معرفی
در الگوریتم ها، مانند زندگی، منفی گرایی می تواند یک کشش باشد.
مشکل یافتن کوتاهترین مسیر بین دو نقطه در یک نمودار را در نظر بگیرید - شبکهای از گرهها که توسط پیوندها یا لبهها به هم متصل شدهاند. اغلب، این لبهها قابل تعویض نیستند: یک نمودار میتواند یک نقشه راه را نشان دهد که در آن برخی از جادهها کندتر از دیگران هستند یا عوارض بیشتری دارند. دانشمندان کامپیوتر این تفاوت ها را با جفت کردن هر لبه با یک "وزن" که هزینه حرکت در آن بخش را کمیت می کند، محاسبه می کنند - چه این هزینه نشان دهنده زمان، پول یا چیز دیگری باشد. از دهه 1950، آنها میدانستند که چگونه کوتاهترین مسیرها را اساساً با حداکثر سرعت ممکن از لحاظ نظری پیدا کنند، با فرض اینکه همه وزنها اعداد مثبت باشند.
اما در برخی از نمودارها وزنها میتوانند منفی باشند - سفر در یک بخش میتواند هزینه عبور از قسمت دیگر را جبران کند. به عنوان مثال، یک راننده تحویل را در نظر بگیرید که باید هزینه گاز و عوارض (که با وزن های مثبت نشان داده می شود) را در مقابل درآمد حاصل از حمل و نقل بسته ها (با وزن منفی) متعادل کند. در چنین مواردی، سریعترین الگوریتم شناخته شده کوتاهترین مسیر کار نمی کند. برای دههها، الگوریتمهای سریع برای یافتن کوتاهترین مسیرها در نمودارهای وزن منفی گریزان ماندهاند.
اکنون سه نفر از دانشمندان کامپیوتر این مشکل دیرینه را حل کرده اند. جدید آنها الگوریتم، که کوتاه ترین مسیرها را از طریق یک نمودار از یک گره "منبع" معین به هر گره دیگر پیدا می کند، تقریباً با سرعتی مطابقت دارد که الگوریتم های وزن مثبت مدت ها پیش به دست آورده بودند.
علاوه بر این، رویکرد جدید از تکنیکهای ریاضی چند دههای استفاده میکند و از روشهای پیچیدهتری که بر تحقیقات تئوری گراف مدرن تسلط دارند، اجتناب میکند.
گفت: «من نمیتوانستم باور کنم که چنین الگوریتم سادهای وجود داشته باشد ماکسیمیلیان پروبست گوتنبرگ، دانشمند کامپیوتر در موسسه فدرال فناوری سوئیس زوریخ. "همه اینها برای 40 سال وجود داشته است. فقط لازم بود کسی واقعاً باهوش و مصمم باشد تا همه چیز را به نتیجه برساند.»
حد طمع
داستان در سال 1956 آغاز می شود، زمانی که دانشمند هلندی کامپیوتر Edsger Dijkstra یک الگوریتم سریع برای یافتن کوتاه ترین مسیرها در یک نمودار با وزن های مثبت ایجاد کرد. برای درک آن، تصور کنید که از منبع شروع کنید و گره را یکی یکی کاوش کنید و وزن لبه های تازه کشف شده را در حین حرکت یادداشت کنید. هر بار که از یک گره بازدید می کنید، تخمین های اولیه ای از کوتاه ترین مسیرها از منبع تا هر یک از همسایگان گره جدید انجام دهید، و اگر مسیر کوتاه تری جدید پیدا کردید، تخمین های موجود را به روز کنید. برای تصمیم گیری در مورد اینکه کدام گره کاوش نشده بعدی را بازدید کنید، از چیزی که استراتژی حریص نامیده می شود استفاده کنید: طبق برآورد فعلی خود به هر کدام که نزدیک به منبع است بروید.
با وزنهای مثبت، مسیری که الگوریتم Dijkstra برای بازدید از هر گره برای اولین بار طی میکند، واقعاً کوتاهترین است. دیدن اینکه این در همان قدم اول درست است، سادهترین کار است. دو گره A و B را تصور کنید که توسط یک یال با وزن 2 به هم متصل شده اند. اگر A گره منبع باشد و هر یال دیگری که با آن تماس می گیرد وزن بیشتری داشته باشد، مسیر مستقیم A به B باید کوتاه ترین مسیر ممکن باشد که این دو نقطه را به هم متصل می کند. ، از آنجایی که بخش اول هر مسیر دیگری از قبل طولانی تر است. استدلال مشابه در هر مرحله کار می کند. الگوریتم هرگز مجبور نیست به گذشته نگاه کند، بنابراین تضمین میشود که پس از یک بار اجرا در نمودار به پایان برسد - این همان چیزی است که آن را بسیار سریع میکند.
اما وزن های منفی برای استراتژی حریصانه دایکسترا مشکل ایجاد می کند. دوباره راننده تحویل ما را در نظر بگیرید. یک مسیر مستقیم از A به B که سود کمی را به همراه دارد، ممکن است درآمد کمتری نسبت به یک مسیر مداری داشته باشد که در جایی بازده بزرگی دارد. گفت: "شما نمی توانید فقط بر اساس اطلاعات محلی تصمیم بگیرید." سانجیو خانا، دانشمند کامپیوتر در دانشگاه پنسیلوانیا. "شاید مجبور شوید چندین حرکت به ظاهر غیربهینه انجام دهید تا در نهایت یک پاداش واقعی بگیرید."
برای دههها، دانشمندان کامپیوتری که روی نمودارهای وزن منفی کار میکردند، سعی میکردند سرعت الگوریتم Dijkstra را با الگوریتمهای ترکیبی مشابه تطبیق دهند. اینها شامل عملیات گسسته - مانند شمارش احتمالات، اصلاح وزنها و حذف انتخابی یالها - هستند که ساختار گسسته نمودار زیرین را منعکس میکنند. با این حال، پیشرفت در دهه 1990 کند شد. اخیراً، محققان از الگوریتمهای «بهینهسازی مستمر» استفاده کردهاند که ترفندهایی را از حساب دیفرانسیل و انتگرال گرفتهاند. متأسفانه، افزایش سرعت حاصله محدود بوده است و اغلب به قیمت سادگی تمام شده است.
چرخه را بشکنید
در تابستان 2021، دو دانشمند کامپیوتر که در دانشگاه کپنهاگ همکار شدند - Danupon Nanongkai و کریستین ولف-نیلسن - به دنبال موضوعی برای یک پروژه تحقیقاتی مشترک بودند. Nanongkai که اکنون در مؤسسه ماکس پلانک برای انفورماتیک در زاربروکن آلمان است، به یاد می آورد: "کریستین گفت: "اوه، اتفاقاً من در تعطیلات بودم و به همین دلیل سعی می کردم به چیزی بسیار جاه طلبانه فکر کنم." آنها روی مشکل کوتاه ترین مسیر وزن منفی حل و فصل کردند و دعوت کردند آرون برنشتاین از دانشگاه راتگرز برای پیوستن به آنها.
هر سه محقق در الگوریتمهای گراف ترکیبی برای مسائل دیگر متخصص بودند و میخواستند ببینند این رویکردهای نسبتاً قدیمی تا کجا میتوانند به آنها برسند. برنشتاین گفت: «در واقع آزادی خاصی در کار بر روی مشکلی وجود دارد که جاه طلبانه است و برای مدت طولانی باز بوده است.
این سه گانه با نادیده گرفتن موقت زیرمجموعه ای از نمودارهای ممکن شروع شد: آنهایی که حاوی چرخه های منفی بودند. اینها مسیرهایی هستند که پس از عبور از یک سری لبه که وزن آنها به یک عدد منفی می رسد، به جایی که شروع شده است، برمی گردند. در نموداری با چرخههای منفی قابل دسترسی از نقطه شروع، مفهوم کوتاهترین مسیر از بین میرود، زیرا میتوانید با دور زدن مکرر دور چرخه منفی قبل، فاصله تا هر گره را تا جایی که دوست دارید منفی (یا سودآور) کنید. در حال حرکت به سمت مقصد خود
محققان مشکوک بودند که مسیرهای منفی طولانی عمدتاً مسئول دشوار کردن مشکل هستند. بنابراین آنها شروع به تمرکز بر روی خوشههای فشرده گرههای مجاور کردند، که نمیتوانند مسیرهای منفی طولانی داشته باشند: به این دلیل است که اگر دو نقطه با یک مسیر مثبت کوتاه به هم متصل شوند، اضافه کردن یک مسیر منفی طولانی بین آنها یک چرخه منفی ایجاد میکند. برنشتاین گفت: در یک خوشه فشرده، "این واقعیت که همه به معنای مثبت به هم نزدیک هستند، در واقع اطلاعات مفیدی در مورد لبه های منفی به شما می دهد." "این به شما می گوید که چیزها نمی توانند خیلی منفی باشند."
اکثر نمودارها شامل بسیاری از خوشه های تنگ بافته هستند که فقط به طور ضعیفی به یکدیگر متصل هستند. اگر محققان بتوانند همه خوشهها را مشخص کنند، گمان میکردند که میتوانند راهی برای یافتن سریعترین مسیرها در هر یک ایجاد کنند. از آنجا، آنها ممکن است زمان آسان تری برای اتصال خوشه های فردی و یافتن کوتاه ترین مسیرها در نمودار اصلی داشته باشند. اما این امر مستلزم شناسایی سریع مناطق هر گرافی است که گرهها در آن نزدیک به هم هستند - کاری که آنها نمیدانستند چگونه انجام دهند. معلوم شد که کلید تکنیکی است که از شاخهای کاملاً متفاوت از نظریه گراف سرچشمه میگیرد.
برش نمودارها
در دهه 1980، دانشمندان کامپیوتر تکنیکی به نام تجزیه با قطر کم را توسعه دادند تا خوشه های تنگ را در یک نمودار انتخاب کنند و یال هایی را که باید حذف شوند برای جدا کردن آن خوشه ها شناسایی کردند. این تکنیک راهی برای تقسیم نمودارها به بخش های مستقل ارائه می دهد. این الگوریتم برای تسهیل الگوریتمهای «توزیعشده» اختراع شد، که در آن محاسبات بهطور موازی روی بخشهای مختلف یک نمودار اجرا میشوند، بنابراین برای الگوریتمهای کوتاهترین مسیر که این ویژگی را ندارند، چندان مفید نبود.
Bernstein، Nanongkai و Wulff-Nilsen دریافتند که تجزیه با قطر کم میتواند به آنها کمک کند تا خوشهها را بدون منفیهای متمرکز شناسایی کنند. متأسفانه، الگوریتمهای استاندارد تجزیه با قطر کم فقط بر روی نمودارهای بدون جهت کار میکنند - نمودارهایی که در آنها هر لبه را میتوان در هر دو جهت طی کرد. در همین حال، مشکل کوتاهترین مسیر وزن منفی، فقط در نمودارهای جهتدار معنا مییابد که در آن هر یال یک خیابان یک طرفه است. (در غیر این صورت، یک یال منفی منفرد بدون جهت، یک چرخه منفی متشکل از پرش های مکرر به جلو و عقب در سراسر آن لبه ایجاد می کند.) اگر محققان می خواستند از تجزیه با قطر کم استفاده کنند، باید آن را تطبیق دهند.
این کاری است که آنها در مقاله جدید خود انجام دادند. الهام گرفته از کار قبلی که در آن برنشتاین و وولف-نیلسن با پروبست گوتنبرگ همکاری کرده بودند، آنها یک روش شکستگی برای نمودارهای جهت دار مشابه تجزیه با قطر کم ایجاد کردند. این روش با استفاده از یک فرآیند تصادفی برای حذف تنها تعداد انگشت شماری از لبه ها، یک نمودار جهت دار دلخواه را به مجموعه ای از خوشه های فشرده تبدیل می کند. پس از آن، آن خوشه ها توسط یک شبکه پراکنده به هم متصل می شوند که در آن تمام لبه ها در یک جهت قرار دارند. این نوع شبکه، گراف غیر چرخه ای جهت دار یا DAG نامیده می شود.
یک DAG را مانند نهری در نظر بگیرید که در آن آب ممکن است از مسیرهای مختلفی سرازیر شود: برخی از مسیرها از منابع مختلف به داخل سرازیر میشوند، برخی دیگر در جهات مختلف بیرون میروند و برخی دیگر ممکن است از هم جدا شوند و دوباره با هم ترکیب شوند. اما هیچ چیز هرگز به عقب جریان نمی یابد، بنابراین هیچ چرخه ای وجود ندارد. این کار با DAG ها را بسیار ساده تر می کند.
محققان مدتهاست که میدانند چگونه میتوانند به سرعت کوتاهترین مسیرها را در DAG حتی با وزنهای منفی پیدا کنند. بنابراین تکنیک شکستگی به سه محقق این امکان را داد تا هر گراف جهت دار را به ترکیبی از دو مورد خاص - DAGs و خوشه های تنگ - کاهش دهند که هر کدام به راحتی قابل کنترل بودند.
الگوریتم جدید کوتاهترین مسیرها به طور مکرر از روش شکستگی برای شکستن یک نمودار به خوشه های تنگ بافته شده توسط یک DAG استفاده می کند. سپس آن خوشه ها را بیشتر و بیشتر از هم جدا می کند. در پایان فرآیند، خوشهها در درونیترین سطح تا حد امکان به یکدیگر نزدیک میشوند. بخشی از دلیل سریع بودن الگوریتم این است که برای شکستن کامل یک نمودار حتی یک نمودار بسیار بزرگ، تکرارهای زیادی لازم نیست، همانطور که اگر به طور مکرر تقسیم کنید، زمان زیادی طول نمی کشد تا یک عدد بزرگ را به اندازه معقول کاهش دهید. آن را به نصف
با تجزیه کامل نمودار به این روش، محققان میتوانند به سرعت کوتاهترین مسیرها را در هر قسمت از نمودار پیدا کنند. برای خوشههای فشرده در درونیترین سطح ساختار نمودار تودرتو، این کار آسان بود - آنها عملاً هیچ منفی نداشتند. و محققان قبلاً میدانستند که چگونه کوتاهترین مسیرها را در بخشهای DAG پیدا کنند.
در نهایت، الگوریتم لبه های حذف شده توسط فرآیند شکست را دوباره اضافه می کند و اثرات آنها را در کوتاه ترین مسیرها محاسبه می کند. محققان ثابت کردند که فرآیند حذف تصادفی لبهها تقریباً همیشه فقط به چند حذف نیاز دارد تا لبههای «عقبافتاده» حذف شود - نوعی که DAG آنها را به نموداری با چرخههای بزرگ تبدیل میکند. این امر باعث میشود که کوتاهترین مسیر از بسیاری از بخشهای عقبافتاده عبور کند بسیار بعید است، بنابراین آنها میتوانند این مرحله دشوار نهایی را با ترکیب دو روش کتاب درسی از دهه 1950 حل کنند: الگوریتم Dijkstra و اولین الگوریتم توسعهیافته برای نمودارهای وزن منفی.
خانا گفت: «این ترکیب بسیار هوشمندانه ای از این ایده ها است. این الگوریتم اولین الگوریتم برای نمودارهای وزن منفی است که در زمان «تقریباً خطی» اجرا میشود - به این معنی که زمان اجرا آن تقریباً متناسب با زمان لازم برای شمارش تمام لبهها است، سریعترین سرعت ممکن.
و نمودارهایی با چرخه های منفی که محققان تصمیم گرفتند در ابتدا نادیده بگیرند، چه می شود؟ پس از انجام کارهای نهایی روی الگوریتم کوتاه ترین مسیرها، آنها نشان دادند که می تواند به عنوان یک الگوریتم سریع برای تعیین دقیق چرخه های منفی نیز کار کند. عملا هیچ نموداری دور از دسترس نبود.
مسیرهای موازی
برنشتاین نتیجه تیم را در کنفرانس مبانی علوم کامپیوتر 2022 ارائه کرد، جایی که نسخه خطی آنها که الگوریتم جدید را توصیف می کرد یکی از دو مقاله برتر در نظر گرفته شد. این کاغذ دیگر همچنین اتفاقاً یک الگوریتم جدید نزدیک به خطی را برای حل یک مسئله طولانی مدت در نظریه گراف توصیف کرد.
این الگوریتم که توسط پروبست گوتنبرگ و پنج محقق دیگر توسعه یافته است، به یک مسئله کلی تری به نام جریان حداقل هزینه پرداخته است که در آن هدف بهینه سازی حمل و نقل از طریق مسیرهای متعدد به صورت موازی است و هر لبه دارای حداکثر ظرفیت و همچنین هزینه مرتبط است. . مسائل کوتاهترین مسیر یک مورد خاص از جریان کمهزینه هستند، بنابراین الگوریتم جدید جریان حداقل هزینه نیز میتواند برای حل مسئله کوتاهترین مسیر با وزن منفی در زمان نزدیک به خطی، البته با رویکردی کاملاً متفاوت استفاده شود.
تیمی که بر روی جریان حداقل هزینه کار می کند، الگوریتم سریع همه منظوره خود را با استفاده از ترکیب پیچیده ای از تکنیک های بهینه سازی ترکیبی و پیوسته توسعه داده است که حداقل در حال حاضر آن را در عمل دشوار می کند. الگوریتم ترکیبی توسط برنشتاین و همکارانش، اگرچه محدود به یک مسئله خاص تر است، زمان اجرا تقریباً خطی خود را بدون به خطر انداختن سادگی به دست می آورد.
پروبست گوتنبرگ گفت: "این چیزی است که در مورد این مقاله بسیار شگفت انگیز است." می توانید آن را برای یک دانشجوی کارشناسی توضیح دهید و همچنین می توانید آن را در رایانه خود پیاده سازی کنید.
در نتیجه، این الگوریتم جدید علاقه به رویکردهای ترکیبی برای مسائل دیگر در نظریه گراف را احیا کرده است. باید دید کدام مسائل می توانند به سرعت با استفاده از الگوریتم های ترکیبی کاملاً حل شوند و واقعاً به تکنیک های پیوسته توسعه یافته در 20 سال گذشته نیاز دارند.
Nanongkai گفت: "این یک سوال فلسفی است که من در تلاش برای درک آن هستم." این مشکل کوتاهترین مسیر، امیدی را به ما میدهد.»
- محتوای مبتنی بر SEO و توزیع روابط عمومی. امروز تقویت شوید.
- پلاتوبلاک چین. Web3 Metaverse Intelligence. دانش تقویت شده دسترسی به اینجا.
- منبع: https://www.quantamagazine.org/finally-a-fast-algorithm-for-shortest-paths-on-negative-graphs-20230118/
- سال 20
- 2021
- 2022
- a
- درباره ما
- مطابق
- حساب
- دست
- در میان
- واقعا
- حلقوی
- وفق دادن
- می افزاید:
- پس از
- در برابر
- الگوریتم
- الگوریتم
- معرفی
- قبلا
- همیشه
- جاه طلب
- باستانی
- و
- دیگر
- جدا
- روش
- رویکردها
- دور و بر
- مرتبط است
- به عقب
- برج میزان
- مستقر
- زیرا
- شدن
- قبل از
- آغاز شد
- باور
- برنشتاین
- بهترین
- میان
- خارج از
- بزرگ
- امانت گرفتن
- شاخه
- شکستن
- می شکند
- شکسته
- محاسبه می کند
- نام
- ظرفیت
- مورد
- موارد
- معین
- CIS
- نزدیک
- نزدیک
- خوشه
- همکاری کرد
- همکاران
- ترکیب
- ترکیب
- بیا
- محاسبات
- کامپیوتر
- علم کامپیوتر
- متمرکز
- کنفرانس
- متصل
- اتصال
- در نظر بگیرید
- شامل
- مداوم
- هزینه
- میتوانست
- ایجاد
- جاری
- در حال حاضر
- برش
- چرخه
- DAG
- دهه
- مصمم
- تصمیم گیری
- تحویل
- توصیف
- مقصد
- مشخص
- توسعه
- توسعه
- DID
- تفاوت
- مختلف
- مشکل
- مستقیم
- جهت
- کشف
- فاصله
- نمی کند
- آیا
- پایین
- راننده
- هلندی
- هر
- کسب درآمد
- آسان تر
- آسان ترین
- لبه
- اثرات
- از بین بردن
- حذف شد
- فعال
- به طور کامل
- اساسا
- تخمین زدن
- تخمین می زند
- حتی
- تا کنون
- هر کس
- موجود
- وجود دارد
- کارشناسان
- توضیح دهید
- بررسی
- خیلی
- تسهیل کردن
- پنکه
- FAST
- سریعترین
- فدرال
- کمی از
- نهایی
- سرانجام
- پیدا کردن
- پیدا کردن
- پیدا می کند
- نام خانوادگی
- بار اول
- جریان
- جریانها
- تمرکز
- یافت
- مبانی
- آزادی
- از جانب
- کاملا
- بیشتر
- GAS
- سوالات عمومی
- همه منظوره
- آلمان
- دریافت کنید
- داده
- می دهد
- Go
- هدف
- گراف
- نمودار ها
- حریص
- تضمین شده
- گوتنبرگ
- نیم
- مشت
- دسته
- اتفاق افتاده است
- عنوان
- کمک
- بالاتر
- امید
- چگونه
- چگونه
- اما
- HTML
- HTTPS
- ایده ها
- شناسایی
- انجام
- in
- درآمد
- مستقل
- فرد
- اطلاعات
- الهام بخش
- نمونه
- موسسه
- علاقه
- اختراع
- شامل
- IT
- تکرار
- پیوستن
- پیوستن
- کلید
- نوع
- دانستن
- شناخته شده
- بزرگ
- بزرگتر
- سطح
- زندگی
- محدود شده
- محدودیت
- لینک ها
- محلی
- طولانی
- مدت زمان طولانی
- طولانی مدت
- دیگر
- نگاه کنيد
- ساخته
- ساخت
- باعث می شود
- ساخت
- روش
- بسیاری
- نقشه
- مسابقه
- ریاضی
- حداکثر
- بیشترین
- به معنی
- در ضمن
- ادغام کردن
- روش
- قدرت
- مدرن
- پول
- بیش
- حرکت می کند
- متحرک
- تقریبا
- منفی
- همسایه ها
- توری
- شبکه
- جدید
- بعد
- گره
- گره
- ایده
- عدد
- تعداد
- چاپ افست
- ONE
- باز کن
- عملیات
- بهینه سازی
- بهینه سازی
- اصلی
- نشات گرفته
- دیگر
- دیگران
- در غیر این صورت
- بسته
- جفت کردن
- مقاله
- اوراق
- موازی
- بخش
- بخش
- عبور
- گذشته
- مسیر
- پنسیلوانیا
- انتخاب کنید
- افلاطون
- هوش داده افلاطون
- PlatoData
- نقطه
- نقطه
- مثبت
- فرصت
- ممکن
- عملا
- تمرین
- ارائه شده
- مشکل
- مشکلات
- روند
- سود
- مفید
- پیشرفت
- پروژه
- ویژگی
- ثابت
- فراهم می کند
- صرفا
- قرار دادن
- مجله کوانتاما
- سوال
- به سرعت
- ریشه ای
- تصادفی
- سریعا
- رسیدن به
- واقعی
- متوجه
- دلیل
- معقول
- تازه
- كاهش دادن
- بازتاب
- مناطق
- نسبتا
- باقی مانده است
- بقایای
- مکرر
- به طور مکرر
- نشان دادن
- نمایندگی
- نشان دهنده
- نیاز
- ضروری
- تحقیق
- محققان
- مسئوليت
- منحصر
- نتیجه
- نتیجه
- پاداش
- جاده
- مسیر
- دویدن
- در حال اجرا
- دانشگاه راتگرز
- قربانی کردن
- سعید
- همان
- علم
- دانشمند
- دانشمندان
- جستجو
- بخش
- بخش
- بخش ها
- حس
- سلسله
- مستقر
- چند
- کوتاه
- مشابه
- ساده
- سادگی
- پس از
- تنها
- اندازه
- کوچک
- So
- حل
- حل کردن
- برخی از
- کسی
- چیزی
- یک جایی
- مصنوعی
- منبع
- منابع
- ویژه
- خاص
- سرعت
- هجی کردن
- انشعاب
- استاندارد
- شروع
- آغاز شده
- راه افتادن
- گام
- هنوز
- داستان
- استراتژی
- جریان
- خیابان
- ساختار
- دانشجو
- چنین
- تابستان
- سویسی
- گرفتن
- طول می کشد
- مصرف
- تیم
- تکنیک
- پیشرفته
- می گوید
- کتاب درسی
- La
- نمودار
- منبع
- شان
- اشیاء
- سه
- از طریق
- زمان
- به
- با هم
- هم
- موضوع
- لمس کردن
- حمل و نقل
- سفر
- زحمت
- درست
- دور زدن
- تبدیل
- اساسی
- فهمیدن
- دانشگاه
- به روز رسانی
- استفاده کنید
- مرخصی
- عملا
- خواسته
- آب
- وب سایت
- وزن
- چی
- چه
- که
- WHO
- در داخل
- بدون
- مهاجرت کاری
- کارگر
- با این نسخهها کار
- خواهد بود
- سال
- شما
- شما
- زفیرنت
- زوریخ