اثبات جدید سوزن را بر روی یک مسئله هندسه چسبنده می بندد | مجله کوانتا

در سال 1917، ریاضیدان ژاپنی سوئیچی کاکیا چیزی را ارائه کرد که در ابتدا چیزی جز یک تمرین سرگرم کننده در هندسه به نظر نمی رسید. یک سوزن بی نهایت نازک به طول اینچ را روی یک سطح صاف قرار دهید، سپس آن را بچرخانید تا به نوبه خود در هر جهت باشد. کوچکترین ناحیه ای که سوزن می تواند جارو کند کدام است؟

اگر به سادگی آن را به دور مرکزش بچرخانید، یک دایره خواهید داشت. اما می‌توان سوزن را به روش‌های مبتکرانه جابه‌جا کرد، به طوری که فضای بسیار کمتری را ایجاد کرد. از آن زمان ریاضیدانان نسخه ای مرتبط از این سوال را مطرح کرده اند که حدس کاکیا نامیده می شود. در تلاش برای حل آن، آنها پیوندهای شگفت انگیزی را با تجزیه و تحلیل هارمونیک، نظریه اعداد و حتی فیزیک کشف کردند.

به نوعی، این هندسه خطوطی که به جهات مختلف اشاره می کنند، در بخش بزرگی از ریاضیات در همه جا وجود دارد. جاناتان هیکمن از دانشگاه ادینبورگ

اما این نیز چیزی است که ریاضیدانان هنوز به طور کامل آن را درک نمی کنند. در چند سال گذشته، آنها تغییرات حدس کاکیا را ثابت کرده اند در تنظیمات ساده تر، اما این سوال در فضای عادی و سه بعدی حل نشده باقی می ماند. برای مدتی، به نظر می رسید که همه پیشرفت ها در آن نسخه از حدس متوقف شده است، حتی اگر پیامدهای ریاضی متعددی داشته باشد.

حالا دو تا ریاضیدان به اصطلاح سوزن را حرکت داده اند. مدرک جدیدشون یک مانع بزرگ را برمی دارد که برای چندین دهه پابرجا بوده است - این امید را دوباره برانگیخته است که سرانجام ممکن است راه حلی در چشم باشد.

معامله کوچک چیست؟

کاکیا به مجموعه هایی در هواپیما که شامل یک پاره خط به طول 1 در هر جهت باشد علاقه مند بود. نمونه‌های زیادی از این مجموعه‌ها وجود دارد، ساده‌ترین آنها دیسکی با قطر 1 است. کاکیا می‌خواست بداند کوچک‌ترین چنین مجموعه‌ای چگونه خواهد بود.

او مثلثی با اضلاع کمی فرورفته به نام دلتوئید پیشنهاد کرد که نصف مساحت دیسک را دارد. با این حال، معلوم شد که می توان خیلی خیلی بهتر انجام داد.

در سال 1919، تنها چند سال پس از طرح مسئله کاکیا، آبرام بسیکوویچ، ریاضیدان روسی نشان داد که اگر سوزن های خود را به شیوه ای بسیار خاص مرتب کنید، می توانید مجموعه ای خاردار بسازید که به طور دلخواه منطقه کوچکی دارد. (به دلیل جنگ جهانی اول و انقلاب روسیه، نتیجه او تا چند سال به بقیه دنیای ریاضیات نمی رسد.)

برای اینکه ببینید چگونه ممکن است کار کند، یک مثلث را بردارید و آن را در امتداد پایه آن به قطعات مثلثی نازک‌تر تقسیم کنید. سپس آن قطعات را به اطراف بلغزانید تا تا حد امکان روی هم قرار گیرند اما در جهت های کمی متفاوت بیرون بزنند. با تکرار این فرآیند بارها و بارها - تقسیم مثلث خود به قطعات نازک تر و نازک تر و مرتب کردن مجدد آنها در فضا - می توانید مجموعه خود را به اندازه دلخواه کوچک کنید. در حد نامتناهی، می‌توانید مجموعه‌ای را به دست آورید که از نظر ریاضی مساحتی ندارد، اما همچنان، به‌طور متناقض، می‌تواند سوزنی را که به هر جهتی اشاره می‌کند، در خود جای دهد.

گفت: "این به نوعی تعجب آور و غیرقابل درک است." روئیشیانگ ژانگ از دانشگاه کالیفرنیا، برکلی. "این مجموعه ای است که بسیار آسیب شناسی است."

این نتیجه را می توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد: می توان مجموعه ای با حجم کم دلخواه ساخت که شامل یک قطعه خط واحد است که در هر جهت در n-فضای بعدی

به نظر می رسید بسیکوویچ سؤال کاکیا را کاملاً حل کرده است. اما چندین دهه بعد، ریاضیدانان شروع به کار بر روی نسخه دیگری از مسئله کردند که در آن مساحت (یا حجم، در مورد ابعاد بالاتر) را با مفهوم متفاوتی از اندازه جایگزین کردند.

برای درک این قالب بندی مجدد سوال، ابتدا هر بخش خط را در یک مجموعه کاکیا بگیرید و کمی آن را چاق کنید - گویی از یک سوزن واقعی استفاده می کنید نه یک سوزن ایده آل. در هواپیما، مجموعه شما از مستطیل های بسیار نازک تشکیل شده است. در فضای سه بعدی مجموعه ای از لوله های بسیار نازک خواهید داشت.

این مجموعه‌های چاق‌شده همیشه مقداری مساحت (یا حجم دارند، اما فعلاً به حالت دو بعدی پایبند هستیم). همانطور که عرض سوزن خود را تغییر می دهید، این ناحیه تغییر می کند. در دهه 1970، روی دیویس ریاضیدان (که ماه گذشته درگذشت) نشان داد که اگر مساحت کل کمی تغییر کند، عرض هر سوزن باید به شدت تغییر کند. به عنوان مثال، اگر می خواهید یک نسخه چاق شده از ست Besicovitch مساحتی معادل 1/10 اینچ مربع داشته باشد، هر سوزن باید ضخامتی در حدود 0.000045 اینچ داشته باشد: e^-10 یک اینچ، به طور دقیق. اما اگر می خواهید مساحت کل را 1/100 اینچ مربع - 10 برابر کوچکتر - کنید، سوزن باید e^-100 به ضخامت یک اینچ (قبل از اینکه به ارقام دیگر برسید، چهل و سه صفر از نقطه اعشار پیروی می کنند.)

گفت: "اگر به من بگوئید که می خواهید منطقه چقدر کوچک باشد، باید سوزنی بخواهم که به طرز باورنکردنی نازکی باشد." چارلز ففرمن از دانشگاه پرینستون

ریاضیدانان "اندازه" مجموعه کاکیا را با استفاده از کمیتی به نام بعد مینکوفسکی می سنجند، که به بعد معمولی مرتبط است اما کاملاً مشابه آن نیست (تعریف شده به عنوان تعداد جهت های مستقلی که برای توصیف یک فضا نیاز دارید).

در اینجا یک راه برای فکر کردن در مورد ابعاد Minkowski وجود دارد: مجموعه خود را بردارید و آن را با توپ های کوچکی که قطر هر کدام یک میلیونم واحد دلخواه شما است، بپوشانید. اگر ست شما یک پاره خط به طول 1 است، حداقل به 1 میلیون توپ برای پوشاندن آن نیاز دارید. اگر مجموعه شما مربع مساحت 1 باشد، به تعداد بسیار زیاد دیگری نیاز دارید: یک میلیون مربع یا یک تریلیون. برای کره ای با حجم 1، حدود 1 میلیون مکعب (یک کوینتیلیون) و غیره است. بعد مینکوفسکی مقدار این توان است. با کوچکتر شدن قطر هر توپ، سرعت افزایش تعداد توپ هایی که برای پوشاندن مجموعه خود نیاز دارید را اندازه می گیرد. یک پاره خط دارای بعد 1، یک مربع دارای بعد 2 و یک مکعب دارای بعد 3 است.

این ابعاد آشنا هستند. اما با استفاده از تعریف مینکوفسکی، می توان مجموعه ای را ساخت که دارای بعد مثلاً 2.7 باشد. اگرچه چنین مجموعه ای فضای سه بعدی را پر نمی کند، به نوعی "بزرگتر" از یک سطح دو بعدی است.

وقتی مجموعه ای را با توپ هایی با قطر معین می پوشانید، حجم نسخه چاق شده مجموعه را تقریبی می کنید. هر چه حجم ست با اندازه سوزن شما آهسته تر کاهش یابد، توپ های بیشتری برای پوشاندن آن نیاز دارید. بنابراین می‌توانید نتیجه دیویس را بازنویسی کنید - که بیان می‌کند که مساحت مجموعه کاکیا در صفحه به آرامی کاهش می‌یابد - تا نشان دهید که مجموعه باید بعد مینکوفسکی 2 داشته باشد. حدس کاکیا این ادعا را به ابعاد بالاتر تعمیم می‌دهد: یک مجموعه کاکیا باید همیشه ابعادی برابر با فضایی که در آن ساکن است دارد.

اثبات این جمله ساده به طرز شگفت آوری دشوار بوده است.

برج حدس و گمان

تا اینکه ففرمن ساخت یک کشف شگفت انگیز در سال 1971، این حدس به عنوان یک کنجکاوی در نظر گرفته شد.

او در آن زمان روی یک مشکل کاملاً متفاوت کار می کرد. او می‌خواست تبدیل فوریه را درک کند، ابزار قدرتمندی که به ریاضیدانان اجازه می‌دهد توابع را با نوشتن آنها به صورت مجموع امواج سینوسی مطالعه کنند. به یک نت موسیقی فکر کنید که از تعداد زیادی فرکانس همپوشانی تشکیل شده است. (به همین دلیل است که صدای C وسط در پیانو با صدای C وسط ویولن متفاوت است.) تبدیل فوریه به ریاضیدانان اجازه می دهد تا فرکانس های تشکیل دهنده یک نت خاص را محاسبه کنند. همین اصل برای صداهایی به پیچیدگی گفتار انسان کار می کند.

ریاضیدانان همچنین می‌خواهند بدانند که آیا می‌توانند تابع اصلی را بازسازی کنند، اگر فقط برخی از فرکانس‌های بی‌نهایت تشکیل‌دهنده آن به آنها داده شود. آنها درک خوبی از نحوه انجام این کار در یک بعد دارند. اما در ابعاد بالاتر، آنها می توانند انتخاب های مختلفی در مورد اینکه کدام فرکانس را استفاده کنند و کدام را نادیده بگیرند، داشته باشند. ففرمن در کمال تعجب همکارانش ثابت کرد که ممکن است با تکیه بر روشی به خصوص شناخته شده برای انتخاب فرکانس، در بازسازی عملکرد خود شکست بخورید.

اثبات او به ساخت یک تابع با اصلاح مجموعه کاکیای بسیکوویچ وابسته بود. این بعدها باعث شد تا ریاضیدانان سلسله مراتبی از حدس و گمان ها را در مورد رفتار ابعاد بالاتر تبدیل فوریه ایجاد کنند. امروزه، این سلسله مراتب حتی شامل حدس هایی در مورد رفتار معادلات دیفرانسیل جزئی مهم در فیزیک، مانند معادله شرودینگر است. هر حدس در سلسله مراتب به طور خودکار بر حدس زیر دلالت دارد.

حدس کاکیا در پایه این برج قرار دارد. اگر نادرست است، جملات بالاتر در سلسله مراتب نیز هستند. از سوی دیگر، اثبات درستی آن بلافاصله به معنای درستی حدسیات واقع در بالای آن نیست، اما ممکن است ابزارها و بینش هایی برای حمله به آنها فراهم کند.

نکته شگفت انگیز در مورد حدس کاکیا این است که این فقط یک مشکل سرگرم کننده نیست. هیکمن گفت: این یک گلوگاه نظری واقعی است. ما بسیاری از این پدیده ها را در معادلات دیفرانسیل جزئی و تحلیل فوریه درک نمی کنیم زیرا مجموعه های کاکیا را درک نمی کنیم.

طرح ریزی

اثبات ففرمن - همراه با پیوندهای متعاقباً کشف شده با نظریه اعداد، ترکیب شناسی و سایر زمینه ها - علاقه به مسئله کاکیا را در بین ریاضیدانان برتر زنده کرد.

در سال 1995، توماس وولف ثابت کرد که بعد مینکوفسکی مجموعه کاکیا در فضای سه بعدی باید حداقل 3 باشد. معلوم شد که افزایش آن کران پایین دشوار است. سپس، در سال 2.5، ریاضیدانان نتز کاتز, ایزابلا Łaba و ترنس تائو موفق شد آن را شکست دهد. کران جدید آنها: 2.500000001. علیرغم اینکه این پیشرفت چقدر کوچک بود، بر یک مانع نظری عظیم غلبه کرد. کاغذ آنها بود منتشر شده در سالنامه ریاضیات، معتبرترین مجله این رشته.

کاتز و تائو بعداً امیدوار بودند که برخی از ایده های آن کار را برای حمله به حدس سه بعدی کاکیا به روشی متفاوت به کار گیرند. آنها فرض کردند که هر مثال متضاد باید دارای سه ویژگی خاص باشد و همزیستی این ویژگی ها باید به تناقض بینجامد. اگر آنها می توانستند این را ثابت کنند، به این معنی بود که حدس کاکیا در سه بعد درست بود.

آنها نتوانستند تمام راه را بروند، اما پیشرفت کردند. به ویژه، آنها (همراه با دیگر ریاضیدانان) نشان دادند که هر مثال متقابل باید دو ویژگی از سه ویژگی را داشته باشد. باید "صفحه" باشد، به این معنی که هرگاه پاره های خط در یک نقطه قطع شوند، آن پاره ها نیز تقریباً در همان صفحه قرار می گیرند. همچنین باید "دانه ای" باشد، که مستلزم آن است که صفحات نقاط تقاطع نزدیک به طور مشابهی باشند.

که ملک سوم را ترک کرد. در یک مجموعه "چسبنده"، بخش های خطی که تقریباً در یک جهت قرار دارند نیز باید در فضا نزدیک به یکدیگر قرار گیرند. کاتز و تائو نتوانستند ثابت کنند که همه نمونه های متقابل باید چسبنده باشند. اما از نظر شهودی، به نظر می‌رسد که یک مجموعه چسبنده بهترین راه برای همپوشانی زیاد بین بخش‌های خط است، در نتیجه مجموعه را تا حد امکان کوچک می‌کند - دقیقاً همان چیزی که برای ایجاد یک نمونه متقابل نیاز دارید. اگر کسی بتواند نشان دهد که یک مجموعه چسبنده کاکیا دارای ابعاد Minkowski کمتر از 3 است، حدس سه بعدی Kakeya را رد می کند. گفت: "به نظر می رسد "چسبنده" نگران کننده ترین مورد باشد." لری گوث از موسسه فناوری ماساچوست.

دیگه جای نگرانی نیست

نقطه چسبیدن

در سال 2014 - بیش از یک دهه پس از تلاش کاتز و تائو برای اثبات حدس کاکیا - تائو خلاصه ای از رویکرد خود را منتشر کردند در وبلاگ خود، به ریاضیدانان دیگر این فرصت را می دهد که خودشان آن را امتحان کنند.

در 2021، هونگ وانگ، ریاضیدان دانشگاه نیویورک و جاشوا زحل از دانشگاه بریتیش کلمبیا تصمیم گرفت از جایی که تائو و کاتز متوقف شده بودند ادامه دهد.

آنها با فرض وجود یک ضد مثال چسبنده با ابعاد مینکوفسکی کمتر از 3 شروع کردند. آنها از کار قبلی می دانستند که چنین مثالی باید صاف و دانه دار باشد. زال گفت: «بنابراین ما در دنیایی بودیم که تری تائو و نتس کاتز به آن فکر می کردند. اکنون آنها باید نشان می‌دادند که ویژگی‌های مسطح، دانه‌دار و چسبنده با یکدیگر بازی می‌کنند و به تناقضی منجر می‌شوند، که به این معنی است که این مثال متضاد در واقع نمی‌تواند وجود داشته باشد.

با این حال، وانگ و زال برای دریافت این تناقض توجه خود را به سمتی معطوف کردند که کاتز و تائو پیش‌بینی نمی‌کردند - به سمت حوزه‌ای که به عنوان نظریه فرافکنی شناخته می‌شود.

آنها کار خود را با تجزیه و تحلیل ساختار متقابل چسبنده خود با جزئیات بیشتر آغاز کردند. اگر نسخه ایده آل مجموعه را در نظر بگیرید، تعداد بی نهایت پاره خط دارد که به هر جهت اشاره می کنند. اما در این مشکل، به یاد داشته باشید که شما با نسخه‌های چاق‌شده آن بخش‌های خطی سر و کار دارید - یک دسته سوزن. هر یک از این سوزن‌ها می‌تواند شامل بسیاری از بخش‌های خط ایده‌آل باشد، به این معنی که می‌توانید کل مجموعه نامتناهی را با تعداد محدودی سوزن رمزگذاری کنید. بسته به ضخامت سوزن ها، مجموعه چاق شده شما ممکن است بسیار متفاوت به نظر برسد.

اگر ست چسبناک باشد، مهم نیست که سوزن ها چقدر ضخیم باشند، کم و بیش یکسان به نظر می رسد.

وانگ و زحل از این خاصیت استفاده کردند تا نشان دهند که با نازک شدن سوزن ها، مجموعه بیشتر و بیشتر صاف می شود. زحل گفت از طریق این فرآیند، آنها می‌توانستند «شیء آسیب‌شناختی‌تر را استخراج کنند» - چیزی که به نظر می‌رسید ویژگی‌های غیرممکنی داشت.

این چیزی است که آنها در ادامه نشان دادند. آنها ثابت کردند که این شی آسیب شناسی باید به یکی از دو جهت نگاه کند که هر دو به تناقضاتی منجر شدند. یا می‌توانید آن را در فضای دوبعدی به گونه‌ای پخش کنید که آن را در جهات بسیار کوچک‌تر کند - چیزی که وانگ و همکارانش همین الان داشتند. غیر ممکن نشان داده شده است. یا در حالت دوم، سوزن‌های مجموعه بر اساس نوع خاصی از عملکرد سازماندهی می‌شوند که زهل و همکارانش اخیراً ثابت کرده‌اند. نمی تواند وجود داشته باشد، زیرا منجر به انواع دیگری از فرافکنی ها می شود که منطقی نیستند.

وانگ و زحل اکنون تضاد خود را داشتند - به این معنی که هیچ مثال متقابل محکمی برای حدس کاکیا وجود ندارد. (آنها این را نه تنها برای بعد مینکوفسکی، بلکه برای کمیت مرتبط به نام بعد هاسدورف نشان دادند.) زال گفت: «نتیجه تمام این دسته از نمونه‌های متقابل را رد می‌کند» - نوع دقیق مجموعه‌ای که ریاضیدانان احتمالاً رد می‌کردند. حدس

گفت: کار جدید «پشتیبانی قوی از درست بودن حدس کاکیا است». پابلو شمرکین از دانشگاه بریتیش کلمبیا در حالی که فقط در مورد سه بعدی کاربرد دارد، برخی از تکنیک های آن ممکن است در ابعاد بالاتر مفید باشند. پس از گذراندن سال‌ها برای پیشرفت در حدس و گمان در سایر سیستم‌های اعداد، ریاضی‌دانان از بازگشت به حوزه اصلی مسئله اعداد واقعی هیجان‌زده می‌شوند.

ژانگ گفت: «قابل توجه است که آنها این پرونده را به طور کامل حل کردند. "در محیط واقعی، این بسیار نادر است." و اگر کسی بتواند ثابت کند که یک مثال متضاد باید چسبنده باشد، نتیجه جدید حاکی از حدس کامل در سه بعد خواهد بود. سلسله مراتب حدسیات ساخته شده در بالای آن پس از آن امن باقی می ماند، پایه و اساس آن پایدار است.

زال گفت: «به نحوی، این دو مشکل متفاوت در تئوری فرافکنی، که در ظاهر ربطی به یکدیگر ندارند، به خوبی در کنار هم قرار می‌گیرند تا دقیقاً آنچه را که برای کاکیا نیاز بود، ارائه دهند.