اثبات کامپیوتری معادلات سیالات چند صد ساله را منفجر می کند

برای قرن ها، ریاضیدانان به دنبال درک و مدل سازی حرکت سیالات بوده اند. معادلاتی که چگونگی چروک شدن امواج بر سطح یک حوضچه را توصیف می کند، به محققان کمک کرده است تا آب و هوا را پیش بینی کنند، هواپیماهای بهتری طراحی کنند و چگونگی جریان خون در سیستم گردش خون را مشخص کنند. این معادلات زمانی که به زبان ریاضی درست نوشته شوند به طرز فریبنده ای ساده هستند. با این حال، راه‌حل‌های آن‌ها به قدری پیچیده است که درک سؤالات اساسی در مورد آنها می‌تواند بسیار دشوار باشد.

شاید قدیمی ترین و برجسته ترین این معادلات، که توسط لئونارد اویلر بیش از 250 سال پیش فرموله شده است، جریان یک سیال ایده آل و تراکم ناپذیر را توصیف می کند: سیالی بدون ویسکوزیته، یا اصطکاک داخلی، که نمی تواند به حجم کمتری وارد شود. تقریباً تمام معادلات سیال غیرخطی به نوعی از معادلات اویلر مشتق شده اند. تارک الگیندی، ریاضیدان دانشگاه دوک. می‌توان گفت: «اولین‌ها هستند.»

هنوز چیزهای زیادی در مورد معادلات اویلر ناشناخته باقی مانده است - از جمله اینکه آیا آنها همیشه یک مدل دقیق از جریان سیال ایده آل هستند یا خیر. یکی از مشکلات اصلی در دینامیک سیالات این است که بفهمیم آیا معادلات هرگز شکست می‌خورند یا نه، و مقادیر بی‌معنی تولید می‌کنند که آنها را قادر به پیش‌بینی حالت‌های آینده سیال نمی‌کند.

ریاضیدانان مدتهاست که مشکوک بودند که شرایط اولیه وجود دارد که باعث شکست معادلات می شود. اما نتوانسته اند آن را ثابت کنند.

In یک پیش چاپ یک زوج ریاضیدان که ماه گذشته به صورت آنلاین ارسال شد، نشان دادند که نسخه خاصی از معادلات اویلر واقعاً گاهی اوقات شکست می خورد. این اثبات یک پیشرفت بزرگ را نشان می‌دهد – و در حالی که مشکل نسخه عمومی‌تر معادلات را به طور کامل حل نمی‌کند، امیدوار است که چنین راه‌حلی در نهایت در دسترس باشد. گفت: "این یک نتیجه شگفت انگیز است." تریستان باک مستر، یک ریاضیدان در دانشگاه مریلند که در این کار دخالتی نداشت. هیچ نتیجه ای در نوع خود در ادبیات وجود ندارد.

فقط یک شکار وجود دارد.

اثبات 177 صفحه ای - نتیجه یک برنامه تحقیقاتی یک دهه - استفاده قابل توجهی از کامپیوترها می کند. این امر مسلماً تأیید آن را برای سایر ریاضیدانان دشوار می کند. (در واقع، آنها هنوز در حال انجام این کار هستند، اگرچه بسیاری از کارشناسان معتقدند که کار جدید صحیح خواهد بود.) همچنین آنها را مجبور می کند تا با سؤالات فلسفی در مورد اینکه "اثبات" چیست و چه خواهد شد، فکر کنند. یعنی اگر تنها راه قابل قبول برای حل چنین سؤالات مهمی در آینده با کمک رایانه باشد.

دیدن هیولا

در اصل، اگر مکان و سرعت هر ذره در یک سیال را بدانید، معادلات اویلر باید بتواند چگونگی تکامل سیال را برای همیشه پیش بینی کند. اما ریاضیدانان می خواهند بدانند که آیا واقعاً چنین است یا خیر. شاید در برخی شرایط، معادلات همانطور که انتظار می رود پیش برود و مقادیر دقیقی را برای وضعیت سیال در هر لحظه ایجاد کند، فقط برای اینکه یکی از این مقادیر ناگهان به بی نهایت افزایش یابد. در آن نقطه، گفته می‌شود که معادلات اویلر منجر به یک «تکینگی» می‌شوند - یا به‌طور چشمگیرتر، «منفجر می‌شوند».

هنگامی که معادلات به این تکینگی رسیدند، دیگر قادر به محاسبه جریان سیال نخواهند بود. اما گفت: «از چند سال پیش، کاری که مردم می‌توانستند انجام دهند بسیار بسیار کمتر از [اثبات انفجار] بود. چارلی ففرمن، ریاضیدان دانشگاه پرینستون.

اگر بخواهید مایعی را مدل کنید که ویسکوزیته دارد (تقریباً همه سیالات دنیای واقعی) پیچیده تر می شود. یک جایزه هزاره میلیون دلاری از موسسه ریاضیات Clay در انتظار هر کسی است که بتواند ثابت کند که آیا شکست های مشابهی در معادلات ناویر-استوکس رخ می دهد یا خیر، تعمیم معادلات اویلر که ویسکوزیته را به حساب می آورد.

در 2013، توماس هو، ریاضیدان مؤسسه فناوری کالیفرنیا و گو لو، اکنون در دانشگاه هانگ سنگ هنگ کنگ، سناریویی را پیشنهاد کرد که در آن معادلات اویلر منجر به تکینگی می شود. آنها یک شبیه سازی کامپیوتری از یک سیال در یک سیلندر ایجاد کردند که نیمه بالایی آن در جهت عقربه های ساعت می چرخید و نیمه پایینی آن در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخید. همانطور که آنها شبیه سازی را اجرا کردند، جریان های پیچیده تری شروع به حرکت به سمت بالا و پایین کردند. این به نوبه خود منجر به رفتار عجیب و غریب در امتداد مرز استوانه جایی که جریان های مخالف با یکدیگر برخورد می کردند، شد. گرداب سیال - معیاری از چرخش - آنقدر سریع رشد کرد که به نظر می رسید آماده منفجر شدن است.

کار هو و لو وسوسه‌انگیز بود، اما دلیل واقعی نبود. دلیلش این است که محاسبه مقادیر بی نهایت برای کامپیوتر غیرممکن است. می تواند به دیدن یک تکینگی بسیار نزدیک شود، اما در واقع نمی تواند به آن برسد - به این معنی که راه حل ممکن است بسیار دقیق باشد، اما هنوز یک تقریب است. بدون پشتوانه یک برهان ریاضی، به نظر می‌رسد که مقدار گردابه فقط تا بی نهایت افزایش می‌یابد، زیرا برخی از مصنوعات شبیه‌سازی هستند. در عوض ممکن است راه‌حل‌ها قبل از فروکش کردن دوباره به تعداد زیادی افزایش یابند.

چنین معکوس‌هایی قبلاً اتفاق افتاده بود: یک شبیه‌سازی نشان می‌دهد که مقداری در معادلات منفجر شده است، فقط برای اینکه روش‌های محاسباتی پیچیده‌تر خلاف آن را نشان دهند. ففرمن گفت: «این مشکلات آنقدر ظریف هستند که جاده مملو از خرابه‌های شبیه‌سازی‌های قبلی است. در واقع، هو اینگونه شروع به کار خود در این زمینه کرد: چندین نتیجه قبلی او شکل گیری تکینگی های فرضی را رد کرد.

با این حال، زمانی که او و لو راه حل خود را منتشر کردند، اکثر ریاضیدانان فکر کردند که به احتمال زیاد این یک تکینگی واقعی است. گفت: «بسیار دقیق، بسیار دقیق بود ولادیمیر سوراک، ریاضیدان دانشگاه مینه سوتا. آنها واقعاً تمام تلاش خود را کردند تا ثابت کنند که این یک سناریوی واقعی است.» کارهای بعدی الگیندی، سوراک و دیگران فقط این اعتقاد را تقویت کرد.

اما یک مدرک دست نیافتنی بود. ففرمن گفت: «شما هیولا را دیدید. "سپس سعی می کنی آن را بگیری." این به معنای نشان دادن این بود که راه‌حل تقریبی که هو و لو با دقت شبیه‌سازی کردند، در یک مفهوم خاص ریاضی، بسیار بسیار نزدیک به حل دقیق معادلات است.

اکنون، نه سال پس از اولین مشاهده، هو و دانشجوی فارغ التحصیل سابقش جیاجی چن در نهایت موفق به اثبات وجود آن تکینگی نزدیک شده اند.

حرکت به سرزمین خود مشابه

هو، که بعداً چن به او ملحق شد، از این واقعیت استفاده کرد که با تجزیه و تحلیل دقیق تر، به نظر می رسید که راه حل تقریبی از سال 2013 ساختار خاصی دارد. همانطور که معادلات در طول زمان تکامل یافتند، راه حل چیزی را نشان داد که الگوی خود مشابه نامیده می شود: شکل آن بعداً بسیار شبیه شکل قبلی خود بود، فقط به روشی خاص دوباره مقیاس شد.

در نتیجه، ریاضیدانان نیازی به تلاش برای بررسی خود تکینگی نداشتند. درعوض، آنها می‌توانستند آن را با تمرکز بر نقطه‌ای از زمان به طور غیرمستقیم مطالعه کنند. با زوم کردن بر روی آن بخش از راه حل با نرخ مناسب - که بر اساس ساختار خود مشابه راه حل تعیین می شود - می توانند آنچه را که بعدا اتفاق می افتد، از جمله در خود تکینگی، مدل کنند.

چند سال طول کشید تا آنها بتوانند مشابهی مشابه با سناریوی انفجار سال 2013 پیدا کنند. (در اوایل امسال، تیم دیگری از ریاضیدانان، که شامل Buckmaster نیز می‌شد، از روش‌های مختلفی برای این کار استفاده کردند یک راه حل تقریبی مشابه پیدا کنید. آنها در حال حاضر از این راه حل برای ایجاد یک اثبات مستقل از شکل گیری تکینگی استفاده می کنند.)

با یک راه حل تقریبی مشابه خود، هو و چن باید نشان دهند که یک راه حل دقیق در نزدیکی وجود دارد. از نظر ریاضی، این معادل ثابت کردن این است که راه حل تقریبی خود مشابه آنها پایدار است - حتی اگر بخواهید کمی آن را به هم بزنید و سپس معادلات را با شروع آن مقادیر آشفته تکامل دهید، هیچ راهی برای فرار از یک محله کوچک در اطراف وجود نخواهد داشت. راه حل تقریبی هو گفت: «این مانند یک سیاهچاله است. "اگر با نمایه ای نزدیک شروع کنید، جذب خواهید شد."

اما داشتن یک استراتژی کلی تنها یک قدم به سوی راه حل بود. ففرمن گفت: «جزئیات پر سر و صدا مهم هستند. همانطور که هو و چن چندین سال آینده را صرف بررسی این جزئیات کردند، دریافتند که باید یک بار دیگر به رایانه ها تکیه کنند - اما این بار به روشی کاملاً جدید.

یک رویکرد ترکیبی

یکی از اولین چالش‌های آنها این بود که دقیقاً بیانیه‌ای را که باید ثابت می‌کردند، بیابند. آنها می‌خواستند نشان دهند که اگر مجموعه‌ای از مقادیر را نزدیک به جواب تقریبی خود بگیرند و آن را به معادلات متصل کنند، خروجی نمی‌تواند دور از ذهن باشد. اما «نزدیک بودن» یک ورودی به جواب تقریبی به چه معناست؟ آنها باید این را در یک عبارت ریاضی مشخص می کردند - اما راه های زیادی برای تعریف مفهوم فاصله در این زمینه وجود دارد. برای اینکه اثبات آنها کار کند، آنها باید مورد صحیح را انتخاب می کردند.

گفت: "این باید اثرات فیزیکی مختلفی را اندازه گیری کند." رافائل د لا لاو، ریاضیدان موسسه فناوری جورجیا. بنابراین باید با درک عمیق مشکل انتخاب شود.»

هنگامی که روش درستی برای توصیف «نزدیک» داشتند، هو و چن باید این جمله را اثبات می‌کردند که به یک نابرابری پیچیده خلاصه می‌شد که شامل عباراتی از معادلات مجدد مقیاس شده و جواب تقریبی بود. ریاضیدانان باید مطمئن می شدند که مقادیر همه آن اصطلاحات به چیزی بسیار کوچک متعادل می شود: اگر یک مقدار در نهایت بزرگ بود، مقادیر دیگر باید منفی می شدند یا کنترل می شدند.

گفت: "اگر چیزی را کمی خیلی بزرگ یا خیلی کوچک کنید، همه چیز خراب می شود." خاویر گومز-سرانو، ریاضیدان دانشگاه براون. "بنابراین کار بسیار بسیار دقیق و ظریفی است."

الگیندی افزود: «این یک مبارزه واقعاً شدید است.

هو و چن برای به دست آوردن مرزهای محکمی که در این شرایط مختلف نیاز داشتند، نابرابری را به دو بخش عمده تقسیم کردند. آنها می‌توانستند قسمت اول را با دست مراقبت کنند، از جمله تکنیکی که به قرن هجدهم بازمی‌گردد، زمانی که ریاضی‌دان فرانسوی گاسپارد مونگ به دنبال راهی بهینه برای انتقال خاک برای ساختن استحکامات برای ارتش ناپلئون بود. ففرمن گفت: «مواردی از این دست قبلاً انجام شده بود، اما به نظرم جالب توجه بود که [هو و چن] از آن برای این کار استفاده کردند.

که قسمت دوم نابرابری را ترک کرد. مقابله با آن به کمک کامپیوتری نیاز دارد. برای شروع، محاسبات زیادی وجود داشت که باید انجام می شد، و دقت زیادی لازم بود، که "میزان کاری که باید با مداد و کاغذ انجام دهید، حیرت آور خواهد بود." برای به دست آوردن تعادل بین اصطلاحات مختلف، ریاضیدانان مجبور شدند یک سری مسائل بهینه سازی را انجام دهند که برای رایانه ها نسبتاً آسان است اما برای انسان بسیار وقت گیر است. برخی از مقادیر نیز به مقادیر از راه حل تقریبی بستگی دارد. از آنجایی که با استفاده از رایانه محاسبه می شد، استفاده از رایانه برای انجام این محاسبات اضافی ساده تر بود.

گومز-سرانو گفت: "اگر سعی کنید برخی از این تخمین ها را به صورت دستی انجام دهید، احتمالاً در نقطه ای بیش از حد برآورد خواهید کرد و سپس بازنده خواهید شد." "اعداد بسیار کوچک و تنگ هستند ... و حاشیه فوق العاده نازک است."

اما از آنجایی که کامپیوترها نمی توانند تعداد نامتناهی از ارقام را دستکاری کنند، به ناچار خطاهای کوچکی رخ می دهد. هو و چن باید با دقت این خطاها را دنبال می کردند تا مطمئن شوند که در بقیه مراحل تعادل دخالت نمی کنند.

در نهایت، آنها توانستند مرزهایی را برای همه عبارت ها بیابند و اثبات را تکمیل کردند: معادلات واقعاً یک تکینگی ایجاد کرده بودند.

اثبات توسط کامپیوتر

اینکه آیا معادلات پیچیده‌تر - معادلات اویلر بدون حضور مرز استوانه‌ای و معادلات ناویر-استوکس - می‌توانند تکینگی ایجاد کنند، باز باقی می‌ماند. هو گفت: «اما [این کار] حداقل به من امید می دهد. من مسیری رو به جلو می بینم، راهی برای حل و فصل مشکل کامل هزاره.»

در همین حال، Buckmaster و Gómez-Serrano در حال کار بر روی یک اثبات به کمک کامپیوتر برای خودشان هستند - که امیدوارند کلی‌تر باشد، و بنابراین می‌تواند نه تنها با مشکلی که هو و چن حل کرده‌اند، بلکه با مشکلات دیگر نیز مقابله کند.

این تلاش ها روند رو به رشدی را در زمینه دینامیک سیالات نشان می دهد: استفاده از رایانه برای حل مشکلات مهم.

گفت: «در تعدادی از حوزه‌های مختلف ریاضیات، این موضوع بیشتر و بیشتر اتفاق می‌افتد سوزان فریدلندر، ریاضیدان دانشگاه کالیفرنیای جنوبی.

اما در مکانیک سیالات، اثبات به کمک کامپیوتر هنوز یک تکنیک نسبتا جدید است. در واقع، وقتی صحبت از گزاره‌هایی در مورد شکل‌گیری تکینگی می‌شود، اثبات هو و چن اولین در نوع خود است: اثبات‌های قبلی به کمک رایانه فقط می‌توانستند مشکلات اسباب‌بازی را در این منطقه حل کنند.

گفته می شود که چنین شواهدی آنقدر بحث برانگیز نیستند که "یک موضوع سلیقه ای" است پیتر کنستانتین از دانشگاه پرینستون ریاضیدانان عموماً موافق هستند که یک اثبات باید دیگر ریاضیدانان را متقاعد کند که برخی از استدلال‌ها درست است. اما، بسیاری استدلال می‌کنند که باید درک آن‌ها از اینکه چرا یک عبارت خاص درست است را بهبود بخشد، نه اینکه صرفاً صحت آن را تأیید کند. آیا ما اساساً چیز جدیدی یاد می گیریم یا فقط پاسخ سؤال را می دانیم؟ الگیندی گفت. اگر به ریاضیات به عنوان یک هنر نگاه می کنید، از نظر زیبایی شناختی چندان خوشایند نیست.

یک کامپیوتر می تواند کمک کند. فوق العاده است. به من بینش می دهد. اما این به من درک کاملی نمی دهد،" کنستانتین افزود. "درک از ما می آید."

به نوبه خود، Elgindi هنوز امیدوار است که یک اثبات جایگزین برای انفجار کاملاً با دست پیدا کند. او در مورد کار هو و چن گفت: «به طور کلی خوشحالم که این وجود دارد. اما من آن را بیشتر به عنوان یک انگیزه برای تلاش برای انجام آن به روشی کمتر وابسته به کامپیوتر می دانم.

سایر ریاضیدانان کامپیوترها را به عنوان یک ابزار جدید حیاتی می بینند که حمله به مسائل حل نشدنی قبلی را ممکن می سازد. چن گفت: «اکنون کار دیگر فقط کاغذ و مداد نیست. "شما این گزینه را دارید که از چیزی قدرتمندتر استفاده کنید."

به گفته او و دیگران (از جمله الگیندی، علیرغم ترجیح شخصی او برای نوشتن اثبات با دست)، این احتمال وجود دارد که تنها راه حل مسائل بزرگ در دینامیک سیالات - یعنی مسائلی که معادلات پیچیده‌تر را شامل می‌شوند - تکیه کردن باشد. به شدت به کمک کامپیوتر. ففرمن گفت: "به نظر من تلاش برای انجام این کار بدون استفاده زیاد از شواهد کامپیوتری مانند بستن یک یا احتمالاً دو دست از پشت است."

الگیندی گفت، اگر در نهایت چنین باشد و «شما هیچ انتخابی ندارید»، «پس افرادی مانند من که می‌گویند این نابهینه است، باید ساکت باشند.» این همچنین به این معنی است که ریاضیدانان بیشتری باید شروع به یادگیری مهارت های مورد نیاز برای نوشتن مدارک به کمک کامپیوتر کنند - چیزی که امیدواریم کار هو و چن الهام بخش باشد. باکمستر گفت: «من فکر می‌کنم افراد زیادی بودند که به سادگی منتظر بودند کسی چنین مشکلی را حل کند و قبل از اینکه وقت خود را روی این رویکرد بگذارند، بودند.

گومز-سرانو گفت، وقتی صحبت از بحث در مورد میزان اتکای ریاضیدانان به رایانه به میان می‌آید، «اینطور نیست که باید طرفی را انتخاب کنید». «اثبات [هو و چن] بدون تجزیه و تحلیل کار نخواهد کرد، و اثبات بدون کمک رایانه کار نخواهد کرد. ... من فکر می کنم ارزش این است که مردم می توانند به این دو زبان صحبت کنند.

با آن، د لا لاو گفت: "یک بازی جدید در شهر وجود دارد."