ریاضی که جایی که می رویم را به جایی که بوده ایم متصل می کند | مجله کوانتا

بگویید که با نه نفر دیگر در یک مهمانی هستید و همه دقیقاً یک بار با دیگران دست می دهند. چند دست دادن صورت می گیرد؟

این «مشکل دست دادن» است و یکی از موارد مورد علاقه من است. به عنوان یک معلم ریاضی، من آن را دوست دارم زیرا راه های مختلفی وجود دارد که می توانید به راه حل برسید، و تنوع و به هم پیوستگی این استراتژی ها به زیبایی قدرت تفکر خلاق در ریاضیات را نشان می دهد.

یک راه حل به این صورت است: با دست دادن هر فرد با دیگران شروع کنید. 9 نفر، هر کدام با 10 بار دست دادن، 90 × 90 = 2 در مجموع دست دادن ایجاد می کنند. اما این هر دست دادن را دو بار محاسبه می کند - یک بار از دیدگاه هر تکان دهنده - بنابراین تعداد واقعی دست دادن ها $ latex frac{45}{XNUMX} = XNUMX $ است. یک استدلال ساده و دوست داشتنی شمارش برای پیروزی!

همچنین یک راه کاملا متفاوت برای حل مشکل وجود دارد. تصور کنید که مهمانان یکی یکی می‌رسند و وقتی به آنجا می‌رسند با همه حاضران دست می‌دهند. نفر اول دستی برای تکان دادن ندارد، بنابراین در یک مهمانی یک نفره تعداد کل دست دادن صفر است. حالا نفر دوم می رسد و با نفر اول دست می دهد. این یک دست دادن به کل اضافه می کند، بنابراین در یک مهمانی دو نفره، 0 + 1 = 1 کل دست دادن وجود دارد. وقتی نفر سوم می آید و با دو مهمان اول دست می دهد، این کار دو دست دادن به کل اضافه می کند. ورود نفر چهارم سه دست دادن به کل اضافه می کند و به همین ترتیب.

این استراتژی دنباله دست دادن ها را به صورت بازگشتی مدل می کند، به این معنی که هر عبارت در دنباله نسبت به موارد قبل از آن تعریف می شود. احتمالاً با دنباله فیبوناچی، معروف ترین دنباله بازگشتی از همه آشنا هستید. از 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21 شروع می شود و با هر جمله بعدی برابر با مجموع دو عبارت قبلی ادامه می یابد.

همانطور که در زیر خواهیم دید، بازگشت یک چارچوب انعطاف پذیر و قدرتمند برای تفکر در مورد طیف گسترده ای از ایده های ریاضی است. و حتی با وجود اینکه دانشمندان هندی باستانی مانند همچاندرا در سال 1150 به دانستن این نوع دنباله ها اعتبار داشتند، آنها هنوز چالش های جالبی را برای ریاضیدانان امروزی ارائه می دهند.

بیایید ببینیم چگونه تفکر بازگشتی به مشکل دست دادن کمک می کند. اگر اجازه دهیم $latex a_n$ برابر با تعداد دست دادن ها در an باشد nحزب شخص، می توانیم این رابطه بازگشتی را با فرمول زیر نمایش دهیم:

$latex a_n = a_{n-1} + n–1$

این به ما می گوید که تعداد دست دادن ها برابر است n- مهمانی شخص ($latex a_n$) برابر است با تعداد دست دادن در یک (n − 1)-پارتی شخص ($latex a_{n-1}$) به علاوه n − 1 دست دادن دیگر، این ایده را به تصویر می‌کشد که وقتی فرد جدیدی وارد می‌شود، تعداد معینی از دست دادن‌های جدید را به دست دادن‌هایی که قبلاً انجام داده‌اند اضافه می‌کنند.

در نسخه خاص خود از مشکل دست دادن، می‌خواهیم $latex a_{10}$، تعداد دست دادن‌ها در یک مهمانی 10 نفره را بدانیم، بنابراین از رابطه بازگشتی استفاده می‌کنیم.

$latex a_{10} = a_9 + 9$

برای یافتن مقدار $latex a_{10}$، فقط باید ارزش $latex a_9$ را بدانیم و 9 را به آن اضافه کنیم. چگونه ارزش لاتکس $ a_9 $ را پیدا کنیم؟ البته با استفاده از Recursion!

لاتکس $ a_9 = a_8 + 8 $

حال برای یافتن مقدار $latex a_8$، باید مقدار $latex a_7$ را پیدا کنیم که نیاز به دانستن $latex a_6$ و غیره دارد. در این مرحله، ممکن است نگران باشید که این کار برای همیشه در یک نوع فرود بی‌نهایت ادامه خواهد داشت، اما وقتی به $latex a_1$ رسیدیم کارمان تمام می‌شود، زیرا می‌دانیم که در یک مهمانی یک نفره در مجموع دست دادن صفر است.

$لاتکس a_1 = 0$

این مقدار اولیه یا "seed" یک ویژگی کلیدی یک دنباله بازگشتی است. این تضمین می کند که این روند بازگشت از طریق دنباله با استفاده از رابطه بازگشتی پایان خواهد یافت. هنگامی که به مقدار seed رسیدید، عقب نشینی متوقف می شود، و سپس می توانید از طریق لیست به سمت جلو حرکت کنید تا مقدار مورد نظر خود را بدست آورید.

$لاتکس a_1 = 0$

$لاتکس a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$

$لاتکس a_3 = a_2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$لاتکس a_4 = a_3 + 3 = 3 + 3 = 6$

$لاتکس cdots$

$latex a_{10} = a_9 + 9 = 36 + 9 = 45$

با بررسی لیست، می بینیم که در یک مهمانی 45 نفره در مجموع 10 دست دادن وجود دارد که با محاسبه اولیه ما موافق است. اگر شما هم شبیه دانش‌آموزان من هستید، ممکن است بپرسید که چرا ما به راه دیگری برای حل این مشکل نیاز داریم، در حالی که ما از قبل پاسخ آن را می‌دانیم، به خصوص که به نظر می‌رسد این رویکرد دوم بیشتر طول می‌کشد.

سوال خوبی است. یک پاسخ این است که رویکرد بازگشتی به ما دیدگاه کاملاً متفاوتی از آنچه در این مسئله می‌گذرد، می‌دهد، و دیدگاه‌های مختلف در ریاضیات مفید هستند، همانطور که در همه چیز هستند. آنها به ما فرصت‌های متفاوتی برای درک مفاهیم می‌دهند و به ما امکان می‌دهند از ابزارهای مختلفی استفاده کنیم، که می‌تواند در زمان گیر کردن کمک کند.

به طور خاص، بازگشت به این دلیل مفید است که همه جا در ریاضیات وجود دارد. برای مثال، در روابط خطی که همه در کلاس ریاضی در مورد آنها می آموزند، ایجاد می شود - روابطی که با نرخ ثابت تغییر مشخص می شوند و با خطوطی در صفحه نمایش داده می شوند. یک تابع خطی مانند $latex f(x) = 3x + 5$ را می توان به عنوان یک فرمول بازگشتی در نظر گرفت:

$لاتکس a_0 = 5$

$latex a_n = a_{n-1} + 3$

اگرچه راه واضح تر برای فکر کردن در مورد $latex f(2)$ ممکن است این باشد که $latex f(2) = 3 ضربدر 2 + 5 = 11$، روش دیگر این است که $latex a_2 = a_1 + 3 = a_0 + 3 + 3 = 11 دلار. مدل‌سازی بازگشتی مشخصه بنیادی توابع خطی - نرخ ثابت تغییر - راه دیگری برای تفکر در مورد این رابطه به ما می‌دهد. همین کار را می توان با توابع نمایی که با تغییر ضربی ثابت مشخص می شوند انجام داد.

تفکر بازگشتی فراتر از توالی اعداد نیز کار می کند. اگر تا به حال یک سیستم معادلات را حل کرده اید، احتمالاً از یک رویکرد بازگشتی استفاده کرده اید. برای حل سیستم

لاتکس $ 2x + y = 10 $

$لاتکس 3x – y = 5$

ابتدا می توانید دو معادله را با هم جمع کنید تا از بین برود y متغیر، که معادله $latex 5x = 15$ را به دست می‌دهد. این را حل کنید تا $latex x = $ 3 به دست آورید، جایگزین کنید تا $latex y = 4$ را پیدا کنید، و کار تمام است. این رویکرد از یک الگوریتم بازگشتی استفاده می کند، که در آن راه حل یک سیستم از راه حل به سیستم های کوچکتر و مرتبط ساخته می شود. به عنوان مثال، برای حل یک سیستم 3×3، یک متغیر را حذف می کنید تا آن را به یک سیستم 2×2 تبدیل کنید و سپس دوباره آن را به یک سیستم 1×1 تبدیل می کنید. این معادله منفرد که به راحتی قابل حل است مانند مقدار اولیه این فرآیند بازگشتی است. این سیگنال پایان بازگشت را نشان می دهد، و از آنجا به سمت زنجیره معادلات حرکت می کنید، درست مانند یک دنباله بازگشتی.

حتی تکنیک های اثبات بازگشتی نیز وجود دارد. به عنوان مثال، یک فرمول معروف در هندسه، فرمول مجموع زاویه چند ضلعی است که می گوید مجموع مقادیر زوایای داخلی یک nچند ضلعی یک طرفه $latex (n-2) ضربدر 180^{circ}$ است. یکی از راه های اثبات این نتیجه شروع با یک است n-بروید و تصور کنید اگر مثلثی را بردارید چه اتفاقی می افتد.

حذف یک مثلث تبدیل به n-رفتن به یک (n − 1)-gon، و همچنین 180 درجه اندازه گیری زاویه داخلی را حذف می کند. این یک رابطه بازگشتی است: مجموع زاویه داخلی برای an n-گون 180 درجه بیشتر از مجموع زاویه داخلی برای یک (n − 1)-gon. برای ایجاد نتیجه کلی، به حذف مثلث ها ادامه دهید تا زمانی که به مقدار دانه برسید، که در این شرایط زمانی اتفاق می افتد که شما به جز سه مورد، همه را حذف کرده باشید. nرئوس گون در این نقطه چند ضلعی اولیه به یک مثلث کاهش یافته است که مجموع زاویه داخلی آن 180 درجه است. اکنون به سمت بالا حرکت کنید و در هر مرحله 180 درجه اضافه کنید و فرمول را دریافت خواهید کرد.

با بازگشت به مهمانی خود، خود مشکل دست دادن به ما نشان می دهد که وقتی خلاقانه فکر می کنیم و سپس آن چندین دیدگاه مختلف از یک مشکل را به هم متصل می کنیم، چه چیزی ممکن است. اگر با مدل بازگشتی برای دنباله دست دادن های خود بازی کنیم:

$لاتکس a_1 = 0$

$latex a_n = a_{n-1} + n – 1$

یک الگوی خوب ظاهر می شود:

$لاتکس a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1$

$لاتکس a_3 = a_2 + 2 = 0 + 1 + 2$

لاتکس $ a_4 ​​= a_3 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3$

$لاتکس cdots$

$latex a_n = a_{n-1} + (n-1) = 0 + 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1)$

ما اکنون یک راه جدید و کلی برای فکر کردن در مورد مشکل داریم: تعداد دست دادن ها در یک n- حزب شخص برابر است با مجموع اولین n − 1 عدد صحیح مثبت.

به رویکرد اصلی ما فکر کنید. در یک nمهمانی شخص، هر فرد با دیگری دست می دهد n - 1 نفر. محصول $latex n (n-1)$ هر دست دادن را دو بار می شمارد، بنابراین تعداد کل دست دادن ها $latex frac{n(n-1)}{2}$ است. اما از آنجایی که روش‌های مختلف ما یک چیز را به حساب می‌آورند، باید نتیجه یکسانی داشته باشند. به طور خاص، این بدان معنی است:

$latex 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) = frac{n(n-1)}{2}$

با اتصال رویکردهای مختلف به مسئله دست دادن، یک فرمول بسته برای مجموع اولی بدست می آوریم n − 1 عدد صحیح مثبت. اما ما حتی بیشتر می‌گیریم: عبارت $latex frac{n(n-1)}{2}$ شامل یک کسری است، اما چون برابر است با مجموع اعداد صحیح، باید یک عدد صحیح نیز باشد. این یک واقعیت ساده از نظریه اعداد را ثابت می کند: برای هر عدد صحیح n, $latex frac{n(n-1)}{2}$ یک عدد صحیح است.

همین نوع استدلال همچنان به قدرت ریاضیات مدرن ادامه می دهد. به عنوان یک نمونه، محققان در اوایل دهه 2000 نتایج شگفت انگیزی را به اثبات رساند در مورد دنباله‌های بازگشتی که به دنباله‌های Somos شناخته می‌شوند، با نشان دادن اینکه آنها نیز چیزی را می‌شمارند. از طریق قدرت ارتباطات خلاق، ریاضیدانان یک بار دیگر کشف کردند که با درک اینکه کجا بوده اند به کجا می توانند بروند.

تمرینات

1. یک فرمول بسته برای دنباله ای که به صورت بازگشتی تعریف شده است پیدا کنید
$لاتکس a_1 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} + 2n – 1$

2. در انتهای ستون، عبارت $latex frac{n(n-1)}{2}$ یک عدد صحیح نشان داده شد، حتی اگر عبارت شامل یک کسری باشد، زیرا $latex frac{n(n-1 )}{2}$ نتیجه شمردن چیزی است. همچنین یک استدلال نظریه اعداد وجود دارد که نشان می دهد این عبارت باید یک عدد صحیح باشد. چیست؟

3. چند عبارت اول دنباله بازگشتی را بیابید
$لاتکس a_1 = 1$
$latex a_n = frac{1}{1+a_{n-1}}$

4. چند عبارت اول دنباله بازگشتی را بیابید
$لاتکس a_1 = 1$
$لاتکس a_2 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} – a_{n-2}$