"انتروپی باگل" و دیگر ساختارهای پیچیده از قوانین ساده بیرون می آیند | مجله کوانتا

لزومی ندارد که تکرار همیشه مزخرف باشد. در ریاضیات، نیروی قدرتمندی است که قادر به ایجاد پیچیدگی گیج کننده است.

حتی پس از دهه‌ها مطالعه، ریاضیدانان نمی‌توانند به سؤالات مربوط به اجرای مکرر قوانین بسیار ساده - ابتدایی‌ترین «سیستم‌های دینامیکی» پاسخ دهند. اما در تلاش برای انجام این کار، آنها پیوندهای عمیقی را بین این قوانین و سایر حوزه های به ظاهر دور از ریاضی کشف کردند.

به عنوان مثال، مجموعه ماندلبروت، که من نوشت: در مورد ماه گذشته، نقشه ای از نحوه عملکرد یک خانواده از توابع است - که توسط معادله توصیف شده است f(x) = x² + c - به عنوان ارزش رفتار می کند c محدوده بیش از سطح به اصطلاح پیچیده است. (برخلاف اعداد حقیقی که می‌توانند روی یک خط قرار گیرند، اعداد مختلط دارای دو جزء هستند که می‌توان آن‌ها را بر روی خط رسم کرد. x- و y-محورهای یک صفحه دو بعدی.)

مهم نیست که چقدر روی مجموعه ماندلبرو بزرگنمایی می کنید، الگوهای جدید همیشه بدون محدودیت ظاهر می شوند. او گفت: «حتی در حال حاضر برای من کاملاً نگران‌کننده است که این ساختار بسیار پیچیده از چنین قوانین ساده‌ای سرچشمه می‌گیرد. متیو بیکر موسسه فناوری جورجیا این یکی از اکتشافات واقعا شگفت انگیز قرن بیستم است.

پیچیدگی مجموعه ماندلبرو تا حدی به این دلیل است که بر حسب اعدادی که خودشان پیچیده هستند، تعریف شده است. اما، شاید با کمال تعجب، این تمام داستان نیست. حتی وقتی که c یک عدد واقعی ساده است، مثلاً 3/2-، همه انواع پدیده های عجیب و غریب می توانند رخ دهند. هیچ کس نمی داند چه اتفاقی می افتد زمانی که شما به طور مکرر معادله را اعمال کنید f(x) = x² – 3/2، با استفاده از هر خروجی به عنوان ورودی بعدی در فرآیندی به نام تکرار. اگر شروع به تکرار از x = 0 («نقطه بحرانی» یک معادله درجه دوم)، مشخص نیست که آیا دنباله‌ای تولید خواهید کرد که در نهایت به سمت یک چرخه تکراری از مقادیر همگرا می‌شود، یا دنباله‌ای که به طور بی‌پایان در یک الگوی آشفته به چرخش خود ادامه می‌دهد.

برای مقادیر c کوچکتر از -2 یا بزرگتر از 1/4، تکرار به سرعت تا بی نهایت منفجر می شود. اما در این بازه، مقادیر بی نهایت زیادی وجود دارد c شناخته شده برای ایجاد رفتار آشفته، و بی نهایت موارد مانند -3/2، که در آن "ما نمی دانیم چه اتفاقی می افتد، حتی اگر بسیار ملموس است." جولیو تیوزو از دانشگاه تورنتو

اما در دهه 1990، ریاضیدان دانشگاه استونی بروک میشا لیوبیچ، که در گزارش من در مورد مجموعه ماندلبرو نقش برجسته ای داشت، ثابت که در فاصله بین 2- و 1/4 اکثریت قریب به اتفاق مقادیر c رفتار "هذلولی" خوب ایجاد می کند. (ریاضیدانان یاک گراچیک و گرزگورز سویاتک مستقل ثابت کرد نتیجه تقریباً در همان زمان.) این بدان معنی است که معادلات مربوطه، هنگامی که تکرار می شوند، به یک مقدار واحد یا یک چرخه تکرار شونده از اعداد همگرا می شوند.

یک دهه بعد، سه نفر از ریاضیدانان نشان دادند که بسیاری از ارزش های c هذلولی هستند نه تنها برای معادلات درجه دوم، بلکه برای هر خانواده از چند جمله ای های واقعی (توابع عمومی تر که متغیرهای افزایش یافته به قدرت را ترکیب می کنند، مانند x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). و حالا یکی از آنها، سباستین ون استرین از امپریال کالج لندن، معتقد است که او اثباتی برای این ویژگی برای کلاس وسیع تری از معادلات به نام توابع تحلیلی واقعی دارد که شامل توابع سینوس، کسینوس و نمایی است. ون استرین امیدوار است که نتیجه را در ماه می اعلام کند. اگر پس از بررسی همتایان پایدار بماند، پیشرفت بزرگی در توصیف نحوه رفتار سیستم‌های تک بعدی واقعی خواهد بود.

تقاطع های بعید و شیرینی های آنتروپی

بی‌نهایت معادلات درجه دوم واقعی وجود دارند که وقتی از صفر تکرار می‌شوند، در نهایت چرخه‌ای از اعداد را تولید می‌کنند. اما اگر محدود کنید c به مقادیر گویا - آنهایی که می توانند به صورت کسری نوشته شوند - فقط سه مقدار در نهایت دنباله های تناوبی ایجاد می کنند: 0، -1 و -2. گفت: "این سیستم های دینامیکی بسیار بسیار خاص هستند." کلایتون پتچه دانشگاه ایالتی اورگان

In یک کاغذ منتشر شده در سال گذشته، Petsche و Chatchai Noytaptim دانشگاه واترلو ثابت کرد که آنها حتی از آنچه در نگاه اول به نظر می رسند خاص تر هستند. ریاضیدانان به اعداد «کاملاً واقعی» نگاه کردند که محدودتر از اعداد واقعی هستند اما محدودتر از اعداد گویا هستند.

اگر عددی را به یک چند جمله ای وصل کنید و خروجی آن صفر باشد، آن عدد جواب یا ریشه چند جمله ای است. به عنوان مثال، 2 یک ریشه از f(x) = x² - 4 ، f(x) = x³ - 10x² + 31x - 30، و بی نهایت معادلات دیگر. چنین چند جمله ای ها می توانند ریشه هایی واقعی یا ریشه های پیچیده داشته باشند. (به عنوان مثال، ریشه های x² + 1 جذر -1 است که به صورت نوشته می شود i، و -i - هر دو عدد مختلط.)

عددی کاملا واقعی است اگر معادله چند جمله ای با ضرایب صحیح که فقط ریشه واقعی دارد را برآورده کند. همه اعداد گویا کاملا واقعی هستند، اما برخی از اعداد غیرمنطقی نیز چنین هستند. به عنوان مثال، $latex sqrt{2}$ کاملا واقعی است، زیرا راه حلی برای f(x) = x² – 2 که فقط ریشه های واقعی دارد ($latex sqrt{2}$ و ریشه «خواهر» آن $latex -sqrt{2}$). اما ریشه مکعب 2، $latex sqrt[3]{2}$، کاملا واقعی نیست. این یک راه حل است f(x) = x³ - 2 که دارای دو ریشه خواهر اضافی است که به نام مزدوج Galois نیز شناخته می شود که پیچیده هستند.

پتچه و نویتاپتیم ثابت کردند که هیچ عدد غیرمنطقی کاملاً واقعی وجود ندارد که در نهایت چرخه های تناوبی تولید کند. در عوض، 0، -1 و -2 تنها اعداد کاملا واقعی هستند که این کار را انجام می دهند. آنها نشان دهنده یک تقاطع غیر محتمل بین ویژگی های دو دنیای به ظاهر متفاوت هستند - نظریه اعداد (مطالعه اعداد صحیح) و سیستم های دینامیکی. Petsche و Noytaptim از نتایج مهمی از نظریه اعداد در اثبات خود استفاده کردند و ارتباط بین این دو زمینه را برجسته کردند.

ریاضیدانان خاویر باف و سارا کخ یافت تقاطع غیر محتمل دیگر. آنها نشان دادند که تنها چهار مقدار کاملا واقعی از c — 1/4، –3/4، –5/4 و –7/4 — توالی هایی از نوع خاص و کاملاً درک شده ای به نام چرخه سهموی تولید می کنند.

مزدوج‌های گالوا همچنین راه را برای کشف یک شی مرموز به نام «بگل آنتروپی»، یک حلقه فراکتال درخشان در صفحه پیچیده، هموار کردند. آنتروپی معیاری برای تصادفی بودن است. در این زمینه، میزان دشواری پیش بینی توالی اعداد تولید شده توسط تکرار را اندازه می گیرد x² + cاست. در آخرین مقاله ای که نوشت قبل از مرگش در سال 2012، توپولوژیست مشهور ویلیام ترستون مجموعه ای از مقادیر آنتروپی مربوط به تقریباً یک میلیارد مقادیر واقعی مختلف را ترسیم کرد. c - همراه با مزدوج های Galois از آن مقادیر آنتروپی، که می توانند پیچیده باشند. تیوزو گفت، مفهوم آنتروپی "در خط واقعی است، اما به نوعی هنوز می توانید این سایه از دنیای پیچیده را ببینید."

کوچ گفت: «می‌بینید که این ساختار خود را در ساختار فراکتال توری باورنکردنی سازمان‌دهی می‌کند. "خیلی باحاله." باگل آنتروپی تنها یک الگوی بسیار پیچیده است که از تکرار معادلات درجه دوم واقعی پدیدار می شود. او افزود: "ما هنوز در حال یادگیری همه این جملات جادویی - جواهرات کوچک - در مورد چند جمله ای های درجه دوم واقعی هستیم." شما همیشه می توانید به عقب برگردید و از این چیزی که فکر می کردید به خوبی می دانید شگفت زده شوید.