دو دانش آموز یک حدس ریاضی که به طور گسترده باور شده است را کشف کردند | مجله کوانتا

سامر هاگ و کلاید کرتزر امید زیادی به پروژه تحقیقاتی تابستانی خود داشتند. نادیده گرفتن کل یک زیر شاخه از ریاضیات یکی از آنها نبود.

در ماه مه، هاگ در حال اتمام سال اول تحصیلات تکمیلی خود در دانشگاه کلرادو، بولدر بود، جایی که کرتزر در مقطع کارشناسی تحصیل می کرد. هر دو مشتاقانه منتظر استراحت از کلاس بودند. هاگ قصد داشت مسیرهای پیاده روی و کوهنوردی جدیدی را کشف کند. کرتزر، یک بومی بولدر، می‌خواست فوتبال بازی کند و برنامه‌ی تحصیلی خود را آماده کند. اما به عنوان ریاضیدانان مشتاق پژوهش، آنها همچنین برای یک برنامه تحقیقاتی نیمه وقت تابستانی در گروه ریاضیدانان درخواست داده بودند. کاترین استنج.

استنج یک نظریه پرداز اعداد است که خود را یک ریاضیدان توصیف می کند.قورباغه” - کسی که قبل از اینکه به مشکل دیگری بپردازد، عمیقاً در پیچیدگی های یک مشکل می کاود. او گفت که او به "سوالات ساده به نظر می رسد که منجر به غنای ساختار می شود" علاقه مند است. پروژه‌های او اغلب با استفاده از رایانه‌ها برای تولید مجموعه داده‌های بزرگ، به مشکلات باز گریزناپذیر نظریه اعداد می‌پردازند.

هاگ و کرتزر برنامه را در 23 سالگی هاگ با پرایمر یک هفته ای روی بسته بندی دایره های آپولونی آغاز کردند - مطالعه ای قدیمی در مورد اینکه چگونه دایره ها می توانند به طور هماهنگ در یک دایره بزرگتر فشرده شوند.

تصور کنید سه سکه را طوری بچینید که هر کدام روی سکه های دیگر را لمس کند. همیشه می توانید دور آنها دایره ای بکشید که از بیرون هر سه را لمس کند. سپس می توانید شروع به پرسیدن سؤال کنید: اندازه آن دایره بزرگتر با سه سکه چگونه ارتباط دارد؟ چه اندازه دایره در شکاف بین سه سکه قرار می گیرد؟ و اگر شروع به کشیدن دایره‌هایی کنید که به تدریج شکاف‌های کوچک‌تر و کوچک‌تر بین دایره‌ها را پر می‌کنند - ایجاد یک الگوی فراکتال معروف به بسته‌بندی - چگونه اندازه آن دایره‌ها به یکدیگر مرتبط می‌شوند؟

ریاضیدانان به جای اینکه به قطر این دایره ها فکر کنند، از معیاری به نام انحنا - معکوس شعاع استفاده می کنند. بنابراین دایره ای با شعاع 2 دارای انحنای 1/2 و دایره ای با شعاع 1/3 دارای انحنای 3 است. هر چه دایره کوچکتر باشد، انحنای آن بزرگتر است.

ریاضیدانان دوره رنسانس ثابت کردند که اگر چهار دایره اول دارای انحنای یک عدد صحیح باشند، انحنای تمام دایره های بعدی در بسته بندی تضمین می شود که اعداد کامل باشند. این به خودی خود قابل توجه است. اما ریاضیدانان با طرح سؤالاتی در مورد اینکه کدام اعداد صحیح با کوچکتر و کوچکتر شدن دایره ها و بزرگتر و بزرگتر شدن انحناها، مسئله را یک قدم فراتر بردند.

در 2010، النا فوکس، نظریه پرداز اعداد اکنون در دانشگاه کالیفرنیا، دیویس، ثابت که انحناها از یک رابطه خاص پیروی می کنند که آنها را به سطل های عددی خاصی مجبور می کند. کمی بعد، ریاضیدانان متقاعد شدند که نه تنها باید انحناها در یک سطل قرار گیرند، بلکه باید از هر عدد ممکن در هر سطل استفاده کرد. این ایده به عنوان حدس محلی-جهانی شناخته شد.

کرتزر می‌گوید: «بسیاری از آثار به آن اشاره می‌کردند که انگار از قبل واقعیت داشته است. ما آن را به گونه‌ای مورد بحث قرار دادیم که گویی قرار است در آینده‌ای نزدیک ثابت شود.»

جیمز ریکاردزیک ریاضیدان در بولدر که با Stange و دانش‌آموزان کار می‌کند، کدی نوشته بود تا هر ترتیب دلخواه بسته‌بندی دایره‌ای را بررسی کند. بنابراین وقتی هاگ و کرتزر در 15 می به گروه پیوستند، فکر کردند که نقشه‌های جالبی از قانون قابل اعتماد محلی به جهانی ایجاد می‌کنند.

Stange برای کنفرانسی در اوایل ژوئن به فرانسه پرواز کرد. هنگامی که او در 12 ژوئن بازگشت، تیم در اطراف نمودارهایی جمع شد که نشان می‌داد چگونه به نظر می‌رسید که چند سطل اعداد خاصی را از دست داده‌اند.

ریکاردز گفت: «ما در حال بررسی این پدیده نبودیم. من سعی نکردم درستی آن را آزمایش کنم. من می دانستم که درست است - من فقط فرض کردم که درست است. و سپس ناگهان، با داده‌هایی مواجه می‌شویم که می‌گویند اینطور نیست.»

تا پایان هفته، تیم مطمئن بود که این حدس نادرست است. اعدادی که انتظار داشتند ظاهر شوند هرگز انجام نشدند. آنها یک مدرک کار کردند و در 6 ژوئیه آنها کار خود را پست کردند به سایت پیش چاپ علمی arxiv.org.

فوکس به یاد می‌آورد که بلافاصله بعد از اینکه اثبات در جای خود قرار گرفت، با Stange صحبت کرد. "چقدر به حدس های محلی به جهانی اعتقاد دارید؟" استنج پرسید. فوکس پاسخ داد که البته او آن را باور کرده است. فوکس گفت: "سپس او همه این داده ها را به من نشان داد و من گفتم: "اوه خدای من، این شگفت انگیز است." منظورم این است که من واقعاً معتقد بودم که حدس محلی به جهانی درست است.

هنگامی که آن را می بینید، فقط می گویید آها! البته!» گفت پیتر سارناک، ریاضیدان موسسه مطالعات پیشرفته و دانشگاه پرینستون که مشاهدات اولیه به دامن زدن به حدس های محلی-جهانی کمک کرد.

افزود: "این بینش فوق العاده ای است." الکس کنتوروویچ از دانشگاه راتگرز همه ما به خودمان لگد می زنیم که 20 سال پیش آن را پیدا نکردیم، زمانی که مردم برای اولین بار شروع به بازی با این کردند.

در میان آوارهای به جا مانده از نتیجه، کار شکافی را در پایه سایر حدس ها در نظریه اعداد آشکار کرده است. ریاضیدانان به این فکر افتاده‌اند که چه باوری رایج است که ممکن است سقوط بعدی باشد.

تاریخچه میدان

بسته بندی دایره های آپولونیایی نام خود را از مبدع احتمالی خود، آپولونیوس پرگا گرفته اند. حدود 2,200 سال پیش هندسه شناس یونانی کتابی به نام مماس ها در مورد چگونگی ساخت دایره ای که مماس بر سه دایره دیگر باشد. کتاب در زمان گم شده است. اما حدود 500 سال بعد، ریاضیدان یونانی پاپوس اسکندریه خلاصه ای را گردآوری کرد که از فروپاشی امپراتوری بیزانس جان سالم به در برد.

فقط با استفاده از توضیحات پاپوس از مماس ها، ریاضیدانان دوره رنسانس تلاش کردند کار اصلی را دوباره دنبال کنند. در سال 1643، رنه دکارت یک رابطه ساده بین انحنای هر چهار دایره ای که بر یکدیگر مماس هستند کشف کرد. دکارت اظهار داشت که مجموع تمام انحناهای مجذور برابر با نصف مجذور مجموع انحناها است. این بدان معناست که با توجه به سه دایره، می توان شعاع دایره مماس چهارم را محاسبه کرد. به عنوان مثال، اگر سه دایره با انحناهای 11، 14 و 15 دارید، می توانید آن اعداد را به معادله دکارت متصل کنید و انحنای دایره ای را که درون آنها قرار می گیرد محاسبه کنید: 86.

در سال 1936، برنده جایزه نوبل رادیو شیمیدان فردریک سوددی وقتی با رابطه دکارت بسته بندی می کرد متوجه چیز عجیبی شد. با کوچکتر شدن دایره ها و بزرگتر شدن انحناها، او انتظار داشت که اعدادی با ریشه مربع یا اعشار بی نهایت بدست آورد. در عوض، تمام انحناها اعداد صحیح بودند. این یک نتیجه نسبتاً ساده از معادله دکارت بود، اما برای صدها سال هیچ کس متوجه آن نشده بود. این الهام بخش Soddy به شعری را منتشر کنید در مجله علمی طبیعت، که شروع شد:

برای بوسیدن یک جفت لب شاید
شامل هیچ مثلثاتی نمی شود.
وقتی چهار دایره می بوسند اینطور نیست
هر کدام سه تای دیگر

ممکن و اجتناب ناپذیر

هنگامی که مشخص شد که بسته بندی های پر از اعداد صحیح وجود دارد، ریاضیدانان سعی کردند الگوهایی را در آن اعداد صحیح بیابند.

در سال 2010، فوکس و کاترین سندن شروع به ساختن بر روی یک مقاله از 2003. این دو مشاهده کردند که اگر هر انحنای یک بسته بندی معین را بر 24 تقسیم کنید، یک قانون ظاهر می شود. به عنوان مثال، برخی از بسته بندی ها فقط دارای انحناهایی با باقیمانده های 0، 1، 4، 9، 12 یا 16 هستند. بقیه فقط باقیمانده های 3، 6، 7، 10، 15، 18، 19 یا 22 را باقی می گذارند. شش گروه ممکن مختلف وجود داشت.

همانطور که ریاضیدانان دسته های مختلف بسته بندی ها را بررسی می کردند، متوجه شدند که برای دایره های به اندازه کافی کوچک - دایره هایی با انحنای بزرگ - به نظر می رسد که هر عدد ممکن در هر دسته برای بسته بندی هایی از آن نوع ظاهر می شود. این ایده را حدس محلی - جهانی نامیدند. فوکس گفت که اثبات آن به "یکی از رویاهای این ریاضیدانان کوچک تبدیل شد." "مثلا، شاید سال‌ها بعد بتوانم آن را حل کنم."

در سال 2012، کنتورویچ و ژان بورگین (که در سال 2018 درگذشت) این را ثابت کرد تقریبا هر عدد پیش بینی شده توسط حدس اتفاق می افتد. اما "تقریبا همه" به معنای "همه" نیست. به عنوان مثال، مربع های کامل به اندازه کافی نادر هستند که از نظر ریاضی، "تقریبا همه" اعداد صحیح مربع کامل نیستند، حتی اگر به عنوان مثال، 25 و 49 باشند. کونتروویچ گفت، ریاضیدانان فکر می‌کردند که نمونه‌های متقابل نادری که پس از مقاله کنتوروویچ و بورگین امکان‌پذیر باقی ماندند، در واقع وجود نداشتند، بیشتر به این دلیل که به نظر می‌رسید دو یا سه مجموعه دایره‌ای که به خوبی مطالعه شده‌اند، حدس‌های محلی-جهانی را به خوبی دنبال می‌کنند.

Cranking تا شماره گیری

وقتی هاگ و کرتزر تابستان امسال در بولدر شروع به کار کردند، ریکاردز ایده‌های خود را روی تخته سیاهی در دفتر Stange نوشت. ریکاردز گفت: ما یک لیست کامل داشتیم. آنها چهار یا پنج نقطه شروع برای آزمایش داشتند. "چیزهایی که فقط می توانید با آنها بازی کنید و ببینید چه اتفاقی می افتد."

یک ایده این بود که همه بسته‌بندی‌های دایره‌ای ممکن را محاسبه کنیم که حاوی دو انحنای دلخواه A و B هستند.

بر اساس این برنامه، هاگ یک اسکریپت پایتون را که هزاران شبیه‌سازی را همزمان ترسیم می‌کرد، خش‌خش کرد. مانند یک جدول ضرب بود: هاگ انتخاب کرد که سطرها و ستون‌ها را بر اساس باقیمانده‌هایشان در هنگام تقسیم بر 24 لحاظ کند. آنهایی که پیکسل سیاه ندارند.

هاگ ده ها قطعه را شخم زد - یکی برای هر جفت باقیمانده در هر شش گروه.

آنها دقیقاً همانطور که انتظار می رفت به نظر می رسیدند: یک دیوار سفید، فلفلی با لکه های سیاه برای اعداد صحیح کوچکتر. Stange گفت: "ما انتظار داشتیم که نقاط سیاه از بین بروند." ریکاردز اضافه کرد: "من فکر می کردم شاید بتوان ثابت کرد که آنها عقب نشینی می کنند." او حدس زد که با نگاه کردن به نمودارهایی که بسته‌بندی‌های زیادی را با هم ترکیب می‌کنند، تیم می‌تواند نتایجی را ثابت کند که وقتی به هر بسته‌بندی به تنهایی نگاه می‌کردند، امکان‌پذیر نبود.

وقتی استنج دور بود، هاگ هر جفت باقیمانده را ترسیم کرد - حدود 120 مورد. سپس او بزرگ شد.

هاگ نحوه تعامل 1,000 عدد صحیح را ترسیم کرده بود. (این نمودار بزرگتر از آن چیزی است که به نظر می رسد، زیرا شامل 1 میلیون جفت ممکن است.) سپس او صفحه را تا 10,000 ضربدر 10,000 چرخاند. در یک نمودار، ردیف‌ها و ستون‌های منظم لکه‌های سیاه از حل شدن خودداری کردند. هیچ شباهتی به حدس های محلی-جهانی پیش بینی نمی کرد.

این تیم در روز دوشنبه پس از بازگشت Stange با یکدیگر دیدار کردند. هاگ نمودارهای خود را ارائه کرد و همه آنها بر روی تصویری با نقاط عجیب و غریب تمرکز کردند. هاگ گفت: «این فقط یک الگوی مستمر بود. و این زمانی بود که کیت گفت، "اگر حدس محلی-جهانی درست نباشد چه؟"

«این شبیه یک الگو است. باید ادامه پیدا کند. بنابراین حدس محلی-جهانی باید نادرست باشد. جیمز بیشتر شک داشت.

ریکاردز گفت: "اولین فکر من این بود که باید یک اشکال در کد من وجود داشته باشد." "یعنی این تنها چیزی بود که می توانستم به آن فکر کنم."

در عرض نیم روز، ریکاردز آمد. این الگو تمام جفت هایی را که عدد اول به شکل 8 × (3) است، رد کردn ± 1)² و دومی 24 برابر هر مربع است. این بدان معنی است که 24 و 8 هرگز در یک بسته بندی ظاهر نمی شوند. اعدادی که انتظار دارید اتفاق بیفتند اینطور نیست.

"من یه جورایی گیج بودم. خیلی وقت‌ها پیش نمی‌آید که چیزی واقعاً شما را غافلگیر کند. اما این جادوی بازی با داده است.

La کاغذ جولای اثبات دقیقی را بیان می کند که الگوی مشاهده شده آنها به طور نامحدود ادامه دارد و این حدس را رد می کند. این اثبات مبتنی بر یک اصل چند صد ساله به نام متقابل درجه دوم است که شامل مربع های دو عدد اول است. تیم Stange کشف کرد که چگونه رفتار متقابل در بسته بندی دایره اعمال می شود. این توضیح می دهد که چرا انحناهای خاص نمی توانند بر یکدیگر مماس باشند. این قانون که انسداد نامیده می شود، در کل بسته بندی پخش می شود. گفت: "این فقط یک چیز کاملاً جدید است." جفری لاگاریاس، ریاضیدان دانشگاه میشیگان که یکی از نویسندگان مقاله بسته بندی دایره ای در سال 2003 بود. سرناک گفت: «آنها آن را هوشمندانه پیدا کرده اند. "اگر این اعداد ظاهر شوند، عمل متقابل را نقض می کنند."

Fallout

در حال حاضر ممکن است تعدادی از حدس های دیگر در نظریه اعداد مورد تردید قرار گیرند. مانند حدس های محلی-جهانی، اثبات آنها سخت است، اما قبلاً نشان داده شده است که تقریباً برای همه موارد صادق هستند و به طور کلی فرض می شود که درست باشند.

به عنوان مثال، فوکس سه گانه مارکوف را مطالعه می کند، مجموعه اعدادی که معادله را برآورده می کنند x² + y² + z² = 3XYZ. او و دیگران نشان داده اند که انواع خاصی از راه حل ها برای اعداد اول بزرگتر از 10 به هم متصل هستند³⁹². همه معتقدند این الگو باید تا بی نهایت ادامه یابد. اما در پرتو نتیجه جدید، فوکس به خود اجازه داده است که احساس تردید کند. او گفت: "شاید من چیزی را از دست داده ام." "شاید همه چیزی را از دست بدهند."

"اکنون که ما یک مثال داریم که در آن نادرست است، سوال این است: آیا برای این نمونه های دیگر نیز نادرست است؟" ریکاردز گفت.

حدس زارمبا نیز وجود دارد. می‌گوید کسری با هر مخرجی را می‌توان به صورت کسر ادامه‌دار بیان کرد که فقط از اعداد بین 1 و 5 استفاده می‌کند. در سال 2014، کنتورویچ و بورگین نشان دادند که حدس زارمبا تقریباً برای همه اعداد صادق است. اما شگفتی در مورد بسته بندی دایره اعتماد به حدس زارمبا را تضعیف کرده است.

اگر مشکل بسته بندی منادی چیزهای آینده باشد، داده های محاسباتی ممکن است ابزار خنثی سازی آن باشد.

فوکس می‌گوید: «همیشه وقتی ریاضیات جدید از نگاه صرف به داده‌ها متولد می‌شود، برای من جذاب است. بدون آن، واقعاً سخت است که تصور کنیم [آنها] به این موضوع برخورد کرده باشند.»

Stange اضافه کرد که هیچ یک از اینها بدون پروژه تابستانی کم هزینه اتفاق نمی افتاد. او گفت: "سرندیپیتی و نگرش کاوش بازیگوش هر دو نقش بزرگی در کشف دارند."

هاگ گفت: «این یک تصادف محض بود. "اگر به اندازه کافی بزرگ نمی شدم، متوجه آن نمی شدیم." این کار نویدبخش آینده نظریه اعداد است. Stange گفت: "شما می توانید از طریق شهود خود، از طریق اثبات، درک ریاضیات را به دست آورید." "و شما به آن اعتماد زیادی دارید زیرا زمان زیادی را صرف فکر کردن در مورد آن کرده اید. اما شما نمی توانید با داده ها بحث کنید.

یادداشت سردبیر: الکس کنتوروویچ یکی از اعضای مجله Quantaهیئت مشاوره علمی او برای این داستان مصاحبه شد، اما در تولید آن نقشی نداشت.