رنگ آمیزی با اعداد الگوهای حسابی را در کسری نشان می دهد

یک سال پس از شروع دکترای خود. در ریاضیات در دانشگاه مک گیل، مت بوون یک مشکل داشت. او گفت: "من در امتحانات صلاحیتی شرکت کردم و به طرز وحشتناکی در آنها امتحان دادم." بوون مطمئن بود که نمرات او منعکس کننده مهارت های ریاضی او نیست و تصمیم گرفت آن را ثابت کند. پاییز گذشته، زمانی که او و مشاورش، این کار را کرد. مارسین سابوک, یک پیشرفت بزرگ را ارسال کرد در زمینه معروف به نظریه رمزی.

برای تقریبا یک قرن، نظریه پردازان رمزی شواهدی را جمع آوری کرده اند که نشان می دهد ساختار ریاضی در شرایط خصمانه پابرجاست. آنها ممکن است مجموعه های بزرگی از اعداد مانند اعداد صحیح یا کسرها را از هم جدا کنند یا اتصالات بین نقاط یک شبکه را برش دهند. آنها سپس راه هایی برای اثبات اجتناب ناپذیر بودن ساختارهای خاص پیدا می کنند، حتی اگر سعی کنید با شکستن یا برش دادن به روشی هوشمندانه از ایجاد آنها جلوگیری کنید.

وقتی نظریه پردازان رمزی در مورد تقسیم مجموعه ای از اعداد صحبت می کنند، اغلب از زبان رنگ آمیزی استفاده می کنند. چندین رنگ را انتخاب کنید: برای مثال قرمز، آبی و زرد. حالا به هر عدد در یک مجموعه یک رنگ اختصاص دهید. حتی اگر این کار را به صورت تصادفی یا بی نظم انجام دهید، تا زمانی که فقط از تعداد محدودی از رنگ های مختلف استفاده کنید، حتی اگر این تعداد بسیار زیاد باشد، به ناچار الگوهای خاصی ظاهر می شوند. نظریه پردازان رمزی سعی می کنند این الگوها را بیابند و مجموعه های ساختار یافته ای از اعداد را جستجو می کنند که "تک رنگ" هستند، به این معنی که عناصر آنها به یک رنگ اختصاص یافته اند.

اولین نتایج رنگ آمیزی به اواخر قرن 19 برمی گردد. تا سال 1916، Issai Schur ثابت کرده بود که هر قدر که اعداد صحیح مثبت (که به عنوان اعداد طبیعی نیز شناخته می‌شوند) را رنگ کنید، همیشه یک جفت اعداد وجود خواهد داشت. x و y به طوری که x, yو مجموع آنها x+y همه یک رنگ هستند در طول قرن بیستم، ریاضیدانان به کار بر روی مسائل رنگ آمیزی ادامه دادند. در سال 20، نیل هندمن نتیجه Schur را تمدید کرد شامل یک زیر مجموعه بی نهایت از اعداد صحیح. مانند قضیه شور، هندمن بدون توجه به رنگ آمیزی اعداد طبیعی (با تعداد محدود مداد رنگی) اعمال می شود. نه تنها این اعداد صحیح در مجموعه Hindman همه یک رنگ هستند، بلکه اگر مجموعه ای از آنها را خلاصه کنید، نتیجه نیز همان رنگ خواهد بود. چنین مجموعه‌هایی شبیه اعداد زوج هستند، همانطور که هر مجموع اعداد زوج همیشه زوج است، مجموع هر عددی در یکی از مجموعه‌های هندمن نیز در آن مجموعه قرار می‌گیرد.

سابوک گفت: «قضیه هندمن قطعه شگفت انگیزی از ریاضیات است. "این داستانی است که ما می توانیم از آن فیلم بسازیم."

اما هیندمن فکر می کرد امکان بیشتری وجود دارد. او معتقد بود که شما می‌توانید مجموعه‌ای تک رنگ خودسرانه بزرگ (اما متناهی) بیابید که نه تنها مجموع اعضای آن، بلکه محصولات را نیز شامل می‌شود. او گفت: «من دهه‌ها بر این موضوع تاکید کرده‌ام که این یک واقعیت است و نمی‌توانم آن را ثابت کنم.»

حدس هندمن

اگر از مجموع صرف نظر کنید و فقط می‌خواهید از همرنگ بودن محصولات اطمینان حاصل کنید، انطباق قضیه هندمن با استفاده از توان برای تبدیل مجموع به محصول ساده است (مثل یک قانون اسلاید).

با این حال، مبارزه با مبالغ و محصولات به طور همزمان بسیار سخت تر است. گفت: «بسیار سخت است که آن دو را مجبور کنیم با هم صحبت کنند جوئل موریرا، ریاضیدان دانشگاه وارویک. "درک نحوه ارتباط جمع و ضرب - این به نوعی اساس کل نظریه اعداد است."

حتی یک نسخه ساده تر که هیندمن برای اولین بار در دهه 1970 پیشنهاد کرد، چالش برانگیز بود. او حدس زد که هر رنگ آمیزی از اعداد طبیعی باید شامل مجموعه ای تک رنگ به شکل { باشد.x, y, xy, x+y} - دو عدد x و yو همچنین مجموع و محصول آنها. بوون گفت: «مردم واقعاً برای چندین دهه پیشرفتی در این مشکل نداشتند. و سپس ناگهان، در حدود سال 2010، مردم شروع به اثبات مطالب بیشتر و بیشتری در مورد آن کردند.

بوون در مورد {x, y, xy, x+y} مشکل در سال 2016، ترم دوم کالج، زمانی که یکی از اساتیدش در دانشگاه کارنگی ملون مشکل را در کلاس توضیح داد. بوون از سادگی آن شگفت زده شد. او گفت: "این یکی از این چیزهای جالب است که در آن مانند، خوب، من ریاضی زیادی نمی دانم، اما می توانم این را درک کنم."

در سال 2017، موریرا ثابت که شما می توان همیشه یک مجموعه تک رنگ حاوی سه عنصر از چهار عنصر مورد نظر را پیدا کنید: x, xyو x + y. در همین حال، بوون در سال آخر خود شروع به سر زدن به این سوال کرد. او گفت: «در واقع نتوانستم مشکل را حل کنم. اما من هر شش ماه یا بیشتر به آن باز می‌گردم.» پس از نمایش ضعیفش در دوره دکتری. او در امتحانات مقدماتی سال 2020 تلاش خود را دوچندان کرد. چند روز بعد، او ثابت کرد که {x, y, xy, x+y} حدس برای مورد دو رنگ، نتیجه ای که ران گراهام قبلاً در دهه 1970 با کمک یک کامپیوتر ثابت کرده بود.

با این موفقیت، بوون با سابوک کار کرد تا نتیجه را به هر تعداد رنگی گسترش دهد. اما آنها به سرعت درگیر جزئیات فنی شدند. سابوک گفت: «پیچیدگی مشکل زمانی که تعداد رنگ‌ها زیاد باشد، کاملاً از کنترل خارج می‌شود. به مدت 18 ماه، آنها تلاش کردند تا با کمی شانس خود را رها کنند. سابوک گفت: «در طول این یک سال و نیم، حدود یک میلیون مدرک اشتباه داشتیم.

یک مشکل به ویژه باعث شد که این دو ریاضی دان پیشرفت نکنند. اگر دو عدد صحیح را به طور تصادفی انتخاب کنید، احتمالاً نمی توانید آنها را تقسیم کنید. تقسیم فقط در موارد نادری کار می کند که عدد اول مضرب عدد دوم باشد. معلوم شد که این بسیار محدود کننده است. با این درک، بوون و سابوک برای اثبات {x, y, xy, x+y} حدس در اعداد گویا (همانطور که ریاضیدانان کسر می نامند). در آنجا، اعداد را می توان با رها کردن تقسیم کرد.

اثبات بوون و سابوک زمانی که همه رنگ‌های درگیر به طور مکرر در سراسر اعداد گویا ظاهر می‌شوند، بسیار زیباتر است. رنگ‌ها می‌توانند اغلب به روش‌های مختلف ظاهر شوند. هر کدام ممکن است تکه های بزرگی از خط اعداد را پوشش دهند. یا ممکن است به این معنی باشد که نمی‌توانید در طول خط اعداد خیلی دور بروید بدون اینکه هر رنگی را ببینید. با این حال، معمولاً رنگ ها با چنین قوانینی مطابقت ندارند. سابوک توضیح داد که در این موارد، می‌توانید روی مناطق کوچکی در اعداد گویا تمرکز کنید، جایی که رنگ‌ها بیشتر ظاهر می‌شوند. او گفت: «اینجا بود که بخش عمده کار انجام شد.

در اکتبر 2022، Bowen و Sabok اثباتی را ارسال کردند که اگر اعداد گویا را با رنگ های محدود رنگ آمیزی کنید، مجموعه ای از فرم { وجود خواهد داشت.x, y, xy, x+y} که عناصر آن همه یک رنگ هستند. گفت: "این یک مدرک فوق العاده هوشمندانه است." Imre Leader از دانشگاه کمبریج «از نتایج شناخته شده استفاده می کند. اما آنها را به روشی کاملاً درخشان، بسیار بدیع و بسیار نوآورانه ترکیب می‌کند.»

سوالات زیادی باقی مانده است. می توانید یک عدد سوم z به همراه مبالغ و محصولات بعدی به مجموعه اضافه شود؟ برآورده کردن جسورانه‌ترین پیش‌بینی‌های هندمن به معنای افزودن اعداد چهارم، پنجم و در نهایت دلخواه تعداد زیادی به دنباله است. همچنین نیازمند حرکت از منطقی به اعداد طبیعی و یافتن راهی برای دور زدن معمای تقسیم است که تلاش‌های بوون و سابوک را با مشکل مواجه کرده است.

لیدر معتقد است که با توجه به موریرا، بوون و سابوک که همه بر روی این مشکل کار می کنند، این اثبات ممکن است دور از دسترس نباشد. او گفت: «این افراد در یافتن راه‌های جدید برای انجام کارها بسیار درخشان به نظر می‌رسند. "بنابراین من به نوعی خوشبین هستم که آنها یا برخی از همکارانشان ممکن است آن را پیدا کنند."

سابوک در پیش بینی هایش محتاط تر است. اما او چیزی را رد نمی کند. او می‌گوید: «یکی از جذابیت‌های ریاضیات این است که قبل از اینکه مدرکی دریافت کنید، همه چیز ممکن است.