اگر اخبار ریاضی را در این ماه دنبال کرده باشید، می دانید که جیمز مینارد نظریه پرداز اعداد 35 ساله موفق به کسب جایزه شد. مدال فیلدز - بالاترین افتخار برای یک ریاضیدان. مینارد سوالات ریاضی را دوست دارد که «به اندازه کافی ساده برای یک دانش‌آموز دبیرستانی توضیح داده می‌شوند، اما آنقدر سخت هستند که قرن‌ها ریاضیدانان را دچار مشکل کنند». کوانتوم گزارشو یکی از آن سؤالات ساده این است: وقتی در امتداد خط اعداد حرکت می کنید، آیا همیشه باید اعداد اول نزدیک به هم باشند؟
شاید متوجه شده باشید که ریاضیدانان به اعداد اول وسواس دارند. چه چیزی آنها را جذب می کند؟ شاید این واقعیت باشد که اعداد اول برخی از اساسی ترین ساختارها و اسرار ریاضی را در بر می گیرند. اعداد اول با اجازه دادن به ما برای طبقه‌بندی و دسته‌بندی هر عدد با فاکتورگیری منحصربه‌فرد، جهان ضرب را ترسیم می‌کنند. اما با وجود اینکه انسان‌ها از ابتدای ضرب با اعداد اول بازی می‌کنند، ما هنوز دقیقاً مطمئن نیستیم که اعداد اول کجا ظاهر می‌شوند، چقدر پراکنده هستند یا چقدر باید نزدیک باشند. تا آنجا که می دانیم، اعداد اول از الگوی ساده ای پیروی نمی کنند.
شیفتگی ما به این اشیاء اساسی منجر به اختراع یا کشف صدها نوع مختلف اعداد اول شده است: اعداد اول مرسن (اعداد اول شکل 2)n − 1)، اعداد اول متعادل (اعداد اول که میانگین دو عدد اول همسایه هستند)، و اعداد اول سوفی ژرمن (یک عدد اول). p طوری که 2p + 1 نیز اول است)، به نام چند.
علاقه به این اعداد اول ویژه از بازی با اعداد و کشف چیزهای جدید ناشی شد. این در مورد «اعداد اول ظریف دیجیتالی» نیز صادق است، که اخیراً به فهرست اضافه شده است که منجر به نتایج شگفت‌انگیزی در مورد اساسی‌ترین سؤالات شده است: انواع خاصی از اعداد اول چقدر نادر یا رایج هستند؟
برای درک این سوال، اجازه دهید با یکی از اولین حقایق جالبی که یک مشتاق اعداد مشتاق می‌آموزد شروع کنیم: بی‌نهایت اعداد اول وجود دارد. اقلیدس این را 2,000 سال پیش با استفاده از یکی از معروف ترین برهان های تناقض در تمام تاریخ ریاضیات ثابت کرد. او با این فرض شروع کرد که فقط تعداد محدودی اعداد اول وجود دارد و همه را تصور کرد n از آنها در یک لیست:
$latexp_1، p_2، p_3، …، p_n$.
سپس او یک کار هوشمندانه انجام داد: او به عدد $latexq=p_1 بار p_2 ضربدر p_3 بار … بار p_n+1$ فکر کرد.
توجه کنید که q نمی تواند در لیست اعداد اول باشد، زیرا از همه چیزهای موجود در لیست بزرگتر است. بنابراین اگر لیست محدودی از اعداد اول وجود داشته باشد، این عدد q نمی تواند اول باشد اما اگر q عدد اول نیست، باید بر چیزی غیر از خودش و 1 بخش پذیر باشد. این به نوبه خود به این معنی است که q باید قابل تقسیم بر مقدار اول در لیست باشد، اما به دلیل روش q ساخته شده است، تقسیم q توسط هر چیزی در لیست باقی مانده از 1. بنابراین ظاهرا q نه اول است و نه بر هیچ اعداد اول بخش پذیر نیست، که این تناقضی است که از این فرض حاصل می شود که فقط تعداد محدودی اعداد اول وجود دارد. بنابراین، برای اجتناب از این تناقض، در واقع باید اعداد اول بی نهایت زیاد باشد.
با توجه به اینکه تعداد بی نهایت آنها وجود دارد، ممکن است فکر کنید که اعداد اول از همه نوع به راحتی پیدا می شوند، اما یکی از چیزهای بعدی که یک کارآگاه اعداد اول یاد می گیرد این است که اعداد اول چقدر می توانند گسترده باشند. یک نتیجه ساده در مورد فاصله بین اعداد اول متوالی که شکاف اول نامیده می شود، چیزی کاملاً شگفت انگیز را بیان می کند.
در بین 10 عدد اول اول - 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23 و 29 - می توانید شکاف هایی را ببینید که از یک یا چند عدد مرکب تشکیل شده اند (اعدادی که اول نیستند، مانند 4، 12). یا 27). شما می توانید این شکاف ها را با شمارش اعداد مرکب در بین آنها اندازه گیری کنید: به عنوان مثال، یک شکاف اندازه 0 بین 2 و 3، یک شکاف اندازه 1 بین 3 و 5 و 5 و 7، یک شکاف اندازه 3 بین 7 وجود دارد. و 11 و غیره. بزرگترین شکاف اول در این لیست شامل پنج عدد ترکیبی - 24، 25، 26، 27 و 28 - بین 23 و 29 است.
اکنون برای نتیجه باورنکردنی: شکاف‌های اصلی می‌توانند خودسرانه طولانی باشند. این بدان معنی است که اعداد اول متوالی تا آنجا که می توانید تصور کنید وجود دارد. شاید به همان اندازه باورنکردنی باشد که اثبات این واقعیت چقدر آسان است.
ما قبلاً یک شکاف اصلی به طول 5 در بالا داریم. آیا ممکن است یکی از طول 6 وجود داشته باشد؟ به‌جای جستجوی فهرست‌های اعداد اول به امید یافتن یکی، فقط آن را خودمان می‌سازیم. برای انجام این کار از تابع فاکتوریل استفاده شده در فرمول های شمارش اولیه استفاده می کنیم: طبق تعریف، $latexn!=n بار(n-1) بار (n-2) بار ... بار 3 بار 2 برابر 1$، به عنوان مثال $ latex3!=3 برابر 2 برابر 1 = 6$ و $latex5!=5 برابر 4 برابر 3 بار 2 برابر 1=120$.
حالا بیایید شکاف اصلی خود را ایجاد کنیم. دنباله اعداد متوالی زیر را در نظر بگیرید:
$latex 7!+2$، $latex7!+3$، $latex 7!+4$، $latex7!+5$، $لاتکس 7!+6$، $لاتکس 7!+7$.
از آنجایی که $latex7!=7 ضربدر 6 ضربدر 5 بار 4 بار 3 بار2 برابر 1$، اولین عدد در دنباله ما، $latex7!+2$، بر 2 بخش پذیر است که پس از کمی فاکتورگیری می توانید آن را ببینید:
$latex7!+2=7 بار 6 بار 5 بار 4 بار 3 بار2 برابر 1+2$
$latex= 2(7 بار 6 برابر 5 بار 4 بار 3 برابر 1+1)$.
به همین ترتیب، عدد دوم، $latex7!+3$، بر 3 بخش پذیر است، زیرا
$latex7!+3=7 بار 6 بار 5 بار 4 بار 3 بار2 برابر 1+3$
$latex= 3(7 بار 6 برابر 5 بار 4 بار 2 برابر 1+1)$.
به همین ترتیب، 7! + 4 بر 4 بخش پذیر است، 7! + 5 در 5، 7! + 6 در 6 و 7! + 7 در 7 که می شود 7! + 2، 7! + 3، 7! + 4، 7! + 5، 7! + 6، 7! + 7 دنباله ای از شش عدد مرکب متوالی. ما یک شکاف اصلی حداقل 6 داریم.
تعمیم این استراتژی آسان است. تسلسل و توالی
$latexn!+2$، $latexn!+3$، $latexn!+4$، $latexn…$، $latexn!+n$.
دنباله ای از $latexn-1$ اعداد مرکب متوالی است، به این معنی که، برای هر n، یک شکاف اصلی با طول حداقل $latexn-1$ وجود دارد. این نشان می‌دهد که شکاف‌های اول به‌طور دلخواه طولانی وجود دارد، و بنابراین در امتداد فهرست اعداد طبیعی مکان‌هایی وجود دارد که نزدیک‌ترین اعداد اول 100، یا 1,000 یا حتی 1,000,000,000،XNUMX،XNUMX،XNUMX اعداد از یکدیگر فاصله دارند.
یک تنش کلاسیک را می توان در این نتایج مشاهده کرد. تعداد بی نهایت اعداد اول وجود دارد، اما اعداد اول متوالی نیز می توانند بی نهایت از هم دور باشند. علاوه بر این، بی نهایت اعداد اول متوالی نزدیک به هم هستند. حدود 10 سال پیش، کار پیشگامانه Yitang Zhang مسابقه ای را برای بستن شکاف و اثبات حدس اعداد اول دوقلو آغاز کرد، که ادعا می کند بی نهایت جفت اعداد اول وجود دارند که فقط 2 تفاوت دارند. حدس اعداد اول دوقلو یکی از بهترین حدس ها سؤالات باز معروف در ریاضیات، و جیمز مینارد سهم مهم خود را در اثبات این نتیجه مبهم داشته است.
این تنش همچنین در نتایج اخیر در مورد اعداد اول به اصطلاح ظریف دیجیتالی وجود دارد. برای اینکه بفهمید این اعداد چیست و کجا ممکن است باشند یا نباشند، لحظه ای به این سوال عجیب فکر کنید: آیا عدد اول دو رقمی وجود دارد که با هر تغییری در رقم یکانش همیشه مرکب شود؟
برای اینکه احساسی نسبت به ظرافت دیجیتال داشته باشیم، بیایید با عدد 23 بازی کنیم. ما می دانیم که عدد اول است، اما اگر رقم یکان آن را تغییر دهید چه اتفاقی می افتد؟ خوب، 20، 22، 24، 26 و 28 همه زوج هستند، و بنابراین مرکب. 21 بر 3 بخش پذیر است، 25 بر 5 بخش پذیر است، و 27 بر 9 بخش پذیر است. اما اگر رقم یکان را به 9 تغییر دهید، 29 به دست می آید که همچنان یک عدد اول است. بنابراین عدد 23 آن نوع اولی نیست که ما به دنبال آن هستیم.
37 چطور؟ همانطور که در بالا دیدیم، ما نیازی به بررسی اعداد زوج یا اعدادی که به 5 ختم می شوند را نداریم، بنابراین فقط 31، 33 و 39 را بررسی می کنیم. از آنجایی که 31 نیز اول است، 37 نیز کار نمی کند.
اصلا چنین عددی وجود دارد؟ پاسخ مثبت است، اما برای یافتن آن باید تا 97 پیش برویم: 97 عدد اول است، اما 91 (قابل تقسیم بر 7)، 93 (قابل تقسیم بر 3) و 99 (همچنین بر 3 قابل تقسیم است) همه ترکیبی هستند. ، به همراه اعداد زوج و 95.
یک عدد اول «ظریف» است اگر، وقتی یکی از ارقام آن را به هر چیز دیگری تغییر می‌دهید، «اولیت» خود را از دست بدهد. تا اینجا می بینیم که 97 در رقم یکان ظریف است - زیرا تغییر آن رقم همیشه یک عدد ترکیبی ایجاد می کند - اما آیا 97 معیارهای کامل بودن ظریف بودن دیجیتال را برآورده می کند؟ پاسخ منفی است، زیرا اگر رقم ده ها را به 1 تغییر دهید، 17، یک عدد اول به دست می آید. (توجه داشته باشید که 37، 47 و 67 همگی اعداد اول هستند.)
در واقع، هیچ پرایم دیجیتالی ظریف دو رقمی وجود ندارد. جدول زیر از همه اعداد دو رقمی، با اعداد اول دو رقمی سایه دار، نشان می دهد که چرا.
همه اعداد در هر ردیف داده شده دارای رقم ده ها یکسان هستند و همه اعداد در هر ستون معین دارای رقم یکسان هستند. این واقعیت که 97 تنها عدد سایه دار در ردیف آن است نشان دهنده این واقعیت است که در رقم یکان ظریف است، اما تنها عدد اول در ستون آن نیست، به این معنی که در رقم ده ها ظریف نیست.
یک عدد اول دو رقمی ظریف دیجیتالی باید تنها عدد اول در سطر و ستون آن باشد. همانطور که جدول نشان می دهد، چنین عدد اول دو رقمی وجود ندارد. در مورد یک عدد اول سه رقمی ظریف دیجیتالی چطور؟ در اینجا جدول مشابهی وجود دارد که طرح اعداد اول سه رقمی را بین 100 و 199 نشان می دهد، با اعداد ترکیبی حذف شده است.
در اینجا می بینیم که 113 در ردیف خودش قرار دارد، یعنی در رقم یکان ظریف است. اما 113 در ستون خودش نیست، بنابراین برخی از تغییرات در رقم ده ها (مانند 0 برای 103 یا به 6 برای 163) اعداد اول را ایجاد می کنند. از آنجایی که هیچ عددی هم در ردیف و هم در ستون خودش ظاهر نمی‌شود، به سرعت می‌بینیم که اگر رقم یکان یا ده‌ها آن را تغییر دهید، هیچ عدد سه رقمی وجود ندارد که ترکیبی بودن آن تضمین شود. این به این معنی است که نمی‌توان عدد اول سه رقمی حساس دیجیتالی وجود داشته باشد. توجه داشته باشید که ما حتی رقم صدها را بررسی نکردیم. برای اینکه یک عدد سه رقمی واقعاً از نظر دیجیتالی ظریف باشد، باید از اعداد اول در سه جهت در جدول سه بعدی اجتناب کند.
آیا اعداد اولیه ظریف دیجیتالی اصلا وجود دارند؟ هرچه از خط اعداد جلوتر می‌روید، اعداد اول پراکنده‌تر می‌شوند، که باعث می‌شود در ردیف‌ها و ستون‌های این جداول با ابعاد بالا کمتر از مسیرهای متقاطع عبور کنند. اما اعداد بزرگتر ارقام بیشتری دارند و هر رقم اضافی احتمال ظریف بودن عدد اول را کاهش می دهد.
اگر ادامه دهید، متوجه خواهید شد که اعداد اول ظریف دیجیتالی وجود دارند. کوچکترین 294,001 است. وقتی یکی از ارقام آن را تغییر می دهید، عددی که به دست می آورید - مثلاً 794,001 یا 284,001 - ترکیبی خواهد بود. و موارد دیگر وجود دارد: چند مورد بعدی 505,447 است. 584,141; 604,171; 971,767; و 1,062,599. در واقع، آنها متوقف نمی شوند. ریاضیدان معروف پل اردوس ثابت کرد که اعداد اول ظریف دیجیتالی بی نهایت زیاد هستند. و این اولین مورد از بسیاری از نتایج شگفت انگیز در مورد این اعداد کنجکاو بود.
به عنوان مثال، Erdős فقط ثابت نکرد که بی نهایت اعداد اول ظریف دیجیتالی وجود دارد: او ثابت کرد که بی نهایت اعداد اول ظریف دیجیتالی در هر پایه وجود دارد. بنابراین اگر بخواهید اعداد خود را به صورت دودویی، سه تایی یا هگزادسیمال نشان دهید، هنوز مطمئن هستید که بی نهایت اعداد اول ظریف دیجیتالی را پیدا خواهید کرد.
و اعداد اول ظریف دیجیتالی فقط بی نهایت نیستند: آنها درصدی غیر صفر از همه اعداد اول را تشکیل می دهند. این بدان معناست که اگر به نسبت تعداد اعداد اول ظریف دیجیتالی به تعداد اعداد اول کلی نگاه کنید، این کسری عددی بزرگتر از صفر است. از نظر فنی، "نسبت مثبت" از همه اعداد اول از نظر دیجیتالی ظریف هستند، همانطور که ترنس تائو دارنده مدال فیلدز در سال 2010 ثابت کرد. اعداد اول به خودی خود نسبت مثبتی از همه اعداد را تشکیل نمی دهند، زیرا شما اعداد اول کمتر و کمتری خواهید یافت. هرچه از خط اعداد دورتر می روید. با این حال، در میان آن اعداد اول، شما همچنان به یافتن اعداد اول ظریف دیجیتالی آنقدر ادامه خواهید داد که نسبت اعداد اول ظریف به کل اعداد اول را بالای صفر نگه دارید.
شاید تکان دهنده ترین کشف یک نتیجه از سال 2020 در مورد تغییر جدیدی از این اعداد عجیب با آرام کردن مفهوم رقم، ریاضیدانان بازنمایی یک عدد را دوباره تصور کردند: به جای اینکه به تنهایی به 97 فکر کنند، در عوض آن را دارای صفرهای ابتدایی می دانستند:
…0000000097.
هر صفر اول را می توان به عنوان یک رقم در نظر گرفت، و مسئله ظرافت دیجیتال را می توان به این نمایش های جدید تعمیم داد. آیا ممکن است "اعداد اول بسیار ظریف دیجیتالی" وجود داشته باشد - اعداد اولی که با تغییر هر یک از ارقام، از جمله هر یک از آن صفرهای ابتدایی، همیشه ترکیبی می شوند؟ به لطف کار ریاضیدانان مایکل فیلاستا و جرمیا ساوتویک، ما می دانیم که پاسخ، در کمال تعجب، مثبت است. نه تنها اعداد اول بسیار حساس دیجیتالی وجود دارند، بلکه تعداد بی نهایتی از آنها وجود دارد.
اعداد اول رشته بی نهایتی از پازل های ریاضی را برای حرفه ای ها و علاقه مندان تشکیل می دهند تا با آنها بازی کنند. ما ممکن است هرگز همه اسرار آنها را کشف نکنیم، اما می‌توانید روی ریاضیدانان برای کشف و اختراع انواع جدیدی از اعداد اول حساب کنید.
تمرینات
1. بزرگترین شکاف اول بین اعداد اول از 2 تا 101 چیست؟
2. اقلیدس برای اثبات اینکه تعداد بی نهایت اعداد اول وجود دارد، فرض می کند که اعداد اول بسیار محدود وجود دارد $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ و سپس نشان می دهد که $latexq=p_1 ضربدر p_2 ضربدر p_3 بار … ضربدر p_n+1$ isn بر هیچ اولی در لیست قابل تقسیم نیست. آیا این به این معنی نیست q باید اول باشه؟
3. یک نتیجه معروف در نظریه اعداد این است که همیشه یک عدد اول بین وجود دارد k و 2k (شامل). اثبات این امر دشوار است، اما اثبات اینکه همیشه یک نقطه اول بین آنها وجود دارد، آسان است k و $latexq=p_1 ضربدر p_2 ضربدر p_3 بار … بار p_n+1$ (شامل)، که در آن $latexp_1، p_2، p_3، …، p_n$ همه اعداد اول کوچکتر یا مساوی با k. اثباتش کن.
4. آیا می توانید کوچکترین عدد اولی را که از نظر دیجیتالی ظریف است در ارقام یک و ده پیدا کنید؟ این بدان معنی است که تغییر رقم یک یا ده ها همیشه یک عدد ترکیبی ایجاد می کند. (شاید بخواهید برای این کار یک برنامه کامپیوتری بنویسید!)
مشکل چالش: آیا می‌توانید کوچکترین عدد اولی را پیدا کنید که وقتی به صورت دودویی نمایش داده می‌شود، از نظر دیجیتالی ظریف باشد؟ به یاد بیاورید که در باینری یا پایه 2، تنها ارقام 0 و 1 هستند و هر مقدار مکانی نشان دهنده توان 2 است. برای مثال، 8 به صورت $latex1000_2$ نشان داده می شود، زیرا $latex 8=1 ضربدر 2^3 + 0 است. برابر 2^2 + 0 برابر 2^1 + 0 برابر 2^0$، و 7 در پایه 2 $latex111_2$ است، زیرا $latex7=1 برابر2^2 + 1 برابر 2^1 + 1 برابر 2^0$ است.
برای پاسخ 1 کلیک کنید:
برای پاسخ 2 کلیک کنید:
نه. شش عدد اول اول را در نظر بگیرید: 2، 3، 5، 7، 11 و 13. در این صورت عدد q لاتکس $ 2 بار 3 بار 5 بار 7 بار 11 بار 13 + 1 = 30,031 دلار خواهد بود. این بر 2، 3، 5، 7، 11 یا 13 بخش پذیر نیست، اما عدد اول نیست: لاتکس 30,031 = 59 برابر 509 دلار است. توجه داشته باشید که فاکتورهای اول دارد، اما همه آنها بزرگتر از شش عدد اول اول هستند.
برای پاسخ 3 کلیک کنید:
اگر هر کدام k or q بهترین کار ما تمام شد. اگر q عدد اول نیست، مرکب است، به این معنی که بر برخی از اعداد اول بخش پذیر است، اما ما از قبل می دانیم که بر هیچ یک از اعداد اول بخش پذیر نیست. n اول بنابراین باید بر عدد اول بزرگتر از اولی بخش پذیر باشد n اعداد اول، و از آنجایی که اینها همه اعداد اول کمتر از k، این اول باید بزرگتر از k. اما این اول تقسیم می کند q، بنابراین باید کمتر از q، بنابراین باید یک اول بین وجود داشته باشد k و q.
برای پاسخ 4 کلیک کنید:
اولین عدد اولی که این ویژگی را برآورده می‌کند 2,459 است، زیرا 2,451، 2,453 و 2,457 همه ترکیبی هستند (معیار ارقام ظریف را برآورده می‌کنند) و 2,409،2,419، 2,429،2,439، 2,449،2,469، 2,479،2,489، 2,499،2,459،2,659،XNUMX، XNUMX XNUMX همه ترکیبی هستند (راضی کننده ملاک ده رقمی ظریف). با این حال، XNUMX از نظر دیجیتالی ظریف نیست، زیرا XNUMX عدد اول است، بنابراین زمانی که شما شروع به در نظر گرفتن رقم صدها کنید، با شکست مواجه می شود. (با تشکر از ریاضیدان جان دی کوک برای انتشار کتاب کدهای دیجیتالی اصلی پایتون را پیدا می کنند.)
برای پاسخ به چالش کلیک کنید:
$latex127=1111111_2$ از نظر دیجیتالی ظریف است، زیرا $latex 126=1111110_2$، $latex125=1111101_2$، $latex123=1111011_2$، $latex119=1110111_2$، $latex111=1101111_2$، $latex95=1011111_2$63، $latex0111111=2_XNUMX$XNUMX. XNUMX_XNUMX$ و latexXNUMX دلار =XNUMX_XNUMX$ همه ترکیبی هستند.
