمت همخوانی بود، اگرچه او همچنین اشاره کرد که این مسیر پیچیده بینش های مهمی را به همراه داشت.

حدس‌های کالگاری، دیمیتروف و تانگ درباره مخرج‌های نامحدود همه اینها را قطع می‌کند. به این دلیل که، همانطور که مشخص است، اشکال مدولار مرتبط با نظریه‌های میدان هم‌شکل همیشه دارای ضرایب صحیح هستند. طبق تعریف، اعداد صحیح دارای مخرج 1 هستند، به این معنی که مخرج آنها همیشه محدود است. و از آنجایی که مخرج‌های نامحدود حدس می‌زنند که مخرج‌های محدود فقط با اشکال مدولار همخوانی مرتبط هستند، دیگر نیازی به فرضیات نیست. تانگ گفت: «شما حتی نیازی به دانستن چیزی در مورد [نظریه‌های میدانی منسجم] ندارید. اثبات جدید به طور خودکار برای همه این موارد هماهنگی ارائه می دهد - به صورت رایگان.

باست گفت: «این چیزی است که برای دهه‌ها در هوا بوده است. حالا بالاخره حل شد

میسون گفت: «این واقعاً یک معجزه است. "این به طور معجزه آسایی از این واقعیت ناشی می شود که این دنباله ها اعداد صحیح هستند."

او قبلاً شروع به اعمال نتیجه در کار خود کرده است. او گفت: «از روزی که آن کاغذ ظاهر شد، من از آن استفاده کردم. «این یک میانبر بسیار خوش‌آمد برای نتایجی است که می‌خواهم حل کنم. ... این کار باعث از بین رفتن حجم عظیمی از کار بالقوه ای است که من نتوانستم راهم را ببینم.

همچنین برنامه بوت استرپ مدولار و سایر نتایج را روی پایه های ریاضی قوی تری قرار می دهد. میسون گفت: «این به ریاضیدانان اجازه می‌دهد تا نتایج [قبلی] را دوباره اثبات کنند یا آنها را باور کنند.

تویت گفت: «من فکر می‌کنم که واقعاً تأثیری خواهد داشت، به‌ویژه در بعد ریاضیات، فقط برای اینکه واقعاً، واقعاً چیزها را به هم پیوند بزنیم، تا بفهمیم دقیقاً چه اتفاقی می‌افتد».

تعالی ریاضی

در سالی که آنها اثبات خود را ارسال کردند، کالگاری، دیمیتروف و تانگ به همکاری خود ادامه دادند. آنها اکنون به انواع مشکلات در نظریه اعداد متعالی بازگشته اند که در ابتدا باعث علاقه آنها به این حدس شد. تانگ گفت: "ما در تلاش هستیم تا کاری را که شروع کرده ایم به پایان برسانیم." در واقع، آنها قبلاً از تکنیک‌های خود برای اثبات غیرمنطقی بودن تعداد زیادی از علاقه‌ها استفاده کرده‌اند.

فرسان گفت: «آنها واقعاً [روش] را به حداکثر می‌رسانند. "من واقعاً در مورد این موضوع بسیار هیجان زده هستم."

این روش ها ممکن است برای مسائل دیگر در نظریه اعداد نیز قابل استفاده باشند.

جدای از تکنیک‌ها، تفکیک حدس مخرج‌های نامحدود یکی از اولین نقاط عطف بزرگ در تلاش برای به دست آوردن درک بهتر از اشکال مدولار ناهمخوان است. فرانک گفت: «این یک دستاورد شگفت‌انگیز است، که ما می‌توانیم از این طریق پیشرفت‌هایی در فرم‌های ناهمخوان داشته باشیم. "من برای 10، 20 سال آینده هیجان زده هستم تا ببینم چه اتفاقی می افتد."

لی، وویت و دیگران در حال حاضر شروع به جستجوی الگوهایی در انواع اعدادی کرده‌اند که در مخرج‌های این اشکال مدولار مرموز ظاهر می‌شوند. آنها امیدوارند که با انجام این کار، بتوانند نکاتی از ساختار عمیق تر پیدا کنند.

لی گفت: «این حدس مخرج نامحدود تازه شروع بود.