برجی از حدس و گمان که بر سوزنی استوار است | مجله کوانتا

در ریاضیات، یک مسئله ساده اغلب آنطور که به نظر می رسد نیست. اوایل تابستان امسال، کوانتوم در مورد یکی از این مشکلات گزارش شده است: کوچکترین ناحیه ای که می توانید با چرخاندن یک سوزن بی نهایت نازک در تمام جهات ممکن بیرون بکشید چیست؟ آن را به دور مرکز آن مانند یک صفحه بچرخانید و یک دایره به دست می آورید. اما آن را هوشمندانه تر بچرخانید و می توانید بخش کوچکی از فضا را به طور دلخواه پوشش دهید. اگر نیازی به حرکت سوزن در یک حرکت مداوم ندارید، و به جای آن به سادگی یک سوزن را در هر جهت قرار دهید، می توانید آرایشی از سوزن ها ایجاد کنید که هیچ ناحیه ای را پوشش ندهد.

ریاضیدانان این ترتیبات را مجموعه های کاکیا می نامند. در حالی که آنها می‌دانند که چنین مجموعه‌هایی از نظر مساحت می‌توانند کوچک باشند (یا حجم، اگر سوزن‌های خود را در سه بعد یا بیشتر مرتب می‌کنید)، معتقدند اگر اندازه آن‌ها با معیاری به نام Hausdorff اندازه‌گیری شود، مجموعه‌ها باید همیشه بزرگ باشند. بعد، ابعاد، اندازه.

ریاضیدانان هنوز این جمله را که به حدس کاکیا معروف است، اثبات نکرده اند. اما در حالی که ظاهراً یک سؤال ساده در مورد سوزن ها است، "هندسه این مجموعه های کاکیا زیربنای انبوهی از سوالات در معادلات دیفرانسیل جزئی، تحلیل هارمونیک و سایر زمینه ها است." جاناتان هیکمن از دانشگاه ادینبورگ

حدس کاکیا در پایه سلسله مراتبی از سه مسئله مرکزی در تجزیه و تحلیل هارمونیک قرار دارد - شاخه ای از ریاضیات که مطالعه می کند چگونه توابع را می توان به عنوان مجموع توابع تناوبی مانند امواج سینوسی در حال نوسان منظم نشان داد.

مرحله بعدی در این سلسله مراتب، حدس "محدودیت" است. اگر درست باشد، حدس کاکیا نیز چنین است. (این همچنین به این معنی است که اگر حدس کاکیا نادرست باشد، حدس محدودیت نمی تواند درست باشد.) حدس محدودیت، به نوبه خود، توسط حدس به اصطلاح Bochner-Riesz مورد استفاده قرار می گیرد. و در بالای آن حدس هموارسازی محلی قرار دارد.

دو حدس اول با رفتار تبدیل فوریه سروکار دارند، تکنیکی در تحلیل هارمونیک برای محاسبه نحوه بیان تقریباً هر تابعی به عنوان مجموع امواج سینوسی. این یکی از قدرتمندترین ابزارهای ریاضی در دسترس فیزیکدانان و مهندسان است. تبدیل فوریه نقش اساسی در حل معادلات دیفرانسیل، بیان ایده‌های مکانیک کوانتومی مانند اصل عدم قطعیت هایزنبرگ، و تجزیه و تحلیل و پردازش سیگنال‌ها ایفا کرده است و چیزهایی مانند تلفن‌های همراه مدرن را ممکن می‌سازد.

از آنجایی که هر گزاره در سلسله مراتب به معنای زیر آن است، اگر حدس کاکیا نادرست باشد، هیچ یک از حدس های دیگر درست نیست. کل برج سقوط خواهد کرد. هیکمن گفت: "شما می توانید یک ضد مثال فوق العاده هیولا ایجاد کنید که بسیاری از حدس ها را بشکند."

از سوی دیگر، اثبات درستی حدس کاکیا به طور خودکار به صدق آن حدس‌های دیگر دلالت نمی‌کند - اما به ریاضیدانان بینش مهمی در مورد چگونگی ادامه می‌دهد.

و بنابراین، "نزدیک به نیمی از جامعه تجزیه و تحلیل هارمونیک که من از آنها می شناسم در حال کار بر روی این مشکل و مشکلات مرتبط هستند، یا در مقطعی روی آنها کار کرده اند." Shaoming Guo از دانشگاه ویسکانسین، مدیسون.

اخیراً، ریاضیدانان در کمال تعجب کشف کرده‌اند که تکنیک‌هایی را که برای مقابله با این مشکلات توسعه داده‌اند، می‌توانند برای اثبات نتایج عمده در زمینه ظاهراً نامرتبط نظریه اعداد نیز مورد استفاده قرار دهند. گوئو گفت: "این یک پدیده بسیار کلی تر از آن چیزی است که مردم فکر می کردند."

کیک لایه

داستان با تبدیل فوریه شروع می شود. گفت: "شما می خواهید [عملکردها] را به قطعات کوچک تجزیه کنید، تعاملات آنها را تجزیه و تحلیل کنید، و آنها را دوباره به هم اضافه کنید." یومنگ او از دانشگاه پنسیلوانیا برای توابع یک بعدی - منحنی هایی که می توانید روی یک تکه کاغذ رسم کنید - ریاضیدانان درک خوبی از نحوه انجام این کار دارند، حتی زمانی که نیاز به معکوس کردن تبدیل فوریه تنها با استفاده از برخی از قطعات دارند.

اما در دو یا چند بعد، همه چیز ممکن است به هم ریخته شود.

در 1971، چارلی ففرمنیک ریاضیدان در دانشگاه پرینستون، چگونگی استفاده از مجموعه‌های کاکیا را برای نشان دادن اینکه معکوس کردن تبدیل فوریه می‌تواند منجر به نتایج عجیب و شگفت‌انگیز در ابعاد مختلف شود، کشف کرد.

ریاضیدانان راه حلی را در قالب حدس بوشنر-ریز پیدا کردند که اساساً بیان می کند که راه های پیچیده تری برای بازیابی تابع اصلی وجود دارد که مانند مثال ففرمن خراب نمی شوند. اما این اصلاح به صحت حدس کاکیا بستگی داشت.

اگر درست باشد، "قطع فرکانس ها تنها منجر به خطاهای کوچکی می شود." بتسی استووال از دانشگاه ویسکانسین، مدیسون. "به این معنی است که خطاهای کوچک منفجر نمی شوند."

بنابراین سلسله مراتب شروع شد. بعدها، ریاضی‌دانان ارتباط مهم دیگری را کشف کردند: اگر درست باشد، حدس بوشنر-ریز همچنین بیانیه‌ای به نام حدس محدودیت را متضمن می‌شود. این حدس بیان می کند که اگر با یک نسخه محدود از تبدیل فوریه شروع کنید - "محدود کردن" مقادیری که به آنها نگاه می کنید فقط به آنهایی که روی سطوح خاصی زندگی می کنند - این همچنان می تواند اطلاعات مهمی در مورد تابع اصلی به شما بدهد. و معلوم شد که اگر حدس محدودیت درست بود، حدس کاکیا هم درست بود. (این حدس محدودیت بین Kakeya و Bochner-Riesz را در برج قرار داد.)

مشکل تاج در سلسله مراتب، که حدس هموارسازی محلی نامیده می‌شود، مستقیماً با تبدیل فوریه سروکار ندارد، بلکه حد و مرزهایی را در اندازه راه‌حل‌های معادلات توصیف‌کننده رفتار امواج قرار می‌دهد.

شما می توانید از نظر هندسه خطوط در مجموعه کاکیا نیز به این موضوع فکر کنید. شما می توانید یک راه حل کلی برای معادله موج را به دسته ای از قطعات تقسیم کنید که در جهات مختلف حرکت می کنند و در طول زمان به روش های مختلف با یکدیگر تعامل دارند. هر یک از آن قطعات از نظر ریاضی شبیه یک سوزن در مجموعه کاکیا است. حدس کاکیا بیان می کند که چنین پیکربندی نمی تواند همپوشانی زیادی داشته باشد. در این زمینه فیزیکی، همپوشانی ها با تداوم رفتارهای نامنظم و غیرمنتظره در راه حل مطابقت دارد. به عنوان مثال، یک موج صوتی می تواند در بسیاری از مناطق در زمان های مختلف تقویت شود.

حدس هموارسازی محلی بیان می‌کند که چنین بی‌نظمی‌هایی باید به طور میانگین محاسبه شوند. گفت: «این مثل گرفتن میانگین بازار مالی است سیپریان دیمتر از دانشگاه ایندیانا بلومینگتون "ممکن است اینجا و آنجا خرابی هایی وجود داشته باشد، اما اگر پول خود را سرمایه گذاری کنید و در 40 سال بازنشسته شوید، شانس خوبی برای سرمایه گذاری خوب وجود دارد."

اما مانند همه حدس‌ها در سلسله مراتب، این به حقیقت حدس کاکیا بستگی دارد. استووال گفت: «ایده این است که اگر تعداد زیادی تقاطع را در مجموعه‌های کاکیا رد کنید، به این معنی است که می‌توانید موقعیت‌هایی را که در آن بخش‌هایی از راه‌حل شما با هم توطئه می‌کنند تا نوعی انفجار ایجاد کنند، رد کنید.

این حدس دشوارترین این دسته است: در حالی که موارد دوبعدی مسائل Kakeya، محدودیت و Bochner-Riesz چندین دهه پیش حل شد، حدس هموارسازی محلی دو بعدی تنها چند سال پیش ثابت شد. (در ابعاد بالاتر همه این مشکلات باز می ماند.)

اما علیرغم پیشرفت آهسته در اثبات حدس هموارسازی محلی، کار بر روی آن به پیشرفت فوق العاده ای در جاهای دیگر منجر شده است. در سال 1999، ریاضیدان توماس ولف، در حالی که تلاش می‌کرد تا با این حدس و گمان مقابله کند، روشی به نام جداسازی معرفی کرد. از آن زمان، این تکنیک زندگی خود را به خود گرفته است: از آن برای ایجاد پیشرفت‌های بزرگ نه تنها در تحلیل هارمونیک، بلکه در نظریه اعداد، هندسه و سایر زمینه‌ها استفاده می‌شود. گفت: "با استفاده از نتایج جداسازی، اکنون رکوردهای جهانی در مسائل بسیار معروف و مهم دارید." کریستوفر سوگ از دانشگاه جان هاپکینز، که برای اولین بار حدس هموارسازی محلی را در دهه 1990 فرموله کرد. به عنوان مثال، جداسازی برای کمک به شمارش روش هایی که یک عدد صحیح را می توان به عنوان مجموع مربع ها، مکعب ها یا قدرت های دیگر نشان داد، استفاده شده است.

همانطور که Demeter بیان کرد، این نتایج ممکن است زیرا "ما می توانیم به اعداد به عنوان امواج نگاه کنیم." او افزود که همه این مشکلات به ست های سوزن کاکیا مربوط می شود "جذاب کننده است". "شما فکر نمی کنید که زیبایی، دشواری و اهمیت زیادی را می توان در چیزی پنهان کرد که بتوان با استفاده از بخش های خط فرموله کرد."