چگونه ریاضی ساده سوزن را حرکت می دهد | مجله کوانتا

تصور کنید با یک ماشین بدون راننده در خیابان غلت می زنید که مشکلی در پیش رو می بینید. یک راننده تحویل‌دهنده آمازون قبل از اینکه متوجه شود نمی‌تواند از آن عبور کند، ون خود را در نیمه راه از یک کامیون UPS دو پارک شده عبور داد. حالا آنها گیر کرده اند. و به همین ترتیب شما.

خیابان خیلی باریک است که نمی‌توان U-ey را پیاده کرد، بنابراین خودروی تقویت‌شده با هوش مصنوعی شما یک چرخش سه نقطه‌ای را آغاز می‌کند. ابتدا خودرو یک مسیر انحنای به سمت یک حاشیه را طی می کند. هنگامی که به آنجا رسید، به سمت دیگر هدایت می شود و به سمت حاشیه مقابل برمی گردد. سپس فرمان را در جهت اولین مسیر منحنی به عقب بر می گرداند و به جلو و دور از مانع حرکت می کند.

این الگوریتم هندسی ساده برای ایجاد چرخش های میانی می تواند به شما کمک کند در موقعیت های سخت دور بزنید. (اگر تا به حال به صورت موازی پارک کرده باشید، می دانید که این تکان دادن عقب و جلو چه کاری می تواند برای شما انجام دهد.)

در اینجا یک مسئله ریاضی جالب وجود دارد که در مورد اینکه چقدر فضای لازم برای چرخاندن ماشین خود دارید وجود دارد و ریاضیدانان بیش از 100 سال است که روی یک نسخه ایده آل از آن کار می کنند. در سال 1917 زمانی که ریاضیدان ژاپنی Sōichi Kakeya مسئله ای را مطرح کرد که کمی شبیه ترافیک ما است. فرض کنید یک سوزن بی نهایت نازک به طول 1 دارید. مساحت کوچکترین ناحیه ای که می توانید سوزن را 180 درجه بچرخانید و به موقعیت اولیه خود برگردانید چقدر است؟ این به عنوان مشکل سوزن کاکیا شناخته می شود و ریاضیدانان هنوز در حال بررسی انواع آن هستند. بیایید نگاهی به هندسه ساده ای بیندازیم که مشکل سوزن کاکیا را بسیار جالب و شگفت انگیز می کند.

مانند بسیاری از مسائل ریاضی، این یکی نیز شامل برخی مفروضات ساده‌سازی می‌شود که آن را کمتر واقع‌بینانه اما قابل کنترل‌تر می‌کند. به عنوان مثال، طول و عرض یک ماشین در هنگام رانندگی مهم است، اما ما فرض می کنیم که سوزن ما دارای طول 1 و عرض صفر است. (این بدان معناست که سوزن خود مساحت صفر دارد، که نقش مهمی در حل مشکل بازی می کند.) همچنین، فرض می کنیم که سوزن، بر خلاف خودرو، می تواند به دور قسمت جلویی، انتهای پشتی خود بچرخد. ، یا هر نقطه ای در این بین.

هدف یافتن کوچکترین ناحیه ای است که به سوزن اجازه می دهد 180 درجه بچرخد. پیدا کردن کوچکترین چیزی که مجموعه ای از شرایط را برآورده می کند می تواند چالش برانگیز باشد، اما یک راه خوب برای شروع این است که به دنبال هر چیزی باشید که آن شرایط را برآورده می کند و ببینید در طول مسیر چه چیزهایی می توانید یاد بگیرید. به عنوان مثال، یک پاسخ آسان این است که فقط سوزن را 180 درجه حول نقطه انتهایی آن بچرخانید و سپس آن را به سمت بالا بلغزانید. این سوزن را به موقعیت اولیه خود برمی گرداند، اما اکنون در جهت مخالف است، همانطور که مشکل سوزن کاکیا ایجاب می کند.

ناحیه مورد نیاز برای چرخش یک نیم دایره با شعاع 1 است که دارای مساحت $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. بنابراین ما یک منطقه را پیدا کردیم که کار می کند.

ما می‌توانیم با استفاده از توانایی سوزن ریاضی جادویی خود در چرخش حول هر نقطه، بهتر عمل کنیم. به جای اینکه آن را حول نقطه پایانش بچرخانیم، آن را حول نقطه وسطش بچرخانیم.

ممکن است این را قطب نمای کاکیا بنامید: سوزن ما به سمت شمال شروع می شود، اما پس از چرخش در همان نقطه است اما به سمت جنوب است. این ناحیه دایره‌ای به شعاع $latex frac{1}{2}$ است، بنابراین مساحت آن $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac است{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. این نیمی از مساحت منطقه اول ما است، بنابراین ما در حال پیشرفت هستیم.

بعدی کجا؟ می‌توانیم از معضل خودروی بدون راننده الهام بگیریم و از چیزی مانند پیچ ​​سه نقطه برای سوزن استفاده کنیم. این در واقع به خوبی کار می کند.

ناحیه ای که با استفاده از این تکنیک توسط سوزن خارج می شود، دلتوئید نامیده می شود و نیازهای کاکیا را نیز برآورده می کند. محاسبه مساحت آن به چیزی بیش از هندسه ابتدایی مورد بحث ما در اینجا نیاز دارد (دانش منحنی های پارامتریک کمک می کند)، اما معلوم شد که مساحت این دلتوئید خاص - که توسط یک پاره خط به طول 1 رد می شود - دقیقاً لاتکس دلار است. فراک{pi}{8}$. اکنون منطقه کوچکتری داریم که در آن می‌توانیم سوزن کاکیا را بچرخانیم، و شما را می‌توان بخشید که فکر می‌کنید این بهترین کاری است که می‌توانیم انجام دهیم. خود کاکیا فکر کرد که ممکن است اینطور باشد.

اما این مشکل سوزن زمانی که ریاضیدان روسی آبرام بسیکوویچ دریافت که شما می توانید بی نهایت بهتر عمل کنید، چرخش بزرگی به خود گرفت. او روشی ابداع کرد تا تکه‌های غیرضروری منطقه را کم کند تا آن‌قدر که می‌خواست کوچک شود.

این فرآیند فنی و پیچیده است، اما یک استراتژی مبتنی بر ایده بسیکوویچ بر دو ایده ساده تکیه دارد. ابتدا مثلث قائم الزاویه زیر را با ارتفاع 1 و پایه 2 در نظر بگیرید.

فعلاً چرخاندن سوزن را به طور کامل به دور خود فراموش می کنیم و فقط روی یک واقعیت ساده تمرکز می کنیم: اگر یک سوزن به طول 1 را در راس بالایی قرار دهیم، مثلث به اندازه ای بزرگ است که به سوزن اجازه می دهد تا 90 کامل بچرخد. درجه از یک طرف به طرف دیگر

از آنجایی که مساحت مثلث $latex A=frac{1}{2}bh$ است، این مثلث دارای مساحت $latex A=frac{1}{2} دو برابر 2 = 1$ است.

اکنون، اولین ایده مهم اینجاست: ما می توانیم با حفظ چرخش 90 درجه، مساحت منطقه را کاهش دهیم. استراتژی ساده است: مثلث را از وسط برش می دهیم و سپس دو نیمه را به هم فشار می دهیم.

مساحت این شکل جدید باید کمتر از شکل اصلی باشد زیرا اکنون بخش‌هایی از مثلث با هم همپوشانی دارند. در واقع، محاسبه مساحت شکل آسان است: این فقط سه چهارم مربع ضلع 1 است، بنابراین مساحت $latex A = frac{3}{4}$ است که کمتر از مساحت مثلثی که با آن شروع کردیم

و ما هنوز هم می‌توانیم سوزن را در همان جهات قبلی بگیریم. فقط یک مشکل وجود دارد: زاویه اصلی به دو قسمت تقسیم شده است، بنابراین آن جهت ها اکنون به دو منطقه جداگانه تقسیم می شوند.

اگر سوزن در سمت چپ منطقه جدید باشد، می توانیم آن را 45 درجه بین جنوب و جنوب شرقی بچرخانیم و اگر در سمت راست باشد می توانیم آن را 45 درجه بین جنوب و جنوب غربی بچرخانیم، اما از آنجایی که این دو قسمت از هم جدا شده اند. ، به نظر نمی رسد که بتوانیم آن را به اندازه 90 درجه که قبلا می توانستیم بچرخانیم.

این همان جایی است که دومین ایده مهم مطرح می شود. روشی ابلهانه برای رساندن سوزن از یک طرف به سمت دیگر وجود دارد که به مساحت زیادی نیاز ندارد. در شطرنج ممکن است بدانید که شوالیه به شکل L حرکت می کند. خوب، سوزن ما قرار است به شکل N حرکت کند.

در اینجا نحوه انجام آن آمده است. ابتدا سوزن از یک طرف N به بالا می لغزد. سپس به سمت مورب می چرخد ​​و به پایین می لغزد. سپس دوباره می چرخد ​​و سفر خود را با لغزش از سمت دیگر شمال به پایان می رساند.

در ابتدا این حرکت N شکل ممکن است زیاد به نظر نرسد، اما کار بسیار مفیدی انجام می دهد. این به سوزن اجازه می دهد تا از یک خط موازی به خط دیگر "پرش" کند، که به ما کمک می کند سوزن خود را از یک منطقه به منطقه دیگر برسانیم. مهمتر از آن، این کار را بدون نیاز به مساحت زیادی انجام می دهد. در واقع، شما می توانید آن را به همان اندازه که دوست دارید به مساحت کمی نیاز داشته باشد. در اینجا دلیل آن است.

به یاد بیاورید که سوزن ما دارای عرض صفر است. بنابراین هر خطی که سوزن در امتداد آن حرکت کند، به جلو یا عقب، مساحت صفر خواهد داشت. این بدان معنی است که ناحیه مورد نیاز برای حرکت سوزن به سمت بالا، پایین یا مورب در امتداد شکل N از قطعات با مساحت صفر تشکیل شده است.

این فقط چرخش ها را در گوشه های شکل N باقی می گذارد.

این حرکات به مساحت نیاز دارند. شما می توانید بخش کوچکی از یک دایره را در هر گوشه ببینید. اما بخش پنهان اینجاست: شما می توانید این مناطق را با دراز کردن N کوچکتر کنید.

فرمول مساحت یک بخش از دایره $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$ است، که در آن $latex theta$ اندازه‌گیری زاویه بخش بر حسب درجه است. مهم نیست N چقدر بلند باشد، شعاع بخش همیشه 1 خواهد بود: این طول سوزن است. اما با بلندتر شدن N، زاویه منقبض می‌شود که باعث کاهش مساحت بخش می‌شود. بنابراین، می‌توانید با کشش N به اندازه‌ای که نیاز دارید، ناحیه اضافی را به اندازه‌ای که می‌خواهید کوچک کنید.

به یاد داشته باشید که ما توانستیم مساحت ناحیه مثلثی خود را با تقسیم کردن آن به دو قسمت و همپوشانی قطعات، کاهش دهیم. مشکل این بود که این زاویه 90 درجه را به دو قسمت جداگانه تقسیم کرد و از چرخش 90 درجه کامل سوزن جلوگیری کرد. اکنون می‌توانیم با استفاده از یک شکل N مناسب آن مشکل را حل کنیم تا مطمئن شویم که سوزن مسیری از یک طرف به طرف دیگر دارد.

در این منطقه به روز شده، سوزن همچنان می تواند مانند قبل به طور کامل 90 درجه بچرخد، فقط اکنون در دو مرحله اتفاق می افتد. ابتدا سوزن 45 درجه می چرخد ​​و با لبه عمودی سمت چپ ردیف می شود. سپس در امتداد شکل N حرکت می کند تا به سمت دیگر برسد. به محض اینکه آنجاست، می توانید 45 درجه دیگر را بچرخانید.

این سوزن را 90 درجه حرکت می دهد و برای اینکه بچرخد، فقط یک کپی چرخانده از ناحیه اضافه کنید.

با افزودن شکل‌های N مناسب، سوزن می‌تواند از یک شبه جزیره مثلثی به شبه‌جزیره دیگر بپرد و ذره ذره خودش را بچرخاند تا جایی که تمام شود، درست مانند ماشینی که یک چرخش سه نقطه‌ای را انجام می‌دهد.

ریاضیات شیطانی بیشتری در جزئیات وجود دارد، اما این دو ایده – اینکه می‌توانیم به طور مداوم مساحت ناحیه اصلی را با برش دادن آن و جابه‌جایی آن به اطراف کاهش دهیم و در عین حال مطمئن شویم که می‌توانیم با استفاده از شکل‌های کوچک N خودسرانه، از یک قطعه به قطعه دیگر برسیم – به ما کمک می‌کند. سوزن را در ناحیه ای که همیشه کوچک می شود حرکت دهید که در نهایت می تواند به اندازه دلخواه شما کوچک باشد.

یک رویکرد استانداردتر برای ساختن این نوع منطقه با مثلث‌های متساوی الاضلاع شروع می‌شود و از «درختان پرون» استفاده می‌کند، که روش‌های هوشمندانه‌ای برای برش دادن مثلث‌ها به بالا و کشش و کشیدن قطعات به هم هستند. نتیجه کاملا خیره کننده است.

اخیراً ریاضیدانان چنین کرده اند پیشرفت کرد در مورد تغییرات جدید این مشکل قدیمی، در ابعاد بالاتر و با مفاهیم مختلف اندازه تنظیم شده است. ما احتمالاً هرگز نخواهیم دید که یک خودروی مجهز به هوش مصنوعی یک پیچ در نقطه سوزن کاکیا را ردیابی کند، اما همچنان می‌توانیم زیبایی و سادگی تقریباً هیچی آن را درک کنیم.

تمرینات

1. مساحت کوچکترین مثلث متساوی الاضلاع که به عنوان مجموعه سوزن کاکیا کار می کند چقدر است؟

2. در تمرین 1 می توانید کمی بهتر از مثلث متساوی الاضلاع با استفاده از "مثلث Reuleaux" انجام دهید، ناحیه ای که توسط سه بخش دایره ای روی هم قرار گرفته اند. مساحت کوچکترین مثلث Reuleaux که کار می کند چقدر است؟