درخت سه قلو یکی از زیباترین سازه های ریاضی را تشکیل می دهد | مجله کوانتا

اکثر مردم فقط با تعداد انگشت شماری از اعداد آشنا هستند که نمی توانند به صورت کسری نوشته شوند، مانند $latex sqrt{2}$ یا $latex pi$. اما چنین اعدادی که اعداد غیرمنطقی نامیده می شوند بسیار زیادتر از کسرها یا اعداد گویا هستند.

چقدر آسان می توان آنها را با کسری تقریب کرد؟ اگر از کسری با مخرج خودسرانه بزرگ استفاده می کنید، می توانید به طور دلخواه نزدیک شوید. (همانطور که مشخص است، 22/7 تقریب مناسبی از $لاتکس p$ به دست می دهد؛ 355/113 حتی بهتر است.) اما تخمین برخی از اعداد غیر منطقی سخت تر از بقیه است، به این معنی که برای بدست آوردن باید از مخرج بسیار بزرگی استفاده کنید. یک تقریب نزدیک به نظر می رسد سخت ترین نسبت طلایی است، $latex phi$، یا $latex (1+ sqrt{5})/2$. در یک مفهوم خاص ریاضی، عددی است که "دورترین" از منطقی بودن است.

دور بعدی کدام است؟ و بعدی؟ دنباله اعداد غیرمنطقی سخت به تقریب با جواب های اعداد صحیح به یک معادله ساده فریبنده که هیچ ارتباط آشکاری با تقریبی اعداد غیرمنطقی ندارد، داده می شود. این ارتباط توسط آندری مارکوف، ریاضیدان پیشرو روسی، در سال 1879 اثبات شد.

مارکوف به دلیل ارائه مفهومی در نظریه احتمال به نام زنجیره های مارکوف مشهور است که در همه چیز از الگوریتم رتبه صفحه گوگل تا مدل های تکامل DNA استفاده می شود. اما اگرچه راه‌حل‌های معادله او که اعداد مارکوف نامیده می‌شوند، تقریباً به خوبی شناخته شده نیستند، اما در طیف وسیعی از رشته‌های ریاضی از جمله ترکیب‌شناسی، نظریه اعداد، هندسه و نظریه گراف به وجود می‌آیند.

گفت: "این فقط یک معادله نیست، بلکه نوعی روش است." اولگ کارپنکوف، ریاضیدان دانشگاه لیورپول. این اعداد مرکزی هستند و در اعماق ریاضیات قرار دارند... ساختارهایی مانند این ایده‌هایی هستند که نادر هستند.

معادله او، $latex x^2+y^2+z^2=3xyz$، یک راه حل عدد صحیح واضح دارد که x, y و z همه 1 هستند (از 1 + 1 + 1 = 3 × 1). معلوم می شود که تمام راه حل های اعداد صحیح معادله توسط یک قانون ساده به هم متصل می شوند. با یک راه حل شروع کنید (a, b, c). سپس سه گانه مرتبط (a, b، 3ab - c) نیز یک راه حل است. دو عدد اول ثابت می مانند، در حالی که c، سوم با 3 جایگزین می شودab - c. این قانون را روی (1، 1، 1) اعمال کنید و به (1، 1، 2) می رسید. (به راحتی می توان بررسی کرد که وارد کردن این مقادیر، هر دو طرف معادله را برابر با 6 می کند.) دوباره قانون را اعمال کنید، و به همان جایی که شروع کرده اید باز می گردید، از 3 − 2 = 1. اما اگر ترتیب معادله را برگردانید. اعداد در ثلاث قبل از اعمال قانون، یک جهان کامل از راه حل ها را ایجاد می کند. (1، 2، 1) را وارد کنید و (1، 2، 5) دریافت خواهید کرد.

تا به حال، به دلیل 1های یکسان، درخت (در تصویر ابتدای این داستان نشان داده شده است) شاخه نمی‌شود - به اصطلاح در چند قدم اول، تنه درخت رشد می‌کند. اما اگر با یک راه حل با سه عدد مختلف مانند (1، 2، 5) شروع کنید، شاخه ها شروع به تکثیر می کنند. ورودی (5، 1، 2) و شما (2، 5، 29) دریافت می کنید. اما (2، 5، 1) منجر به (1، 5، 13) می شود. (اگر (1,2,5،XNUMX،XNUMX) را وارد کنید، قانون شما را به شاخه پایین‌تری از درخت برمی‌گرداند.) از این نقطه به بعد، هر جواب دارای سه عدد مختلف است، بنابراین هر شاخه درخت به دو شاخه جدید منتهی می‌شود. .

سمت چپ ترین شاخه درخت ممکن است آشنا به نظر برسد - شامل هر عدد دیگری در دنباله فیبوناچی است که یکی از شناخته شده ترین ها در ریاضیات است (هر عدد در این دنباله مجموع دو عبارت قبلی است: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، …). سمت راست ترین شاخه به طور مشابه شامل هر عبارت دیگری در دنباله Pell است، یک دنباله مرتبط، اگر کمی کمتر معروف باشد. نحوه ظاهر شدن این دنباله ها در درخت راه حل ها "یکی از زیباترین چیزهایی است که من در ریاضیات می شناسم." الکساندر گامبورد، استاد دانشگاه سیتی نیویورک.

قضیه مارکوف در سال 1879، که هر سه گانه را به یک عدد غیرمنطقی که تقریب آن دشوار است مرتبط می کند، اولین اشاره به این بود که این معادله ممکن است عمیقاً در سراسر ریاضی طنین انداز شود. در یک کتاب 2013 در این زمینهمارتین آگنر، ریاضیدان اتریشی که در ماه اکتبر درگذشت، این قضیه را «بدون شک یکی از کلاسیک‌های تمام دوران در نظریه اعداد» نامید.

در سال 1913، گئورگ فروبنیوس، ریاضیدان آلمانی که ساخت مشارکت های گسترده به جبر، نظریه اعداد و مطالعه معادلات دیفرانسیل، متوجه چیز عجیبی در مورد سه گانه مارکوف شد. به نظر می رسید که هر عدد بزرگ به طور منحصر به فردی دو عدد کوچکتر را تعیین می کند. یک عدد - مثلاً 5 را در نظر بگیرید - ممکن است در سه قلوهای زیادی مانند (1، 2، 5)، (1، 5، 13)، (2، 5، 29) و غیره ظاهر شود. اما، او مشاهده کرد، اگر شما فقط به بزرگترین عدد در هر سه قلو نگاه کنید، تنها به یک جفت اعداد کوچکتر وابسته خواهد شد.

از آنجایی که اعداد به سرعت رشد می کنند، کاملاً واضح نیست که این درست باشد. به عنوان مثال، سه قلو (5، 433، 6,466،XNUMX) را در نظر بگیرید. به راحتی مشخص نیست که اگر تنظیم کنید z به 6,466، تنها ممکن است x و y که معادله را حل می کند 5 و 433 هستند. اما تا آنجا که فروبنیوس می تواند بگوید، بزرگترین عدد همیشه به طور منحصر به فرد دو عدد کوچکتر را تعیین می کند. در 110 سال پس از آن، با وجود تحقیقات گسترده ای که اعداد مارکوف را به مسائل دیگر مرتبط می کند، هیچ کس نتوانست آنچه را که به عنوان حدس منحصر به فرد شناخته می شود، اثبات کند.

سادگی نسبی حدس، یک پارادوکس ریاضی رایج را نشان می دهد. ابزارهایی مانند معادله مارکوف را می توان برای اثبات نتایج ظریف و پیچیده استفاده کرد، حتی در حالی که سؤالات اساسی در مورد ویژگی های آنها حل نشده باقی می ماند.

با این حال، در چند سال اخیر، پیشرفت قابل توجهی در جهت اثبات حدس منحصر به فرد وجود داشته است. مدتهاست که شناخته شده است که می توان بین هر سه گانه مارکوف و همه کسرهای بین صفر و 1 مطابقت ایجاد کرد. برای هر کسری p/q، که به آن شاخص می گویند، می توانید یک عدد مارکوف را اختصاص دهید m_p/q با پیروی از یک روش ریاضی خاص مثلا، m_2/3 29 است ، و m_3/5 433 است

در سال 2013، ایگنر سه حدس در مورد اینکه چگونه می توان با استفاده از این مکاتبات سه تایی را سفارش داد. این حدس ها پله هایی در راه اثبات حدس منحصر به فرد هستند. او فرض کرد که اگر شمارش شاخص را ثابت نگه دارید و مخرج را افزایش دهید (مانند 1/2، 1/3، 1/4، 1/5، ...)، اعداد مارکوف مربوطه همچنان بزرگتر می شوند. به همین ترتیب، او فکر کرد که اگر صورت را افزایش دهید اما مخرج یکسانی را حفظ کنید (مانند 1/17، 2/17، 3/17، 4/17، ...)، باید یک رشته از اعداد مارکوف بزرگتر نیز دریافت کنید. او فکر می کرد که اگر مجموع صورت و مخرج ثابت بماند (مانند 1/100، 2/99، 3/98، ...) باید همان الگوی افزایش اعداد برقرار باشد.

حدس ثابت شمارنده در اثبات شد یک مقاله 2020 in پیشرفت در ریاضیات by میشل رابیدو از دانشگاه هارتفورد و رالف شیفلر از دانشگاه کانکتیکات در فوریه 2023، رابیدو و شیفلر، همراه با دو همکار دیگر، اثباتی از دو حدس دیگر نیز هست.

به دلیل این پیشرفت‌ها و پیشرفت‌های دیگر، کارپنکوف خوش‌بین است که احتمالاً اثباتی بر حدس منحصر به فرد فروبنیوس در کار است. او گفت: "من افرادی را می شناسم که می گویند در حال اثبات آن هستند." "من فکر می کنم ما بسیار نزدیک هستیم - شاید ظرف پنج سال آینده."

کوانتوم در حال انجام یک سری نظرسنجی برای ارائه خدمات بهتر به مخاطبانمان است. ما را بگیر نظرسنجی از خوانندگان ریاضی و شما برای برنده شدن رایگان وارد خواهید شد کوانتوم تجارت